BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Permasalahan yang banyak berhubungan dengan pola suatu data adalah

fungsi yang melibatkan data.Sebagai contoh bila diketahui data-data penjualan

suatu produk, akan muncul pertanyaan adakah fungsi yang menyatakanbahwa

penjualan merupakan fungsi dari waktu.Contoh kenyatan yang menunjukkan

bahwa penjualan dipengaruhi oleh waktu ialah “penjualan es campur pada siang

hari akan lebih baik dari pada penjualan di malam hari.

Kenyataan tersebut dapat di katakana bahwa penjualan merupakan fungsi

dari waktu .Persoalannya adalah bagaiman menyajikan fungsi tersebut.Ini adalah

persoalan yang sangat tidak mudah untuk di pecahkan , karena betapa idealnya

bila diketahui suatu fungsi yang bisa menyatakan penjualan adalah fungsi waktu

atau di tuliskan dengan J = F (t ).

Untuk dapat menyajikan fungsi, yang dapat di lakukan adalah

menggunakan fungsi pendekatan , yaitu fungsi yang paling sesuai untuk

menyatakan suatu data berdasarkan model fungsi tertentu seperti model fungsi

linear , fungsi eksponensial , dan fungsi polinomial. Cara pendekatan ini bukan

untuk menyatakan fungsi tetapi untuk mencari nilai – nilai antara titik – titik yang

di ketahui sehingga pola fungsinya semakin jelas terlihat atau membentuk suatu

kurva.Cara pendekatan ini di namakan dengan interpolasi .Interpolasi di gunakan

untuk menentukan titik – titik yang lain berdasarkan fungsi pendekatan yang di

tentukan sebelumnya.

Interpolasi adalah proses pencarian dan penghitungan nilai suatu fungsi

yang grafiknya melewati sekumpulan titik-titik yang diberikan. Titik-titik tersebut

mungkin merupakan hasil eksperimen dalam sebuah percobaan, atau diperoleh

dari suatu fungsi yang diketahui. adapun kegunaan lain dari interpolasi adalah

untuk menaksir harga-harga tengah antara titik data yang sudah tepat. Interpolasi

mempunyai orde atau derajat.

1

Metode ini menggunakan interpolasi pangkat tiga yang diasumsikan

berlaku pada titik-titik yang terletak di antara dua titik data yang diketahui. Fungsi

yang bersangkutan kemudian diaplikasikan pada semua titik-titik data yang ada,

sehingga didapatkan persamaan simultan, yang selanjutnya dapat diselesaikan

dengan menggunakan metode matriks. Metode ini dapat pula dipergunakan untuk

menentukan turunan dari fungsinya pada titik-titik yang terletak di dalam daerah

yang diinterpolasi.

Splin tediri dari 3 jenis, yaitu splin linear, splin kuadratik, dan splin kubik.

Dalam praktiknya, splin kubik yang sering dipakai karena memberikan

aproksimasi yang lebih lebi dapat diterima dan nilai hampiranya lebih mendekati

ke nilai yang sebenarnya dibandingkan dengan linear dan kuadrik, walaupun

turunan ketiga atau yang lebih tinggi bisa diskontinu, namun biasanya tidak dapat

dideteksi secara visual sehingga dengan sendirinya dapat diabaikan. Karena

menentukan titik-titik datanya sangat rumit, akan dilakukan penjabaran rumus dari

teorema splin pangkat tiga.

1.2 Batasan Masalah

Interpolasi splin pangkat tiga merupakan bagian dari interpolasi splin yang

terdiri dari linear, kuadrik dan kubik (pangkat tiga), namun dalam pembahasan

kali ini penulis membatasi permasalahan hanya pada penjelasan interpolasi splin

pangkat tiga dan teorema interpolasi splin pangkat tiga.

1.3 Tujuan Masalah

Tujuan dari pembahasan fungsi polinomial interpolasi splin pangkat tiga ini

yaitu sebagai berikut :

1.3.1 Untuk mengetahui lebih jauh mengenai interpolasi splin pangkat tiga.

1.3.2 Untuk mengetahui teorema splin pangkat tiga.

1.4 Sistematika Penulisan

Makalah ini dirumuskan menjadi laporan yang dibagi menjadi empat

bab. Pada bab I, pendahuluan yang berisikan latar belakang yang isinyadituangkan

2

berbagai informasi dan argumentasi mengenai interpolasi splin pangkat tiga,

kenapa judul ini diambil , apa keunikan judul ini dan mengapa layak untuk

diseminarkan.

