150828738-setengah-putaran

7/24/2019 150828738-setengah-putaran

http://slidepdf.com/reader/full/150828738-setengah-putaran 1/12

MAKALAH GEOMETRI

TRANSFOR MASI

MATERI

SETENGAH PUTARAN

DISUSUN OLEH :

Nama : Bing Ahmad (4006071

B!di S!"#i$n% (4006077

&hand#a (40071'

)*$$i A+$!#, (40071-1

M*+ia Sa#"i.a (4007146

Rahma/a"i (40061'1

ah%n% (4007

Program Studi :

2!+ian"i

Pend. Matematika

(4006066

Dosen Pengampu : Fadli, S.Si

SEOL!H "IN##I E#U$U!N D!N ILMU PENDIDI!N

PE$S!"U!N #U$U $EPU%LI INDONESI! (STKIP3

PGRI LUBUKLINGGAU

"!HUN !&!$!N '(()*'(+(



SETENGAH PUTARAN

etentuan:

Suatu inolusi adala-n suatu setenga- putaran mengelilingi titik. Suatu

setenga- putaran menerminkan setiap titik /idang pada se/ua- titik tertentu.

Ole- karena itu, setenga-n putaran 0uga dinamakan penerminan pada suatu titik

atau re1leksi pada suatu titik.

S!2E3F

!

E

De1inisi:

S!2F3

Se/ua- setenga- putaran pada suatu titik ! adala- suatu padanan 2pasangan3 S!

4ang dide1inisikan untuk setiap titik pada /idang se/agai /erikut :

+. !pa/ila P ! maka S!2P3 5 P6se-ingga ! titik tenga- ruas garis

'. S!2P3 5 !

PP 6

7onto- Soal:

+. Di/erikan !, % dan 7 adala- titik8titik pada /idang eluid 9 dan ! adala-

titik tenga-, lukisla-:

a3 "itik D se-ingga D 5 S!2%3

/3 "itik 7 se-ingga 7 5 S!2E3

Pen4elesaian:

!

+(

Menurut de1inisi % !, maka S! 2%3 5 D, dimana D diperole-

perpan0angan %! sepan0ang !% se-ingga ! titik tenga- BD .



T*%#*ma 71

Andai.an A $*5!ah "i"i. dan g dan h d!a ga#i$ ,ang "*ga. +!#!$ ,ang

5*#%"%ngan di A ma.a SA 8 Mg Mh

%ukti :

arena g -, maka kita dapat mem/uat se/ua- sistem sum/u ortogonal

dengan g, se-ingga sum/u ; dan - sne/agai sum/u " dan ! se/agai titik

asal. y

P2 x, y3

xg !

P<28 x, 8 y3-

Harus di/uktikan /a-=a untuk setiap P /erlaku S!2P3 5 Mg . M-. !ndaikan P2 x, y3

! dan andaikan pula /a-=a S!2P3 5 P62 x+, y+3 ole- karena ! titik tenga- PP <

x x y y maka 2(,(3 5 +

,+

se-ingga 2 x+ > x 5 ( dan y+ > y 5 (3 atau x+ 5 8 x'

' '

dan y+ 5 8 y 0adi S! 2P3 5 28 x, 8 y3.

Per-atikan komposisi penerminan

2Mg . M-3 2P3 5 Mg ?M-2P3@

5 Mg ?28 x, y3@

5 28 x, 8 y3

&adi kalau P ! maka

&ika P 5 ! maka

SA(P 8 Mg Mh (P

Mg Mh (P 8 Sg (A 8 A

Sedangkan S!2!3 5 !, 0adi 0uga Mg M- 2!3 5 S!2!3 maka untuk setiap P pada

/idang /erlaku Mg M- 2!3 5 S!2P3, Ini /erarti: Mg M- 5 S!



