09E02719.pdf

Helmy Iskandasyah : Analisis Respon Spektrum Pada Bangunan Yang Menggunakan Yielding Damper Akibat GayaGempa, 2009.

Analisis Respon Spektrum Pada Bangunan Yang Menggunakan Yielding Damper

Akibat GayaGempa

Tugas Akhir

Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi Syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil

Disusun oleh:

HELMY ISKANDARSYAH 04 0404 046

SUB JURUSAN STRUKTUR

DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN

2009


ABSTRAK

Kerusakan bangunan akibat gempa secara konvensional dapat dicegah dengan memperkuat struktur bangunan terhadap gaya gempa yang bekerja padanya. Namun, hasil ini sering tidak memuaskan karena kerusakan elemen baik struktural maupun nonstruktural umumnya disebabkan adanya perbedaan simpangan antar tingkat (interstory drift). Untuk memperkecil interstory drift dapat dilakukan dengan memperkaku bangunan dalam arah lateral. Tetapi , hal ini akan memperbesar gaya gempa yang bekerja pada bangunan. Metode yang lebih baik adalah dengan meredam energi gempa sampai pada tingkat yang tidak membahayakan bangunan. Sejalan dengan perkembangan teknologi bahan/sistem untuk anti gempa, telah ditemukan bahan anti seismik (seismic device) yang disebut juga dengan Damper dalam hal ini yaitu Yielding Damper. Metode perencanaan struktur tahan gempa dapat dibagi menjadi dua, yaitu metode konvensional yang mengutamakan bentuk-bentuk struktur yang kaku dan daktailitas yang yang tinggi metode teknologi dengan menambahkan alat-alat seismic devices ke struktur.

Yielding damper / metallic yielding damper bekerja dengan mendissipasi energi melalui pelelehan bahan damper yaitu adalah pelat lentur, yaitu jenis damper dengan dissipasi energi melalui lenturaan pelat. Hubungan gaya dan displacement pelat damper. Pada tugas akhir ini akan digunakan metode respon spektrum dengan bantuan perhitungan program SAP 2000 versi 11. Pada analisa ini akan diperoleh nilai perioda getar struktur, displacement, momen, gaya lintang, dan gaya normal. Dimana struktur yang digunakan adalah struktur baja profil WF. Struktur yang dianalisa adalah struktur konvensional, dengan menggunaka bracing dan yielding damper. Dimana, struktur dengan menggunakan yielding damper ini dapat memperkecil periode getar struktur bangunan dibandingkan kedua struktur lainnya. Sehingga simpangan antar struktur akan menjadi lebih kecil dan struktur akan lebih aman. Perbandingan periode getar, gaya gaya yang bekerja (momen, gaya lintang (geser), gaya normal dan simpangan pada struktur dengan menggunakan yielding damper yang didapatkan dari hasil analisa akan akan memperoleh maksimal 38.02 % atau sampai 40% lebih kecil bila dibandingkan dengan struktur konvensional dan struktur dengan menggunakan bracing.


KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji dan syukur kepada Allah SWT, yang telah memberikan

rahmat dan hidayah-Nya hingga selesainya Tugas Akhir ini dengan judul Analisa

Respon Spektrum Pada Bangunan Yang Menggunakan Yielding Damper

Akibat Gaya Gempa

Tugas Akhir ini disusun untuk diajukan sebagai salah satu syarat yang harus

dipenuhi dalam Ujian Sarjana Teknik Sipil Bidang Studi Struktur pada Departemen

Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara (USU). Penulis menyadari

bahwa Tugas Akhir ini yang masih banyak kekurangan. Hal ini disebabkan

keterbatasan pengetahuan dan kurangnya pemahaman penulis. Dengan tangan

terbuka dan hati yang tulus penulis menerima saran dan kritik bapak dan ibu dosen

serta rekan mahasiswa demi penyempurnaan Tugas Akhir ini.

Penulis juga menyadari bahwa selesainya Tugas Akhir ini tidak lepas dari

bimbingan, dukungan dan bantuan semua pihak. Untuk itu, pada kesempatan ini

penulis menyampaikan rasa terima kasih yang tulus dan tidak terhingga kepada

kedua orang tua yang selalu penulis muliakan yang telah memberikan segalanya

hingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahan ini.

Ucapan terima kasih juga penulis ucapkan kepada :

1. Bapak Prof. DR. Ing. Johannes Tarigan, selaku Ketua Departemen Teknik Sipil

Universitas Sumatera Utara.

2. Bapak IR.Teruna Jaya, M.Sc., selaku Sekretaris Departemen Teknik Sipil

Universitas Sumatera Utara.

3. Bapak Ir. Daniel Rumbi Teruna, MT dan Bapak Ir. Robert Panjaitan selaku

pembimbing dan Co- pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu, tenaga


dan pikiran dalam memberikan bimbingan yang tiada hentinya kepada penulis

dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini.

4. Bapak/Ibu Dosen Staf Pengajar Jurusan Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara.

5. Kedua orang tua penulis tersayang yang tak pernah lelah berdoa, memberikan

segala yang terbaik dan kasih sayang yang tak berkesudahan, serta seluruh

saudara-saudara saya semuanya.

6. Rekan rekan mahasiswa Jurusan Teknik Sipil, terutama teman teman

Angkatan 2004,. Adik- adik angkatan 2005, 2006, 2007, dan Abang / kakak

stambuk 2003, 2002, 2001, 2000, terima kasih atas masukan nya selama ini.

Medan, 2009

HELMY ISKANDARSYAH 040404046


DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .. ...................................................................... i

ABSTRAK .. ..................................................................... iv

