8.1 Serakan

1. Sukatan serakan merupakan suatu sukatan yang penting dalam

statistik, sukatan serakan memberi kita gambaran tentang cara

nilai-nilai dalam satu set data ditaburkan.

2. Sukatan serakan suatu data ialah sukatan kuantitatif seperti julat,

julat antara kuartil, varians dan sisihan piawai.

3. Serakan adalah kecil jika set data itu mempunyai julat yang kecil

dan sebaliknya.

Contoh:

Jadual dibawah menunjukkan dua set skor dalam suatu kuiz yang

dijalankan oleh dua kumpulan murid.

Kumpulan A 5 6 6 6 7 7 8 9 9

Kumpulan B 2 5 6 7 7 7 8 9 12

Cari,

a. skor min bagi dua kumpulan,

b. nyatakan skor kumpulan mana yang tersebak luas dan buat

satu kesimpulan tentangnya.

Penyelesaian:

a. Skor min Kumpulan A =

= 7

Skor min Kumpulan B =

= 7

b. Beza antara skor tertinggi dan skor terendah bagi Kumpulan B

adalah besar. Skor min bagi dua kumpulan adalah sama tetapi

prestasi kedua – dua kumpulan adalah tidak sama.

BAB 8

Sukatan Serakan Data

Tak Terkumpul

8.1.2 Membanding dan Mentafsir Serakan Dua Set Data

1. Plot batang-dan-daun dan plot titik digunakan untuk membanding

dan mentafsir serakan dua set data.

2. Plot batang-dan-daun belakang-ke-belakang terdiri daripada satu

batang dan dua daun manakala plot titik belakang-ke-belakang

terdiri daripada satu garis nombor dan dua set taburan.

Contoh 1:

Rajah dibawah menunjukkan plot batang-dan-daun belakang-ke-

belakang yang mewakili isi padu dalam cm3 bagi dua jenis kotak.

Plot batang-dan-daun belakang-ke-belakang

bagi isi padu dua jenis kotak

Daun untuk kotak A Batang Daun untuk kotak B

3 1 0 1 2 4 6

7 5 3 2 2 3 6 7 8

9 6 6 4 3 1 2 6 7

3 3 4 0 3 5 5

4 0 5

Kekunci: 1 | 3 bermakna 13cm3.

Membanding dan mentafsir serakan dua set data tersebut.

Penjelasan:

Nilai-nilai isi padu bagi kotak A terserak lebih luas, iaitu 10cm3 hingga

54cm3 berbanding nilai-nilai isi padu bagi kotak B, iaitu, 12cm3 hingga

45cm3.Ukuran kecenderungan pusat yang sesuai untuk perbandingan

kedua-dua set data adalah median. Median bagi Kotak A adalah

34cm3 juga lebih besar berbanding dengan Kotak B yang mempunyai

31cm3 sahaja.

Contoh 2:

Rajah dibawah menunjukkan plot titik belakang-ke-belakang yang

mewakili jisim pekerja, dalam kg bagi dua buah syarikat.

●

● ● ●

● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ●

● ● ●

● ● ●

● ●

● ●

Membanding dan mentafsir serakan dua set data tersebut.

Penjelasan:

Nilai-nilai jisim pekerja bagi Syarikat A terserak lebih luas, iaitu 30kg

hingga 55kg berbanding nilai-nilai jisim pekerja bagi Syarikat B, iaitu,

35kg hingga 55kg. Julat bagi Syarikat A ialah 40kg hingga 50kg

manakala julat bagi Syarikat B ialah 45kg hingga 55kg. Ukuran

kecenderungan pusat yang sesuai untuk perbandingan kedua-dua set

data adalah median. Median bagi Syarikat A adalah 45kg lebih kecil

berbanding dengan Syarikat B yang mempunyai 50kg.

30 35 40 45 50 55

Syarikat A

Syarikat B

8.2 Sukatan Serakan

8.2.1 Julat, Julat antara Kuartil, Varians dan Sisihan Piawai

1. Julat bagi suatu set data tak terkumpul adalah beza antara nilai

cerapan terbesar dengan nilai cerapan terkecil.

