Cuaderno de ejercicios de calculo diferencial e integral 2009

Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial

Universidad Autónoma del Estado de México

Plantel “Ignacio Ramírez Calzada”

Academia de Matemáticas

Núcleo de formación: Matemáticas

Cuaderno de ejercicios de CálculoDiferencial para la asesoría en el área

de matemáticas

M. en A. Bernabé Gustavo QuintanaGalindo.


JUNIO 2009

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 2


INDICEPresentación………………………………………………………………………………………………4

Tema No.1. Límite de una función. ……………………………………………………………… 6

Ejercicios……………………………………………………………………………… 7

Tema No. 2. Límites trigonométricos……………………………………………………..………8

Ejercicios…………………………………………………………………………………9

Tema No. 3. Continuidad de una función………………………………………………………10

Ejercicios……………………………………………………………………………….11

Tema No. 4 Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales……….12

Ejercicios………………………………………………………………………………..13

Tema No. 5. Incrementos…………………………………………………………………………….14

Ejercicios………………………………………………………………………………..14

Tema No. 6. La derivada de una función……………………………………………………….15

Ejercicios………………………………………………………………………………..16

Tema No. 7. Teoremas para el cálculo de derivadas………………………………………17

Ejercicios………………………………………………………………………………..18

Tema No. 8. Derivada de las funciones trigonométricas directas………………………20

Ejercicios…………………………………………………………………………………21

Tema No. 9. Derivada de las funciones trigonométricas inversas……………………..22



Ejercicios…………………………………………………………………………………23

Tema No. 10. Derivada de las funciones logarítmicas……………………………………..24

Ejercicios…………………………………………………………………………………25

Tema No. 11. Derivada de las funciones exponenciales……………………………………26

Ejercicios………………………………………………………………………………….27

Tema No.12. Derivación logarítmica………………………………………………………………28

Ejercicios………………………………………………………………………………...29

Tema No. 13. Derivadas sucesivas de una función………………………………………….30

Ejercicios…………………………………………………………………………………31

Tema No. 14. Derivación de funciones implícitas…………………………………………….32

Ejercicios…………………………………………………………………………………33

Tema No.15. Ecuación de las rectas tangente y normal a una curva………………….34

Ejercicios…………………………………………………………………………………35

Tema No. 16 Máximos y mínimos de una función……………………………………………36

Ejercicios………………………………………………………………………………..38

Tema No. 17. Problemas de aplicación de máximos y mínimos………………………..39

Ejercicios………………………………………………………………………………..40



GLOSARIO………………………………………………………………………………………………….42

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………………………45

PRESENTACION

El presente Cuaderno de ejercicios de Cálculo

Diferencial pretende apoyar los objetivos de

aprendizaje y contenidos de esta asignatura

presentando ejercicios resueltos y proponiendo al

alumno ejercicios por resolver de uso más frecuente

en los temas a tratar.

El alumno al hacer uso frecuente de este cuaderno

de ejercicios encuentra un apoyo académico, ya que

los ejemplos presentados le permitirán hacer másM. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 5


comprensibles e interesantes la resolución de los

ejercicios en el la aplicación a los diferentes

tipos de problemas.

Así, los ejercicios que resuelva le proveerán de un

conocimiento básico del Cálculo, comprendiendo la

materia de un modo más completo. El cuaderno

contiene ejemplos de funciones, límites, derivadas

y ecuaciones de las rectas tangente y normal a una

curva, así como aplicación de los conocimientos

adquiridos en la resolución de problemas prácticos.

De esta manera, se pretende apoyar la asesoría a los

estudiantes e ir consolidando materiales de sustento

académico para el Núcleo de Formación de

Matemáticas, por lo que este cuaderno de ejercicios

se entrega a los alumnos al inicio del semestre

haciendo una revisión personalizada como parte de la

clase o en el cubículo como asesoría disciplinaría.

Con la elaboración y uso de este material por partedel alumno se busca desarrollar el razonamiento y lahabilidad matemática en el alumno y ampliar lacomprensión y utilización del lenguaje básico de lasM. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 6


ciencias, lo cual es el propósito del programa deesta asignatura.



Tema No. 1. Límite de una función.

Definición de función: Decir que limx→0f (x )=L significa

que cuando x está cerca, pero difiere de c, f(x) estácerca de L.

Ejemplo: Encuentre el limx→3

x2−x−6x−3

Solución. Note que (x2−x−6¿ /(x−3) no está definidopara x=3, pero todo está bien. Para tener idea de loque sucede cuando x tiende a 3 se puede usar unacalculadora para evaluar la expresión dada; porejemplo, para 3.1, 3.01, 3.001, etc. Pero es muchomejor usar un poco de álgebra para simplificar elproblema.

limx→3

x2−x−6x−3 =lim

x→3

(x−3 )(x+2)

x−3 =limx→3

(x+2)=3+2=5



La cancelación de x-3 en el segundo paso eslegítima, ya que la definición pasa por alto elcomportamiento preciso de x=3. Por lo tanto, no seha dividido entre cero.

