Post on 30-Mar-2023
8.1 Serakan
1. Sukatan serakan merupakan suatu sukatan yang penting dalam
statistik, sukatan serakan memberi kita gambaran tentang cara
nilai-nilai dalam satu set data ditaburkan.
2. Sukatan serakan suatu data ialah sukatan kuantitatif seperti julat,
julat antara kuartil, varians dan sisihan piawai.
3. Serakan adalah kecil jika set data itu mempunyai julat yang kecil
dan sebaliknya.
Contoh:
Jadual dibawah menunjukkan dua set skor dalam suatu kuiz yang
dijalankan oleh dua kumpulan murid.
Kumpulan A 5 6 6 6 7 7 8 9 9
Kumpulan B 2 5 6 7 7 7 8 9 12
Cari,
a. skor min bagi dua kumpulan,
b. nyatakan skor kumpulan mana yang tersebak luas dan buat
satu kesimpulan tentangnya.
Penyelesaian:
a. Skor min Kumpulan A =
= 7
Skor min Kumpulan B =
= 7
b. Beza antara skor tertinggi dan skor terendah bagi Kumpulan B
adalah besar. Skor min bagi dua kumpulan adalah sama tetapi
prestasi kedua – dua kumpulan adalah tidak sama.
BAB 8
Sukatan Serakan Data
Tak Terkumpul
8.1.2 Membanding dan Mentafsir Serakan Dua Set Data
1. Plot batang-dan-daun dan plot titik digunakan untuk membanding
dan mentafsir serakan dua set data.
2. Plot batang-dan-daun belakang-ke-belakang terdiri daripada satu
batang dan dua daun manakala plot titik belakang-ke-belakang
terdiri daripada satu garis nombor dan dua set taburan.
Contoh 1:
Rajah dibawah menunjukkan plot batang-dan-daun belakang-ke-
belakang yang mewakili isi padu dalam cm3 bagi dua jenis kotak.
Plot batang-dan-daun belakang-ke-belakang
bagi isi padu dua jenis kotak
Daun untuk kotak A Batang Daun untuk kotak B
3 1 0 1 2 4 6
7 5 3 2 2 3 6 7 8
9 6 6 4 3 1 2 6 7
3 3 4 0 3 5 5
4 0 5
Kekunci: 1 | 3 bermakna 13cm3.
Membanding dan mentafsir serakan dua set data tersebut.
Penjelasan:
Nilai-nilai isi padu bagi kotak A terserak lebih luas, iaitu 10cm3 hingga
54cm3 berbanding nilai-nilai isi padu bagi kotak B, iaitu, 12cm3 hingga
45cm3.Ukuran kecenderungan pusat yang sesuai untuk perbandingan
kedua-dua set data adalah median. Median bagi Kotak A adalah
34cm3 juga lebih besar berbanding dengan Kotak B yang mempunyai
31cm3 sahaja.
Contoh 2:
Rajah dibawah menunjukkan plot titik belakang-ke-belakang yang
mewakili jisim pekerja, dalam kg bagi dua buah syarikat.
●
● ● ●
● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ●
● ● ●
● ● ●
● ●
● ●
Membanding dan mentafsir serakan dua set data tersebut.
Penjelasan:
Nilai-nilai jisim pekerja bagi Syarikat A terserak lebih luas, iaitu 30kg
hingga 55kg berbanding nilai-nilai jisim pekerja bagi Syarikat B, iaitu,
35kg hingga 55kg. Julat bagi Syarikat A ialah 40kg hingga 50kg
manakala julat bagi Syarikat B ialah 45kg hingga 55kg. Ukuran
kecenderungan pusat yang sesuai untuk perbandingan kedua-dua set
data adalah median. Median bagi Syarikat A adalah 45kg lebih kecil
berbanding dengan Syarikat B yang mempunyai 50kg.
30 35 40 45 50 55
Syarikat A
Syarikat B
8.2 Sukatan Serakan
8.2.1 Julat, Julat antara Kuartil, Varians dan Sisihan Piawai
1. Julat bagi suatu set data tak terkumpul adalah beza antara nilai
cerapan terbesar dengan nilai cerapan terkecil.
