Post on 23-Mar-2023
RAINBOW CONNECTION NUMBER PADA AMALGAMASI GRAF
PRISMA π·π,π
SKRIPSI
Rizki Hafri Yandera
11140940000032
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2018 M / 1439 H
i
RAINBOW CONNECTION NUMBER PADA AMALGAMASI GRAF
PRISMA π·π,π
Skripsi
Diajukan kepada
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Fakultas Sains dan Teknologi
Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S. Mat)
Oleh :
Rizki Hafri Yandera
NIM 11140940000032
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2019 M / 1440 H
ii
PERNYATAAN
DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-
BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN
SEBAGAI SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI
ATAU LEMBAGA MANAPUN.
Jakarta, 28 Januari 2019
Rizki Hafri Yandera
NIM. 11140940000032
iii
LEMBAR PENGESAHAN
Skripsi ini berjudul βRainbow Connection Number Pada Amalgamasi Graf
Prisma π·π,πβ yang ditulis oleh Rizki Hafri Yandera NIM. 11140940000032 telah
diuji dan dinyatakan lulus dalam sidang Munaqosah Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada hari Senin, 28 Januari
2019. Skripsi ini telah diterima untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam
memperoleh gelar sarjana strata satu (S1) Program Studi Matematika.
Menyetujui,
Pembimbing I Pembimbing II
Yanne Irene, M. Si Wisnu Aribowo, M. Si
NIP. 19741231 200501 2 018
Penguji I Penguji II
Dr. Nur Inayah, M. Si Muhaza Liebenlito,M.Si
NIP. 19740125 200312 2 001 NIDN. 2003098802
Mengetahui,
Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Ketua Program Studi Matematika
Dr. Agus Salim, M. Si Dr. Nina Fitriyati, M. Kom
NIP. 19720816 199903 1 003 NIP. 19760414 200604 2 001
iv
PERSEMBAHAN DAN MOTTO
βSebaik-baiknya manusia adalah yang bermanfaat bagi orang lainβ
Untuk Ayahanda dan Ibunda Tercinta
Indera Wahyu dan Sohar Dahmiyanti
dan
Kedua kakak terhebat
Annisa Eka Yandera & Teldy Dwi Yandera
v
KATA PENGANTAR
Assalamuβalaikum Wr. Wb.
Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala
limpahan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan
penyusunan skripsi ini dengan judul βRainbow Connection Number Pada
Amalgamasi Graf Prisma π·π,πβ dapat terselesaikan dengan baik. Penyusunan
skripsi ini adalah salah satu tugas wajib bagi penulis sebagai persyaratan untuk
memperoleh gelar sarjana matematika (S. Mat). Harapan peneliti semoga skripsi
ini membantu menambah wawasan bagi para pembaca.
Peneliti menyadari bahwa penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan karena
dukungan dan bantuan dari beberapa pihak. Untuk itu, pada kesempatan ini
penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada :
1. Dr. Agus Salim, M. Si., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.
2. Dr. Nina Fitriyati, M. Kom., selaku Ketua Program Studi Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif
Hidayatullah Jakarta. Serta telah membantu penulis sehingga penulisan
skripsi ini bias selesai.
3. Muhaza Liebenlito, M. Si., selaku Sekretaris Program Studi Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif
Hidayatullah Jakarta, dan juga sebagai penguji II yang telah memberikan
kritikan yang membuat penulis menjadi semakin semangat dalam
mengerjakan skripsi ini.
4. Yanne Irene, M. Si., selaku Pembimbing I yang selalu mengarahkan dan
memotivasi penulis dalam mengerjakan skripsi ini sehingga skripsi ini
dapat terselesaikan.
vi
5. Wisnu Aribowo, M. Si., selaku pembimbing II yang sangat banyak
membantu penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.
Semoga Bapak diberikan kesehatan dan kemudahan dalam segala hal.
6. Nur Inayah, M. Si., selaku Penguji I, terima kasih atas pembelajaran,
pengarahan dan sarannya kepada penulis selama melakukan penyusunan
skripsi ini.
7. Seluruh Ibu dan Bapak Dosen Program Studi Matematika yang telah
memberikan ilmu-ilmunya dan pengalaman yang bermanfaat.
8. Ayah dan Bunda Tercinta yang selalu mengharapkan dan mendoakan
penulis untuk selalu lebih baik. Semoga Ayah dan Bunda diberikan pahala
yang berlipat ganda oleh Tuhan
9. Kedua kakak penulis, Anisa Yandera dan Teldy Yandera yang sangat hebat
dalam hal nya masing-masing dan selalu memberikan nasihat kepada
penulis sampai dengan saat ini.
10. Seluruh teman-teman matematika 2014 (finex family), terutama
temanteman yang berjuang bersama-sama di semester 9
11. Keluarga besar HIMATIKA UIN Syarif Hidayatullah Jakarta yang
memberikan banyak pengalaman kepada penulis.
12. Keluarga besar DEMA FST UIN Syarif Hidayatullah Jakarta yang juga
menjadi keluarga baru bgi penulis.