DAFTAR ISI ...................................... .......................................................... v

DAFTAR NOTASI .. .................................................... xvi

BAB 1. PENDAHULUAN .................................................................. 1

1.1. Latar Belakang.. ............................................ 1

1.2. Permasalahan ............................................................... 2

1.3. Tujuan Penulisan .......................................................... 5

1.4. Pembatasan Masalah .................................................... 5

1.5. Metode Pembahasan .................................................... 6

BAB 2. TEORI DASAR ........................................................................ 7

2.1. Umum .. ............................................. 7

2.2. Karakteristik Struktur Bangunan .................................. 13

2.2.1 Massa ................................................................. 13

2.2.1 Model Lumped Mass ................................ 13

2.2.1 Model Consistent Mass Matrix .................. 14

2.2.2 Kekakuan ............................................................ 15

2.2.3 Redaman ............................................................. 15

2.3. Simpangan Drift Akibat Gaya Gempa .......................... 16

2.4. Derajat Kebebasan (Degree Of Freedom, DOF...............17

2.4.1 Persamaan Differensial pada struktur SDOF ...... 18


2.4.2 Pers. Diferensial SDOF akibat base motion .......... 19

2.4.3 Pers. Diferensial Struktur MDOF ..21

2.4.3.1 Matriks Massa, Matriks Kekakuan dan Matriks

Redaman....21

2.4.3.2 Matriks Redaman..24

2.4.3.3 Non Klasikal / Non Proporsional

Damping... 25

2.4.3.4 Klasikal / Proporsional Damping. 26

2.4.4 Getaran Bebas Pada Struktur MDOF 28

2.4.4.1 Nilai Karakteristik (Eigenproblem)... 28

2.4.4.2 Frekuensi Sudut () dan Normal Modes30

2.4.5 Getaran Bebas Pada Struktur MDOF................ 32

2.4.5.1 Persamaan Difrensial Independen

( Uncoupling).32

2.4.5.2 Getaran Bebas Tanpa Redaman..37

2.4.5.3 Getaran Bebas Dengan Redaman...40

2.4.5.4 Persamaan Difrensial Dependen

( Coupling).42

2.4.5.5 Penyelesaian Persamaan Difrensial

Gerakan..43

2.4.5.6 Metode - Newmark...43

2.4.6 Persamaan Difrensial Struktur MDOF Akibat Base

Motion 46

2.5. Respon Spektrum ......................................................... 48


2.5.1 Modal amplitude Zj dan modal displacement uj.51

2.5.2 Modal Seismic Force Fj ....................................... 54

2.5.3 Modal story Shear Vij .......................................... 56

2.5.4 Modal story Drift, i ............................................. 57

2.5.5 Modal Lateral Displacement ................................. 57

2.5.6 Modal Overtuning Moment ................................. 57

2.5.7 Modal Base Shear Vi ........................................... 58

2.5.8 Modal Effective Weight ....................................... 58

BAB 3. Analisa Metallic Yielding Damper Pada Bangunan...................60

3.1. Umum. ............................ 60

3.2. Konsep perencanaan struktur tahan gempa..61

3.3. Peran Damper Terhadap Getaran..63

3.4 Metallic Yielding Damper ....................................64

3.5. Kekakuan Dan Daktailitas Pelat Damper ...................68

3.5.1 Daktailitas Bahan Pelat.........................69

3.5.2 Pengaruh Bentuk Pelat.........................................71

3.6 Model Analisa Damper Terhadap Suatu Bangunan 78

3.7 Pengaruh Damping Terhadap Response Spektrum

Gempa84

3.8 Aplikasi Yielding Damper Pada Bangunan...86

BAB 4. APLIKASI............................. ..................................................... ..88

4.1. Pendahuluan. ........................................................... ..88

4.2. Pengerjaan Model Struktur. ..................................... ..89

4.2.1. Pemodelan Struktur89


4.2.2. Pembebanan Pada Struktur90

4.3. Prosedur Perencanaan Bangunan Tahan Gempa Dengan

MetallicYielding Damper......................................................95

4.4. Prosedur Analisa SAP 2000 Versi 11..97

4.5 Analisa Data Struktur Bangunan...105

4.5.1. Analisa Struktur Bangunan Biasa (Konvensional)..105

4.5.2. Analisa Struktur Bangunan Dengan

Menggunakan Bracing..107

4.5.3. Analisa Struktur Bangunan Dengan Damper.109

4.6. Hasil Analisa Momen , Gaya Lintang , Dan Gaya Normal112

4.6.1. Hasil Analisa Pada Struktur Biasa Pada Balok112

4.6.2. Hasil Analisa Pada Struktur Dengan

Menggunakan Bracing Pada Balok...114


Menggunakan Damper Pada Balok115

4.6.4. Hasil Analisa Pada Struktur Biasa Pada Kolom......117

4.6.5. Hasil Analisa Pada Struktur Dengan.

Menggunakan Bracing Pada Kolom..118


Menggunakan Damper Pada Kolom...............120

4.7. Perbandingan Gaya-Gaya Maksimum Struktur Biasa Dengan

Struktur Dengan Menggunakan Yielding Damper..121

4.7.1.Perbandingan Gaya-Gaya Maksimum Pada


Balok Struktur Biasa Dengan Struktur

Dengan Menggunakan Yielding Damper121

4.7.2.Perbandingan Gaya-Gaya Maksimum Pada Kolom

Struktur Biasa Dengan Struktur Dengan Struktur

Menggunakan Yielding Damper.....122

4.8. Perbandingan Gaya-Gaya Maksimum Struktur Menggunakan

Bracing Dengan Struktur Dengan StrukturYang Menggunakan

Yielding Damper123

4.8.1. Perbandingan Gaya-Gaya Maksimum Pada Balok ..123

4.8.2 .Perbandingan Gaya-Gaya Maksimum Pada Kolom..124

4.9. Kinerja Batas Layan Pada Struktur Bangunan Dengan Atau

pun Tanpa Menggunakan Metallic Yielding Damper125

4.9.1. Kinerja Batas Layan Untuk Struktur Bangunan

Biasa (Konvensional).125

4.9.2. Kinerja Batas Layan Untuk Struktur Bangunan

Dengan Menggunakan Bracing127..

4.9.3. Kinerja Batas Layan Untuk Bangunan

Yang Menggunakan Yielding Damper..128

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN.................................................. ...133

5.1. Kesimpulan ..............................................................................133.

5.2. Saran .................................................................. ...135


DAFTAR NOTASI

b lebar pelat damper

h tinggi pelat damper

ccr damping kritis ( critical damping gaya lateral pelat )

g gravitasi sebesar 980 cm/detik2

cd konstanta damping dari damper

m Massa

k Kekakuan

k1 kekakuan awal ( jumlah kekakuan struktur dan kekakuan

damper)

k2 kekakuan struktur

kd kekakuan damper

kdp kekakuan damper pelat

kp kekakuan pelat

kpe kekakuan pelat keadaan elastic

kpp kekakuan pelat keadaan plastis

fp gaya lateral pelat

u Simpangan

up deformasi pelat

upy deformasi pelat keadaan permulaan leleh

um simpangan maksimum keadaan leleh

ue simpangan maksimum keadaan elastic

uy simpangan permulaan leleh


u(t) simpangan pada waktu t

u(0) simpangan pada waktu t =0

v(0) kecepatan awal pada waktu t = 0

E modulus elastika bahan pelat

Ed dissipasi energi getaran akibat damping

Ehys dissipasi energi dari pelelehan bahan struktur

F gaya dalam struktur

Fd gaya damping

I momen inersia pelat

t tebal pelat damper

Mp momen pelat diujung atau di tumpuan

Mpy momen pelat saat serat paling ujung mulai meleleh

Mpp momen plastis pelat

H tinggi bangunan

SDOF Single Degree Of Freedom

Sa percepatan spectral response gempa

Sa5 percepatan spectral response gempa zone 5 SNI

Sv kecepatan spectral response gempa

Sv5 kecepatan spectral response gempa zone 5 SNI

Sd simpangan spectral response gempa

Sd5 simpangan spectral response spektrum gempa zone 5

T waktu getar

T1 waktu getar awal struktur dengan damping

Te waktu getar model pengganti equivalent


d perbandingan kekakuan damper dengan kekakuan struktur

)( factor damping

daktilitas bahan pelat

tegangan pelat

y tegangan leleh bahan pelat

persen damping

,,u Percepatan getaran

,,u g Percepatan gerakan tanah

,u kecepatan getaran


BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Gempa bumi merupakan suatu gerakan tiba tiba dari tanah yang berasal dari

gelombang pada suatu tempat dan menyebar dari daerah tersebut ke segala arah.

Gempa bumi dalam hubungannya dengan suatu wilayah berkaitan dengan gerakan

muka bumi dan pengaruhnya terhadap daerah yang bersangkutan. Masing masing

daerah mempunyai prilaku yang berbeda terhadap gempa, karena tiap daerah

mempunyai bentuk maupun jenis wilayah yang berbeda.

Pada perencanaan bangunan, parameter gempa bumi yang langsung

mempengaruhi perencanaan adalah percepatan tanah yang ditimbulkan gelombang

seismic yang bekerja pada massa bangunan. Kedalaman pusat gempa bumi, jarak

episenter ke daerah yang dituju, sistem pondasi, massa dan geometri bangunan dan

lain sebagainya.

Seperti yang dijelaskan tadi pengaruh gempa juga tergantung daerah/wilayah

yang mengalami gempa. Untuk wilayah Indonesia dibagi dalam 6 (enam) wilayah

gempa dengan masing-masing tingkat kerawanan terjadinya gempa dan wilayah

Indonesia merupakan wilayah yang sering dilanda gempa karena terletak pada 4

(empat) lempeng tektonik yaitu lempeng Australia-India, lempeng Euro-Asia,

lempeng Pasifik dan Philipine. Gempa bumi tidak mungkin di cegah dan sulit sekali

di ramalkan kapan terjadi, dimana lokasinya dan berapa magnitudenya. Jadi yang


harus dilakukan adalah bagaimana mengatasi atau memperkecil pengaruh kerusakan

yang ditimbulkan oleh gempa bumi pada suatu struktur bangunan.

Kerusakan bangunan akibat gempa secara konvensional dapat dicegah dengan

memperkuat struktur bangunan terhadap gaya gempa yang bekerja padanya. Namun,

hasil ini sering tidak memuaskan karena kerusakan elemen baik struktural maupun

nonstruktural umumnya disebabkan adanya interstory drift (perbedaan simpangan

antar tingkat). Untuk memperkecil interstory drift dapat dilakukan dengan

memperkaku bangunan dalam arah lateral. tetapi , hal ini akan memperbesar gaya

gempa yang bekerja pada bangunan. Metode yang lebih baik adalah dengan

meredam energi gempa sampai pada tingkat yang tidak membahayakan bangunan.

Sejalan dengan perkembangan teknologi bahan/sistem untuk anti gempa, telah

ditemukan bahan anti seismik yang disebut juga dengan Damper dalam hal ini yaitu

Yielding Damper.

1.2 Permasalahan

Yielding damper ini dipasang pada struktur bangunan baja, karena alat ini

diletakkan antara balok suatu struktur dan struktur pengaku (Braced Frame).

Yielding damper adalah suatu sistem unik yang mengkombinasikan regangan dan

kekakuan rangka (kekakuan baja) dengan karakteristik momen.Yielding Damper

bekerja pada daerah yang mengalami leleh pada struktur rangka pengaku, baik pada

pengakunya ataupun pada link pada struktur rangka pengaku. Anti seismik yielding

damper ini erat kaitannya dengan rangka pengaku karena alat ini diletakkan di atas

pada eksentrisitas brace frame (link) maupun pada pengakunya. Karena elemen

inilah yang menerima gaya lateral yang paling besar dari struktur. Sehingga elemen


ini harus mendapat perhatian yang lebih khusus, dalam hal perencanaannya. Oleh

sebab itu, untuk daerah tersebut perlu disiasati agar tidak terjadi deformasi yang

terlalu besar atau melebihi kapasitas terhadap gaya gempa.

Yielding Damper ini dapat berupa Added Damping and Stiffness Damper

(ADAS Damper) dan Reinforced Buckling Restrained Brace Damper (RBRB

Damper) yang memiliki system yang memberikan kekakuan untuk mereduksi respon

akibat gempa dari perpindahan lateral, bahaya tingkat, dan torsi dari struktur

bangunan selama gempa terjadi. Damper ini juga menghamburkan kapasitas energi

maksimum saat puncak energi akibat gaya gempa pada struktur. Yielding damper

sudah dapat digunakan pada suatu struktur dengan struktur pengaku seperti yang

telah dijelaskan di atas. Damper ini terdiri dari bahan campuran baja murni sesuai

dengan peraturan building code di Taiwan. Metalic Yielding Damper adalah Sistem

alat anti gempa atau Seismic device.Seismic devices bekerja dengan merubah

kekakuan, damping dan menambah massa ke struktur. Yielding damper disebut juga

hysterestic-yield damper bekerja dengan mendissipasi energi melalui pembentukan

sendi plastis atau pelelehan bahan damper, Yielding damper yang dibahas dalam

tugas akhir ini adalah damper pelat dengan kekakuan bi-linier , yaitu jenis damper

dengan dissipasi energi melalui pelelehan lenturan pelat.

Untuk yielding damper yang diletakkan pada struktur pengaku baik pada link

ataupun pada struktur pengaku, karena bila terjadi gaya yang sangat besar pada

struktur, maka yang akan mengalami deformasi hanya elemen linknya saja dan

bagian leleh pada struktur pengaku. Maka yielding damper ini efektif digunakan

untuk gaya gempa yang melebihi kapasitas bangunan hanya dengan struktur pengaku

tanpa damper.


Damper atau disebut sistem anti seismic, merupakan suatu system yang kuat

untuk perencanaan bangunan. Sebaiknya bangunan yang mempunyai kapasitas

tahanan terbatas terhadap gempa bumi setelah menggunakan struktur pengaku

merupakan bangunan yang semestinya menggunakan damper.

