TEORIMA PYTHAGORAS

a. Pembuktian Dalil Pythagoras

Pada setiap segitiga siku-siku, sisi-sisinya terdiri dari sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa). Gambar di samping adalah ABC yang siku-siku di A. Sisi yang membentuk sudut siku-siku sisi siku-siku, yaitu AB dan AC. Sisi di hadapan sudut siku-siku disebut sisi miring atau hipotenusa, yaitu BC.

Perhatikan gambar di bawah ini

Gambar ( i ) dan ( ii ) merupakan persegi yang mempunyai panjang sisi yang sama, sehingga luasnya juga sama. Perhatikan luas daerah yang tidak diarsir pada gambar ( i ) dan ( ii ), untuk gambar ( i ) luas daerah yang tidak diarsir adalah a2 sedangkan pada gambar ( ii ) luas daerah yang tidak di arsir adalah b2 + c2. Karena luas daerah yang tidak diarsir pada gambar ( i ) dan ( ii ) adalah sama, maka a2 = b2 + c2. Pada gambar ( iii ) a2 adalah luas persegi pada hipotenusa, b2 + c2 adalah jumlah luas persegi pada sisi siku-sikunya.

Jadi untuk setiap segitiga siku-siku selalu berlaku : Luas persegi pada hipotenusa adalah sama dengan jumlah luas persegi pada sisi siku-sikunya.

Teori di atas disebut dalil Pythagoras, karena ditemukan oleh Pythagoras, seorang ahli matematika bangsa Yunani yang hidup abad keenam Masehi. Dalil Pythagoras dapat digunakan untuk menghitung panjang suatu sisi segitiga siku-siku jika dua sisi yang lain diketahui. Perhatikan gambar segitiga berikut !

ab

c

Kuadrat sisi hipotenusa sama dengan jumlah jumlah kuadrat sisi yang lain :

a2 = b2 + c2

hipotenusa

sisi

sik

u-si

ku

sisi siku-siku A B

C

Contoh soal :Hitunglah panjang sisi-sisi yang belum diketahui pada segitiga siku-siku berikut!

Jawab :1. a2 = 32 + 42 2. 132 = p2 + 52

a2 = 9 + 16 169 = p2 + 25a2 = 25 169 – 25 = p2

a = 144 = p2

a = 5 p = 12

Latihan 3.1. Gunakan teorima Pythagoras untuk membuat persamaan-persamaan (rumus)

tentang panjang sisi-sisi segitiga berikut ini !

2. Hitunglah nilai x pada tiap-tiap gambar berikut :

4. Pada gambar ABC di samping ini panjang AD = 5 cm, BC = 15 cm dan CD = 12 cm. Hitunglah :

a. ACb. BD

b. Kebalikan Teorima Phytagoras

Kebalikan dari teorima pytagoras yaitu bila pada suatu segitiga berlaku : “Kuadrat hepotenusa sama dengan jumlah kuadrat kuadrat sisi yang lain” maka segitiga tersebut siku-siku.

Contoh soalApakah segitiga-segitiga berikut siku-siku atau tidak? Berikan alasannya.1. Segitiga yang panjang sisi-sisinya 3 cm, 4 cm, dan 5 cm2. Segitiga yang panjang sisi-sisinya 7 cm, 5 cm, dan 6 cm3. Segitiga yang panjang sisi-sisinya 7 cm, 25 cm, dan 24 cm

135

p2.

3

4

a

1.

q

r

p dr

c

i h

g

z

x

y

r2 = ………….. d2 = ……….. g2 =………….. x2 =…………..

x12

5

15

x

1725 24

x 12

x

16

a. b. c. d.

C

12

D AB 5

15

Jawab1. Sisi hepotenusa adalah 5, maka:

52 = 25Jumlah kuadrat sisi yang lain = 32 + 42

= 9 + 16= 25

Karena kuadrat hepotenusa sama dengan jumlah kuadrat kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut siku-siku

2. Sisi hepotenusa adalah 7, maka :72 = 49Jumlah kuadrat sisi yang lain = 52 + 62

= 25 + 36= 61

Karena kuadrat hepotenusa tidak sama dengan jdfddfumlah kuadrat kuadrat sisi yang lain, maka segitiga tersebut tidak siku-siku.

3. Sisi hepotenusa adalah 25, maka :252 = 625Jumlah kuadrat sisi yang lain = 72 + 242

= 49 + 576= 625

Karena kuadrat hepotenusa sama dengan jumlah kuadrat kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut siku-siku.

4. Perhatikan PQR di samping. Jika PQ = 10 cm, QR = 6 cm, dan PR = 8 cm. Tentukan!a. Apakah PQR siku-sikub. Jika siku-siku, sudut manakah yang

merupakan sudut siku-siku?Jawaba. Sisi hipotenusa 10 cmMaka 102 = 100Jumlah sisi yang lain = 62 + 82

= 36 + 64 = 100

Karena kuadrat hepotenusa sama dengan jumlah kuadrat kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut siku-siku.

b. Sudut yang menghadap hepotenusa adalah R, maka sudut siku-sikunya adalah R.