13. Teman-teman skripsinisasi, Ical, Dhika, Redno, Titik, dan Ajiz yang
merelakan waktu luangnya dengan organisasi.
14. Ika dan Aisyah yang selalu membantu penulis dalam segala hal dalam
kehidupan penulis sebagai mahasiswa.
15. Abang-abang Futsal Himatika, terutama Bang Ipeng yang selalu menjadi
mentor bagi penulis.
16. Fauziah Larasati yang selalu menemani penulis.
17. Kak Cynthia yang membuat penulis mendapatkan ide skripsi ini.
18. Seluruh pihak yang sudah membantu penulis dalam mengerjakan
penyusunan skripsi ini yang tanpa mengurangi rasa hormat penulis tidak
dapat sebutkan satu-persatu.
vii
Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih banyak
kekurangan. Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat
membangun untuk perbaikan di masa yang akan datang. Terakhir, penulis
berharap semoga penyusunan skripsi ini dapat bermanfaat.
Wassalamuβalaikum Wr. Wb.
Jakarta, 28 Januari 2019
Penulis
viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama : Rizki Hafri Yandera
NIM : 11140940000032
Program Studi : Matematika
Demi mengembangkan ilmu pengetahuan, saya menyetujui untuk memberikan
Hak Bebas Royalti Non β Eksklusif (Non-Exclusive β Free Right) kepada
Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif
Hidayatullah Jakarta atas karya ilmiah saya yang berjudul :
βRainbow Connection Number Pada Amalgamasi Graf Prisma π·π,πβ
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan Hak Bebas Royalti Non -
Eksklusif ini, Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN
Syarif Hidayatullah Jakarta berhak menyimpan, mengalihmedia/formatkan,
mengelolanya dalam bentuk pangkalan data (database), mendistribusikannya, dan
menampilkan/mempublikasikannya di internet dan media lain untuk kepentingan
akademis tanpa perlu meminta izin dari saya selama tetap mencantumkan nama
saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta. Segala bentuk
tuntutan hukum yang timbul atas pelanggaran Hak Cipta karya ilmiah ini menjadi
tanggungjawab saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Tangerang Selatan
Pada tanggal : 28 Januari 2019
Yang membuat pernyataan,
Rizki Hafri Yandera
ix
ABSTRAK
Rizki Hafri Yandera, Rainbow Connection Number Pada Amalgamasi Graf
Prisma ππ,2, di bawah bimbingan Yanne Irene, M.Si dan Wisnu Aribowo, M.Si.
Misal πΊ adalah graf terhubung non trivial. Bilangan asli terkecil π
sedemikian sehingga πΊ memiliki rainbow-π-coloring merupakan rainbow
connection number bagi πΊ, dinotasikan dengan ππ(πΊ). Untuk t β N and t β₯ 2,
maka {π(π,2)π|πβ (1,2,.....,t} , m β₯ 3} adalah kumpulan graf prisma yang memiliki
titik tertentu yg disebut terminal. Amalgamasi graf prisma biasa di notasikan
dengan π΄ππππ‘(ππ,2 ) dengan m β₯ 3 maka ππ(π΄ππππ‘(ππ ,2 )) akan membentuk
suatu pola dan penelitian ini bertujuan untuk menemukan pola dari graf tersebut.
Hasil dari penelitian ini adalah (π΄ππππ‘(ππ,2)) = 2 βπ+1
2β , π‘ β₯ 2 πππ π β₯ 3 .
Kata Kunci : Pewarnaan pelangi. Amalgamasi graf, Graf Prisma
x
ABSTRACT
Rizki Hafri Yandera, Rainbow Connection Number On Amalgamation of Prism
Graph ππ,2, under the guidance of Yanne Irene, M.Si and Wisnu Aribowo,
M.Si
Let πΊ is a nontrivial connected graf. The minimum natural number π of π-
edge coloring graph πΊ is rainbow connection number of πΊ, denoted by ππ(πΊ). For t
β N and t β₯ 2, let (π(π,2)π|πβ (1,2,.....,t) , m β₯ 3} is a collection of prism graph that
has a fixed vertex v called a terminal. The Amalgamation prism graph denoted by
π΄ππππ‘(ππ ,2) ) with m β₯ 3. We figured that ππ(π΄ππππ‘(ππ,2)) forms a particular
pattern and this research aims to find the formula of such pattern. The result of
this research is (π΄ππππ‘(ππ,2)) = 2 βπ+1
2β , π‘ β₯ 2 πππ π β₯ 3 .
.