Contoh:

Cari julat bagi set tersebut.

a. 100kg, 134kg, 123kg, 203kg, 225kg, 279kg, 212kg

Penyelesaian:

Nilai yang terkecil = 100kg

Nilai yang terbesar = 279kg

Julat = 279kg – 100kg

= 179kg

2. Julat antara kuartil bagi suatu set data adalah beza antara kuartil

ketiga, Q3, iaitu nilai data yang berada pada kedudukan

daripada

keseluruhan susunan data, dengan kuartil pertama, Q1, iaitu nilai

data yang berada pada kedudukan

yang pertama. Nilai-nilai

sesuatu data perlu disusun mengikut tertib menaik.

Contoh:

Cari median dan julat antara kuartil bagi setiap set berikut.

a. 2, 4, 5, 7, 9, 10

Median, Q2 =

= 6

Kuartil pertama, Q1 = Nilai ke-2 = 4

Kuartil ketiga, Q3 = Nilai ke-5 = 9

Julat antara kuartil = Q3 – Q1 = 9 – 4

= 5

Julat = Nilai cerapan terbesar – Nilai cerapan terkecil

Julat antara kuartil = Q3 – Q1

b. 5, 9, 11, 14, 16

Median, Q2 = Nilai ke-3 = 11

Kuartil pertama, Q1 =

= 7

Kuartil ketiga, Q3 =

= 15

Julat antara kuartil = Q3 – Q1 = 15-7

= 8

3. Varians, 2, ialah purata kuasa dua bagi beza data dengan min.

2 = ∑

4. Sisihan piawai ialah punca kuasa dua positif bagi varians.

= √∑

�� = min aritmetik set data

∑ 𝑥 − �� = hasil tambah kuasa dua sisihan-sisihan daripada min

N = jumlah bilangan nilai dalam set data

Contoh:

Rajah dibawah menunjukkan masa dalam minit yang digunakan oleh

10 pelajar untuk menyelesaikan kuiz matematik.

Tentukan min, varians dan sisihan piawai bagi set data ini.

Penyelesaian:

Min, =

= ∑

=

=

= 15.9 minit

−

15 0.81

16 0.01

17 1.21

15 0.81

14 3.61

18 4.41

14 3.61

15 0.81

16 0.01

19 9.61

∑x 159 ∑ − 2 = 24.9

15 16 17 15 14

18 14 15 16 19

Varians, 2 = ∑

=

= 2.49 minit

Sisihan piawai, = √∑

= √

= 1.58 minit

8.2.2 Kelebihan dan Kekurangan Pelbagai Sukatan Serakan

a. Julat

Kelebihan : Mudah dihitung.

Kekurangan : Tidak dapat memberikan gambaran yang baik

tentang cara data ditaburkan.

b. Julat antara kuartil

Kelebihan : Bagi kes yang wujudnya pencilan atau nilai ekstrem,

julat antara kuartil adalah lebih sesuai untuk

menunjukkan taburan data berkenaan.

Kekurangan : Tidak selalu mendapat skor yang tepat kerana 50%

bagi data tersebut diabaikan.

c. Sisihan piawai

Kelebihan : Semua nilai data diambil kira dan boleh dihitung

dengan tepat, dan mudah difahami.

Kekurangan : Dipengaruhi oleh nilai ekstrem.

8.2.3 Kesan Perubahan Data Terhadap Sukatan Serakan

1.

Ditambah atau ditolak

dengan suatu nilai

pemalar, k

Didarab dengan suatu

nilai pemalar, k

Julat baharu Julat asal k x julat asal

Julat antara kuartil

baharu Julat antara kuartil asal

k x julat antara kuartil

asal

Varians baharu Varians asal k2 x varians asal

Sisihan piawai

baharu Sisihan piawai asal k x sisihan piawai asal

2. Sesuatu pencilan atau nilai ekstrem dimasukkan atau dikeluarkan

daripada suatu set data.

a. Julat akan berubah dengan mendadak.

b. Nilai julat antara kuartil kurang dipengaruhi.

c. Varians dan sisihan piawai akan bertambah dengan banyak.

Jika beza antara nilai cerapan baharu dengan nilai min adalah

rendah, maka nilai sisihan piawai baharu akan semakin kecil dan

sebaliknya. Jika beza antara nilai cerapan yang dikeluarkan

dengan nilai min adalah rendah, maka nilai sisihan piawai

baharu akan semakin besar dan sebaliknya.