Selama gempa terjadi damper ini meredam energi gempa dengan daktilitas

pada pelat baja dan mereduksi deflection yang berlebihan. Di Taiwan banyak

bangunan menggunakan yielding damper yang mengalami gempa dengan kekuatan

rata-rata 6.5 SR dan damper ini menunjukkan kerja yang baik selama gempa terjadi

tanpa ada kerusakan berarti. Pemasangan, perawatan, dan pengamatan terhadap

damper ini termasuk mudah.

Dalam perencanaan bangunan, beban akibat gempa sangat diperhitungkan

dalam analisanya sehingga walaupun bangunan tersebut terkena gempa tidak

langsung rubuh melainkan timbul keretakan yang akan memperkecil korban jiwa.

Pada analisa beban gempa sangat tergantung kepada struktur dari bangunan tersebut

dimana bentuk dari denah dan ketinggian bangunan tersebut adalah factor utama

dalam memperhitungkan gaya akibat dan guncangan gempa tersebut. Oleh sebab itu,

bila telah direncanakan bangunan dengan struktur pengaku masih tidak aman maka

solusi yang dianjurkan adalah dengan yielding damper untuk mereduksi gaya gempa

dan deformasi yang bias mengakibatkan kerusakan pada struktur yang menyebabkan

bangunan rubuh.

Untuk itu analisa yang dipakai dalam menganalisis struktur bangunan tersebut

adalah Analisa Respon Spektrum yang akan memperhitungkan pengaruh torsi,

momen dan perpindahan pusat massa dari pusat kekakuan. Analisis respon spectrum

adalah analisa yang akan memberikan suatu diagram yang akan memberikan


hubungan antara percepatan respon maksimum suatu system satu derajat kebebasan

(SDK) akibat suatu masukan gempa tertentu sebagai fungsi dari faktor redaman C

dan waktu getar alami T sistem tersebut. Perhitungan gaya gempa yang

menggunakan ragam respon spectrum bahwa gempa rencana akan dikalikan dngan

faktor koreksi gempa I/R, dimana I adalah factor reduksi gempa representative dari

struktur gempa yang direncanakan. Dalam hal ini, jumlah ragam vibrasi yang ditinjau

dalam penjumlahan respon ragam menurut metode ini sedemikian rupa.

1.3 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan dari tugas akhir ini adalah:

1. Menghitung respon struktur bangunan dimana struktur yang dianalisa adalah

struktur biasa (konvensional), struktur dengan bracing, dan struktur dengan

menggunakan damper dalam hal ini adalah Yielding Damper.

2. Menghitung momen, gaya lintang, gaya normal, displacement atau

perpindahan antar lantai akibat gaya gempa pada bangunan tersebut

3. Untuk mengetahui efektifitas damper pada struktur bangunan dengan

membandingkan struktur biasa (konvensional), struktur dengan bracing, dan

struktur dengan menggunakan damper dalam hal ini adalah Yielding Damper.

1.4 Pembatasan Masalah

Yang menjadi batasan masalah adalah:

1. Analisa gaya gempa berdasarkan analisa respon spektrum dari SNI 03-1726-

2002.

2. Struktur berada pada wilayah gempa 5 Indonesia.


3. Material struktur yang digunakan adalah material baja dengan material

struktur yang digunakan adalah profil baja WF.

4. Damper yang digunakan adalah yielding damper dengan jenis metallic

yielding damper bentuk X.

5. Bangunan yang ditinjau bangunan bertingkat 5.

6. design struktur dihitung oleh struktur olh program SAP 2000 versi 11

1.5 Metode Pembahasan

Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah studi literatur

yaitu dengan mengumpulkan data-data dan keterangan dari literatur yang

berhubungan dengan pembahasan pada tugas akhir ini serta masukan dari dosen

pembimbing. Penganalisaan struktur dilakukan dengan program komputer yaitu

Program SAP 2000 versi 11 untuk mempercepat perhitungan.


BAB 2

TEORI DASAR

2.1 Umum

Getaran sering dirasakan oleh manusia pada kehidupan sehari-hari. Suatu

benda akan bergetar apabila terdapat sumber energi yang diteruskan sampai ke benda

yang bersangkutan. Gempa bumi misalnya, walaupun tidak termasuk kejadian sehari-

hari juga dapat menimbulkan getaran. Energi mekanik akibat rusaknya struktur

batuan pada peristiwa gempa bumi selanjutnya akan diubah menjadi energi

gelombang yang menggetarkan batuan sekelilingnya. Getaran batuan akibat gempa

bumi selanjutnya diteruskan oleh media tanah sampai pada permukaan tanah. Tanah

yang bergetar akibat gempa akan mengakibatkan bangunan yang berada di atas tanah

ikut bergetar. Kerusakan bangunan sering terjadi akibat peristiwa gempa bumi seperti

ini, khususnya pada daerah-daerah tertentu.

Gempa bumi merupakan salah satu bagian daripada jenis beban yang dapat

membebani struktur selain beban mati, beban hidup dan beban angin. Beban gempa

memang tidak selalu diperhitungkan dalam perencanaan atau analisa struktur.

Namun bagi struktur yang dibuat pada suatu lokasi dimana gempa bumi dapat terjadi

maka analisa ini harus dibuat.

Besarnya tingkat pembebanan gempa berbeda-beda dari suatu wilayah ke

wilayah lain tergantung pada keadaan seismotektonik geografi dan pada geologi

setempat. Analisa gempa terutama pada bangunan perlu dilakukan karena

pertimbangan. Kerusakan bangunan akibat gempa bumi dapat diantisipasi dengan


beberapa metode, baik secara konvensional maupun secara teknologi sekarang ini

para ahli telah menemukan sistem seismic devices.

Seismic devices bekerja dengan merubah kekakuan, damping dan menambah

massa ke struktur. Salah satu system seismic device adalah dengan menggunakan alat

yielding damper disebut juga hysterestic-yield damper bekerja dengan mendissipasi

energi melalui pembentukan sendi plastis atau pelelehan bahan damper, Yielding

damper yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah damper pelat dengan kekakuan bi-

linier , yaitu jenis damper dengan dissipasi energi melalui pelelehan lenturan pelat.

Bila gaya yang bekerja pada damper adalah gaya siklik atau gempa, hubungan gaya

dan simpangan akan berbentuk loop jajaran genjang yang disebut juga dengan

hysteristic loop. Luas hysteristic loop merupakan energi yang didissipasi oleh

damper . Struktur yang memakai metallic damper akan merubah persamaan dinamis

menjadi persamaan non-linier, Untuk menghindari kesulitan perencanaan dengan

metode riwayat waktu gempa yang lebih kompleks dan memerlukan waktu yang

lebih lama , dipakai model pendekatan linier viscous damping untuk menggantikan

model non-linier . Model pengganti linier equivalent tersebut memakai konsep

equivalent viscous damping dengan menyamakan luas loop bilinier dengan luas loop

bentuk ellips dari linier viscous damping. Dari hasil analisa, respons simpangan

model pengganti equivalent tidak selalu memberikan hasil yang sama dengan model

dinamis non-linier, untuk itu dipakai faktor koreksi untuk menyamakan atau

mendekati kedua hasil perhitungan dalam batas toleransi tertentu.

Gaya gempa tidak dapat diprediksi kapan datangnya, sehinga ketika gempa

menimpa struktur bangunan maka ada hal yang dapat dilihat. Bangunan itu tetap

kokoh tanpa ada korban jiwa, bangunan rusak tanpa ada korban jiwa, dan bisa juga


bangunan rusak serta terdapat korban jiwa. Gaya gempa adalah goncangan alamiah

bersumber bumi. Goncangan alamiah yang mengguncang bumi beserta apa saja yang

ada di atasnya pada hakekatnya adalah perambatan energi berwujud gelombang.

Energi yang merambat di dalam bumi atau lapisan tanah atau di dalam air laut

menciptakan goncangan pada bumi yang di kenal gempa bumi atau tsunami. Pada

dasarnya telah diketahui bahwa bagian permukaan bumi kita ini terdiri dari lempeng-

lempeng bumi yang disebut lempeng tektonik (tectonic plate). Oleh energi yang

terdapat di dalam bumi (hotspot, arus konveksi dll.), lempeng-lempeng itu

digerakkan satu dengan lainnya. Lempeng-lempeng tektonik tadi bergerak satu

terhadap lainnya dengan kecepatan antara 2 cm/tahun sampai 15 cm/tahun.

Pergerakkan lempeng-lempeng itu ada yang saling menjauh (berpisah), ada yang

saling berpapasan berlawanan arah. Ada pula yang saling bertemu atau bertubrukkan.

Semua jenis pergerakkan lempeng tektonik telah menciptakan daerah bergempa,

yang berbeda adalah kekuatan gempa yang tersimpan di dalam bumi pada batas-batas

pertemuan lempeng bumi itu. Energi gempa yang paling besar terdapat pada batas

pertemuan atau perbenturan lempeng tektonik. Energi yang tersimpan pada jalur

perbenturan lempeng bumi itu telah menimbulkan gempa bumi besar. Proses tekan

menekan dan desak mendesak diantara massa bumi pada lempeng-lempeng tektonik

telah menciptakan pengumpulan dan penimbunan energi di dalam bumi. Jangka

waktu proses penimbunan dan pelepasan energi yang menimbulkan gempa bumi itu

berlangsung antara 30-600 tahun. Terdapat variasi siklus perulang gempa antara satu

kawasan dengan kawasan lain, ada siklus kejadian gempa bumi 30-50 tahunan, ada

100 tahun, 200 tahun dan 600 tahun. Energi yang terkumpul atau tersimpan di dalam

bumi / massa batuan pada suatu saat tidak mampu lagi ditahan oleh massa bumi dan


akhirnya bumi / batuan itu pecah / remuk / patah atau sobek (rupture). Pada saat

bumi itu remuk atau pecah disaat itulah energi dilepaskan dan bergerak dalam wujud

gelombang. Energi yang bergerak dalam wujud gelombang yang merambat di dalam

tanah di daratan disebut gempa bumi. Dan yang merambat di dalam air laut disebut

tsunami, sedangkan yang merambat di dalam danau disebut seische.