Keywords : Rainbow Coloring, Amalgamation of Graph, Prism Graph
xi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i
PERNYATAAN ................................................................................................. ii
LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................... iii
PERSEMBAHAN DAN MOTTO .................................................................... iv
KATA PENGANTAR ........................................................................................ v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN................................................ viii
ABSTRAK ......................................................................................................... ix
ABSTRACT ....................................................................................................... x
DAFTAR ISI ..................................................................................................... xi
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1
1.1. Latar Belakang ................................................................................................1
1.2. Perumusan Masalah .........................................................................................2
1.3. Tujuan Penelitian ............................................................................................2
1.4. Batasan Masalah..............................................................................................2
1.5. Manfaat Penelitian ...........................................................................................2
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ........................................................................ 4
2.1. Terminologi Graf.............................................................................................4
2.2. Operasi Biner pada Graf ..................................................................................6
2.3. Graf Prisma .....................................................................................................8
2.4. Rainbow Connection .......................................................................................9
BAB III Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma π·π,π
.......................................................................................................................... 11
3.1. Diameter Amalgamasi Graf Prisma ππ,2 ....................................................... 11
3.2. Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma π3,2 ................. 14
3.3. Rainbow Connection Number π΄ππππ‘(ππ,2) ................................................... 14
3.4. Ilustrasi Hasil untuk m = 4,5,6,7 ................................................................... 17
3.4.1. Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma π4,2.................. 17
3.4.2. Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma π5,2 ................. 18
xii
3.4.3. Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma π6,2 ................. 18
3.4.4. Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma π7,2 ................. 19
BAB IV PENUTUP .......................................................................................... 20
4.1. Kesimpulan ................................................................................................... 20
4.2. Saran ............................................................................................................. 20
REFERENSI .................................................................................................... 21
xiii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1. Graf dengan order 4 dan size 4 ....................................................... 4
Gambar 2.2. Graf Lengkap ................................................................................. 5
Gambar 2.3. Graf Lingkaran ............................................................................... 5
Gambar 2.4. Graf Teratur berderajat 3 ................................................................ 7
Gambar 2.5. Contoh graf hasil operasi cartesian ................................................. 7
Gambar 2.6. Contoh Amalgamasi Graf ............................................................... 8
Gambar 2.7. Graf Prisma π3,2 ............................................................................. 9
Gambar 2.8. Pewarnaan rainbow dari graf πΆ4 ..................................................... 9
Gambar 3.1. Gambar ππππ(πΆm) ...................................................................... 11
Gambar 3.2. Diameter graf prisma .................................................................... 12
Gambar 3.3. Diameter graf π΄ππππ‘(ππ,2)), untuk π‘ = 2 ................................... 13
Gambar 3.4. ππ(π΄ππππ‘(π3,2)), untuk π‘ = 3 ...................................................... 14
Gambar 3.5. Perubahan sisi ganjil ke sisi genap ................................................ 16
Gambar 3.6. Perubahan sisi genap ke sisi ganjil ................................................ 15
Gambar 3.7. ππ(π΄ππππ‘(π4,2)), untuk π‘ = 3 ...................................................... 17
Gambar 3.8. ππ(π΄ππππ‘(π5,2)), untuk π‘ = 3 ...................................................... 18
Gambar 3.9. ππ(π΄ππππ‘(π6,2)), untuk π‘ = 3 ...................................................... 18
Gambar 3. 10. ππ(π΄ππππ‘(π7,2)), untuk π‘ = 3 ................................................... 19
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Teori Graf yang merupakan cabang ilmu matematika yang cukup popular.
Leonhard Euler [2], menemukan solusi untuk permasalahan jembatan Konigsberg
merupakan asal mula munculnya teori graf. Dari permasalahan jembatan
konigsberg dapat dilihat seberapa besar manfaat dari teori graf untuk orang
banyak sesuai dengan hadist yang berbunyi βsebaik-baiknya manusia adalah yang
bermanfaat bagi orang lain (H.R. Ahmad)β. Teori graf pun mempunyai banyak
cabang di dalamnya dari seperti pelabelan dan pewarnaan dan masih banyak lagi.
Rainbow connection number adalah salah satu jenis pewarnaan graf yang cukup
menarik untuk dibahas, rainbow connection number merupakan jenis pewarnaan
yang cukup unik karena membutuhkan warna yang berbeda-beda untuk mewarnai
sisi graf. Rainbow connection number juga bisa dibilang adalah hal yang sudah
sangat banyak dibahas, terlihat dari banyaknya jurnal yang sudah banyak
membahas tentang topik ini. Charttrand dkk [1] pertama kali mengenalkan
rainbow connection number di tahun 2008.
Misal G adalah graf terhubung tak trivial yang terdefinisi pada sebuah
pewarnaan π βΆ πΈ(πΊ) β {1,2, β¦ , π}, π β π dimana sisi pada πΊ yang bertetangga
bisa diwarnai sama. Pewarnaan π: πΈ(πΊ) β {1,2, β¦ , π}, π β π disebut rainbow
coloring di graf πΊ jika graf πΊ merupakan rainbow connected, yaitu untuk setiap
dua titik π’ dan π£ di πΊ mengandung lintasan π’π£ rainbow. Jika telah digunakan π
warna, maka π: πΈ(πΊ) β {1,2, β¦ , π}, π β π adalah rainbow-k-coloring graf
πΊ merupakan rainbow connection number pada graf G dan dinotasikan dengan
ππ(πΊ) [10].