Pada bab II diuraikan tentang materi pendukung terhadap judul dari

makalah ini. Dimana materi pendukung itu sendiri yaitu Kalkulus Differensial dan

Interpolasi Splin lainya.

Pada bab III diuraikan tentang pembahasan, yaitu pembahasan tentang

interpolasi, interpolasi splin pangkat tiga, dan teoremanya.

Pada bab IV tertuang tentang penutup, dimana penutup tersebut terdiri dari

kesimpulan dan saran. Kesimpulan berisi penjelasan dari rumusan masalah pada

bab pendahuluan, sedangkan saran berisi nasihat-nasihat penulis untuk pembaca

agar lebih memahami materi ini.

3

BAB II

TEORI PENDUKUNG

2.1 Kalkulus Differensial[ 1 ]

Bentuk dari sistem persamaan differensial ordo n yaitu :

y '1=a11 y1+a12 y2+⋯+a1 n yn

y ' '2=a21 y1+a22 y2+⋯+a2n yn

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

ynn=an 1 y1+an 2 y2+⋯+ann yn

Dimana dapat dituliskan dalam notasi matriks, yaitu :

[ y ' 1

y ' ' 2

⋮yn

n]=[ a11 a12 ⋯ a1 n

a21 a22 ⋯ a2 n

⋮ ⋮ ⋮an 1 an 2 ⋯ ann

]Atau secara lebih ringkas dapat ditulis yn=Ay

2.1 Interpolasi Spline[ 6 ]

Interpolasi spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan

turunan-turunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu. Ketika k=1 ,

spline dinamakan spline linear. Ketika k=2, spline dinamakan spline kuadratik.

Ketika k=3 ,spline dinamakan spline kubik.

2.2.1 Spline Linear

Akan dicari suatu fungsi spline linear S ( x ) sedemikian sehingga S ( x i )=( y i )

untuk 0 ≤ i≤ n. Diambil

Sx={ S0 ( x ) ; xϵ [x1 , x2]S1 ( x ) ; xϵ [ x1 , x2 ]

⋮ ⋮Sn−1 ( x ); xϵ [ xn−1 , xn]

Dengan setiap Si ( x ) adalah linier. Diperhatikan fungsi linear Si ( x ). Garis

inimelalui titik (x i , y i) dan (x i+1 , y i+1), sehingga kemiringan dari Si ( x ) yaitu:

4

mi=y i+1− yi

x i+1−x i

Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (x i , y i) dan ¿untuk

sembarang x∈[ x i , x+1 i], sehingga:

mi=S i (x )− y i

x−x i

yang memberikan

Si ( x )= y i+mi ( x−xi )¿ y i+yi+1− y i

xi+1−x i( x−x i )

kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua

spline bertemu,kemiringannya berubah secara mendadak. Secara formal ini berarti

bahwa turunanpertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik

tersebut.Kelemahan ini diatasi olehpenggunaan polinomial spline orde yang lebih

tinggi.

2.2.2 Spline Kuadratik

Tidak seperti spline linear, spline kuadratik tidak didefenisikan

sepenuhnya oleh nilai-nilai di x i. Karena Spline kuadratik didefnisikan oleh:

Si(x )=ai x2+bi x+c i

Jadi terdapat 3 n parameter untuk mende.nisikan S(x ).Diperhatikan titik-titik data:

x0 x1 x2 ⋯ xn

y y y1 y2 ⋯ yn

Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini.

1. Setiap subinterval [ x i , x i+1 ] untuk i=0,1,2 , …, n−1 memberikan dua

persamaan berkaitan dengan Si(x ), yaitu :

Si ( xi)= y i dan S i ( xi+1 )= y i+1

jadi, disini didapatkan 2 n persamaa.

