1 Logika Matematik (Handout)

LOGIKA MATEMATIK

Departemen MatematikaFMIPA IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Landasan Matematika: Logika Matematik Bogor, 2012 1 / 35

Topik Bahasan

1 Proposisi, Perangkai Dasar, dan Tabel Kebenaran

2 Proposisi Kompleks

3 Kesetaraan Dua Proposisi

4 Terapan Logika Matematik (Argumen)


Proposisi, Perangkai Dasar, dan Tabel Kebenaran

Proposisi

Definisi (Proposisi)

Proposisi adalah suatu pernyataan yang mempunyai dua kemungkinan nilaikebenaran, yaitu benar atau salah tetapi tidak mungkin keduanya.

Benar↗

Proposisi↘

Salah



ContohManakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang merupakan proposisi?Bila pernyataan tersebut merupakan proposisi, tentukan nilaikebenarannya.

1 IPB terletak di Bogor.

2 Semarang adalah ibukota Jawa Timur.

3 Matematika itu menyenangkan.

4 Itu komputer siapa?

5 a+ 1 = 3.



Notasi untuk Proposisi dan Nilai Kebenaran

Notasi untuk proposisi: huruf kecil (p, q, r, s, t, ...) diikuti tanda ":"dan proposisinya

ContohLambangkan proposisi-proposisi berikut dan tentukan nilai kebenarannya.

1 2 adalah bilangan genap.

2 Bogor adalah ibukota negara Indonesia.

3 (2+ 3)× 4 = (2× 4) + (3× 4).

Catatan: Pada tabel kebenaran, hanya huruf kecil (p, q, r, s, t, ...)yang dituliskan untuk menyatakan suatu proposisiNotasi untuk nilai kebenaran:

Nilai kebenaran Notasi pada tabel kebenaranBenar 1Salah 0



Perangkai Dasar

1 negasi ... (− ...)2 ... dan ... (... ∧ ...)3 ... atau ... (... ∨ ...)4 jika ..., maka ... (... → ...)

5 ... jika dan hanya jika ... (... ↔ ...)

Keterangan: "..." menyatakan suatu proposisi



Klasifikasi Proposisi Berdasarkan Penggunaan Perangkai

tunggal (tanpa perangkai)↗

Proposisi −→ majemuk (dengan satu perangkai)↘

kompleks (dengan dua atau lebih perangkai)



Proposisi Majemuk

Proposisi tunggal(p)

−−−−−−−−−−−−−−−−→+ Perangkai negasi (− ) Proposisi majemuk

(− p)

p↗

Proposisitunggal

−−−−−−−→+ Perangkai

Proposisimajemuk

↘ dan (∧ ) p∧ qq atau (∨ ) p∨ q

jika ..., maka ... (→ ) p→ qjika dan hanya jika (↔ ) p↔ q



Perangkai "Ingkaran" (Negasi)

Definisi (Negasi)

Misalkan p adalah suatu proposisi. Proposisi "ingkaran p" (negasi p)adalah suatu proposisi yang salah jika p benar dan proposisi yang benarjika p salah.

Notasi: −p (dibaca negasi p/ingkaran p/tidak p/bukan p)Tabel Kebenaran

p −p1 00 1



Catatan:

1 Lambangkan proposisi dalam bentuk positif.2 Tidak melambangkan suatu proposisi dan negasinya, dengan hurufyang berbeda.

ContohTentukan dan lambangkan negasi dari proposisi-proposisi berikut,kemudian tentukan nilai kebenarannya.

1 3 adalah bilangan ganjil.

2 1+ 2 = 4.

3 IPB tidak memiliki fakultas hukum.



Perangkai "Dan" (Konjungsi)

Definisi (Konjungsi)

Misalkan p dan q adalah dua buah proposisi. Proposisi "p dan q"(konjungsi p dengan q) adalah suatu proposisi yang bernilai benar jikakedua proposisi p dan q bernilai benar.

Notasi: p∧ q (dibaca p dan q)Tabel Kebenaran

p q p∧ q1 1 11 0 00 1 00 0 0



Catatan: Kata lain yang bisa diartikan sebagai perangkai ∧ adalah:tetapi, walaupun, meskipun, sedangkan, namun.