Charttrand, dkk [1] untuk pertama kali memperkenalkan Rainbow
connection pada tahun 2008, mereka menentukan rainbow connection number
pada beberapa jenis graf khusus seperti graf roda, graf komplit k-partite graf
pohon dan graf cycle. Salman dan Irvania [7] pada tahun 2015 juga membahas
2
rainbow connection number untuk graf bunga (πΆπ , πΎπ). Setelah itu Darmawan [3]
dalam penelitiannya membahas rainbow connection number pada beberapa graf
khusus. Kemudian Palupi dkk [10] dalam penelitiannya menentukan Rainbow
connection number pada amalgamasi graf prisma π3,2 yang hasilnya adalah
ππ(πΊ) = 4. Kemudian penulis tertarik untuk meneliti tentang rainbow connection
number pada amalgamasi graf prisma ππ,2 untuk memperoleh teorema yang lebih
umum.
1.2. Perumusan Masalah
Dari latar belakang di atas permasalahan yang akan diteliti dalam penelitian
ini adalah bagaimana menentukan rainbow connection number pada amalgamasi
graf prisma ππ,2.
1.3. Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai penulis dalam penelitian ini adalah mendapatkan
rumus umum untuk jumlah rainbow connection number pada amalgamasi graf
prisma ππ,2 dan menunjukan bahwa jumlah tersebut akan sama dengan jumlah
diameternya.
1.4. Batasan Masalah
Penulis membatasi permasalahan yang akan di bahas dalam penelitian ini
sebagai berikut.
1. Graf yang digunakan adalah graf prisma ππ,2.
2. Operasi antar graf yang digunakan adalah amalgamasi pada graf.
1.5. Manfaat Penelitian
Manfaat dalam melakukan penelitian ini adalah
1. Dapat menentukan rainbow connection number pada amalgamasi graf
prisma ππ,2.
3
2. Menambah wawasan penulis tentang teori graf terutama rainbow connection
number.
3. Sebagai acuan untuk dijadikan bahan penelitian lain.
4
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Terminologi Graf
Pada bab ini akan dibahas tentang terminologi graf dan teori-teori tentang
graf yang menjadi landasan penulis dalam melakukan penelitian ini. Rosen [5]
mengatakan sebuah graf πΊ terdiri dari π suatu himpunan tak kosong yang terdiri
dari titik-titik pada graf πΊ dan πΈ merupakan sebuah himpunan yang terdiri dari
sisi-sisi pada graf πΊ. Setiap sisi memiliki satu atau dua titik yang berhubungan,
yang disebut titik ujung. Himpunan π(πΊ) disebut himpunan titik di πΊ dan
himpunan πΈ(πΊ) adalah sisi di πΊ. Suatu graf disebut Graf trivial jika terdapat
sebuah graf yang minimal memiliki satu buah titik dan tidak memiliki sisi.
Banyaknya titik di sebuah graf disebut order dinyatakan atau dituliskan dengan
|π(πΊ)| dan banyaknya sisi di sebuah graf disebut size dinyatakan atau dituliskan
dengan |πΈ(πΊ)|. Setiap graf akan memiliki sisi yang menghubungkan titik-titik
atau biasa di sebut lintasan artinya lintasan akan terdiri dari barisan dar sisi dan
titik yang saling bergantian, dinotasikan dengan π£ππ£π dimana π£π , π£ππ π(πΊ) Graf πΊ
disebut terhubung jika semua pasang titik-titik π’, π£ β π(πΊ) membuat sebuah
lintasan. Jika terdapat 2 titik π’ πππ π£ dimana tidak terdapat lintasan π’π£ pada graf
πΊ maka disebut graf πΊ yang tidak terhubung atau disconnected.
Gambar 2.1. Graf dengan order 4 dan size 4
Misal πΊ sebuah graf dan π’π£ sebuah sisi di πΊ. Karena π’π£ terdiri dari 2
anggota himpunan titik, maka dapat ditulis π’π£ ππ‘ππ’ π£π’. Jika π1 = π’π£ termuat di
π’ π£
π₯ π€
π1
π2
π3
π4
5
graf πΊ, maka dapat dikatakan bahwa π’ πππ π£ adalah bertetangga di πΊ, π’ πππ π£
juga bertetangga dengan lainnya.
Sugeng dkk mengelompokkan graf menjadi beberapa bagian [8]. Dan
berdasarkan ada tidaknya sisi pada graf terbagi 2, yaitu
1. Graf sederhana
Graf Sederhana adalah graf yang tidak memiliki sisi ganda maupun
loop. Graf sederhana juga terbagi dalam beberapa jenis, yaitu
a. Graf Lengkap
Graf Lengkap adalah graf yang setiap titiknya bertetangga. Jadi setiap
titik di graf tersebut saling terhubung.
Gambar 2.2. Graf Lengkap
b. Graf Lingkaran
Graf Lingkaran adalah graf yang setiap titiknya berderajat 2, dan
dinotasikan dengan πΆπ.
Gambar 2.3. Graf Lingkaran
c. Graf Teratur
Graf Teratur adalah graf yang semua titiknya memiliki derajat yang
sama atau biasa di sebut graf berderajat π.
6
Gambar 2.5. Graf Teratur berderajat 3
2. Graf tidak sederhana
Graf tidak sederhana adalah graf yang minimal satu dari sisinya
memiliki sisi ganda atau sisi gelang (loop). Graf yang memiliki sisi ganda
biasa disebut multigraph dan sisi gelang (loop) biasa di sebut graf semu
atau pseudograph.
