VEKTOR GEOMETRI

VEKTOR

Vektor adalah suatu kuantitas yang memiliki besaran (magnitude) dan arah (direction) didalam sistem koordinat ruang 2D/3D. Contoh dari kuantitas yang dapat dinyatakan sebagai vektor misalnya adalah:

1. Pergeseran (displacement): sisi-sisi poligon, garis basis GPS (Global Positioning System), bagian-bagian terowongan, garis-garis navigasi, dll.

2. Pergerakan (movement): kecepatan, percepatan. 3. Koordinat Foto, Koordinat kamera. 4. Gaya: gaya berat, momentum, dll.

VEKTOR POSISI

Pada berbagai aplikasi Fotogrametri, suatu vektor biasanya terletak didalam lokasi/sistem tertentu dan kondisi ini diistilahkan sebagai “terikat”. Misalnya didalam aplikasi ukur tanah (plane surveying), contoh dari vektor terikat adalah vektor posisi. Vektor posisi ini memberikan informasi tentang lokasi dari suatu titik terhadap suatu datum dan biasanya penamaan lokasi ini dikenal dengan istilah koordinat dari titik tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 1.1 dibawah ini.

Gambar 1.1. Vektor p didalam sistem koordinat kartesian 2D

Pada Gambar 1.1 terlihat ada sebuah titik P didalam suatu sistem koordinat kartesian 2D XY. Antara titik pusat O (titik datum) sistem XY tersebut dapat dibuat suatu vektor OP yang memiliki komponen vektor xP dan yP. Sehingga jika titik P diposisikan dengan vektor posisi maka:

Dimana p adalah vektor posisi sedangkan xP dan yP adalah komponen dari vektor posisi p atau lebih dikenal sebagai koordinat (xP,yP) dari titik P.

GARIS

Arti garis dikaitkan dengan vektor adalah tempat dimana vektor itu bergerak (berpindah).

PENJUMLAHAN VEKTOR

Pengertian geometrik penjumlahan vektor diilustrasikan pada Gambar 1.2. Didalam ukur tanah istilah vektor a dan b adalah perwakilan dari sebuah pergeseran atau pergerakan.

Gambar 1.2. Sifat Asosiatif Penjumlahan dua vektor

Jika pergeseran a ditambahkan dengan pergeseran b maka total dari pergeseran tersebut adalah c. Jadi dapat disimpulkan bahwa:

Vektor xP dan yP pada Gambar 1.1 serta vektor a dan b pada Gambar 1.2 disebut dengan komponen-komponen vektor OP dan c. Suatu vektor dapat memiliki beberapa komponen vektor dengan jumlah tertentu dimana penjumlahan semua komponennya akan menghasilkan vektor itu sendiri.

Gambar 1.3. Penjumlahan multi komponen vektor

Dari Gambar 1.3 dapat dicari vektor c adalah:

KOMPONEN ORTHOGONAL

Jika serangkaian komponen-komponen vektor yang membentuk suatu vektor saling tegak lurus maka komponen-komponen itu disebut dengan komponen orthogonal. Dengan kata lain vektor yang terdapat didalam sistem koordinat 2D hanya memiliki 2 buah komponen orthogonal, yaitu komponen-komponen yang sejajar dengan kedua salib sumbu sistem koordinatnya. Sedangkan vektor 3 dimensi hanya memiliki 3 buah komponen orthogonal.

Gambar 1.4 menunjukkan bahwa vektor x dan y adalah komponen orthogonal dari vektor p didalam sistem kooordinat XY. Sedangkan x’ dan y’ adalah komponen orthogonal dari vektor p didalam sistem koordinat X’ Y’.

Gambar 1.4. Komponen orthogonal dalam sistem koordinat kartesian 2D

v1

v2 v3 v4

v5 v6

c

Gambar 1.5 menunjukkan vektor p memiliki 3 komponen orthogonal x, y, dan z didalam sistem referensi XYZ.

Gambar 1.5. Komponen orthogonal dalam sistem koordinat kartesian 3D

Didalam aljabar vektor yang digunakan dalam mata kuliah ini , istilah komponen selalu berarti komponen orthogonal, dimana konsep ini adalah konsep dasar (fundamental) untuk berbagai macam aplikasi Fotogrametri.

UNIT VEKTOR

Unit vektor adalah vektor yang memiliki satu satuan panjang (panjangnya adalah 1 unit).

UNIT VEKTOR ORTHOGONAL

Unit vektor orthogonal adalah unit vektor untuk masing-masing salib sumbu koordinat kartesian orthogonal. Didalam kasus sistem kartesian 3 dimensi, masing-masing salib sumbu diwakili oleh unit vektor i, j, k (Gambar 1.6).

Gambar 1.6. Komponen unit vektor orthogonal dalam sistem koordinat kartesian 3D

PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR

Arti geometris perkalian suatu vektor dengan suatu besaran skalar (diperbesar atau diperkecil dengan suatu skala tertentu) dilukiskan pada Gambar 1.7.

Gambar 1.7. Perkalian vektor dengan skalar

Disini vektor p, a, dan b diperbesar dengan skalar α, β, dan γ sehingga vektor asli dengan vektor yang diperbesar memiliki hubungan:

;

Jika vektor a dan b adalah komponen dari vektor p, maka αa dan βb adalah komponen dari vektor γp.