ContohMisalkan diketahui dua proposisi berikut.p : Penemu telepon adalah Alexander Graham Bell.q : Telinga merupakan alat pendengaran bagi manusia.Nyatakan proposisi-proposisi berikut dalam kalimat verbal, kemudiantentukan nilai kebenarannya.

1 p∧ q

2 −p∧ q

3 −p∧−q



Perangkai "Atau" (Disjungsi)

inklusif↗

Disjungsi↘

eksklusif

Definisi (Disjungsi inklusif)

Misalkan p dan q adalah dua buah proposisi. Proposisi "p atau q"(disjungsi inklusif p dengan q) adalah suatu proposisi yang bernilai benarjika sekurang-kurangnya satu proposisi penyusunnya bernilai benar.

Notasi: p∨ q (dibaca p atau q)



Definisi (Disjungsi eksklusif)

Misalkan p dan q adalah dua buah proposisi. Proposisi "p ataukah q"(disjungsi eksklusif p dengan q) adalah suatu proposisi yang bernilai benarjika salah satu saja dari kedua proposisi penyusunnya yang bernilai benar.

Notasi: p Y q (dibaca p ataukah q)Tabel Kebenaran

p q p∨ q p Y q1 1 1 01 0 1 10 1 1 10 0 0 0



Catatan: Dalam kehidupan sehari-hari, kata hubung yang seringdigunakan untuk menyatakan minimal salah satu dari dua atau lebihpernyataan/alternatif adalah "dan atau", seharusnya yang tepatadalah "atau". Selain itu, kata hubung yang sering digunakan untukmenyatakan hanya salah satu dari dua atau lebihpernyataan/alternatif adalah "atau", seharusnya yang tepat adalah"ataukah".

ContohMisalkan diketahui dua proposisi berikut.p : 4 < 6.q : 4 = 6.Nyatakan proposisi-proposisi berikut dalam kalimat verbal, kemudiantentukan nilai kebenarannya.

1 p∨ q

2 p Y q



Perangkai "Jika ..., maka ..."

DefinisiMisalkan p dan q adalah dua buah proposisi. Proposisi "jika p, maka q"adalah suatu proposisi yang bernilai salah bilamana p bernilai benar dan qbernilai salah.

Notasi: p→ q (dibaca jika p, maka q)p : hipotesis, premis, antesedenq : kesimpulan, konsekuenTabel Kebenaran

p q p→ q1 1 11 0 00 1 10 0 1



Catatan:

1 Hubungan sebab akibat antara hipotesis dan kesimpulan tidak harusselalu ada.

2 Dalam hal proposisi p→ q diajukan sebagai proposisi yang benar danterdapat hubungan antara hipotesis dan kesimpulan, proposisi p→ qdapat diucapkan:

p berimplikasi qp syarat cukup bagi qq syarat perlu bagi pp hanya jika q.

ContohTentukan nilai kebenaran proposisi-proposisi berikut.

1 Jika 22 = 4, maka 24 = 42.

2 Jika 1 < 2 dan 1 > 2, maka 1 = 2.

3 Jika Spanyol bertanding dengan Belanda dalam babak final Piala Dunia2010, maka Spanyol juara Piala Dunia 2010.



Variasi perangkai "jika ..., maka ...":

1 q→ p disebut konvers dari p→ q2 −p→ −q disebut invers dari p→ q3 −q→ −p disebut kontrapositif dari p→ q

ContohTentukan konvers, invers, dan kontrapositif dari proposisi-proposisi berikut,kemudian tentukan nilai kebenarannya.

1 Jika 1+ 2 = 3, maka Padang adalah ibukota Sumatera Utara.

2 Jika IPB terletak di Bogor, maka IPB terletak di Jawa Barat.



Perangkai "Jika dan hanya jika" (jhj)

DefinisiMisalkan p dan q adalah dua buah proposisi. Proposisi "p jika dan hanyajika q" adalah suatu proposisi yang bernilai benar bilamana p dan qmemiliki nilai kebenaran yang sama.