Jarak pada graf dinotasikan dengan π( π£1, π£2 ) adalah jumlah lintasan yang
dilewati dari satu titik ke titik lainya dengan syarat jalur yang dilewati adalah jalur
terpendek. Misal pada Gambar 2.1.
π(π’, π£) = 1, π(π’, π₯) = 1, π(π’, π€) = 2, π(π£, π₯) = 2, π(π£, π€) = 1, π(π€, π₯) = 1 .
Diameter pada graf dinotasikan ππππ(πΊ), adalah jarak maksimum dari
seluruh pasang titik di suatu graf. Berdasarkan gambar 2.1 diatas kita peroleh
jarak antar titik sebagai berikut π(π’, π£) = 1, π(π’, π₯) = 1, π(π’, π€) = 2, π(π£, π₯) =
2, π(π£, π€) = 1,π(π€, π₯) = 1 ,maka dapat kita simpulkan ππππ(πΊ) = 2.
2.2. Operasi Biner pada Graf
Kita dapat memperoleh graf baru dengan cara melakukan operasi pada dua
graf atau lebih. Berikut contoh dari operasi pada graf :
Definisi 2.5.1 Cartesian Product [9] dari dua graf sederhana G(V,E) dan H(W,F)
adalah graf sederhana G Γ H dengan himpunan titik V Γ W yang dua titik π’ =
(π’1 , π’2) dan π£ = (π£1 , π£2) bertetangga jika dan hanya jika π’1 = π£1 dan π’2π£2 π πΉ
ataupun π’2 = π£2 dan π’1π£1 π E.
7
Berikut diberikan ilustrasi operasi cartesian dari graf P3 dan P2. Misal G
adalah graf P3 dan H adalah graf P2. Operasi cartesian dari G dan H dinotasikan
dengan G Γ H.
G Γ H = {V(G) Γ V(H)}
= {(π’1, π£1), (π’1, π£2), (π’2, π£1), (π’2, π£2), (π’3, π£1), (π’3, π£2)}
Misalkan,
X1 = (π’1, π£1) X2 = (π’1, π£2)
X3 = (π’2, π£1) X4 = (π’2, π£2)
X5 = (π’3, π£1) X6 = (π’3, π£2)
Maka X1 , X2 bertetangga jika dan hanya jika π’1 = π’1 sedemikian sehingga
π£1π£2 π πΉ,
X3 , X4 bertetangga jika dan hanya jika π’2 = π’2 sedemikian sehingga π£1π£2π πΉ,
X5 , X6 bertetangga jika dan hanya jika π’3 = π’3 sedemikian sehingga π£1π£2 π πΉ,
X1 , X3 bertetangga jika dan hanya jika π£1 = π£1 sedemikian sehingga π’1π’2 π πΈ,
X3 , X5 bertetangga jika dan hanya jika π£1 = π£1 sedemikian sehingga π’2π’3 π πΈ,
X4 , X6 bertetangga jika dan hanya jika π£2 = π£2 sedemikian sehingga π’2π£3 π πΈ ,
X2 , X4 bertetangga jika dan hanya jika π£2 = π£2 sedemikian sehingga π’1π’2 π πΈ,
Gambar 2.4. Contoh graf hasil operasi cartesian
Definisi 2.5.3 Amalgamasi [11] Misalkan {πΊπ} sebagai sebuah kumpulan graf
berhingga dan setiap πΊπ mempunyai sebuah titik tertentu π£ππ yang disebut
8
terminal. Amal{πΊπ,π£ππ} dibentuk oleh semua πΊπβ²π dengan seluruh titik terminalnya
direkatkan menjadi satu titik
Selanjutnya penulis akan mencoba mengilustrasikan definisi di atas.
Misalkan terdapat kumpulan graf πΊπ sebarang πΊ1, dan πΊ2 pada gambar dibawah
ini. Misalkan π» β π΄πππ(πΊπ , π£) degan menetapkan titik tetap π£, maka hasil
amalgamasi dari dua buah graf sebagai berikut.
Gambar 2.5. Contoh Amalgamasi Graf
2.3. Graf Prisma
Graf prisma merupakan graf hasil produk cartesian πΆπ Γ ππ dari sebuah
cycle dengan π titik dan sebuah lintasan dengan π titik. Dinotasikan dengan ππ,π.
π (ππ,π) = {π£π ,π : 1 β€ π β€ π, 1 β€ π β€ π} adalah himpunan titiknya dan
himpunan sisinya πΈ (ππ,π) = {π£π ,π π£π+1,π : 1 β€ π β€ π β 1,1 β€ π β€ π} βͺ
{π£π ,π π£1,π : 1 β€ π β€ π} βͺ {π£π,π π£π ,π+1 βΆ 1 β€ π β€ π, 1 β€ π β€ π β 1}.
9
Gambar 2.6. Graf Prisma π3,2
2.4. Rainbow Connection
Pada subbab ini penulis akan membahas rainbow connection number yang
dibahas oleh Chartrand, dkk. [1]. Misal πΊ adalah graf terhubung tak trivial.