Contoh:
Cari julat bagi set tersebut.
a. 100kg, 134kg, 123kg, 203kg, 225kg, 279kg, 212kg
Penyelesaian:
Nilai yang terkecil = 100kg
Nilai yang terbesar = 279kg
Julat = 279kg – 100kg
= 179kg
2. Julat antara kuartil bagi suatu set data adalah beza antara kuartil
ketiga, Q3, iaitu nilai data yang berada pada kedudukan
daripada
keseluruhan susunan data, dengan kuartil pertama, Q1, iaitu nilai
data yang berada pada kedudukan
yang pertama. Nilai-nilai
sesuatu data perlu disusun mengikut tertib menaik.
Contoh:
Cari median dan julat antara kuartil bagi setiap set berikut.
a. 2, 4, 5, 7, 9, 10
Median, Q2 =
= 6
Kuartil pertama, Q1 = Nilai ke-2 = 4
Kuartil ketiga, Q3 = Nilai ke-5 = 9
Julat antara kuartil = Q3 – Q1 = 9 – 4
= 5
Julat = Nilai cerapan terbesar – Nilai cerapan terkecil
Julat antara kuartil = Q3 – Q1
b. 5, 9, 11, 14, 16
Median, Q2 = Nilai ke-3 = 11
Kuartil pertama, Q1 =
= 7
Kuartil ketiga, Q3 =
= 15
Julat antara kuartil = Q3 – Q1 = 15-7
= 8
3. Varians, 2, ialah purata kuasa dua bagi beza data dengan min.
2 = ∑
4. Sisihan piawai ialah punca kuasa dua positif bagi varians.
= √∑
�� = min aritmetik set data
∑ 𝑥 − �� = hasil tambah kuasa dua sisihan-sisihan daripada min
N = jumlah bilangan nilai dalam set data
Contoh:
Rajah dibawah menunjukkan masa dalam minit yang digunakan oleh
10 pelajar untuk menyelesaikan kuiz matematik.
Tentukan min, varians dan sisihan piawai bagi set data ini.
Penyelesaian:
Min, =
= ∑
=
=
= 15.9 minit
−
15 0.81
16 0.01
17 1.21
15 0.81
14 3.61
18 4.41
14 3.61
15 0.81
16 0.01
19 9.61
∑x 159 ∑ − 2 = 24.9
15 16 17 15 14
18 14 15 16 19
Varians, 2 = ∑
=
= 2.49 minit
Sisihan piawai, = √∑
= √
= 1.58 minit
8.2.2 Kelebihan dan Kekurangan Pelbagai Sukatan Serakan
a. Julat
Kelebihan : Mudah dihitung.
Kekurangan : Tidak dapat memberikan gambaran yang baik
tentang cara data ditaburkan.
b. Julat antara kuartil
Kelebihan : Bagi kes yang wujudnya pencilan atau nilai ekstrem,
julat antara kuartil adalah lebih sesuai untuk
menunjukkan taburan data berkenaan.
Kekurangan : Tidak selalu mendapat skor yang tepat kerana 50%
bagi data tersebut diabaikan.
c. Sisihan piawai
Kelebihan : Semua nilai data diambil kira dan boleh dihitung
dengan tepat, dan mudah difahami.
Kekurangan : Dipengaruhi oleh nilai ekstrem.
8.2.3 Kesan Perubahan Data Terhadap Sukatan Serakan
1.
Ditambah atau ditolak
dengan suatu nilai
pemalar, k
Didarab dengan suatu
nilai pemalar, k
Julat baharu Julat asal k x julat asal
Julat antara kuartil
baharu Julat antara kuartil asal
k x julat antara kuartil
asal
Varians baharu Varians asal k2 x varians asal
Sisihan piawai
baharu Sisihan piawai asal k x sisihan piawai asal
2. Sesuatu pencilan atau nilai ekstrem dimasukkan atau dikeluarkan
daripada suatu set data.
a. Julat akan berubah dengan mendadak.
b. Nilai julat antara kuartil kurang dipengaruhi.
c. Varians dan sisihan piawai akan bertambah dengan banyak.
Jika beza antara nilai cerapan baharu dengan nilai min adalah
rendah, maka nilai sisihan piawai baharu akan semakin kecil dan
sebaliknya. Jika beza antara nilai cerapan yang dikeluarkan
dengan nilai min adalah rendah, maka nilai sisihan piawai
baharu akan semakin besar dan sebaliknya.