Latihan 11. Apakah segitiga-segitiga berikut siku-siku atau tidak? Berikan alasannya.

a. Segitiga yang panjang sisi-sisinya 2 cm , 3 cm, 4 cmb. Segitiga yang panjang sisi-sisinya 4 cm, 5cm, 8 cmc. Segitiga yang panjang sisi-sisinya 12 cm, 16 cm, 20 cmd. Segitiga yang panjang sisi-sisinya 5 cm, 12 cm, 13 cme. Segitiga yang panjang sisi-sisinya 4 cm, 6 cm, 8 cmf. Segitiga yang panjang sisi-sisinya 9 cm, 40 cm, 41 cm

2. Dalam KLM diketahui KL = 9 cm, LM = 15 cm, dan KM = 12 cm.a. apakah KLM siku-siku, buktikanb. Sudut manakah yang merupakan sudut siku-siku

PQ

R

10

68

B16A

C

12

D9

3. Pada ABC di samping ini, diketahui AD = 9 cm, BD = 16 cm, CD = 12 cm.a. hitunglah panjang ACb. hitunglah panjang BC

c. Tigaan pythagoras (Tripel pythagoras)Ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku sering dinyatakan dalam 3 bilangan asli yang

tepat. Tiga bilangan seperti itu disebut tigaan pytagoras (tripel pytagoras).

Contoh : Dari tigaan-tigaan berikut, manakah yang merupakan tripel Pythagoras?a. 12, 20, 16 c. 9, 12, 15b. 8, 4, 7

JawabCaranya : jika kuadrat bilangan yang paling besar sama dengan jumlah kuadrat bilangan yang lain, maka merupakan tripel Pythagoras.a. 202 = 400 122 + 162 = 144 + 256

= 400 (sama)maka 12, 20, 16 merupakan tripel Pythagoras.

b. 82 = 64 42 + 72 = 16 + 49 = 65 (tidak sama)

Maka 8, 4, 7 bukan merupakan tripel Pythagoras.

c. 152 = 225 92 + 122 = 49 + 144 = 225 (sama)

Maka 9, 12, 15 merupakan tripel Pythagoras.

Latihan 5. 1. 4, 5, 62. 10, 6, 83. 12, 9, 154. 4, 7, 85. 1, 2, 56. 8, 15, 177. 7, 5, 88. 10, 24, 269. 13, 5, 1210.6, 12, 13

d. Menyelesaiakan soal-soal cerita yang menggunakan teorima Pythagoras.

Contoh soal.

1. Sebuah tangga yang panjangnya 5 m bersandar pada tembok. Jarak ujung bawah tangga terhadap tembok 3 m. Berapakah tinggi ujung atas tangga dari lantai.

2. Sebuah kapal berlayar kearah barat sejauh 80 km, kemudian kerah utara sejauh 60 km. hitunglah jarak kapal sekarang dari tempat semula.Jawab

1. Misal AC = panjang tangga, AB = jarak ujung bawah tangga ke tembok, dan BC = tinggi tembok.AC2 = AB2 + BC2

52 = 32 + BC2

25 = 9 + BC2

25 – 9 = BC2

16 = BC2

BC = BC = 4

Jadi tinggi ujung tangga dari lantai adalah 4 m

2. Misal kapal berlayar dari O kemudian menuju B dan U.OU2 = OB2

Latihan 6 1. sebuah tangga yang panjangnya 4 m bersandar pada sebatang

pohon. Jarak ujung bawah tangga terhadap pangkal pohon 2 m. hitunglah tinggi ujung atas tangga terhadap tanah.

2. seorang anak menaikkan laying-layang dengan benang 130 m. jarak anak tersebut dengan titik di tanah yang tepat dibawah layang-layang adalah 120 m. hitunglah tinggi layang-layang.

3. sebuah kapal berlayar kearah utara sejauh 120 km, kemudian kearah timur sejauh 50 km. hitunglah jarak kapal sekarang dari tempat semula.

4. sebidang sawah berbentuk persegi panjang dengan ukuran 40 m x 30 m, sepanjang diagonalnya dibuat parit dengan biayanya 500 / m

A B

C

OB

U

BANK SOAL TEORIMA PYTHAGORAS

1. Yang merupakan Tripel Pythagoras adalah ....a. 2, 3, 4 c. 7, 4, 8b. 4, 5, 6 d. 12, 16, 20

2. Tripel dibawah ini yang merupakan Tripel Pythagoras adalah....a. 6, 9, 10 c. 15, 21, 23b. 12, 13, 17 d. 15, 20, 25

3. Di antara segitiga-segitiga berikut yang bukan merupakan segitiga siku-siku adalah ....a. Segitiga ABC, yang panjang sisi-sisinya 6 cm, 8 cm, 10 cm.b. segitiga DEF, yang panjang sisi-sisinya 5 cm, 12 cm, 13 cm.c. segitiga GJI, yang panjang sisi-sisinya 9 cm, 12 cm, 15 cm.d. segitiga DEF, yang panjang sisi-sisinya 12 cm, 13 cm, 17 cm.

4. Sebuah balon udara melayang pada ketinggian 7.875 m di atas permukaan laut. Tepat di bawahnya sebuah kapal selam berada pada kedalaman 1.576 m. Jarak keduanya adalah ....ma. 6.300 c. 9.300b. 6.452 d. 9.452

5. Perhatilan gambar berikut! Teorema Pythagoras yang berlaku pada segitiga di samping adalah …a. (AB)2 = (AC)2 – (BC)2

b. (AB)2 = (AC)2 + (BC)2

c. (AC)2 = (AB)2 + (BC)2

d. (BC)2 = (AC)2 – (AB)2

6. Sebuah tangga disandarkan pada tembok yang tingginya 4 meter. Jika jarak kaki tangga dengan tembok 3 meter, maka panjang tangga adalah ….meter

a. 5 c. 6b. 5,3 d. 7

7. Perhatikan gambar di samping! Panjang AC = ….a. 9 cmb. 18 cmc. 24 cmd. 32 cm

A B

C

AB

C