Definisikan perwarnaan π βΆ πΈ (πΊ) β {1,2, β¦ . , π}, π π π , dimana sisi pada πΊ yang
bertetangga dapat diwarnai sama. Sebuah lintasan π di πΊ merupakan lintasan
rainbow jika tidak ada pengulangan warna. Lintasan π’π£ disebut πππππππ€ jika
terjadi lintasan pelangi yang menghubungkan 2 titik π’ dan π£ di πΊ. Jika sebuah
graf yang semua pasang titiknya terdapat lintasan π’π£ πππππππ€ disebut rainbow
connected.
Penulis akan mengilustrasikan konsep diatas. Akan diberikan contoh
πππππππ€ πππππππ‘πππ ππ’ππππ pada graf πΆ4, akan ditunjukan ππ(πΆ4) = 2.
Gambar 2.7. Pewarnaan rainbow dari graf πΆ4
10
Teorema 2.6.2 [6] Untuk t β N, t β₯ 2,misal {Gi, iβ 1,2,β¦.,t} adalah kumpulan
graf berhingga dan tiap Gi memiliki titik tetap v0i yang di sebut terminal. Jika G
adalah amalgamasi dari G1, G2, .... Gt, Amal (Gi, v01), maka
ππππ(πΊ) β€ ππ(πΊ) β€ β ππ(πΊπ)π‘π=1
Bukti. Kita peroleh batas bawahnya adalah ππππ(πΊ) β€ ππ. Misal ππ adalah
pelangi ππ(πΊπ) β ππππππππ ππ πΊπ. Maka sebuah pewarnaan π βΆ πΈ(πΊ) β
{ 1,2,3, β¦ , β ππ(πΊπ)π‘π=1 } akan mengikuti
π(πΈ) = {
π1β² (π), π β πΈ(πΊ1);
ππβ² (π) + β ππ(πΊπ)
π‘
π=1
, π β πΈ(πΊπ), π’ππ‘π’π π β {2, 3, β¦ π‘}
Kasus 1. π’, π€ β π(πΊπ) untuk π β (1, 2, β¦ , π‘)
Akan ada sebuah pewarnaan lintasan pelangi π’π£ dengan pewarnaan π sesuai
untuk pewarnaan ππβ².
Kasus 2. π’ β π(πΊ) dan π€ β π(πΊπ) untuk sebuah π dan π di {1,2,...,t} dengan π β
π.
Akan ada sebuah pewarnaan lintasan pelangi π’π£ dan pewarnaan lintasan pelangi
π£π€ dengan pewarnaan π sesuai dengan pewarnaan ππβ² dan ππ
β² , masing-masing,
dimana π£ di identifikasi jembatan di πΊ sesuai dengan terminal π£ππ di setiap
πΊπ. Kita dapat temukan bahwa sebuah pewarnaan lintasan pelangi π’π€
denganmengidentifikasi vertex π£ di sebuah lintasan pelangi π’π£ dan lintasan
pelangi π£π€ karena kita menggunakan warna berbeda di π(πΊπ)πππ π(πΊπ) dengan
pewarnaan π.
Jadi, π adalah sebuah pewarnan pelangi, maka haruslah ππ(πΊ) β€ β ππ(πΊπ)π‘π=1 .β
11
BAB III
Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma π·π,π
Dalam bab ini penulis akan menjabarkan percobaan yang telah dilakukan
untuk menentukan rainbow connection number pada amalgamasi Graf Prisma
π(π,2) dengan π β₯ 3 sesuai dengan rumusan masalah yang sudah penulis tulis di
bab sebelumnya. Dengan mencantumkan hasil penelitian sebelumnya yaitu
rainbow connection number pada amalgamasi graf Prisma (π(3,2)) kemudian
dilanjutkan dengan m yang terus bertambah untuk mendapatkan tujuan yang
sudah penulis sebutkan.
3.1. Diameter Amalgamasi Graf Prisma π·π,π
Lemma 3.1.1 Misal graf πΆπ adalah graf lingkaran dengan π β₯ 3 maka
ππππ(πΆπ) = βπβ1
2β
Bukti. Perhatikan
Gambar 3.1. Gambar ππππ(πΆπ)
Kasih eterangan warna
Pada graf πΆ nilai diameter tidak akan pernah melebihi separuh dari nilai
keliling ( 1
2π ) sehingga dapat ditulis
ππππ(πΆπ) = βπ β 1
2β . β
12
Lemma 3.1.2 misal graf ππ,2 adalah graf Prisma dengan π β₯ 3 maka
ππππ(ππ,2) = βπ+1
2β
Bukti. Graf ππ,2 adalah perkalian dari graf πΆπ π₯ π2 sehingga jika
digambarkan hasil perkalian dari graf tersebut akan membentuk graf πΆ yang
berlapis 2 dan saling terhubung.