Notasi: p↔ q (dibaca p jika dan hanya jika q)Tabel Kebenaran

p q p↔ q1 1 11 0 00 1 00 0 1



Catatan:

1 Dalam hal proposisi p↔ q benar dan terdapat hubungan antara p danq, proposisi p↔ q dapat diucapkan sebagai "p syarat perlu dan cukupbagi q".

2 Agar p↔ q benar terdapat dua syarat, yaitu p→ q benar dan q→ pbenar.

ContohLambangkan dan tentukan nilai kebenaran proposisi-proposisi berikut.

1 4 bilangan ganjil jhj 3 bukan bilangan genap.

2 Mahasiswa TPB IPB diwajibkan tinggal di asrama jhj IPB memiliki asrama.


Proposisi Kompleks

Proposisi Kompleks

Definisi (Proposisi kompleks)

Proposisi kompleks adalah proposisi yang menggunakan dua atau lebihperangkai.

ContohTentukan nilai kebenaran proposisi-proposisi kompleks berikut.

1 [(p∧ q) ∨ (q↔ r)]→ −r, bilamana p benar, q salah, dan r salah.2 p→ [q∨ (−p∧ r)], bilamana q salah dan r benar.3 [(p→ q) ∧ (−q∨ p)]→ (p↔ q).


Proposisi Kompleks

Klasifikasi Proposisi Berdasarkan Nilai Kebenarannya

1 TautologiProposisi yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinankombinasi nilai kebenaran proposisi-proposisi penyusunnya.Notasi: i

2 KontradiksiProposisi yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinankombinasi nilai kebenaran proposisi-proposisi penyusunnya.Notasi: o

3 KontingensiProposisi yang bukan tautologi dan bukan kontradiksi.


Proposisi Kompleks

ContohGunakan tabel kebenaran untuk memeriksa apakah proposisi-proposisiberikut merupakan tautologi, kontradiksi, ataukah kontingensi.

1 p∧−p2 (p→ q) ∨ p3 [(p→ q) ∧ (q↔ r)]→ (p↔ r)


Kesetaraan Dua Proposisi


Definisi (Kesetaraan logik)

Dua buah proposisi dikatakan setara logik, bila kedua proposisi tersebutmemiliki nilai kebenaran yang sama untuk setiap kombinasi nilai kebenaranproposisi penyusunnya.

Notasi:p = q atau p ≡ q atau p⇔ q(dibaca p setara logik dengan q, selanjutnya hanya akan dibaca psetara dengan q)

ContohGunakan tabel kebenaran untuk menunjukkan bahwa:

1 p→ q = −p∨ q

2 − (p∧ q) = −p∨−q



Dalil-dalil Kesetaraan

Misalkan p, q, dan r adalah sembarang proposisi, i tautologi, serta okontradiksi.

Dalil Keidentikan

1 p∨ o = p2 p∨ i = i3 p∧ o = o4 p∧ i = p

Dalil Kesamakuatan

1 p∨ p = p2 p∧ p = p

Dalil Komplemen

1 p∨−p = i2 p∧−p = o

Dalil Komutatif

1 p∨ q = q∨ p2 p∧ q = q∧ p

Dalil Asosiatif

1 (p∨ q) ∨ r = p∨ (q∨ r)2 (p∧ q) ∧ r = p∧ (q∧ r)

Dalil Distributif

1 p∨ (q∧ r) = (p∨ q) ∧ (p∨ r)2 p∧ (q∨ r) = (p∧ q) ∨ (p∧ r)



Dalil Ingkaran Ganda

1 − (−p) = p

Dalil de Morgan

1 − (p∨ q) = −p∧−q2 − (p∧ q) = −p∨−q

Dalil Penghapusan

1 (p∨ q) ∧ p = p2 (p∧ q) ∨ q = q

Dalil lainnya

1 p→ q = −q→ −p = −p∨ q2 p↔ q = (p→ q) ∧ (q→ p) = (p∧ q) ∨ (−p∧−q)

ContohGunakan tabel kebenaran untuk membuktikan kebenaran dalil-dalilkesetaraan tersebut.


Terapan Logika Matematik (Argumen)


Definisi (Argumen)

Argumen adalah suatu proposisi yang berbentuk

[H1 ∧H2 ∧ ...∧Hn]→ K.

