Post on 21-Mar-2023
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Objetivos de la clase:
Identificar una ecuación diferencial.
Modelar aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales.
Diferenciar las clases de ecuación
diferencial, por tipo, orden y
linealidad.
Comprobar las soluciones de las
ecuaciones diferenciales.
Resolver situaciones problemáticas
relativas a las EDO.
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Reseña Histórica:
Las ecuaciones diferenciales (ED) fueron tratados al inicio
por Newton para estudiar el movimiento planetario, fue
progresando a medida a medida que se afianza en la
ciencia natural en especial en la física con problemas
importantes como la ley de movimiento de Newton,
ecuaciones de Euler para la hidrodinámica, la ecuación de
calor por fourier,etc.
Actualmente las ED no sólo se
utilizan en el campo de la física,
sino también en la ingeniería, en la
química, economía, agronomía,
biología, etc. De ahí que su estudio
sea indispensable para toda la
ciencia natural.
¿Qué es una ecuación diferencial?
¿Cómo se resuelve semejante ecuación?
Esta expresión es una ecuación diferencial
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21.0)( xexy Como sabemos: es una función
diferenciable en (-, ).
En efecto, su derivada resulta: 20,10,2. . xdy
x edx
Ahora reemplazamos el valor inicial de y
´ 0,2. .dy
y x ydx
…Imaginemos que nos dan directamente esta ecuación.
¿Qué función representa y(x)?
Es una ecuación que contiene derivadas de una o más
variables dependientes, con respecto a una o más
variables independientes.
yxdx
dy 2.0
variable dependiente
variable independiente
Definición de ecuación diferencial: P
rof.
Isid
oro
Ru
iz A
ran
go
' 2 0y x ( )dy
k a ydx
x.dx – y.dy=0 dy=3dx
En todos los casos la incógnita es y = f(x)
Modelos de ecuaciones diferenciales
La rapidez con que un cuerpo se calienta es
proporcional a la diferencia entre la temperatura
del cuerpo T(t) y la temperatura del ambiente Ta
)( TTKdt
dTa
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Donde K es el coeficiente
de transmisión de calor que
depende del material
Ejemplo (1):
El voltaje v(t) en el capacitor del circuito de la
figura:
to R
C v(t)
+
-
+
- -
Vs(t)
)(1
)(1)(
tVRC
tvRCdt
tdvs
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Ejemplo (2):
Ejemplo (3)
El movimiento de un péndulo simple está
gobernado por la ecuación
Donde
0 mgsenklml
2
2
,dt
d
dt
d
m
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Ejemplo (4)
Las coordenadas (x,y) de los puntos de la curva
que refleja en forma paralela los rayos que salen
de un punto fijo en el origen cumplen con:
y
yxx
dx
dy22
x
y
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)()()(' 2 xfyxqyxpy
0y'y)y1(''y 2
dt
dpFext
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Otros Ejemplos: )x(qy)x(p
dx
dyEcuación lineal de primer orden:
Ecuación de Riccati:
1)(' 223 xyxsenyxyEn particular:
Ecuación de Van der Pol:
Segunda Ley de Newton:
….
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NOTACIONES IMPORTANTES Recordemos que las derivadas ordinarias según Leibniz
se denotan con: 2 3 4
2 3 4, , , ,.....
dy d y d y d y
dx dx dx dx(Muestra las dos variables)
En notación prima: y´, y´´, y´´´, y(4), y(5),….
(No se muestra las variables independientes)
Notación punto (Newton): y, y, y, y,....
Por ejemplo: 2
32d s
dt será 32s
Notación subíndice:
Ejemplo:
t
u
t
u
x
u
2
2
2
2
2
será: 2xx tt tu u u
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CLASIFICACIÓN GENERAL
Las ED se clasifican por tipo, orden y linealidad.
1. Clasificación por Tipo: a)Ecuación diferencial ordinaria (EDO):
Es una ecuación que contiene sólo derivadas
ordinarias de una o más variables dependientes
respecto a una sola variable independiente.
5 ey dx
dy x
Ejemplos: 2
26 0
d y dyy
dx dx
yx dt
dy
dt
dx 2
Una EDO puede contener más
de una variable dependiente.
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b)Ecuación diferencial parcial (EDP): Es una ecuación que contiene derivadas parciales de
una o más variables dependientes respecto de dos o
más variables independientes.
Ejemplos:
02
2
2
2
y
u
x
u
t
u
t
u
x
u
2
2
2
2
2
EDP de una variable dependiente u y
dos variables independientes x, y.