2. Syarat pada kontinuitas dari S' (x) memberikan suatu persamaan tunggal

untuk setiap titik dalamx i , i=0,1,2 ,…,n−1 yaitu:

S'i−1 ( x i )=S '

i(x i)

5

Jadi dari sini dipunyai n−1 persamaan. Sekarang totalnya terdapat 3n−1

persamaan, tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka

systemmempunyai kekurangan ketentuan.

3. Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan

yaitu:

S'❑ ( x0 )=0 atau S ( {x} rsub {0} )=

Sekarang dimisalkan z i=S'i ( xi ) . karena Si ( x i)= y i, S

'i ( x i )=zi, dan

S'i ( x i+1)=z i+1, maka kita dapat mendefinisikan :

Si ( x )=z i+ 1−z i

2 ( x i+1−x i )( x−x i )

2+zi ( x−x i )+ y i

Selanjutnya, dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh

y i+1=S i ( x )=zi+1−z i

2 ( x i+1−x i )( x−x i )

2+zi ( x−xi )+ y i

y i+1− y i=zi+1−zi

2 ( x−x i )❑+z i ( x−xi ) y i+1− y i=

zi+1−z i

2 ( x−x i )❑

Jadi, kita dapat menentukan z i+1 dari zi:

z i+1=2y i+1− y i

x i+1−x i−zi

6

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Interpolasi Splin Pangkat Tiga

Interpolasi adalah proses pencarian dan penghitungan nilai suatu fungsi

yang grafiknya melewati sekumpulan titk yang diberikan. Titik-titik tersebut

mungkin merupakan hasil eksperimen dalam sebuah percobaan, atau diperoleh

dari suatu fungsi yang diketahui.adapun kegunaan lain dari interpolasi adalah

untuk menaksir harga-harga tengah antara titik data yang sudah tepat. Interpolasi

mempunyai orde atau derajat.

Untuk n+1 akan tedapat polinom interpolasi orde ke-n yang dapat

dihasilkan untuk menginterpolasi nilai suatu fungsi di dalam selang titik data.

Namun terkadang hal ini tidak memberikan kecocokan yang bagus. Pendekatan

lainnya adalah dengan menerapkan polinom interpolasi yang lebih rendah pada

sebagian titik data. Polinom demikian dikenal sebagai polinom Interpolasi Splin.

Jika diantara dua titik data di bangun suatu polinom orde tiga, maka kurva nya di

sebut splin kubik (cubic spline)atau pangkat tiga.[ 2 ]

Terdapat n+1 data pasangan bilangan(x 0 , f 0), ( x1 , f 1 ) , …,(xn , fn)

dengan x 0 , x 1, x2 ,…, xn nilainya berbeda jika ingin memperoleh sebuah

polinom Pn (x0)yang bernilai f j di x j ,dengan kata lain :

Pn (x0) = , f 0 , Pn (x1) = f 1, . . . , Pn (xn) = f n

Dan berderajat n atau kurang. Polinom , Pn sering dinamakan polinom

penginterpolasi.x j sering dinamakan simpul. Besaran f j mungkin saja merupakan

nilai fungsi matematis f (x) tertentu sehingga f (xj) = f i dengan demikian Pn (x) ini

digunakan untuk mempeoleh nilai bagi semua x yang merupakan nilai hampiran

bagi f (x). Jika x yang ingin dicari teletak diantara simpul-simpul tersebut maka

dinamakan intepolasi.[ 5 ]

7

y

3.2 Teorema Splin Pangkat Tiga[ 1. h. 169 ]

Teorema Interpolasi Splin Pangkat Tiga

Jika diketahui n titik-titik (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), dengan xi+1-xi

¿h ,dimana i=1 ,2 , . .. , n , diperoleh suatu persamaan :

S ( x )=¿

Yang menginterpolasi titik-titik tersebut mempunyai koefisien-koefisien yang

dinyatakan dengan :

a i=( M i+1 – M i )16 h

b i=M i

2

c i=( yi+1− y i)

h−¿

d i= yi

Untuk i=1 ,2 ,3 , …,n−1 dimana Mi = S' '(x i), i=1 , 2 ,…,n.