Permasalahan gaya gempa ini berbeda dengan pembebanan- pembebanan

statis, sehingga dalam perhitungannya gaya gempa tidak mempunyai solusi tunggal

seperti pada gaya statis karena respon dan beban berubah menurut waktu.

Besarnya tingkat pembebanan gempa berbeda-beda dari satu wilayah

kewilayah lain, yang tergantung pada keadaan seismetektonik, geografi dan geologi

setempat. Analisa gempa terutama pada bangunan tinggi perlu dilakukan karena

pertimbangan keamanan struktur dan kenyaman penghuni bangunan. Beban gempa

yang terutama dalam arah mendatar akan menimbulkan simpangan (driff) yang perlu

dikontrol.

Dalam perencanaan struktur atau bangunan yang mempunyai ketahanan

terhadap gempa dengan tingkat keamanan yang memadai, struktur yang harus

dirancang dapat memikul gaya horizontal atau gaya gempa. Yang harus diperhatikan

adalah bahwa struktur dapat memberikan layanan yang sesuai dengan perencanaan.

Menurut T. Paulay (1988), tingkat layanan dari struktur gaya gempa terdiri dari tiga,

yaitu:

1. Serviceability.

Jika gempa dengan intensitas percepatan tanah yang kecil dalam waktu ulang

yang besar mengenai struktur, disyaratkan tidak mengganggu fungsi bangunan,

seperti aktivitas normal didalam bangunan dan perlengkapan yang ada. Artinya tidak


dibenarkan ada terjadi kerusakan pada struktur baik pada komponen struktur maupun

dalam elemen non-struktur yang ada. Dalam perencanaan harus diperhatikan control

dan batas simpangan (driff) yang dapat terjadi semasa gempa, serta menjamin

kekuatan yang cukup bagi komponen struktur untuk menahan gaya gempa yang

terjadi dan diharapkan struktur masih berprilaku elastis.

2. Kontrol kerusakan.

Jika struktur dikenai gempa dengan waktu ulang sesuai dengan umur atau,

masa rencana bangunan, maka struktur direncanakan untuk dapat menahan gempa

ringan atau gempa kecil tanpa terjadi kerusakan pada komponen struktur ataupun

maupun komponen non-struktur, dan diharapkan struktur dalam batas elastis.

3. Survival

Jika gempa kuat yang mungkin terjadi pada umur / masa bangunan yang

direncanakan membebani struktur, maka struktur direncankan untuk dapat bertahan

dengan tingkat kerusakan yang besar tanpa mengalami kerusakan dan keruntuhan

(collapse). Tujuan utama dari keadaan batas ini adalah untuk menyelamakan jiwa

manusia.

Pengaruh gempa bumi yang sangat merusak struktur bangunan adalah load

pad dari komponen gaya atau getaran horizontal. Getaran horizontal tersebut

menimbulkan gaya reaksi yang besar, bahkan di lokasi puncak atau ujung bangunan

dapat mengalami pembesaran hingga dua kalinya. Bila aliran gaya pada bangunan itu

lebih besar daripada kekuatan struktur maka bangunan itu akan rusak parah.Untuk

daerah yang rawan gempa bumi dibutuhkan ekstra kewaspadaan dan solusi teknologi

tepat guna yang mampu meminimalkan korban jiwa dan harta benda. Untuk itu

betapa pentingnya penerapan teknologi yang tepat guna. Salah satu cara untuk


menghindari hal tersebut di atas maka bisa kita gunakan teknologi yang akan kita

bahas pada tugas akhir ini yaitu Yielding Damper khususnya Metalic Yielding

Damper.

2.2 Karakteristik Struktur Bangunan

Pada persamaan difrensial melibatkan tiga properti utama suatu struktur yaitu

massa, kekakuan dan redaman. Ketiga properti struktur itu umumnya disebut

dinamik karakteristik struktur. Properti-properti tersebut sangat spesifik yang tidak

semuanya digunakan pada problem statik. Kekakuan elemen / struktur adalah salah

satu-satunya karakteristik yang dipakai pada problem statik, sedangkan karakteristik

yang lainnya yaitu massa dan redaman tidak dipakai.

2.2.1 Massa

Suatu struktur yang kontinu kemungkinan mempunyai banyak derajat

kebebasan karena banyaknya massa yang mungkin dapat ditentukan. Banyaknya

derajat kebebasan umumnya berasosiasi dengan jumlah massa tersebut akan

menimbulkan kesulitan. Hal ini terjadi karena banyaknya persamaan differensial

yang ada.

Terdapat dua permodelan pokok yang umumnya dilakukan untuk

mendeskripsikan massa struktur.

2.2.1.1 Model lumped mass

Model pertama adalah model diskretisasi massa yaitu massa diangggap

menggumpal pada tempat-tempat (lumped mass) join atau tempat-tempat tertentu.


Dalam hal ini gerakan / degree of freedom suatu join sudah ditentukan. Untuk titik

model yang hanya mempunyai satu derajat kebebasan / satu translasi maka nantinya

elemen atau struktur yang bersangkutan akan mempunyai matriks yang isinya hanya

bagian diagonal saja. Clough dan Penzien (1993) mengatakan bahwa bagian off-

daigonal akan sama dengan nol karena gaya inersia hanya bekerja pada tiap-tiap

massa. Selanjutnya juga dikatakan bahwa apabila terdapat gerakan rotasi massa (

rotation degree of freedom ), maka pada model lumped mass ini juga tidak akan ada

rotation moment of inertia. Hal ini terjadi karena pada model ini massa dianggap

menggumpal pada suatu titik yang tidak berdimensi (mass moment of inertia dapat

dihitung apabila titik tersebut mempunyai dimensi fisik). Dalam kondisi tersebut

terdapat matriks massa dengan diagonal mass of moment inertia sama dengan nol.

Pada bangunan gedung bertingkat banyak, konsentrasi beban akan terpusat

pada tiap-tiap lantai tingkat bangunan. Dengan demikian untuk setiap tingkat hanya

ada satu tingkat massa yang mewakili tingkat yang bersangkutan. Karena hanya

terdapat satu derajat kebebasan yang terjadi pada setiap massa / tingkat, maka jumlah

derajat kebebasan pada suatu bangunan bertingkat banyak akan ditunjukkan oleh

banyaknya tingkat bangunan yang bersangkutan. Pada kondisi tersebut matriks

massa hanya akan berisi pada bagian diagonal saja.

2.2.1.2 Model consistent mass matrix.

Model ini adalah model yang kedua dari kemungkinan permodelan massa

struktur. Pada prinsip consistent mass matrix ini, elemen struktur akan berdeformasi

menurut bentuk fungsi (shape function) tertentu. Permodelan massa seperti ini akan

sangat bermanfaat pada struktur yang distribusi massanya kontinu.


Apabila tiga derajat kebebasan (horizontal, vertikal dan rotasi)

diperhitungkan pada setiap node maka standar consistent mass matrix akan

menghasilkan full-populated consistent matrix artinya suatu matri yang off-diagonal

matriksnya tidak sama dengan nol. Pada lumped mass model tidak akan terjadi

ketergantungan antar massa (mass coupling) karena matriks massa adalah diagonal.

Apabila tidak demikian maka mass moment of inertia akibat translasi dan rotasi

harus diperhitungkan.

Pada bangunan bertingkat banyak yang massanya terkonsentrasi pada tiap-tiap

tingkat bangunan, maka penggunaan model lumped mass masih cukup akurat. Untuk

pembahasan struktur MDOF seterusnya maka model inilah (lumped mass) yang akan

dipakai.

2.2.2 Kekakuan

kekakuan adalah salah satu dinamik karakteristik struktur bangunan yang

sangat penting disamping massa bangunan. Antara massa dan kekakuan struktur akan

mempunyai hubungan yang unik yang umumnya disebut karakteristik diri atau

Eigenproblem. Hubungan tersebut akan menetukan nilai frekuensi sudut , dan

periode getar struktur T. Kedua nilai ini merupakan parameter yang sangat penting

dan akan sangat mempengaruhi respon dinamik struktur.

Pada prinsip bangunan geser ( shear building ) balok pada lantai tingkat

dianggap tetap horizontal baik sebelum maupun sesudah terjadi pergoyangan.

Adanya plat lantai yang menyatu secara kaku dengan balok diharapkan dapat

membantu kekakuan balok sehingga anggapan tersebut tidak terlalu kasar. Pada

prinsif desain bangunan tahan gempa dikehendaki agar kolom lebih kuat


dibandingkan dengan balok, namun demikian rasio tersebut tidak selalu linear

dengan kekakuannya. Dengan prinsif shear building maka dimungkinkan pemakaian

lumped mass model. Pada prinsif ini, kekakuan setiap kolom dapat dihitung

berdasarkan rumus yang telah ada.

2.2.3 Redaman

Redaman merupakan peristiwa pelepasan energi ( energi dissipation) oeh

struktur akibat adanya berbagai macam sebab. Beberapa penyebab itu antara lain

adalah pelepasan energi oleh adanya gerakan antar molekul didalam material,

pelepasan energi oleh gesekan alat penyambung maupun system dukungan,

pelepasan energi oleh adanya gesekan dengan udara dan pada respon inelastic

pelepasan energi juga terjadi akibat adanya sendi plastis. Karena redaman berfungsi

melepaskan energi maka hal ini akan mengurangi respon struktur.

2.3 Simpangan (Drift) Akibat Gaya Gempa

Simpangan (drift) adalah sebagai perpindahan lateral relative antara dua

tingkat bangunan yang berdekatan atau dapat dikatakan simpangan mendatar tiap-

tiap tingkat bangunan (horizontal story to story deflection).