Perhatikan
Gambar 3.2. Diameter graf prisma
Dari gambar di atas dapat diketahui diameter graf Prisma adalah jarak dari 1
titik graf πΆ luar ke graf πΆ dalam sehingga membutuhkan tambahan 1 sisi dari
ππππ(πΆπ) yang kita peroleh dari Lemma 3.1.1 sehingga dapat di tulis
ππππ(ππ,2) = βππππ (πΆπ) + 1β
= βπ β 1
2 + 1β
= βπ + 1
2β . β
13
Lemma 3.1.3 misal graf π΄ππππ‘(ππ,2) adalah amalgamasi graf Prisma
dengan π β₯ 3 maka ππππ (π΄ππππ‘(ππ,2 )) = 2 βπ+1
2β.
Bukti. Karena π΄ππππ‘(ππ,2) adalah kumpulan dari minimal dari 2 graf
prisma maka diameter dari graf ini adalah 2 Γ ππππ(ππ,2).
Gambar 3.3. Diameter graf π΄ππππ‘(ππ,2)), untuk π‘ = 2
Perhatikan
Diameter dari graf ini adalah 1 titik graf πΆ dalam pada A ke titik graf πΆ
dalam pada B sehingga akan sama dengan 2 Γ ππππ(ππ,2) yang telah
didapat dari Lemma 3.1.2 sehingga
ππππ π΄ππππ‘(ππ ,2 ) = 2 Γ ππππ(ππ ,2 )
= 2 Γ βπ + 1
2β
= 2 βπ + 1
2β . β
(π)
(π)
(π)
14
3.2. Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma π·(π,π)
Gambar 3. 4. ππ(π΄ππππ‘(π3,2)), untuk π‘ = 3
Dari gambar di atas diperoleh ππ (π΄ππππ‘(π(3,2))) = 4
Perhatikan bahwa besarnya nilait tidak akan mempengaruhi jumlah dari
rainbow connection number karena semua lintasan akan melewati titik terminal.
3.3. Rainbow Connection Number (π¨ππππ(π·π, π))
Berikut adalah hasil pewarnaan rainbow connection number pada
amalgamasi Graf prisma π·π,π.
Teorema 3.3.1 Misalkan π‘ β₯ 2 dan G β Amal(πΊπ, π£) untuk setiap i π {1,2,3,...t},
dengan πΊπ adalah graf prisma ππ,2 dengan π β₯ 3.
Maka rc(G) = 2 βπ+1
2β.
Bukti. Akan ditunjukkan bahwa ada rainbow connection number dengan jumlah
2 βπ+1
2β, karena ππππ π΄ππππ‘(ππ,2) = 2 β
π+1
2β maka berdasarkan Teorema 2.6.2
maka haruslah ππ (π΄ππππ‘(π(π,2))) = 2 βπ+1
2β.
Definisikan fungsi proposisi
15
P(m) : rc(π΄ππππ‘(ππ,2)) = 2 βπ+1
2β, m,t π N , π β₯ 3
Akan ditunjukkan bahwa P(m) benar untuk semua semua m π π dengan m β₯ 3
melalui induksi matematika.
(i) Akan ditunjukkan P(3) benar
Berdasarkan Subbab 3.2 diketahui ππ(π΄ππππ‘(π3,2)) = 4
Perhatikan
ππ(π΄ππππ‘(π3,2)) = 2 β3 + 1
2β
= 2 β4
2β
= 2 β2β
= 4
Jadi, P(3) benar
(ii) Anggap P(m) benar
(iii) Akan ditunjukkan P(m+1) benar
Karena m benar maka diketahui rc(π΄ππππ‘(ππ,2)) = 2 βπ+1
2β
Kasus 1. m = 2p untuk sebarang p π π, π β₯ 2
Diketahui ππ(π΄ππππ‘(π2π,2)) = 2 β2π+1
2β = 2π + 2 maka akan ditunjukan
bahwa ππ(π΄ππππ‘(π2π+1,2)) = 2 β2π+1+1
2β = 2π + 2
misalkan gambar berikut adalah pasangan sisi terjauh dari π£.
Gambar 3.5. Perubahan sisi genap ke sisi ganjil
16
kemudian dari ilustrasi tersebut jelas bahwa tidak akan dibutuhkan warna
tambahan dan bila diperhatikan dari titik-titik yang baru dibentuk di
π΄ππππ‘(π2π,2 ) bisa ditemukan lintasan ke titik-titik yang sudah ada tanpa
mengalami pengulangan warna, maka haruslah
ππ(π΄ππππ‘(π2π+1,2)) = 2 β2π + 1 + 1
2β = 2π + 2
Kasus 2. m = (2p-1) untuk sebarang p π π, π β₯ 3
maka diketahui rc(π΄ππππ‘(π(2πβ1),2 )) = 2 β(2πβ1)+1
2β = 2p
Akan ditunjukkan bahwa rc(π΄ππππ‘(π2π,2 )) = 2 β2π+1
2β= 2p+2
misalkan gambar berikut adalah pasangan sisi terjauh dari π£.