Catatan:1 H1, H2, ..., Hn : hipotesis-hipotesis

K : kesimpulan2 Argumen [H1 ∧H2 ∧ ...∧Hn]→ Kbiasa ditulis:

H1H2...

HnK



Sah[H1 ∧H2 ∧ ...∧Hn]→ K tautologi

↗Argumen

↘Tidak sah

[H1 ∧H2 ∧ ...∧Hn]→ K bukan tautologi



Catatan:

1 Jika suatu argumen sah dan semua hipotesisnya benar, makakesimpulan benar.

2 Untuk memeriksa kesahan suatu argumen dapat digunakan:

tabel kebenaranaturan inferensiametode pohon



ContohPeriksa kesahan argumen-argumen berikut menggunakan tabel kebenaran.

1 Jika hari ini adalah hari proklamasi, maka pemerintahmenyelenggarakan upacara. Ternyata pemerintah tidakmenyelenggarakan upacara. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwahari ini bukan hari proklamasi.

2 Jika Indonesia adalah negara bahari, maka teknologi kelautan diIndonesia berkembang. Kenyataannya teknologi kelautan di Indonesiaberkembang. Jadi dapat disimpulkan bahwa Indonesia adalah negarabahari.



Aturan Inferensia: beberapa argumen yang sah dan sering dijumpaidalam penalaran sehari-hari.

1 Modus Ponenspp→ qq

2 Modus Tollens−qp→ q−p

3 Kaidah Silogismep→ qq→ rp→ r



ContohPeriksa kesahan argumen-argumen berikut menggunakan aturan inferensia.

1 p∨ rp→ q−rq

2 Saya tidak akan gagal dalam ujian Matematika, jika saya belajar.Tidak menonton TV adalah syarat cukup agar saya belajar.Kenyataannya saya gagal dalam ujian Matematika. Oleh karena itudapat disimpulkan bahwa saya menonton TV.



Metode Pohon

Kegunaan: untuk memeriksa kesahan suatu argumenKonsep dasar:

1 Suatu argumen berbentuk implikasi p→ q.2 − (p→ q) = p∧−q.3 p→ q adalah tautologi jika p∧−q adalah kontradiksi.4 Susun suatu pohon dari konjungsi premis (p) dan negasi kesimpulan(−q).

5 Bila semua cabang pohon membentuk kontradiksi, maka argumen sah.6 Bila ada cabang yang tidak membentuk suatu kontradiksi, makaargumen tidak sah.



Prosedur metode pohon

1 Daftarkan semua premis dan negasi kesimpulannya.2 Tuliskan semua proposisi "jika ..., maka ..." dan proposisi "jika danhanya jika" dalam bentuk konjungsi (∧) dan disjungsi (∨).

3 Turunkan salah satu premis atau negasi kesimpulannya.Perangkai ∧: ditulis ke bawah membentuk batang.Perangkai ∨: ditulis ke samping membentuk cabang.

4 Jika ada cabang yang memuat suatu proposisi dan negasinya(kontradiksi), maka cabang tersebut tertutup dan beri tanda (×).

5 Lanjutkan langkah 3 bila masih ada cabang yang belum tertutup danbelum semua proposisi pada langkah 1 diturunkan.

6 Hentikan proses bila semua cabang sudah tertutup atau semuaproposisi pada langkah 1 sudah diturunkan.

7 Argumen sah jika semua cabang tertutup.8 Argumen tidak sah jika terdapat sekurang-kurangnya satu cabang yangtidak tertutup.



ContohPeriksa kesahan argumen-argumen berikut menggunakan metode pohon.

1 p∨ rp→ q−rq

2 Jika harga seragam sekolah menurun, maka permintaan terhadapseragam sekolah meningkat. Jika sekarang bukan akhir masa liburansekolah, maka permintaan terhadap seragam sekolah sedang tidakmeningkat. Kenyataanya sekarang adalah akhir masa liburan sekolah.Jadi dapat disimpulkan bahwa harga seragam sekolah sedangmenurun.


1 Logika Matematik (Handout)

Documents

Transcript of 1 Logika Matematik (Handout)