Simpangan lateral dari suatu system struktur akibat beban gempa adalah

sangat penting yang dilihat dari tiga pandangan yan berbeda, menurut Farzat Naeim

(1989):

1. Kestabilan struktur (structural stability)

2. Kesempurnaan arsitektural (architectural integrity) dan potensi kerusakan

bermacam-macam komponen bukan struktur


3. Kenyaman manusia (human comfort), sewaktu terjadi gempa bumi da

sesudah bangunan mengalami gerakan gempa.

Dalam pada itu juga, Richard N. White (1987) berpendapat bahwa dalam

perencanaan bangunan tinggi selalu dipengaruhi oleh pertimbangan lenturan

(deflection), bukannya oeh kekuatan (strength).

Simpangan antar tingkat dari suatu titik pada suatu lantai harus ditentukan

sebagai simpangan horizontal titik itu, relative terhadap titik yang sesuai pada lantai

yang berada dibawahnya. Perbandingan antar simpangan antar tingkat dan tinggi

tingkat yang bersangkutan tidak boleh melebihi 0.005 dengan ketentuan dalam segala

hal simpangan tersebut tidak boleh lebih dari 2 cm. Terhadap simpangan antar

tingkat telah diadakan pembatasan-pembatasan untuk menjamin agar kenyamanan

bagi para penghuni gedung tidak terganggu dan juga untuk mengurangi momen-

momen sekunder yang terjadi akibat penyimpangan garis kerja gaya aksial didalam

koom-kolom (yang lebih dikenal dengan P-delta).

Berdasarkan UBC 1997 bahwa batasan story driff atau simpangan antar

tingkat adalah sebagai berikut:

Untuk periode bangunan yang pendek T< 0.7 detik, maka simpangan antar tingkat

m 0.0025Ih atau 2.5%dari tinggi bangunan.

Untuk periode bangunan yang pendek T> 0.7 detik, maka simpangan antar tingkat

m 0.002Ih atau 2.0% dari tinggi bangunan.

2.4 Derajat Kebebasan (Degree Of Freedom, Dof)


Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi yang

diperlukan untuk menyatakan posisi suatu system pada setiap saat. Pada masalah

dinamika, setiap titik atau massa pada umumnya hanya diperhitungkan berpindah

tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal. Karena simpangan yang terjadi

hanya terjadi dalam satu bidang atau dua dimensi, maka simpangan suatu massa

pada setiap saat hanya mempunyai posisi atau ordinat tertentu baik bertanda negative

ataupun bertanda positif. Pada kondisi dua dimensi tersebut, simpangan suatu massa

pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu U(t). Struktur seperti itu

dinamakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal (SDOF system).

Dalam model system SDOF atau berderajat kebebasan tunggal, ssetiap massa

m, kekakuan k, mekanisme kehilangan atau redaman c, dan gaya luar yang dianggap

tertumpu pada elemen fisik tunggal. Struktur yang mempunyai n-derjat kebebasan

atau struktur dengan derajat kebebasan banyak disebut multi degree of freedom

(MDOF). Akhirnya dapat disimpulkan bahwa jumlah derajat kebebasan adalah

jumlah koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu massa pada saat

tertentu.

2.4.1 Persamaan differensial pada struktur SDOF

System derajat kebebasan tunggal (SDOF) hanya akan mempunyai satu

koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang

ditinjau. Bangunan satu tingkat adalah salah satu contoh bangunan derajat kebebasan

tunggal.

Pada gambar 2.1 tampak model matematik untuk SDOF system. Tampak

bahwa P(t) adalah beban dinamik yaitu beban yang intensitasnya merupakan fungsi


dari waktu. Struktur seperti pada gambar 2.1.a kemudian digambar secara ideal

seperti tampak pada gambar 2.1.b yaitu gambar yang telah dimodelkan. Notasi m, k,

dan c seperti yang tampak pada gambar berturut-turut adalah massa, kekakuan kolom

dan redaman.

Gambar 2.1 Permodelan struktur SDOF

Apabila beban dinamik P(t) bekerja ke arah kanan, maka akan terdapat

perlawanan pegas, damper dan gaya redaman seperti pada gambar 2.1.c. gambar-

gambar tersebut umumnya disebut free body diagram. Berdasarkan prinsif

keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut, maka dapat diperoleh

hubungan,

p(t) fS fD = mu atau mu + fD + fS = p(t) (2.4.1)

dimana:

fD = c.u

fS = k.u (2.4.2)


Apabila persamaan (2.4.1) disubtitusikan kepersamaan (2.4.2), maka akan

diperoleh :

mu + cu+ ku = p(t) (2.4.3)

Persamaan (2.4.3) adalah persamaan differensial gerakan massa suatu

struktur SDOF yang memperoleh pembebanan dinamik p(t). pada problema dinamik,

sesuatu

Yang penting untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam

persamaaan tersebut adalah u(t).

2.4.2 Persamaan difrensial struktur SDOF akibat base motion

Beban dinamik yang umum dipakai pada anlisis struktur selain beban angin

adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah menjadi

bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk aselogram. Tanah yang bergetar

akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah akan ikut bergetar

termasuk struktur bangunan. Di dalam hal ini masih ada anggapan bahwa antara

fondasi dan tanah pendukungnya bergerak secara bersama-sama atau fondasi

dianggap menyatu dengan tanah. Anggapan ini sebetulnya tidak sepenuhnya benar

karena tanah bukanlah material yang kaku yang mampu menyatu dengan fondasi.

Kejadian yang sesungguhnya adalah bahwa antara tanah dan fondasi tidak akan

bergerak secara bersamaan. Fondasi masih akan bergerak horizontal relative terhadap

tanah yang mendukungnya. Kondisi seperti ini cukup rumit karena sudah

memperhitungkan pengaruh tanah terhadap analisis struktur yang umumnya disebut

soil-structure interaction analysis.


Untuk menyusun persamaan difrensial gerakan massa akibat gerakan tanah

maka anggapan di atas tetap dipakai, yaitu tanah menyatu secara kaku dengan kolom

atau kolom dianggap dijepit pada ujung bawahnya. Pada kondisi tersebut ujung

bawah kolom dan tanah dasar bergerak secara bersamaan. Persamaan difrensial

gerakan massa struktur SDOF akibat gerakan tanah selanjutnya dapat dirturunkan

dengan mengambil model seperti pada gambar 2.2.

Gambar 2.2 Struktur SDOF akibat base motion

Berdasarkan pada free body diagram seperti gambar di atas maka deformasi

total yang terjadi adalah

utt (t) = u(t) + ug (t) (2.4.4)

Dari free body diagram yang mengandung gaya inersia f1 tampak bahwa

persamaan kesetimbangannya menjadi


fI + fD + fS = 0 (2.4.5)

dimana inersia adalah,

fI = mut (2.4.6)

Dengan mensubstisusikan persamaan (2.4.2) dan (2.4.5) ke (2.4.5) dan

(2.4.4),sehingga diproleh persmaaannya sebagai berikut,

mu + cu + ku = - mug (t) (2.4.7)

Persamaan tersebut disebut persamaan difrensial relative karena gaya inersia,

gaya redam dan gaya pegas ketiga-tiganya timbul akibat adanya simpanganrelative.

Ruas kanan pada persamaan (2.4.7) disebut sebagai beban gempa efektif atau beban

gerakan tanah efektif. Ruas kanantersebut seolah menjadi gaya dinamik efektif yang

bekerja pada elevasi lantai tingkat. Kemudian gaya luar ini akan disebut sebagai faya

efektif gempa:

Peef (t) - mug (t). (2.4.8)

2.4.3 Persamaan difrensial struktur MDOF

2.4.3.1 Matriks massa, matriks kekakuan dan matriks redaman

Untuk menyatakan persamaan diferensial gerakan pada struktur dengan

derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada

struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF. Anggapan seperti prinsip shear

building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak (MDOF).

Untuk memperoleh persamaan diferensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip

keseimbangan dinamik (dynamic equilibrium) pada suatu massa yang ditinjau. Untuk

memperoleh persamaan tersebut maka diambil model struktur MDOF.


Struktur bangunan gedung bertingkat 3, akan mempunyai 3 derajat

kebebasan. Sering kali jumlah derajat kebebasan dihubungkan secara langsung

dengan jumlahnya tingkat. Persamaan diferensial gerakan tersebut umumnya disusun

berdasarkan atas goyangan struktur menurut first mode atau mode pertama seperti

yang tampak pada garis putus-putus. Masalah mode ini akan dibicarakan lebih lanjut

pada pembahasan mendatang. Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free

body diagram. maka akan diperoleh :

0)()()(. 11.

2

.

21221

.

1111

..

1 =+++ tFuucuukucukum (2.4.9)

0)()()()()( 22.

3

.

21231

.

2

.

21222

..

2 =++ tFuucuukuucuukum (2.4.10)

0)()()( 123..

31233

..

3 =++ tFuucuukum (2.4.11)

Pada persamaan-persamaan tersebut diatas tampak bahwa keseimbangan

dinamik suatu massa yang ditinjau ternyata dipengaruhi oleh kekakuan, redaman dan

simpangan massa sebelum dan sesudahnya. Persamaan dengan sifat-sifat seperti itu

umumnya disebut coupled equation karena persamaan-persamaan tersebut akan

tergantung satu sama lain. Penyelesaian persamaan coupled harus dilakukan secara

simultan artinya dengan melibatkan semua persamaan yang ada. Pada struktur

dengan derajat kebebasan banyak, persamaan diferensial gerakannya merupakan

persamaan yang dependent atau coupled antara satu dengan yang lain.

Selanjutnya dengan menyusun persamaan-persamaan di atas menurut

parameter yang sama (percepatan, kecepatan dan simpangan) selanjutnya akan

diperoleh :

)())(.)( 1221212.

21211

..

1 tFukukkucuccum =++++ (2.4.12)


)()()( 23323213.

32

.

321

.