Gambar 3. 6. Perubahan sisi ganjil ke sisi genap
kemudian dari ilustrasi tersebut jelas bahwa akan dibutuhkan 2 warna
tambahan dan bila diperhatikan dari titik-titik yang baru dibentuk di
π΄ππππ‘(π2π ,2 ) bisa ditemukan lintasan ke titik-titik yang sudah ada tanpa
mengalami pengulangan warna, maka haruslah
ππ(π΄ππππ‘(π2π,2)) = 2 β2π + 1
2β = 2π + 2
Berdasarkan (i),(ii), dan (iii) serta prinsip induksi matematika maka
rc(π΄ππππ‘(ππ,2)) = 2 βπ+1
2β, m,t π N , π β₯ 3. β
17
Dari hasil Lemma 3.1.3 diperoleh ππππ π΄ππππ‘(ππ,2) = 2 βπ+1
2β, m,t π N ,
π β₯ 3 , dan dari Teorema 3.3.1 diperoleh rc(π΄ππππ‘(ππ,2)) = 2 βπ+1
2β, m,t π N ,
π β₯ 3.
3.4. Ilustrasi Hasil untuk π = π, π, π, π
3.4.1. Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma
π·(π,π)
Gambar 3.7. ππ(π΄ππππ‘(π4,2)), untuk π‘ = 3
Dari gambar di atas diperoleh ππ (π΄ππππ‘(π(4,2))) = 6
18
3.4.2. Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma
π·(π,π)
Gambar 3.8. ππ(π΄ππππ‘(π5,2)), untuk π‘ = 3
Dari gambar di atas diperoleh ππ (π΄ππππ‘(π(5,2))) = 6
3.4.3. Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma
π·(π,π)
Gambar 3.9. ππ(π΄ππππ‘(π6,2)), untuk π‘ = 3
Dari gambar di atas diperoleh ππ (π΄ππππ‘(π(6,2))) = 8
19
3.4.4. Rainbow Connection Number pada Amalgamasi Graf Prisma
π·(π,π)
Gambar 3. 10. ππ(π΄ππππ‘(π7,2)), untuk π‘ = 3
Dari gambar di atas diperoleh ππ (π΄ππππ‘(π(7,2))) = 8
Sehingga dari sub bab 3.4. diperoleh:
ππ (πΊ(π(3,2))) = 4
ππ (πΊ(π(4,2))) = 6
ππ (πΊ(π(5,2))) = 6
ππ (πΊ(π(6,2))) = 8
ππ (πΊ(π(7,2))) = 8
20
BAB IV
PENUTUP
4.1. Kesimpulan
Dari pembahasan yang sudah penulis lakukan maka diperoleh rumusan
umum dengan menggunakan teorema yang didapat untuk untuk mendapatkan
rainbow connection number pada amalgamasi graf prisma
ππ,2 πππππβ ππ(π΄ππππ‘(ππ,2 )) = 2 βπ+1
2β , π β₯ 3, π β π dan diameter pada
π΄ππππ‘(ππ,2 ) = 2 βπ+1
2β , π β₯ 3, π β π.
4.2. Saran
Beberapa masalah yang terbuka terkait dengan penelitian ini agar dapat lebih
berkembang, yaitu menentukan
1. Strong Rainbow Connection Number pada amalgamasi graf ππ,2
2. Rainbow connection dan Strong rainbow connection number pada
amalgamasi graf π3,π
3. Rainbow connection dan Strong rainbow connection number pada
amalgamasi graf ππ,π
21
REFERENSI
[1] Chartrand, dkk.(2008). Rainbow Connection in Graphs. Math Bohem
133(1):h.85-98
[2] Chartrand, dkk.(1993). Applied and Algoritmic Graph Theory. New York:
Mac Graw-Hill,inc.
[3] Darmawan, R. N. (2015), Analisis Rainbow Connection Number pada Graf
Khusus dan Hasil Operasinya. Thesis. Pascasarjana Universitas Jember
[4] Hardsfields, N., Rigel, G. (1994). Pearls in Graph Theory. London:
Accademic Press Limeted
[5] Rosen, K. H.(2012). Discrete Mathematics and Its Applications. New York:
Mac Graw-Hill, inc
[6] Salman, A. N. M. dan D.Fitriani. (2016). Rainbow Connection Number of
Amalgamation of Some Graphs. AKCE International J.Graph and
Combinatorics 13: h.90-99.
[7] Salman, A.N N. M. dan Kumala, I. (2015). The Rainbow Connection Number
of a Flower (πΆπ , πΎπ) Graph and a Flower (πΆ3, πΉπ) graph. Procedia Computer
Science h.74: h.168-172
[8] Sugeng, K. A., Slamet, S., Silaban, D. R.(2014). Teori Graf dan Aplikasinya.
Indonesia: Departemen Matematika Universitas Indonesia.
[9] Vilfred, V (2013). A theory of Cartesian Product and Factorization of
Circulant Graph. Hindawi Publishing Corporation 2013: h.1-10
[10] Palupi, C. D. R., dkk.(2018) On Rainbow Connection and Strong Rainbow
Connection Number from Amalgamation of Prism Graph π3,2. Journal Of
Physics: Conference Series, vol. 1008, no. 1..
[11] Inayah, N. ,dkk(2011), On (π, π)-π»-antimagic coverings of graphs. The
Journal of Combinatorial Mathematics dan Combinatorial Computing 71,
273-281.