Ejercicios: Encontrar los siguientes límites:

1.limx→3(2x−8) Respuesta: -2

2.limx→3 (2x+1)

3.limx→−2

(x2−3x+1 ) Respuesta: 11

4.limx→4

√9+x2

x−3

5.limx→1

x2+3x−4x−1 Respuesta: 5

6.limx→4

3√5x+7



7.limx→1

√5x−√51−x

8.limx→2

3−√4x+1x2−2x Respuesta: -

1/3

Calcule el límite por la derecha de la siguientefunción: f (x )=2x2+3

Calcule el siguiente límite, obteniendo suslímites laterales:

limx→−4

|x|x Respuesta: -1

Tema No. 2. Límites trigonométricos.

El límite de una función trigonométrica se obtieneutilizando los teoremas correspondientes, en loscuales se considera que u=f(x)

Ejemplo: Hallar el valor del límite limx→2

(3x−6 )cos(x−2)

x−2



En este tipo de límites formados por una partealgebraica y una parte trigonométrica, se considerapara la trigonométrica que si x→2 entonces x−2→0,así que al aplicar el teorema del límite de unproducto de dos funciones, se tiene:

limx→2

(3x−6 )cos(x−2)

x−2=lim

x→2

3x−6x−2

.limx→2

cos(x−2)

En la parte algebraica, el límite del cocienteresulta la indeterminación cero entre cero, por loque la expresión primero se simplifica y después seobtiene el valor del límite. En la partetrigonométrica, el límite es de la forma limu→0

cosu=1,

donde u=x-2, entonces

¿limx→2

3(x−2)x−2

. limx−2→0

cos(x−2)

¿limx→2

3 limx−2→0

cos (x−2)

= (3) (1)

= 3

Ejercicios: Calcular el valor de los siguienteslímites.



1.limx→0sen5x Respuesta:

0

2.limx→16cos(x−1)

3.limx→0 [2x−1

cosx ] Respuesta: -1

4.limx→3 [3sen2(x−3)

x2−6x+9 ]

5.limx→2 [5xsen(x−2)

x2+2x ] Respuesta: 5

6.limx→2 [ x−4

(x2−6x+8)cot(x−2) ]

7.limx→−2 [ x2+3x+2

(x+2)sec(x+2) ] Respuesta: -1

8.limx→0sen5xcos2x



9.limx→2 [7sen (x−2)sec (x−2)

tan(x−2) ] Respuesta:

10. limx→0 [2secxcscx ] Respuesta: 0

Tema No. 3. Continuidad de una función.

Existen tres tipos de discontinuidad de una función,los cuales son: discontinuidad evitable orestringible, discontinuidad infinita o asintótica ydiscontinuidad de salto.

Ejemplo: Analizar la continuidad de la funciónf (x )=x2−4

x+2 en x= -2, en caso de que la función sea

discontinua, indique a qué tipo de discontinuidadcorresponde.

Analizando la condición de continuidad

a)f (−2 )=(−2)2−4−2+2

=00 No está definido en los números

reales.



b)limx→−2

x2−4x+2

=limx→−2

(x+2) (x−2)

x+2=lim

x→−2(x−2 )=−4

Existe en los números reales.

Por lo tanto f (−2 )≠limx→−2

x2−4x+2 No se cumple la

condición de continuidad, se presenta unadiscontinuidad evitable o restringible.

Ejercicios: Analizar si las funciones siguientesson continuas o no en 2; si no lo es, explique porqué.

1.f (x )=4x2−2x+12 Respuesta: si

2.f (x )= 8x−2

3.g (x)= 3x2x−2 Respuesta: no, porque g (2)

no existe.



4.g (x)=√x−1

5.h (x)=√x−3 Respuesta: no, porque h(2) no existe.

6.h (x)=|3−5x2|

7.g (t )=t3−8t−2 Respuesta: no, porque g

(2) no existe.

8.g (t )=4t−8t−2

Tema No. 4. Puntos de discontinuidad enfunciones algebraicas racionales.



Para encontrar las abscisas de los puntos dediscontinuidad de una función algebraica racionalse resuelve la ecuación obtenida al igualar con ceroel denominador.

Ejemplo: Encuentre los puntos de discontinuidad dela función

f (x )= 2xx2−3x

Igualando con cero el denominador:x2−3x=0

Resolviendo por factorización:x (x−3)=0x=0x=3

Por lo tanto, la función es discontinua en x=0 y enx=3.

Calculando el límite de la función en estos dospuntos

a)Para x=0



limx→0

2xx2−3x

=limx→0

2xx(x−3)

=limx→0

2x−3=-

23

La función f(x) presenta una discontinuidadevitable en el punto (0,-2/3)

Ejercicios: Halle los puntos de discontinuidad delas siguientes funciones, trace la gráfica e indiqueel tipo de discontinuidad que se presenta.