22

..

2 tFukukkuucuccucum =++++ (2.4.13)

)(333233.

32

.

33

..

3 tFukukucucum =++ (8.2) (2.4.14)

Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :

=

+

+

+

+

+

+

)()()(

0

0

0

0

000000

3

2

1

3

2

1

33

3322

221

3

..

2

..

1

..

33

3322

221

3

..

2

..

1

..

3

2

1

tFtFtF

uuu

kkkkkk

kkk

u

u

u

cccccc

ccc

u

u

u

mm

m

(Pers. 2.4.14 dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompleks,

[M]{U} + [C]{U} + [K]{U} = {F(t)} (2.4.15)

Yang mana [M], [C] dan [K] berturut-turut adalah mass matriks, damping matriks

dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,

[M] =

3

2

1

000000

mm

m, [C] =

+

+

33

3322

221

0

0

cccccc

ccc,

[K] =

+

+

33

3322

221

0

0

kkkkkk

kkk (2.4.16)

Sedangkan {}, {} dan {Y} dan {F(t)} masing-masing adalah vektor percepatan,

vektor kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban, atau,

{..

U } =

3

..

2

..

1

..

u

u

u

, {.

U } =

3

.

2

.

1

.

u

u

u

, {U} =

3

2

1

u

u

u

dan {F(t)} =

)()()(

3

2

1

tFtFtF

(2.4.17)


Secara visual Chopra (1995) menyajikan keseimbangan antara gaya dinamik, gaya

pegas, gaya redam dan gaya inersia seperti pada gambar 2.3

Displacement u Diplacement u Velocity u Acceleration u

Velocity u

Acceleration u

(a) (b) (c) (d)

Gambar 2.3 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan fS, fD, dan f1 (Chopra, 1995)

2.4.3.2 Matriks redaman

Pada persamaan diferensial di atas, maka tersusunlah berturut-turut matriks

massa, matriks redaman dan matriks kekakuan. Sebagaimana telah dibahas

sebelumnya bahwa kekakuan kolom sudah dapat dihitung secara lebih pasti.

Kekakuan kolom dapat dihitung berdasarkan model kekakuan balok yang dipakai.

Dengan demikian matriks kekakuan sudah dapat disusun dengan jelas. Pada bagian

lain yang sudah dibahas adalah massa struktur. Apabila model distribusi massa

struktur sudah dapat dikenali dengan baik, maka massa setiap derajat kebebasan juga

dapat dihitung dengan mudah. Akhirnya matriks massa juga dapat disusun secara

jelas. Maka sesuatu yang perlu dibahas lebih lanjut adalah matriks redaman.

Sebelum menginjak matriks redaman maka akan dibahas terlebih dahulu jenis dan

sistem redaman.


2.4.3.3 Non klasikal / non proporsional damping.

Apabila matriks massa dan matriks kekakuan telah dapat disusun, maka

selanjutnya tinggalah matriks redaman. Pada struktur SDOF, koefisien redaman c

dapat dihitung yaitu merupakan produk antara rasio antara redaman-redaman kritik.

Pada Bab III telah dibahas tentang sistem redaman yaitu redaman klasik (clasiccal

damping) dan redaman non-klasik (non clasiccal damping). Damping non-klasik

dapat tergantung pada frekuensi (frequency dependent). Clough dan Penzien (1993)

memberikan contoh damping non-klasik.

Pada gambar 2.4.a tampak kombinasi antara struktur beton di bagian bawah

misalnya dan struktur baja pada bagian atas. Jenis bahan akan mempengaruhi rasio

redaman. Antara struktur beton dan struktur baja akan mempunyai perbedaan rasio

redaman yang cukup signifikan. Oleh karena itu sistem struktur mempunyai rasio

redaman yang berbeda. Prinsip non-klasikal damping akan berlaku pada struktur

tersebut. Pada gambar 2.4.b adalah sistem struktur yang memperhitungkan efek /

pengaruh tanah dalam analisis struktur. Analisis struktur seperti itu biasanya disebut

analisis interaksi antara tanah dengan bangunan (soil-structure interaction analysis).

Struktur tanah umumnya mempunyai kapasitas meredam energi atau mempunyai

rasio redaman yang jauh lebih besar daripada bangunan atas. Disamping itu interaksi

antara tanah dan fondasi sebenarnya adalah interaksi frequency dependent, artinya

kualitas interaksi akan dipengaruhi oleh frekuensi beban yang bekerja.


Gambar 2.4 Struktur dengan damping non-klasik (Clough & Pensien, 1993)

Apabila interaksi antara tanah dengan struktur dipengaruhi frekuensi, maka

kekakuan dan redaman interaksi juga frequency dependent. Pada kondisi tersebut

sistem struktur tidak akan mempunyai standar mode shapes (akan dibahas

kemudian). Dengan memperhatikan kenyataan-kenyataan seperti itu maka ada empat

hal yang perlu diperhatikan. Pertama rasio redaman struktur atas yang dipengaruhi

oleh level respon, kedua rasio redaman pada stuktur atas dan bawah sangat berbeda,

ketiga rasio redaman struktur bawah tergantung pada frekuensi beban dan keempat

sistem struktur tidak akan mempunyai standar mode shapes. Apabila analisis struktur

akan memperhatikan hal itu semua, maka problemnya tidak hanya terletak pada

redaman tetapi penyelesaian yang komprehensif terhadap sistem struktur.

Penyelesaian soil-structure interaction pada bangunan bertingkat banyak sungguhlah

tidak sederhana. Oleh karena itu memperhitungkan redaman non-klasik ini

memerlukan kemampuan yang sangat khusus.

2.4.3.4 Klasikal / proposional damping


Damping dengan sistem ini relatif sederhana bila dibanding dengan non-

klasikal damping. Namun demikian penggunaan sistem damping seperti ini juga

terbatas, yaitu hanya dipakai pada analisis struktur yang tidak memperhatikan

interaksi antara tanah dengan bangunan. Ada juga yang memakainya, namun hal itu

disertai dengan anggapan-anggapan. Analisis struktur yang menggunakan damping

jenis ini adalah analisis struktur elastik maupun inelastik yang mana struktur

bangunan dianggap dijepit pada dasarnya.

Pada analisis dinamik yang menggunakan superposisi atas persamaan

independen (uncoupled modal superposition method) maka masih dapat dipakai

prinsip ekivalen damping rasio, yaitu yang dinyatakan dalam bentuk,

Cj = 2 j Mj j (2.4.18)

yang mana Cj, Mj adalah suatu simbol yang berasosiasi dengan mode j, dan j

berturut-turut adalah rasio redaman dan frekuensi sudut mode ke-j.

Untuk menyederhanakan persoalan umumnya dipakai rasio redaman yang

konstan, artinya nilai rasio redaman diambil sama untuk semua mode. Apabila hal ini

telah disepakati maka analisis dinamik struktur dengan modal analis tidak

memerlukan matriks redaman. Cara ini mempunyai kelemahan, karena pada mode

yang lebih tinggi umumnya frekuensi sudut dan rasio redaman akan lebih besar.

Pada analisis dinamik yang melakukan integrasi secara langsung dan analisis

dinamik inelastik, maka konsep ekivalen damping ratio sebagaimana tercantum pada

persamaan 2.4.18 tersebut tidak dapat dipakai. Pada kedua analisis ini diperlukan

suatu matriks redaman, dan oleh karenanya matriks redaman perlu disusun. Didalam

analisis tersebut damping matriks disusun berdasarkan satu dan dua nilai


proporsional damping. Terdapat beberapa sistem redaman proporsional yang dapat

disusun yang secara skematis ditunjukkan oleh gambar 2.5

Gambar 2.5 Jenis-Jenis Proporsional Damping

2.4.4 Getaran bebas pada struktur MDOF

2.4.4.1 Nilai karakteristik (eigenproblem)

Sebagaimana disebut di atas bahwa walaupun getaran bebas (free vibration

system) pada kenyataannya jarang terjadi pada struktur MDOF, tetapi membahas

jenis getaran ini akan diperoleh suatu besaran/karakteristik dari struktur yang

bersangkutan yang selanjutnya akan sangat berguna untuk pembahasan-pembahasan

respon struktur berikutnya. Besaran-besaran tersebut terutama adalah frekuensi sudut

, periode getar T, frekuensi alam f dan normal modes.

Pada getaran bebas di struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak

(MDOF), maka matriks persamaan diferensial gerakannya adalah seperti pada

persamaan 8.8), dengan nilai ruas kanan sama dengan nol atau,

[M]{ ..

U } + [C]{ .

U } + [K]{U} = 0 (2.4.19)


Telah dibahas sebelumnya bahwa frekuensi sudut pada struktur dengan

redaman (damped frequency) d nilainya hampir sama dengan frekuensi sudut pada

struktur yang dianggap tanpa redaman . Hal ini akan diperoleh apabila nilai

damping ratio relatif kecil. Apabila hal ini diadopsi untuk struktur dengan derajat

kebebasan banyak, maka untuk nilai C = 0, pers. 2.4.19 akan menjadi,

[M]{ ..

U } + [K]{U} = 0 (2.4.20)

Karena pers. 2.4.20 adalah persamaan diferensial pada struktur MDOF yang

dianggap tidak mempunyai redaman, maka sebagaimana penyelesaian persamaan

diferensial yang sejenis pada pembahasan-pembahasan di depan, maka penyelesaian

persamaan tersebut diharapkan dalam fungsi harmonik menurut bentuk,

U = {}i sin (t)

.U = - {}i cos (t)

..U = - 2 {}i sin (t) (2.4.21)

Yang mana {}i adalah suatu koordinat masa pada mode yang ke-i. Substitusi pers.