Bukti :

Karena polinomial itu banyak, maka anggaplah terdapat n titik pada

bidang xy pada gambar 1, (x1 , y1),(x2 , y2) , .. . ,(xn , yn). Misalkan setiap x titik-

titik tersebut sama dengan h, maka diperoleh :x2−x1=x3−x2=. . .=xn−xn−1=h.

Misalkan y=S (x) , x1 ≤ x ≤ xn yang menyatakan kuva penginterpolasi. Asumsikan

bahwa kurva ini menggambarkan bentuk perpindahan splin penggambar yang

8

x

menginterpolasi n titik-titik ketika pemberat mempertahankan posisi splin berada

di n titik tersebut seara tepat.

Diketahui dari teori berkas linear (linear beam theory), bahwa untuk

perpindahan kecil, turunan keempat dai perpindahan suatu berkas akan

mempunyai nilai 0 pada interval manapun sepanjang sumbu x pada interval

manapun yang tidak mengandung gaya-gaya eksternal yang bekerja pada berkas

tersebut. Jika kita memperlakukan splin penggambar ini sebagai berkas cahaya

tipis dan mengetahui bahwa satu-satunya gaya eksternal yang bekerja pada berkas

tersebut berasal dari beban-beban pada n titik-titik tertentu, maka kita akan

memperoleh :

S(iv) (x)≡ 0(1)

Untuk nilaix yang terletak pada n−1 interval-interval terbuka

(x1 , x2) ,(x2 , x3), . . ., (xn−1 , xn) ,di antara n titik-titik.Kita juga membutuhkan hasil

dari teori berkas linear yang menyatakan bahwa untuk berkas yang hanya dikenai

oleh gaya-gaya eksternal, maka perpindahannya harus mempunyai dua turunan

yang kontinu. Dalam hal dimana kurva menginterpolasi y=S (x) dibuat dengan

splin penggambar, ini berarti bahwa S ( x ) , S' (x ) , dan S ' ' (x ) harus kontinu pada x1

≤ x≤ xn.

Untuk menentukan bentuk matematis dari fungsi S(x ), kita mengamati

bahwa karena S(iv) (x)≡ 0dalam interval-interval antara n titik tertentu, maka

dengan mengintegralkan empat kali persamaan ini kita dapat bahwa S(x ) harus

berupa polinomial kubik atau polinomial pangkat tiga di dalam x pada tiap

interval semacam ini. Pada umumnya S(x ) berbentuk polinomial pangkat tiga

yang berbeda untuk setiap interval, sehingga S ( x ) harus mempunyai bentuk :

9

Gambar 1[ 1.h ,165 ]

S ( x )={ S1 ( x ) x1 ≤ x ≤ x2

S2 ( x ) x2 ≤ x ≤ x3

⋮Sn−1 ( x ) xn−1 ≤ x ≤ xn

Dimana S 1(x) , S2( x) ,. . . , Sn−1(x) adalah polinomial-polinomial pangkat tiga.

Untuk memudahkan, kita akan menulis polinomial-polinomial pangkat tiga

tersebut bedasarkan segitiga pascal, yaitu :

an−1¿

Setelah kita bentuk dalam polinomial-polinomialnya, subtitusi bentuk polinomial-

polinomial tersebut kedalam persamaan (2), sehingga didapatkan:

¿

Dari persamaan (2) dan (3), kita peroleh persamaan (4):

¿

Dari persamaan ke (4), maka turunan pertamanya didapatlah :

¿Kemudian, dari turunan kedua persamaan ke (4), di dapat :

S ' ' ( x )=S ' '1 ( x )=6 a1(x−x1)+2 b1 , x1 ≤ x ≤ x2

S ' ' ( x )=S' '2 ( x )=6a2( x−x2)+2 b2 , x2 ≤ x ≤ x3

⋮S ' ' ( x )=S' '

n−1 ( x )=6an−1( x−xn−1)+2bn−1

,,

⋮xn−1≤ x≤ xn

Sekarang kita akan

menggunakan persamaan-persamaan tersebut dan empat sifat dari splin pangkat

tiga yang dinyatakan sebelum ini untuk merumuskan koefisien-koefisien yang tak

diketahui ai, bi, c i, dan di, i=1 , 2, 3 , . .. , n−1, koordinat-koordinat y i, y2, . . . , yn

yang diketahui. Empat sifat dari splin pangkat tiga adalah:

1. S(x ) menginterpolasi titik-titik (x i, y i), i=1,2 , .. . , n . Karena S(x )

menginterpolasi titik-titik (x i, y i), i=1,2 , .. . , n, maka kita mempunyai :

S ( x )= y1 , S ( x )= y2 , …, S ( xn )= yn……… ………..(7)

Dari n−1 persamaan yang pertama ini dan (4) kita memperoleh:

d1= y1 , d2= y2 ,⋯ , dn−1= yn−1 ................... (8)

Dari persamaan terakhir dalam (7), persamaan terakhir dalam (4), dan

kenyataan bahwa xn−xn-1 =h, kita mendapatkan :

10

..................... (2)

......... (3)

......... (5)......... (6)

an−1h3+bn−1h2+cn−1 h+dn−1= yn ………………… (9)

2. S(x ) kontinu pada [ x1 , xn ]

Karena S(x ) kontinu untuk x1≤ x≥ xn, maka tiap titik x i pada himpunan x2, x

3, ... , xn-1, kita harus mempunyai:

Si−1 ( xi )=S i ( xi ) , i=2 , 3 ,…,n−1 ………………(10)

Maka dari (10) atau (4) kita dapatkan :

a1h3+b1h2+c1 h+d1= y2

a2h3+b2h2+c2 h+d2= y2

⋮

an−2h3+bn−2h2+cn−2 h+dn−2= y2 ........................... (11)

3. S' (x ) kontinu pada [ x1 , x2 ]Karena S' (x )kontinu pada x1 ≤ x≤ xn , maka :

S 'i−1 ( xi )=S 'i ( xi ) , i=2 ,3 ,…,n−1

Atau dari persamaan (5) diperoleh:

3 a1 h3+2 b1 h2+c1=c2

3 a2 h3+2 b2 h2+c2=c3

⋮

3 an−2 h3+2 bn−2 h2+cn−2=cn−1............................ (12)

4. S' ' (x ) kontinu pada[ x1, x2 ]Karena S' ' (x ) kontinu pada x1≤ x≤ xn, maka :

S ' 'i−1 ( xi )=S ' 'i ( x i) , i=2 , 3 ,…,n−1

Atau dari persamaan (6) kita peroleh:

6a1h+2b1=2b2

6 h+2 b2=2 b3

11

⋮

6 an−2h+2 bn−2=2bn−1 ..................................(13)

Persamaaan (8), (9), (1), (12), dan (13) membentuk sebuah sistem dari 4n-

6 persamaan linear dengan 4n-4 koefisien-koefisien yang tidak diketahui untuk ai,

bi, c i, dan di, i=1 , 2, 3 , . .. , n−1. Knsekuensinya kita membutuhkan dua persaman

tambahan untuk menentukan koefisien-koefisien tersebut secara unik. Namun

demikian sebelim mendapatkan persamaan-persamaan tambahan ini kita dapat

menyederhnakan sistem yang telah ada dengan menyatakan ai, bi, c i, dan di, yang

tak di”ketahui dalam bentuk kuantitas tak diketahui yang baru, yatu :

M 1=S' ' ( x1 ) , M 2=S ' ' ( x2 ) , …, M n=S' ' (xn)

Dan kuantitas yang diketahui, yaitu : y1 , y2, . . . , yn

Sebagai contoh, dari persamaan (6) diperoleh :

M 1=2b1

M 2=2 b2

⋮❑

M n−1=2bn−1

Sehingga :

b1=12

M 1 , b2=12

M 2 ,… ,bn−1=12

M n−1

Kita telah mengetahui dari persamaan (8) bahwa:

d1= y1 , d2= y2 ,…, dn−1= yn−1

Diperoleh suatu persamaan :

S ( x )=¿

a i=( M i+1 – M i )16 h

b i=M i

2

c i=( yi+1− y i)

h−¿ (14)

d i= yi

12

Untuk i=1 ,2 ,3 , …,n−1 dimana Mi = S' '(x i), i=1 , 2 ,…,n. Subtitusikan

persamaan (14) ke (12) , diperoleh :