T*%#*ma 7

9i.a g dan h ga#i$ ,ang "*ga. +!#!$ ma.a Mg Mh 8 Mh Mg

8+

%ukti :

alau P 5 ! maka MgM- 2!3 5 Mg2!3 5 ! 0uga M-Mg 2!3 5 M-2!3 5 !,

se-ingga MgM- 2!3 5 M-Mg 2!3 untuk P !, maka MgM- 5 S! selan0utn4a

M-Mg 2P3 5 M- 2 x, 8 y3 5 28 x, 8 y3 5 S!2P3. &adi M-Mg 5 S! se-ingga diperole-

MgM- 5 M-Mg.

7atatan : %a-=a komposisi penerminan ter-adap dua garis 4ang tegak lurusadala- komutati1.

T*%#*ma 7-

319i.a SA $*"*ngahn !"a#an ma.a SA 8 SA

%ukti :

!ndaikan g dan - dua garis 4ang tegak lurus maka MgM- 5 S! dengan ! titik 8+ potong antara g dan -. &adi 2MgM-3

8+5 M-

8+. Mg

8+5 S! .

Dimana misalkan

2MgM-38+

5 M-8+

. Mg8+

5 S!

Mg 5 Mg

M-8+

5 M-

8+ 8+

"eorema A.B

S! 5 2Mg . M-3

5 M-8+ . Mg8+ teorema A.C ?2" o S38+ 5 S8+ o "8+@

5 M- . Mg teorema A.B Mg8+

5 Mg, M-8+

5 M-

5 Mg . Mg teorema .' M-Mg 5 MgM-

8+&adi, S! 5 Mg . M- 5 S!



T*%#*ma 74

9i.a A 8 (a b dan P ( x y ma.a SA

(P 8 (a : x b : y

P2 x, y3

g!2a, b3

P62 x(, y(3

maka :

Misalkan P6 2 x(, y(3 adala- S!2P3 maka ! pertenga-an * titik tenga- PP 6

! 2a, b3 ⇒ a 5 x x

(

'b 5

y y(

'

'a 5 x > x( 'b 5 y > y(

'a G x 5 x( 'b G y 5 y(

Maka : P6 2'a G x, 'b G y3

&adi : S!2P3 5 2'a G x, 'b G y3

De1inisi : ! dinamakan titik tetap 2inarian3 trans1ormasi " apa/ila /erlaku

"2!3 5 !.

De1inisi : Se/ua- trans1ormasi " 4ang /ersi1at /a-=a se/ua- garis petan4a 0uga

dinamakan kalineasi.De1inisi : Suatu kalineasi ! dinamakan suatu dilatasi apa/ila untuk setiap garis g

/erlaku si1at !2g3 ** g. Sala- satu onto- adala- setenga- putaran.



T*%#*ma 7'

Andai.an SA

$!a"! $*"*ngah !"a#an dan g $*5!ah ga#i$ Aa5i+a A g

ma.a SA(g ;; g<

Pg

g6 5 S!2g3S!2P3 5 P6 S23 5 6

!ndaikan P g6 maka ! titik tenga- ruas PP 6 dengan P6 5 S! 2P3

!ndaikan g6 maka ! titik tenga- ruas garis QQ6 , dengan 6 5 S! 23, maka

!P !P66. Se-ingga PP66 se/ua- 0a0aran gen0ang, ini /erarti /a-=a PQ **

P 6 Q6 , 0adi g ** S! 2g3.

T*%#*ma 76

Ha$i+ .a+i d!a $*"*ngah !"a#an d*ngan !$a"3!$a" ,ang 5*#5*da "ida.

m*mi+i.i "i"i. "*"a

%ukti : !ndaikan ! dan % pusat8pusat setenga- putaran terse/ut.

!ndaikan g 5 AB dan andaikan - dan k garis8garis tegak lurus AB di ! dan di %,

maka /erturut8turut kita perole- :

S! S% 5 2M- Mg3 2Mg Mk3

5 ?2M- Mg3 Mg@ Mk

5 ?M- 2Mg Mg3@ Mk "eorema A.B 5 Mg . Mg 5 I

5 M- I Mk

Ini /erarti tidak memiliki titik inarian



D D D

&ika g dan - dua garis 4ang tegak lurus maka Mg M- 5 M- . Mg

Li-at gam/ar di atas.