2.4.21 ke dalam pers. 2.4.20 selanjutnya akan diperoleh,

- 2 [M] {}i sin (t) + [K] sin (t) = 0

{[K] - 2 [M]}{}i = 0 (2.4.22)

Pers.2.4.22 adalah suatu persamaan yang sangat penting dan biasa disebut persamaan

eigenproblem atau karakteristik problem atau ada juga yang menyebut eigenvalue

problem. Pers. 2.4.22 tersebut adalah persamaan simultan yang harus dicari

penyelesaiannya. Salah satu cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan

simultan tersebut adalah dengan memakai dalil Cramer (1704-1752). Gabriel Cramer


adalah salah satu ahli matematika yang berasal dari Swiss. Dalil tersebut

menyatakan bahwa penyelesaian persamaan simultan yang homogen akan ada

nilainya apabila determinan dari matriks yang merupakan koefisien dari vektor {}i

adalah nol, sehingga,

|[K] - 2 [M]| = 0 (2.4.23)

Jumlah mode pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat

dihubungkan dengan jumlah massa. Mode itu sendiri adalah jenis / pola / ragam

getaran/ goyangan suatu struktur bangunan. Mode ini hanya merupakan fungsi dari

properti dinamik dari struktur yang bersangkutan (dalam hal ini adalah hanya massa

dan kekakuan tingkat) dan bebas dari pengaruh waktu dan frekuensi getaran. Dengan

adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah massa struktur, maka bangunan

yang mempunyai 5 tingkat misalnya, akan mempunyai 5 derajat kebebasan dan akan

mempunyai 5 jenis mode gerakan dan akan mempunyai 5 nilai frekuensi sudut

yang berhubungan langsung dengan jenis / nomor mode nya. Apabila jumlah derajat

kebebasan adalah n, maka persamaan 9.5) akan menghasilkan suatu polinomial

pangkat n yang selanjutnya akan menghasilkan 12 untuk i = 1, 2,3 ...n. Selanjutnya,

substitusi masing-masing frekuensi 1 ke dalam persamaan 9.4 akan diperoleh nilai-

nilai 1, 2,........ n.

2.4.4.2 Frekuensi sudut () dan normal modes

Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, didalam menghitung frekuensi sudut

untuk struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF), diambil suatu

anggapan bahwa struktur tersebut dianggap tidak mempunyai redaman atau C = 0.


Untuk menghitung dan sekaligus menggambar normal modes maka diambil suatu

model struktur seperti pada gambar berikut:

Gambar 2.6 Bangunan 2-DOF dan model matematika

Setiap struktur yang dibebani dengan beban dinamik akan mengalami

goyangan. Untuk struktur derajat kebebasan banyak, maka struktur yang

bersangkutan akan mempunyai banyak ragam / pola goyangan. Normal modes adalah

suatu istilah yang sering dipakai pada problem dinamika struktur, dan kata tersebut

diterjemahkan sebagai ragam/pola goyangan.

Kembali pada persoalan inti, suatu persamaan diferensial gerakan dapat

diperoleh dengan memperhatikan free body diagram seperti pada gambar 9.1. c dan

diperoleh,

0)( 122111..

1 =+ uukukum

0)( 1222..

2 =+ uukum (2.4.24)

Pers 2.4.24 dapat ditulis dalam bentuk yang sederhana yaitu,

0)( 222211..

1 =++ ukukkum

0221222 =+ ukukum (2.4.25)


Pers 2.4.25 dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu,

=

++

00

0)(

00

2

1

2

221

2

..

1

..

2

1

uu

kkkk

u

um

m (2.4.26)

Selanjutnya persamaan Eigenproblem atas pers. 2.4.26 adalah,

=

+

00)(

2

1

22

22

212

21

mkkkmkk

(2.4.27)

Dengan 1 adalah suatu nilai / ordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada

ragam / pola goyangan massa ke-i. Seperti dijelaskan sebelumnya bahwa pers. 2.4.27

akan ada penyelesaiannya apabila dipenuhi nilai determinan,

22

22

212

21 )(

mkkkmkk

+ = 0 (2.4.28)

Apabila 2.4.28 tersebut diteruskan maka nilai determinannya adalah,

m1 m2 4 {(k1 + k2) m2 k2m1} 2 + (k1 + k2) k2 k22 = 0 (2.4.29)

Struktur dianggap tidak mempunyai redaman sehingga periode getar dicari

sebenarnya adalah merupakan undamped free vibration periods. Sebagaimana

disampaikan pada pembahasan struktur SDOF bahwa periode getar ini akan sedikit

lebih kecil dibanding dengan periode getar yang mana redaman struktur

diperhitungkan (ingat d < , sehingga T < Td).

Selain daripada itu nilai-nilai mode shapes juga tidak dipengaruhi oleh waktu,

artinya nilai-nilai tersebut akan tetap asal nilai-nilai massa dan kekakuan tingkatnya

tidak berubah. Karena nilai kekakuan tingkat ki tidak berubah-ubah maka mode


nnnnnnn

nn

nn

nn

ZZZZY

ZZZZYZZZZY

ZZZZY

++++=

++++=

++++=

++++=

..................................................................

.......

.......

.......

332211

23332231313

23322221212

13132121111

shapes merupakan nilai untuk struktur yang bersifat elastik, atau hanya struktur yang

elastiklah yang mempunyai nilai mode shapes. Juga tampak bahwa nilai mode shapes

tidak dipengaruhi oleh frekuensi beban. Dengan demikian apabila disimpulkan

bahwa nilai-nilai mode shapes adalah :

a. bebas dari pengaruh redaman,

b. bebas dari pengaruh waktu

c. bebas dari pengaruh frekuensi beban dan

d. hanya untuk struktur yang elastik

2.4.5 Getaran bebas pada struktur MDOF

2.4.5.1 Persamaan difrensial independen (uncoupling)

Pada kondisi standar shear building, struktur yang mempunyai n-derajat

kebebasan akan mempunyai n-modes atau pola/ragam goyangan. Pada prinsip ini,

masing-masing modes akan memberikan kontribusi pada simpangan horizontal tiap-

tiap massa seperti ditunjukkan secara visual pada gambar 2.8 (Clough dan Penzien,

1993). Pada prinsip ini, simpangan massa ke-i atau Yi dapat diperoleh dengan

menjumlahkan pengaruh atau kontribusi tiap-tiap modes. Kontribusi mode ke-j

terhadap simpangan horizontal massa ke-i tersebut dinyatakan dalam produk antara

ij dengan suatu modal aplitudo Zj atau seluruh kontribusi tersebut kemudian

dinyatakan dalam,


[ ]

=

nnnnnnn

n

n

Z

ZZZ

Y........

3

2

1

........321

3.......333231

11......232221

1131211

(2.4.40)

Pers. 2.4.40 juga dapat ditulis menjadi,

(2.4.41)

Suku pertama, kedua, ketiga dan seterusnya sampai suku ke-n pada ruas kanan pers.

2.4.40 diatas adalah kontribusi mode pertama, kedua, ketiga dan seterusnya sampai

kontribusi mode ke-n. sebagai perjanjian, massa struktur MDOF diberi indeks m,

dengan i = 1,2,3, m, sedangkan mode diberi indeks shape ij adalah ordinat mode

ke-j untuk massa ke-i.

Pers. 2.4.41 tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih kompak.

{ } [ ]{ }ZY = (2.4.42)

Derivative pertama dan kedua pers. 2.4.42 tersebut adalah,

[ ]

[ ]

=

=

....

..

ZY

ZY

(2.4.43)

Subtitusi pers. 2.4.42 dan pers. 2.4.43 kedalam pers. 2.4.40 maka akan diperoleh,

[ ][ ] [ ]{ } [ ][ ]{ } [ ]{ }.....

1 tyMZKZCZM =+

+

(2.4.44)


Pers. 2.4.44 sebetulnya adalah 1- set persamaan simultan dependent non-

homogen.

Untuk dapat mentransfer persamaan dependent menjadi persamaan independen,

maka pers. 2.4.44 premultiply dengan transpose suatu mode {}T sehingga

diperoleh,

{ } [ ] [ ] { } [ ][ ] { } [ ] [ ]{ } { } [ ]{ } tTTTT yMZKZCZM.....

1 =+

+

(2.4.45)

Untuk pembahasan awal akan ditinjau pengaruh mode ke-1 saja. Misalnya

diambil struktur yang mempunyai 3-derajat kebebasan, mak perkalian suku pertama

pers. 2.4.45 sebenarnya adalah berbentuk,

{ }

..

3

..

2

..

1

333231

232221

131211

2

2

1

311211

000000

Z

Z

Z

mm

m

(2.4.46)

Menurut contoh sebelumnya telah terbukti bahwa hubungan orthogonal akan

terbukti apabila i tidak sama dengan j. dengan demikian untuk mode ke-1 pers.

2.4.46 akan menjadi,

{ }..

1

3

2

1

2

2

1

311211

000000

Zm

mm

(2.4.47)

Untuk mode ke-j secara umum persamaan 2.4.47 juga dapat ditulis dengan,

{ } [ ]{ } jjTj ZM..

(2.4.48)


Cara seperti diatas juga berlaku untuk suku ke-2 dan ke-3 pada persamaan

2.4.43 Dengan demikian setelah diperhatikan hubungan orthogonal pers. 2.4.45 akan

menjadi,

{ }[ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ }.....

1 tTjjj

T

jjj

T

jj yMKZCZM Zj =++ (2.4.49)

Pers. 2.4.49 adalah persamaan deferensial yang bebas/independent antar satu

dengan yang lain. Persamaan tersebut diperoleh setelah diterapkannya hubungan

orthogonal, baik orthogonal untuk matriks massa, matriks redaman dasn matriks

kekakuan. Sekali lagi bahwa apabila i tidak sama dengan j maka perkalian suku-suku

pada pers. 2.4.45 akan sama dengan nol, kecuali untuk i = j. Dengan demikian untuk

n-derajat kebebasan independent/ uncoupling. Dengan sifat-sifat seperti itu maka

penyelesaian persamaan diferensial dapat diselesaikan untuk setiap pengaruh

mode.