M 1+4 M 2+M 3=6 ( y1 – 2 y2+ y3 )

h2

M 2+4 M 3+M 4=6 ( y2 –2 y3+ y4 )

h2

⋮

M n−2+4 M n−1+M n=6 ( yn−2 – 2 yn−1+ yn )

h2 ………………………(15)

Persamaan (15) dapat di bentuk kedalam matriks, yaitu :

[1 4 1 00 1 4 10 0 1 4

⋯0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋮ ⋱ ⋮0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋯4 1 0 01 4 1 00 1 4 1

][M 1

M 2

M 3

M 4

⋮M n−3

M n−2

M n−1

M n

]= 6h2 [

y1−2 y2+ y3

y2−2 y3+ y4

y3−2 y4+ y5

⋮yn−4−2 yn−3+ yn−2

yn−3−2 yn−2+ yn−1

yn−2−2 yn−1+ yn

]

13

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Kesimpulan dai pembahasan makalah ini yaitu, sebagai berikut:

1. Interpolasi adalah proses pencarian dan penghitungan nilai suatu fungsi

yang grafiknya melewati sekumpulan titk yang diberikan.Misalkan

x0<x1<. . .. .<xn adalah serangkaian titik. Fungsi S merupakan spline

berderajat k jika:

a. Sadalah polinomial berderajat tidak lebih dari k pada tiap subinterval

[ xi , xi+1] .

b. S ,S ' ,…,Sk−1semuanya kontinyu pada interval [ x0 , xn]

2. Jika diantara dua titik data dibangun suatu polinom orde tiga, maka hal ini

di sebut sebagai splin pangkat tiga. Polinom orde tiga itu dalam bentuk :

S ( x )={ S1 ( x ) x1 ≤ x ≤ x2

S2 ( x ) x2 ≤ x ≤ x3

⋮Sn−1 ( x ) xn−1 ≤ x ≤ xn

3. Teorema Interpolasi Splin Pangkat Tiga yaitu :

Jika diketahui n titik-titik (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), dengan

x i+1−x i=h ,dimana i=1 , 2 ,. . . , n , diperoleh suatu persamaan :

S ( x )=¿

Yang menginterpolasi titik-titik tersebut mempunyai koefisien-koefisien yang

dinyatakan dengan :

a i=( M i+1 – M i )16 h

b i=M i

2

14

c i=( yi+1− y i)

h−¿

d i= yi , Untuk i=1 , 2 ,3 , …, n−1 dimana Mi = S' '(x i), i=1 , 2 ,…, n.

4.2 Saran

Dalam pembahasan makalah mengenai interpolasi splin pangkat tiga ini lebih

ke aljabar linear elementer yang mencari nilai fungsi yang turunan dan fungsinya

tidak diketahui, penulis menyarankan ketika anda ingin mencari nilai fungsi eror

dan ingin menghasilkan galat yang kecil maka gunakanlah splin pangkat tiga

dengan metode numerik.

15

DAFTAR PUSTAKA

[ 1 ]Anton, H & Chris Rorres. Aljabar Linear Elementer, edisi ke-delapan jilid II.

2004. Jakarta : Erlangga.

[ 2 ]Setiawan, Agus. Pengantar Metode Numerik. 2006. Yogyakarta : ANDI.

[ 3 ]Jayanti, Anastasia Vrysca .Skripsi Perbandingan Interpolasi dalam Metode

Splin, 2007, Yogyakarta : Universitas Sanata Dharma.

[ 4 ]Sihabuddin,agus dan Dalijo.elisa.ugm.ac.id/user/archive/download/50633/f

307ce8807a52c61856596ba9d8ea, diakses 30 november 2016, pukul

12:15

[ 5 ]Silalahi, L,

2011.http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/28322/3/Chapter

%20II.pdf / Jurnal Matematika. Dikutip pada 30 November 2016, pukul

9.40

[ 6 ]Hariyanto,Andri.https://www.academia.edu/8738105/interpolasi_defenisi_dan _ macam _macamny. Dikutip pada 27 desember 2016, 05:47

16

17