%ukti :

alau P 5 ! maka MgM- 2!3 5 Mg2!3 5 ! 0uga M-Mg 2!3 5 M-2!3 5 !,

se-ingga Mg M- 2!3 5 M-Mg 2!3 untuk P !, maka MgM- 5 S! 5 2M- I Mk3 5

M- Mk.

! %

- k

T*%#*ma 77

9i.a A B ada+ah d!a "i"i. ma.a han,a ada $a"! $*"*ngah !"a#an ,ang

m*m*"a.an A .* B

%ukti :

!ndaikan ada dua setenga- putaran SD dan SE se-ingga SD 2!3 5 % dan SE 2!3 5

%. &adi SD 2!3 5 SE 2!3 maka S8+

Se-ingga ! 5 SD ?SE 2!3@.

?SD 2!3@ 5 S8+

?SE 2!3@, maka S8+ 5 SD.

8+((

! +((

D %

T*%#*ma 7=

S!a"! $*"*ngah !"a#an ada+ah $!a"! di+a"a$i ,ang 5*#$i>a" in?%+!"%#i.

%ukti :

!ndaikan P pusat setenga- putaran SP. Harus di/uktikan dua -al :

+. alau g se/ua- garis maka SP 2g3 ** g

'. SP . SP 5 I dengan I trans1ormasi identitas



%

!! P

%SP 2g3 5 g6

+. &elaskan /a-=a SP 2g3 5 g6 suatu garis, andaikan ! g6, % g maka !6 g6,

%6 g6 dan P! 5 P!6 : P% 5 P%6 sedangkan n 2

!P%3 5 n 2 !6P%63

se-ingga P!% P!6%. &adi n 2 %6!6P3, ini /erarti g ** SP 2g3. &adi SP

dise/ut dilatasi.

'. Ole- karena SP . SP 2!3 5 SP 2!63 5 ! untuk setiap titik ! g maka SP . SP 5 I.

Ini /erarti SP /ersi1at innolutorik.

T*%#*ma 7

Aa5i+a T $!a"! "#an$>%#ma$i H him!nan "i"i.3"i"i. dan A $*5!ah "i"i.

ma.a A T(H @i.a dan han,a @i.a T31

(A H.

%ukti :

+. !ndaikan ! "2H3, 0adi ada x H se-ingga ! 5 "2 x3. Maka "8+

2!3 "8+

?"2 x3@ 5 2"8+

. "3 2 x3 5 I 2 x3 5 x. &adi "8+

2!3 H.

'. !ndaikan "8+

2!3 H, ini /erarti /a-=a "?"8+

2!3@ "2H3 atau ! "2H3.



S%a+

+. !pa/ila ! 5 2', B3, tentukanla- :

a3 S!273 apa/ila 7 5 2', B3

/3 S!2D3 apa/ila D 5 28', F3

8+3 S! 2E3 apa/ila E 5 2C, +3

d3 S!2P3 apa/ila P 5 2 x, y3

Pen4elesaian :

a3 Diket : ! 5 2', B3

7 5 2', B3

Ditan4a : S!273 . . . .

&a=a/ :

S!273 5 2'a G x, 'b G y3

! 5 2', B3 5 2a, b3

7 5 2', B3 5 2 x, y3

S!273 5 2'2'3 G ', '2B3 G B3

5 2C 8 , A G B3

5 2', B3

&adi, S!273 5 2', B3

/3 Diket : ! 5 2', B3 5 2a, b3

D 5 28', 3 5 2 x, y3

Ditan4a : S!2D3 . . . .

&a=a/ :

S!2D3 5 2'a G x, 'b G y3

5 2'2'3 G 28'3, '2B3 G 3

5 2C > ', A G 3

5 2A, 8+3

&adi, S!2D3 5 2A, 8+3



3 Diket : ! 5 2', B3 5 2a, b3

E 5 2C, 8+3 5 2 x, y3

Ditan4a : S! 2E3 . . . .