EDP de una variable dependiente u y
dos variables independiente x, t.
u v
y x
EDP de dos variables dependientes u, v y dos variables independientes y, x.
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2. Clasificación por Orden:
Orden: Se llama ED de orden “n” a toda ecuación que
incluye a la derivada cuyo mayor orden es “n”.
Grado: El grado de una ED es el de la derivada de
mayor orden, una vez que dicha ecuación haya sido
racionalizada.
Ejemplos:
2
21) 1
d y dy
dt dt que equivale a:
22
21
d y dy
dt dt
orden 2 grado 2
32
4
22) 5( ) 2 0
d y dyx
dx dx
orden 2 grado 3
12 2
2 23) ( )
y yz
x y
orden 2 grado 1
735) 2
5
2
22
4
4
x
dx
dy
dx
yd
dx
yda
3
2
22
6
2
2
7)
dx
ydx
dx
dyx
dx
ydb
17) 2 xdx
dyc
32
2
)dx
dyx
dx
ydd
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Ejercicios: Determinar el orden y el grado de las siguientes
ecuaciones:
87) 5
3
xxy
dx
dye
A veces escribiremos las EDO en forma diferencial
Por ejemplo, supongamos que y es la variable
dependiente y x la independiente en la EDO en forma
diferencial:
0'4
'
04)(
xyxy
dx
dyy
xdydxxy
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Nota Importante:
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy
0) , ,' , ,(
variables2
)(
n
nyyyxF
) , ,' , ,(
variables1
)1(
n
n
n
n
yyyxfdx
yd
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Forma general de orden “n” de una EDO:
Forma normal de orden “n” de una EDO:
Por ejemplo, las formas general y normal de la EDO
x, y xy’ 4
: 04
(x – y)Forma general F(x, y, y’) y’ -
x
:4
(x – y)Forma normal y’ f(x, y)
x
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3. Clasificación por Linealidad:
Se dice que una EDO de orden n es lineal si F (en la
forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y(n) (o sea cada
una de las derivadas es de grado 1).
0)()()()()( 011
1
1
xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
O bien:
)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
Dos casos importantes para nosotros serán las EDO
lineales de primer y segundo orden.
)()()( 01 xgyxadx
dyxa
)()()()( 012
2
2 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
(primer orden)
(segundo orden)
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¡Importante!: En una EDO lineal de orden n:
1) y, y’, y”, …, y(n) son de primer grado.
2) Los coeficientes a0, a1, …, dependen solo de la
variable independiente x.
Por ejemplo:
1) 4 0xy’ y x Es una EDO lineal de
primer orden
2) " 2 ´ 0y y y Es una EDO lineal de
segundo orden
3
33) 5 xd y dy
x y edx dx
Es una EDO lineal de
tercer orden
Lineal con coeficientes variables:
Cuando enfatiza el hecho de que al menos uno
de los coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante.
:)()()()()( 011
1
1 seráxgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
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Dado la ecuación :
Lineal homogénea:
Cuando el término independiente g(x) es nulo.
Lineal con coeficientes constantes:
Cuando los coeficientes a0(x),...,an(x) son
constantes.
xeyyy 2')1(1)
0seny)32
2
dx
yd
0)4 2
4
4
ydx
yd
Si no es lineal, es no lineal
El coeficiente depende de y.
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Observación:
Ejemplos de EDO no lineales:
3
32) (2 3) 5 0
d y dyy y
dx dx
Función no lineal de y.
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Ejercicios:
Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales
son ¿Lineales o no lineales?
)(1
)(1)(
tVRC
tvRCdt
tdvs1)
0 mgsenklml 3)
)( TTKdt
dTa 2)
1)(' 223 xyxsenyxy5)
y
yxx
dx
dy22
4)
0y'y)y1(''y 2 6)
Comprobación de una solución.
Y la igualdad se cumple para todo x de (-, )
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Comprobar que la función indicada es la solución de
la EDO dada en el intervalo (-, ):
(1) dy/dx = xy1/2. Solución: y = x4/16.
Solución:
Existe la derivada dy/dx = x3/4 para todo x de (-, ).
4164
33 xx
dx
dyLado izquierdo :
4416
322/142/1 xx
xx
xxy
Lado derecho :
iguales
Nota: La función y(x) = 0 también es la solución tanto de este ejemplo como del anterior en el intervalo (-, ). Se conoce como solución trivial.
0)(2)2(2 xxxxx xeexeexeyyy
xxeyyyy ;02(2) P
rof.
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Ru
iz A
ran
go
Solución:
Derivando la solución dos veces:
y' = xex + ex
y'' = xex + 2ex :
Reemplazando en la ecuación: