2. Pd Bernouli Etc
description
Transcript of 2. Pd Bernouli Etc
PD orde 1: PD BERNOULI
Bentuk PD Bernoulli:
(Mirip bentuk umum metode FI tanpa yn (kuliah minggu lalu)
Metode FI :
Salah satu strategi yang mudah dalam penyelesaian PD Bernoulli adalah mengubah ke bentuk FI
Hal ini dilakukan dengan menghilangkan suku yn dari sebelah kanan tanda “sama dengan” dgn membagi dgn yn, menjadi:
................(a)
Ambil pemisalan z=y1-n
dz=(1-n) y-n dy
dz/(1-n) = y-n dy ...............(b)
subtitusi (b) ke (a) maka:
Atau dz/dx + (1-n) P(x) z = Q(x) (1-n) ........(c)
Atau dz/dx + R(x) z = T(x) ..................(d)
Dengan R(x)= (1-n) P(x) dan T(x)= Q(x) (1-n)
Pers. (d) dpt diselesaikan dengan metode FI
Contoh:
Seleaikan PD Bernouli berikut xy – dy/dx = y4exp(-3x2/2)
Jawab:
xy – dy/dx = y4exp(-3x2/2) atau dy/dx - xy = -y4exp(-3x2/2)
dibagi y4 mjd:
(y-4) dy/dx - x/y3 = -exp(-3x2/2) ….......…pers. (j)
misal z=1/y3=y-3…maka dz=-3y-4dy atau dz/(-3)=y-4dy ........ (k)
subtitusi pers (k) ke (j)
(-1/3) (dz/dx) - x z = -exp(-3x2/2)
Atau (dz/dx) + 3 x z = 3 exp(-3x2/2)
…..….sdh memenuhi standard utk diselesaikan dgn metode FI
silahkan diteruskan……(Latihan)
Jawab:
(dz/dx) + 3 x z = 3 exp(-3x2/2)
Dalam kasus ini maka sebagai α(x) adalah α(x)=3x dan f(x)= 3 exp(-3x2/2)
sehingga:
Masukkan ke formula
sehingga penyelesaiannya adalah:
PD RICCATI
Bentuk PD Riccati:
(bentuk PD non-linier orde pertama)
Atau bila didekatkan ke susunan FI:
(bentuk umum mirip sususan metode faktor integral dgn penambahan suku P(x)y2).
Atau mirip PD bernouli dengan penambahan suku R(x)
Bentuk PD Riccati yg seringkali muncul pada bidang engineering adalah kasus dimana P(x)=-1, membentuk:
…………………..(m)
Penyelesaian PD nonlinier Riccati dilakukan dengan mengubah PD menjadi BENTUK LINIER dengan substitusi:
...............(o)
………………..(n)
Subtitusi pers (n) dan (o) ke pers (m)
dikali u mjd:
Ini PD orde 2 LINIER
Bentuk PD orde 2 dan orde lebih tinggi akan dibahas pada materi-materi kuliah selanjutnya
PD ORDE 1 DENGAN KOEFISIEN LINIER
(PD TIDAK HOMOGEN)
Bentuknya dapat ditulis:
Atau:
Jelas terlihat merupakan PD non homogen akibat c dan γ yg sendirian (konstanta).
Penyelesaiannya dilakukan dengan meng-homogenkan persamaa tsb dengan cara menghilangkan konstanta c dan γ, caranya adalah dengan memisalkan:
dengan adalah konstanta-konstanta baru
Sehingga:
………….(s)
Selanjutnya bagaimana menentukan ?Dari (s) dapat diuraikan mjd:
konstanta baru:
……………………….(p)
………………………..(q)
Dari (p) diperoleh
Dengan mensubstitusi ke pers (q) maka diperoleh:
dengan
jika ini disubtitusi ke pers (s)
...............(s)
pada akhirnya akan terbentuk PD homogen
Lalu dibentuk ke menjadi
yang dapat diselesaikan secara langsung dengan pemisalan kedua yaitu z=u/v spt kasus PD homogen pada kuliah sebelumnya
untuk lebih jelas lihat contoh berikut:
Contoh:
Selesaikan (2x+3y+1) dx – (x+2y+2)dy=0
Jawab:
PR1.
BAGAIMANA UTK KASUS BILA
a b
Contoh
(x+y)dx + (3x+3y-4)dy = 0
Jawab:
PR 2 Selesaikan di rumah......
PD ORDE 1 DERAJAT 2
Orde dari PD tergantung pada turunan tertinggi, sedangkan derajatnya berhubungan dengan pangkatnya
Contoh PD orde 1 dan pangkat (derajat) 2:
Atau dpt ditulis:
PR.3. Selesaikan (2x+y-1)dy-(4x-y+7)dx=0