3. Suatu taburan dengan min,
a. Varians dan sisihan piawai menjadi semakin kecil apabila nilai
yang semakin jauh daripada min dikeluarkan.
b. Varians dan sisihan piawai menjadi semakin besar apabila nilai
yang semakin jauh daripada min dimasukkan.
Contoh 1:
Rajah di bawah menunjukkan satu set data yang tak terkumpul.
Cari,
a. julat, julat antara kuartil, min, varians dan sisihan piawai
b.
i. Nilai di dalam setiap data ditambah dengan 4. Cari julat
baharu, julat antara kuartil baharu, varians baharu dan
sisihan piawai yang baharu.
ii. Nilai di dalam setiap data didarab dengan 3. Cari julat
baharu, julat antara kuartil baharu, varians baharu dan
sisihan piawai yang baharu.
c. Bandingkan dua set nilai yang baharu dan memberi penjelasan.
Penyelesaian:
a.
Nilai yang terbesar: 16
Nilai yang terkecil: 12
Julat = 16 – 12
= 4
Kuartil pertama, K1 = 13
Kuartil ketiga, K3 = 15
Julat antara kuartil = 15 – 13
= 2
Min, = ∑
=
=
= 13.8
∑x2 = 122 + 122 + 132 + 132 + 142 + 142 + 142 + 152 + 152 +162
= 1920
Varians, 2 = ∑
–
=
−
= 1.56
12 12 13 13 14 14 14 15 15 16
Sisihan piawai, = √∑
= √
= 1.25
b.
i.
Nilai yang terbesar: 20
Nilai yang terkecil: 16
Julat = 20 – 16
= 4
Kuartil pertama, K1 = 17
Kuartil ketiga, K3 = 19
Julat antara kuartil = 19 – 17
= 2
Min, = ∑
=
=
= 17.8
∑x2 = 162 + 162 + 172 + 172 + 182 + 182 + 182 + 192 + 192 +202
= 3184
Varians, 2 = ∑
–
=
−
= 1.56
Sisihan piawai, = √∑
= √
= 1.25
12 12 13 13 14 14 14 15 15 16
Selepas ditambah dengan 4
16 16 17 17 18 18 18 19 19 20
ii.
Nilai yang terbesar: 48
Nilai yang terkecil: 36
Julat = 48 – 36
= 12
Kuartil pertama, K1 = 39
Kuartil ketiga, K3 = 45
Julat antara kuartil = 45 – 39
= 6
Min, = ∑
=
=
= 41.4
∑x2 = 362 + 362 + 392 + 392 + 422 + 422 + 422 + 452 + 452 +482
= 17280
Varians, 2 = ∑
–
=
−
= 14.04
Sisihan piawai, = √∑
= √
= 3.75
c. Nilai bagi julat, julat antara kuartil, varians dan sisihan piawai
tidak berubah selepas setiap nilai dalam data ditambah
dengan 4. Nilai bagi julat, julat antara kuartil dan sisihan piawai
menjadi tiga kali ganda dan varians menjadi sembilan kali
ganda selepas setiap nilai dalam data didarab dengan 3.
12 12 13 13 14 14 14 15 15 16
Selepas didarab dengan 3
36 36 39 39 42 42 42 45 45 48
Contoh 2:
Rajah di bawah menunjukkan satu set data yang tak terkumpul.
Cari
a. Min dan sisihan piawai.
b. Min dan sisihan piawai yang baharu selepas nilai 10 digantikan
dengan nilai 13
c. Jelaskan kesan nilai ekstrem terhadap sisihan piawai
Penyelesaian:
a.
Min, = ∑
=
=
= 7.1
∑x2 = 52 + 52 + 52 + 62 + 72 + 72 + 82 + 92 + 92 +102
= 535
Varians, 2 = ∑
–
=
−
= 3.09
Sisihan piawai, = √∑
= √
= 1.76
5 5 5 6 7 7 8 9 9 10
b.
Min, = ∑
=
=
= 7.4
∑x2 = 52 + 52 + 52 + 62 + 72 + 72 + 82 + 92 + 92 +132
= 604
Varians, 2 = ∑
–
=
−
= 5.64
Sisihan piawai, = √∑
= √
= 2.37
c.