3. Suatu taburan dengan min,

a. Varians dan sisihan piawai menjadi semakin kecil apabila nilai

yang semakin jauh daripada min dikeluarkan.

b. Varians dan sisihan piawai menjadi semakin besar apabila nilai

yang semakin jauh daripada min dimasukkan.

Contoh 1:

Rajah di bawah menunjukkan satu set data yang tak terkumpul.

Cari,

a. julat, julat antara kuartil, min, varians dan sisihan piawai

b.

i. Nilai di dalam setiap data ditambah dengan 4. Cari julat

baharu, julat antara kuartil baharu, varians baharu dan

sisihan piawai yang baharu.

ii. Nilai di dalam setiap data didarab dengan 3. Cari julat

baharu, julat antara kuartil baharu, varians baharu dan

sisihan piawai yang baharu.

c. Bandingkan dua set nilai yang baharu dan memberi penjelasan.

Penyelesaian:

a.

Nilai yang terbesar: 16

Nilai yang terkecil: 12

Julat = 16 – 12

= 4

Kuartil pertama, K1 = 13

Kuartil ketiga, K3 = 15

Julat antara kuartil = 15 – 13

= 2

Min, = ∑

=

=

= 13.8

∑x2 = 122 + 122 + 132 + 132 + 142 + 142 + 142 + 152 + 152 +162

= 1920

Varians, 2 = ∑

–

=

−

= 1.56

12 12 13 13 14 14 14 15 15 16

Sisihan piawai, = √∑

= √

= 1.25

b.

i.

Nilai yang terbesar: 20

Nilai yang terkecil: 16

Julat = 20 – 16

= 4

Kuartil pertama, K1 = 17

Kuartil ketiga, K3 = 19

Julat antara kuartil = 19 – 17

= 2

Min, = ∑

=

=

= 17.8

∑x2 = 162 + 162 + 172 + 172 + 182 + 182 + 182 + 192 + 192 +202

= 3184

Varians, 2 = ∑

–

=

−

= 1.56

Sisihan piawai, = √∑

= √

= 1.25

12 12 13 13 14 14 14 15 15 16

Selepas ditambah dengan 4

16 16 17 17 18 18 18 19 19 20

ii.

Nilai yang terbesar: 48

Nilai yang terkecil: 36

Julat = 48 – 36

= 12

Kuartil pertama, K1 = 39

Kuartil ketiga, K3 = 45

Julat antara kuartil = 45 – 39

= 6

Min, = ∑

=

=

= 41.4

∑x2 = 362 + 362 + 392 + 392 + 422 + 422 + 422 + 452 + 452 +482

= 17280

Varians, 2 = ∑

–

=

−

= 14.04

Sisihan piawai, = √∑

= √

= 3.75

c. Nilai bagi julat, julat antara kuartil, varians dan sisihan piawai

tidak berubah selepas setiap nilai dalam data ditambah

dengan 4. Nilai bagi julat, julat antara kuartil dan sisihan piawai

menjadi tiga kali ganda dan varians menjadi sembilan kali

ganda selepas setiap nilai dalam data didarab dengan 3.

12 12 13 13 14 14 14 15 15 16

Selepas didarab dengan 3

36 36 39 39 42 42 42 45 45 48

Contoh 2:

Rajah di bawah menunjukkan satu set data yang tak terkumpul.

Cari

a. Min dan sisihan piawai.

b. Min dan sisihan piawai yang baharu selepas nilai 10 digantikan

dengan nilai 13

c. Jelaskan kesan nilai ekstrem terhadap sisihan piawai

Penyelesaian:

a.

Min, = ∑

=

=

= 7.1

∑x2 = 52 + 52 + 52 + 62 + 72 + 72 + 82 + 92 + 92 +102

= 535

Varians, 2 = ∑

–

=

−

= 3.09

Sisihan piawai, = √∑

= √

= 1.76

5 5 5 6 7 7 8 9 9 10

b.

Min, = ∑

=

=

= 7.4

∑x2 = 52 + 52 + 52 + 62 + 72 + 72 + 82 + 92 + 92 +132

= 604

Varians, 2 = ∑

–

=

−

= 5.64

Sisihan piawai, = √∑

= √

= 2.37

c.