Dari pesamaan tersebut disimpulkan bahwa:

1. Setiap vektor dapat diwakilkan oleh jumlahan dua buah vektor yang terskala, ko-planar (sebidang) linier independen (tidak sejajar).

2. Dua buah vektor yang linier independen dapat digunakan untuk men-skala (memperbesar atau memperkecil) ruang 2 dimensi (sistem koordinat kartesian 2 dimensi).

KONSEP PERSAMAAN VEKTOR

Gambar 1.8 menunjukkan sebuah vektor AB yang memiliki dua buah komponen vektor a dan b. Vektor a dan b masing-masing juga memiliki komponen-komponen vektornya. Pergerakan dari A ke B dapat ditulis:

Gambar 1.8. Komposisi vektor AB

Dari Gambar 1.8 terlihat bahwa koefisien skalar dapat dijumlahkan:

VEKTOR LINIER INDEPENDEN

Untuk dua buah vektor yang sejajar a dan b (Gambar 1.9a) hubungan dibawah ini berlaku:

Untuk kasus ini, vektor a dan b disebut dengan vektor yang linier dependen.

bawah)bagian n (pergeraka atas)bagian n (pergerakab a b a b a b a 332211 β+α=β+α+β+α+β+α

32 1

3 21

β=β+β+βα=α+α+α

nol)dengan sama tidak ,(untuk b a βαβ=α

Gambar 1.9. Dependensi dan Independensi antar vektor

Untuk dua buah vektor c dan d yang tidak sejajar (Gambar 1.9b) hubungan dibawah ini tidak berlaku:

Untuk kasus ini, vektor c dan d disebut dengan vektor yang linier independen.

Jika vektor c (Gambar 1.9c) adalah ko-planar linier independen terhadap vektor a dan b maka hubungan dibawah ini berlaku:

Karena itu vektor c adalah linier dependen terhadap vektor a dan b.

PENYAJIAN VEKTOR – SEBAGAI KOMPONEN ORTHOGONAL ATAU KOORDINAT?

Gambar 1.10 menunjukkan bahwa titik P terletak didalam sistem koordinat kartesian 3D (XYZ). Sistem koordinat kartesian ini memiliki unit vektor orthogonal i, j, k pada masing-masing salib sumbunya. Unit vektor orthogonal i pada sumbu X, Unit vektor orthogonal j pada sumbu Y, dan Unit vektor orthogonal k pada sumbu Z. Sehingga dapat dikatakan ketiga unit vektor orthogonal ini mendefinisikan ketiga salib sumbu (XYZ) sistem koordinat kartesian.

nol)dengan sama tidak ,(untuk d c βαβ=α

nol)dengan sama tidak ,(untuk b a c βαβ+α=

Gambar 1.10. Vektor didalam sistem kartesian 3D dan komponen orthogonalnya.

Vektor posisi p dari titik P didalam sistem kartesian XYZ mempunyai 3 komponen orthogonal yaitu αi, βj, γk. Ketiga komponen orthogonal ini adalah hasil perkalian antara skalar (skala) dengan unit vektor orthogonal i, j, k pada masing-masing salib sumbunya.

Dengan kata lain vektor posisi p dapat didefinisikan sebagai:

Karena i, j, k adalah unit vektor (memiliki satu satuan panjang) maka persamaan diatas dapat

ditulis:

Dari rumus ini jelas terlihat bahwa ketiga faktor skalar (skala) diatas adalah koordinat titik P.

Ringkasan persamaan vektor:

1. Hukum komutatif: 2. Hukum Asosiatif: 3. Hukum komutatif: 4. Hukum Asosiatif: 5. Hukum Distributif: 6. Hukum Distributif:

γkβjαip ++=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

∆Z∆Y∆X

γβα

p

7. Notasi: P

PENJUMLAHAN DARI KOMPONEN-KOMPONEN VEKTOR

Aturan penjumlahan vektor dapat diperluas dengan melibatkan masing-masing komponen vektornya.

Gambar 1.11. Vektor didalam sistem kartesian 3D dan komponen orthogonalnya.

Dari Gambar 1.11 terlihat bahwa vektor r memiliki 2 komponen yaitu vektor p dan q. Masing-

masing komponen memiliki juga komponen-komponen orthogonalnya. Dengan kata lain:

Sehingga komponen orthogonal vektor p dan q dapat ditulis sebagai:

Sehingga vektor r dapat ditulis menjadi:

r vektor darikomponen adalah q p,dimensi 3kartesian koordinat sistemuntuk r unit vektoadalah k j, i,

qor untuk vektskalar faktor adalah q ,q ,qpor untuk vektskalar faktor adalah p ,p ,p

321

321

kqjqiqqkpjpipp

321

321

++=++=

Vektor r tidak lain adalah penjumlahan komponen orthogonal dari masing-masing unit vektor orthogonal.

Kesepakatan penulisan notasi vektor posisi p, q, r didalam mata kuliah ini adalah sebagai berikut:

kqpjqpiqprqpr

)()()( 332211 +++++=+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

33

22

11

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

menjadi ditulisdapat persamaan sehingga

qpqpqp

qqq

ppp

rrr

qprrrr

rqqq

qppp

p