Berdasarkan pers. 2.4.49 maka dapat didefenisikan suatu generalisasi

massa (generalized mass), redaman dan kekakuan sebagai berikut,

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }jTjj

jTjj

jTjj

K

C

M

KCCM

=

=

=

*

*

*

(2.4.50)

Misalnya bangunan bertingkat-3, maka orde perkalian matriks pada pers.

2.4.40 adalah 1x3 x 3X3 3x1 = 1x1. artinya pers. 2.4.50 adalah satu persamaan

independent untuk mode ke-j. dengan demikian dengan memakai pers. 2.4.50

maka persamaan 2.4.49 akan menjadi,

tjjjjjjj yZZ PZKCM..**.*..* =++ (2.4.51)


dengan,

{ } [ ]MTjjP =* (2.4.52)

Pada pembahasan sebelumnya diperoleh suatu hubungan bahwa,

jj

j

cr

jj M

CCC

*

**

2== maka jj

cr

j

CC

2*

=

*

*2

j

jj M

K= dan *

*

j

jj M

P= (2.4.53)

Dengan hubungan-hubungan seperti pada pers.2.4.53 tersebut, maka pers.

2.4.51 akan menjadi,

tjtjjjj yZZ Z..2... 2 =++ (2.4.54)

dan

{ } [ ]{ } [ ]{ }

=

==== m

iij

m

iij

jTj

Tj

j

j

m

m

MMj

MP

1

2

1

*

*

(2.4.55)

Pers. 2.4.55 sering disebut dengan partisipasi setiap mode atau

participation factor, Selanjutnya pers. 2.4.54 juga dapat ditulis menjadi,

..2

.

2

..

tj

jj

j

jjj

j

j yZ ZZ =+

+

(2.4.56)

Apabila diambil suatu notasi bahwa,

===

j

j

jj

jj

j

jj

ZgdanZgZg ,,.

.

....

(2.4.57)

Maka pers. 2.4.57 akan menjadi,


...

..22 tjjjjjj ygg g =++ (2.4.58)

Pers. 2.4.58 adalah persamaan diferensial yang independent karena

persamaan tersebut hanya berhubungan dengan tiap-tiap mode. Pers. 2.4.58

adalah mirip dengan persamaan diferensial SDOF seperti telah dibahas

sebelumnya.

Nilai partisipasi setiap mode akan dihitung dengan mudah setelah koordinat

setiap mode telah diperoleh. Nilai gi, .g i dan

..g i dapat dihitung dengan integrasi

secara numerik. Apabila nilai tersebut telah diperoleh maka nilaiZi dapat dihitung.

Dengan demikian simpangan horizontal setiap tingkat akn dapat dihitung

2.4.5.2Getaran bebas tanpa redaman

Untuk membahas pemakaian modal analis pada struktur getaran bebas tanpa

redaman, maka perlu dikemukakan prinsip-prinsip pokok yang akan dilakukan.

Seperti telah disampaikai pada pers. 10.1) bahwa simpangan struktur dapat diperoleh

dengan menjumlahkan produk antara koordinat normal modes dengan faktor

amplitudo Z untuk setiap mode yang ada. Untuk itu disamping normal modes, faktor

amplitudo tersebut harus dicari terlebih dahulu. Prinsip tersebut dapat dinyatakan

seperti pada persamaan 10.2) di atas yaitu,

{Y} = []{Z}

Dengan demikian maka faktor amplitudo Z adalah,

{Z} = []-1 {Y}


dengan []-1 adalah nilai inverse atas modal matriks dan {Y} adalah vektor

simpangan horisontal.

Prinsip pemakaian getaran bebas pada modal analis ini dapat dilakukan

dengan memberikan nilai-nilai simpangan awal yang kemudian dinyatakan dalam

vektor simpangan {Y} pada persamaan 10.34) tersebut. Apabila faktor amplitudo Z

akibat adanya simpangan awal seperti pada persamaan 10.34) telah dihitung, maka

respon struktur / simpangan struktur dapat diperoleh dengan substitusi kembali

persamaan tersebut ke dalam pers 10.23).

Secara manual, yang menjadi masalah adalah bagaimana memperoleh nilai

inverse atas modal matriks []-1 seperti pada persamaan 10.34). Nilai tersebut salah

satunya dapat diperoleh dengan memperhatikan generalized mass matrix sebagai

berikut,

[M*] = []T[M][]

dengan [] adalah modal matriks.

Dari persamaan 10.35) maka akan diperoleh,

[]-1 = [M-]-1 []T[M]

Suatu alasan mengapa generalized mass matrix dipakai karena matriks massa adalah

matriks diagonal sehingga perkalian matriks dapat dilakukan secara lebih mudah.

Generalized mass matrix seperti tersebut pada persamaan 10.36) juga merupakan

matriks diagonal sehingga nilai inverse matriksnya dapat dilakukan dengan mudah.

Apabila nilai inverse modal matrix seperti pada persamaan 10.36) telah dihitung

maka faktor amplitudo Z seperti pada pers. 10.34) dapat dihitung.


Gambar 2.7. Respon struktur MDOF akibat getaran bebas (tanpa redaman)

2.4.5.3 Getaran bebas dengan redaman .

Apabila pembahasan di atas diperhatikan maka hitungan yang relatif panjang

adalah dalam rangka menghitung nilai inverse modal matriks []-1. Untuk mencari


nilai tersebut sebetulnya dapat dipakai cara yang lain yang relatif lebih mudah. Untuk

itu pembahasan akan dimulai dari persamaan,

Y = 1Z1 + 2Z2 + 3Z3 +............. + nZn

Apabila pers. 10.40) dikalikan awal (premultiply) dengan jT M maka,

nnTj

Tj

Tj

Tj

Tj ZMZMZMZMMY ++++= ...332211

Pada pembahasan hubungan orthogonal telah diketahui bahwa perkalian pada

suku-suku ruas kanan pers. 10.41) akan sama dengan nol kecuali untuk koordinat

yang subskribnya sama. Dengan demikian pers. 10.41) akan menjadi,

jjTj

Tj ZMMY = , maka

Zj = YMM

jTj

j

Dengan logika yang sama juga akan diperoleh hubungan,

j = YMM

jTj

j

Dengan memperhatikan persamaan 10.34) maka vektor modal amplitudo {Z}j dapat

diperoleh dengan,

{Z}j = []-1 {Y}j

Pers. 10.44) juga berarti bahwa melalui nilai inverse modal matriks maka akan dapat

diperoleh modal amplitudo, Zj yaitu modal amplitudo untuk tiap-tiap mode.

Selanjutnya dengan memperhatikan pers. 10.42) dan 10.44) maka diperoleh

hubungan,

1][][][][

][][ =

M

MT

T

Senada dengan pers. 10.37), maka untuk struktur MDOF yang mempunyai redaman,

modal amplitudo Zj dapat dihitung berdasarkan,


Zj =

+ )(sin)0(

)(cos)0(,

tZ

tZe jjd

jjj

tj

Langkah yang pertama adalah menghitung modal amplitudo awal Zj(0) dan modal

kecepatan awal Zj(0).

Gambar 2.8 Respon struktur MDOF akibat getaran bebas (dengan redaman)


2.4.5.4 Persamaan differensial dependen kouplling

Seperti telah dibahas sebelumnya, pada struktur bangunan derajat kebebasan

banyak (multi degree of freedom/ MDOF) umumnya akan mempunyai persamaan

diferensial gerakan banyak derajat kebebasan yang ada. Persamaan diferensial

gerakan pada struktur MDOF akibat beban dinamik dapat ditulis dalam bentuk

matriks yang kompak yaitu,

[M] {} + [C] }{Y + [K] {Y} = P(t)

dengan [M], [C] dan [K] berturut-turut adalah matriks massa, matriks redaman dan

matriks kekakuan, {}, {} dan {Y} berturut-turut adalah vektor percepatan, vektor

kecepatan dan vektor simpangan dan P(t) adalah beban dinamik.

Apabila struktur dengan derajat kebebasan banyak tersebut dikenai dengan

beban gerakan tanah atau beban gempa bumi maka persamaan diferensial gerakan

yang ada menjadi,

[M] {} + [C] }{Y + [K] {Y} = - [M] {1} b

Baik pers. 11.1) dan pers. 11.2) sebetulnya terdiri atas beberapa / banyak

persamaan yang sering terkait antara persamaan satu dengan persamaan yang lain.

Seprti disebut sebelumnya persamaan itu disebut coupled equations atau dependent

equations.


2.4.5.5 Penyelesaian persamaan differensial gerakan.

Sebagaimana disampaikan sebelumnya bahwa respon yang paling penting di

dalam persoalan analisis dinamik struktur (baik SDOF maupun MDOF) adalah

simpangan horisontal tingkat. Dengan diketahuinya simpangan horisontal tingkat,

maka gaya geser tingkat dan momen guling struktur dapat dihitung. Pendekatan yang

dipakai pada penyelesaian persamaan differensial suatu permasalahan yang sudah

kompleks adalah pendekatan numerik tahap demi tahap (step by step).

Selain jenis beban, durasi beban, step integrasi t maka jumlah derajat

kebebasan akan bertambah volume pekerjaan. Kombinasi dari durasi beban yang

panjang, step integrasi yang kecil dan derajat kebebasan yang banyak akan menuntut

memori komputer yang cukup besar. Banyaknya massa / derajat kebebasan juga akan

berakibat pada munculnya banyak pola / ragam goyangan / mode shapes

sebagaimana telah dibahas sebelumnya. Terdapat beberapa cara yang dapat dipakai

untuk menyelesaikan persamaan differensial gerakan yang kesemuanya mempunyai

kelebihan dan kekurangannya masing-masing.

2.4.5.6 Metode - Newmark (incremental formulation)

Metode -Newmark seperti yang telah dib

09E02719.pdf

Documents

Transcript of 09E02719.pdf