−
Ini menunjukkan sisihan piawai bertambah sebanyak
34.66% selepas nilai 10 digantikan dengan nilai 13. Hal
ini juga menunjukkan semakin besar nilai ekstrem,
semakin besar nilai sisihan piawai.
Contoh 3:
Rajah di bawah menunjukkan satu set data yang tak terkumpul.
Cari
a. Min dan sisihan piawai.
b.
i. Min dan sisihan piawai yang baharu selepas nilai 33 dimasukkan
ke dalam set data tersebut.
ii. Min dan sisihan piawai yang baharu selepas nilai 35 dimasukkan
ke dalam set data tersebut.
c. Banding dan jelaskan tentang kedua-dua sisihan piawai yang
baharu itu selepas nilai baharu dimasukkan ke dalam set tersebut.
d.
i. Min dan sisihan piawai yang baharu selepas nilai 20
dikeluarkan daripada set data tersebut.
ii. Min dan sisihan piawai yang baharu selepas nilai 28
dikeluarkan daripada set data tersebut.
e. Banding dan jelaskan tentang kedua-dua sisihan piawai yang
baharu itu selepas nilai baharu dikeluarkan daripada set tersebut.
Penyelesaian:
a.
Min, = ∑
=
=
= 23.5
∑x2 = 202 + 202 + 202 + 222 + 222 + 242 + 262 +26 2 + 272 +282
= 5609
Varians, 2 = ∑
–
=
−
= 8.65
Sisihan piawai, = √∑
= √
= 2.94
20 20 20 22 22 24 26 26 27 28
b.
i.
Min, = ∑
=
=
= 24.36
∑x2 = 202 + 202 + 202 + 222 + 222 + 242 + 262 +26 2 + 272 +282 + 332
= 6698
Varians, 2 = ∑
–
=
−
= 15.50
Sisihan piawai, = √∑
= √
= 3.94
ii.
Min, = ∑
=
=
= 24.55
∑x2 = 202 + 202 + 202 + 222 + 222 + 242 + 262 +26 2 + 272 +282 + 352
= 6834
Varians, 2 = ∑
–
=
−
= 18.57
20 20 20 22 22 24 26 26 27 28 35
20 20 20 22 22 24 26 26 27 28 33
Sisihan piawai, = √∑
= √
= 4.31
c. Nilai yang semakin jauh daripada min yang dimasukkan, semakin
besar sisihan piawai.
d.
i.
Min, = ∑
=
=
= 23.89
∑x2 = 202 + 202 + 222 + 222 + 242 + 262 +26 2 + 272 +282
= 5209
Varians, 2 = ∑
–
=
−
= 8.05
Sisihan piawai, = √∑
= √
= 2.84
20 20 22 22 24 26 26 27 28
ii.
Min, = ∑
=
=
= 23
∑x2 = 202 + 202 + 202 + 222 + 222 + 242 + 262 +26 2 + 272
= 4825
Varians, 2 = ∑
–
=
−
= 7.11
Sisihan piawai, = √∑
= √
= 2.67
e. Nilai yang semakin jauh daripada min yang dikeluarkan, semakin
kecil sisihan piawai.
20 20 20 22 22 24 26 26 27
8.2.4 Membanding dan Mentafsir Dua atau Lebih Set Data
Tak Terkumpul
1. Walaupun nilai-nilai bagi pelbagai set data berbeza, tetapi mereka
boleh mempunyai nilai kecenderungan memusat yang sama.
Contoh:
Rajah dibawah menunjukkan nilai-nilai statistik yang diringkaskan bagi
tiga set data.
Set X
N = 10
= 12 ∑ = 1670
Set Y
N = 12
= 12 ∑ = 2340
Set Z
N = 14
= 12 ∑ = 3425
a. Cari sisihan piawai
b. Banding dan tafsirkan sisihan piawai bagi tiga set data ini dan
membuat penjelasan
Penyelesaian:
a.
Sisihan piawai, = √∑
−
Set X:
Sisihan piawai, = √
−
= 4.796
Set Y:
Sisihan piawai, = √
−
= 7.14
Set Z:
Sisihan piawai, = √
−
= 10.035
b. Ketiga-ketiga set ini mempunyai min yang sama. Set Z
mempunyai sisihan piawai yang terbesar dan hal ini
menunjukkan Set Z mempunyai data-data yang terserak paling
luas.