&a=a/ :

S!2E3 5 2'a G x, 'b G y3

5 2'2'3 G C, '2B3 G 28+33

5 2C 8 C, A > +3

5 2(, F3

&adi, S!2E3 5 2(, 3

d3 Diket : ! 5 2', B3 5 2a, b3

P 5 2 x, y3 5 2 x, y3

Ditan4a : S!2P3 . . . .

&a=a/ :

S!2P3 5 2'a G x, 'b G y3

5 2'2'3 G x. x, '2B3 y. y3

5 2C G x', ' G y'3

5 2 x' G C, y

' G A3

'. &ika D 5 2(, 8B3 dan % 5 2', A3 tentukanla- :

a3 SD S% 2%3

/3 SD S% 23 apa/ila 5 2+, 8C3

3 S% SD 2%3

d3 2SD S%38+ 23

e3 SD S% 2P3 apa/ila P 5 2 x, y3

Pen4elesaian :

a3 Diket : D 2(, 8B3

% 2', A3

Dit : SD S% 2%3 . . .



&a=a/ :

SD S% 2%3 5 2'.2(3 G '3, '28B3 G A3

5 2( G ', 8A G A3

5 28', 8+'3

&adi SD S% 2%3 5 28', 8+'3

/3 Diket : D 2(, 8B3

% 2', A3

2+, 8C3

Dit : SD S% 23 . . .

&a=a/ :

SD S% 23 5 2'.2(3 2'3 G +, '28B3 2A3 G C3

5 2(.' G +, 8A 2A3 G C3

5 2( G +, 8BA G C3

5 28+, 8C(3

&adi SD S% 23 5 28+, 8C(3

3 Diket : D 2(, 8B3

% 2', A3

2+, 8C3

Dit : S% SD 23 . . .

&a=a/ :

S% SD 23 5 2'.2(3 2(3 G +, '28B3 2A3 G C3

5 2( G +, 8A 2A3 G C3

5 2G+, 8BA G C3

5 28+, 8C(3

&adi S% SD 23 5 28+, 8C(3

d3 Diket : D 2(, 8B3

% 2', A3

2+, 8C3

Dit : 2SD S%38+

23 . . .



&a=a/ :

2SD

S%38+

23 5 2'.2(3 2'3 G +, '28B3 2A3 G C3

5 2( G +, 8A 2A3 G C3

5 2G+, 8BA G C3

5 28+, 8C(3

2SD S%38+

23 5 28+3, 8C(3

5 2+, 8C(3

&adi 2SD S%38+

23 5 2+, 8C(3

e3 Diket : D 2(, 8B3

% 2', A3

P 2 x, y3

Dit : SD S% 2P3 . . .

&a=a/ :

SD S% 2P3 5 2'.2(3 2'3 G x. x, '28B3 2A3 G y. y3

5 2( G x', 8A 2A3 G y

'3

5 2G x', 8BA G y

'3

&adi SD S% 2P3 5 28 x', 8BA G y

'3

B. &ika % 5 2+, 8B3 tentukanla- :

a3 S%2D3 apa/ila D 5 28B, C3

/3 S%2P3 apa/ila P 5 2 x, y3

Pen4elesaian :

a3 Diket : % 5 2+, 8B3

D 5 28B, C3

Dit : S%2D3 . . .

Di0a=a/ :

S%2D3 5 2' 2+3 G B, ' 28B3 G C3

5 2' G B, 8 A G C3

5 28+, 8+(3

&adi, S%2D3 5 28+, +(3

/3 Diket : % 5 2+, 8B3

P 5 2 x, y3

Dit : S%2P3 . . .

Di0a=a/ :

S%2P3 5 2' 2+3 G x. x, ' 28B3 G y. y3

5 2' G x', 8 A G y'3

150828738-setengah-putaran

Documents

Transcript of 150828738-setengah-putaran