−

Ini menunjukkan sisihan piawai bertambah sebanyak

34.66% selepas nilai 10 digantikan dengan nilai 13. Hal

ini juga menunjukkan semakin besar nilai ekstrem,

semakin besar nilai sisihan piawai.

Contoh 3:

Rajah di bawah menunjukkan satu set data yang tak terkumpul.

Cari

a. Min dan sisihan piawai.

b.

i. Min dan sisihan piawai yang baharu selepas nilai 33 dimasukkan

ke dalam set data tersebut.

ii. Min dan sisihan piawai yang baharu selepas nilai 35 dimasukkan

ke dalam set data tersebut.

c. Banding dan jelaskan tentang kedua-dua sisihan piawai yang

baharu itu selepas nilai baharu dimasukkan ke dalam set tersebut.

d.

i. Min dan sisihan piawai yang baharu selepas nilai 20

dikeluarkan daripada set data tersebut.

ii. Min dan sisihan piawai yang baharu selepas nilai 28

dikeluarkan daripada set data tersebut.

e. Banding dan jelaskan tentang kedua-dua sisihan piawai yang

baharu itu selepas nilai baharu dikeluarkan daripada set tersebut.

Penyelesaian:

a.

Min, = ∑

=

=

= 23.5

∑x2 = 202 + 202 + 202 + 222 + 222 + 242 + 262 +26 2 + 272 +282

= 5609

Varians, 2 = ∑

–

=

−

= 8.65

Sisihan piawai, = √∑

= √

= 2.94

20 20 20 22 22 24 26 26 27 28

b.

i.

Min, = ∑

=

=

= 24.36

∑x2 = 202 + 202 + 202 + 222 + 222 + 242 + 262 +26 2 + 272 +282 + 332

= 6698

Varians, 2 = ∑

–

=

−

= 15.50

Sisihan piawai, = √∑

= √

= 3.94

ii.

Min, = ∑

=

=

= 24.55

∑x2 = 202 + 202 + 202 + 222 + 222 + 242 + 262 +26 2 + 272 +282 + 352

= 6834

Varians, 2 = ∑

–

=

−

= 18.57

20 20 20 22 22 24 26 26 27 28 35

20 20 20 22 22 24 26 26 27 28 33

Sisihan piawai, = √∑

= √

= 4.31

c. Nilai yang semakin jauh daripada min yang dimasukkan, semakin

besar sisihan piawai.

d.

i.

Min, = ∑

=

=

= 23.89

∑x2 = 202 + 202 + 222 + 222 + 242 + 262 +26 2 + 272 +282

= 5209

Varians, 2 = ∑

–

=

−

= 8.05

Sisihan piawai, = √∑

= √

= 2.84

20 20 22 22 24 26 26 27 28

ii.

Min, = ∑

=

=

= 23

∑x2 = 202 + 202 + 202 + 222 + 222 + 242 + 262 +26 2 + 272

= 4825

Varians, 2 = ∑

–

=

−

= 7.11

Sisihan piawai, = √∑

= √

= 2.67

e. Nilai yang semakin jauh daripada min yang dikeluarkan, semakin

kecil sisihan piawai.

20 20 20 22 22 24 26 26 27

8.2.4 Membanding dan Mentafsir Dua atau Lebih Set Data

Tak Terkumpul

1. Walaupun nilai-nilai bagi pelbagai set data berbeza, tetapi mereka

boleh mempunyai nilai kecenderungan memusat yang sama.

Contoh:

Rajah dibawah menunjukkan nilai-nilai statistik yang diringkaskan bagi

tiga set data.

Set X

N = 10

= 12 ∑ = 1670

Set Y

N = 12

= 12 ∑ = 2340

Set Z

N = 14

= 12 ∑ = 3425

a. Cari sisihan piawai

b. Banding dan tafsirkan sisihan piawai bagi tiga set data ini dan

membuat penjelasan

Penyelesaian:

a.

Sisihan piawai, = √∑

−

Set X:

Sisihan piawai, = √

−

= 4.796

Set Y:

Sisihan piawai, = √

−

= 7.14

Set Z:

Sisihan piawai, = √

−

= 10.035

b. Ketiga-ketiga set ini mempunyai min yang sama. Set Z

mempunyai sisihan piawai yang terbesar dan hal ini

menunjukkan Set Z mempunyai data-data yang terserak paling

luas.