1.f (x )=3x−4x−2 Respuesta: Disc.

evitable x=2

2.f (x )= 5x−3

¿¿

3. f (x )= 2x+1x2−4x+3 Respuesta: Disc. infinita

x=1 y x=3

4. f (x )= 8x2



5. f (x )= 6x+3x3+5x2−6x Resp: Disc., infinita x=-6,

x=0, x=1

6.f (x )=x3−5xx2−4

7. f (x )= 2xx2+1 Respuesta:

Continua

Tema No. 5. Incrementos.

Se llama incremento de la función f(x) a ladiferencia del valor final con el valor inicial y sedenota por ∆f (x ), eso es:

∆f (x )=f (x2 )−f(x1)



Ejemplo: Dada la función f (x )=x2−4x+3, obtenga elincremento de la función.

El incremento de la función se obtiene con:

∆f (x )=f (x+∆x )−f(x)

Como f (x )=x2−4x+3

Entonces f (x+∆x)=(x+∆x)2−4 (x+∆x)+3

¿x2+2x∆x+(∆x )2−4x−4∆x+3

Al efectuar la diferencia se obtiene el incrementode la función, esto es

∆f (x )=(x2+2x∆x+(∆x)2−4x−4∆x+3 )−(x2−4x+3 )

¿(2x+∆x−4)∆x

Ejercicios: Determine el incremento de lassiguientes funciones

1.f (x )=2x−1

2.f (x )=3x2−4x+5

3.f (x )=x2+5x−7

Tema No. 6. La derivada de una función.



La derivada de una función en cualquiera de suspuntos, geométricamente representa la pendiente dela recta tangente a la curva en ese punto.

Ejemplo: Obtenga la derivada de la funciónf (x )=3x2+4x−5

Aplicando la definición de derivada:

Dxf (x )=limh→0

f (x+h )−f(x)

h

Resulta:

¿limh→0

3(x+h)2+4 (x+h )−5−(3x2+4x−5)

h

Elevando el binomio (x+h) al cuadrado y realizandolos productos indicados, se tiene:

¿limh→0

3 (x2+2xh+h2 )+4x+4h−5−3x2−4x+5h

¿limh→0

3x2+6xh+3h2+4x+4h−5−3x2−4x+5h

Simplificando

¿limh→0

6xh+3h2+4hh

Realizando la división

¿limh→0

(6x+3h+4¿)¿



Finalmente, calculando el límite cuando h→0 seobtiene la derivada de la función

Dxf (x )=6x+4

Ejercicios: Utilizando la definición, calcule laderivada de las siguientes funciones.

1.f (x )=2x3 Respuesta:6x2

2.f (x )=3x4+73.f (x )=x2+x+6 Respuesta:

2x+14.f (x )=√2 x5

5.f (x )=−2x4 Respuesta:

8x−5

6.f (x )=2x4−3x7.f (x )=9−3x−2x2 Respuesta: -

3-4x

8.f (x )= 5x−3

9.f (x )= 1x+3 Respuesta:

−1(x+3)2

10. f (x )=34x+

13



Tema No. 7. Teoremas para el cálculo de derivadas.

Una forma más simple que la aplicación de ladefinición para calcular la derivada de una funciónreal de variable real, es mediante el uso deteoremas, los cuales se obtienen a partir de ladefinición y que pueden ser consultados en el librode texto y en el formulario o prontuario de cálculo.

Ejemplo: Calcular la derivada de la función f (x )= 23x2

Transformando la función a la forma de potencia

f (x )=23 x

−2

Aplicando el teorema y simplificando, se tiene laderivada de la función.



Dxf (x )=23

(−2x−3 )

¿−43x−3

¿−43x3

Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientesfunciones.

1.f (x )=−3x−3 Respuesta: 9x−4

2.f (x )=5x7+2x−6

3.f (x )=−8x10 Respuesta: -80

x−11

4.f (x )=5x4−2x3+6x−2

5. f (x )= 35x5 Respuesta:

−6x−6

6. f (x )=4x10+12x7−5x4+8

7.f (x )=6√x Respuesta:1

66√x5



8. f (x )=1x+

1x2-

1x3

9. f (x )=3x−5+2x−3 Respuesta:−15x−6−6x−4

10. f (x )=3x3−3 3√x+3x3

−3

Ejemplo: Obtenga la derivada de la funciónf (x )=3x2−2x

3x

Se desea calcular la derivada de un cociente de laforma:

Dx[f(x)g(x) ]=g (x)Dxf (x )−f (x)Dxg(x)

[g(x) ]2

Aplicandoelteoremacorrespondiente

¿3x (6x−2)−(3x2−2x)(3)

(3x)2=18x2−6x−9x2+6x

9x2

¿9x29x2

=1

Ejercicios: Calcular la derivada de las siguientesfunciones.

1.f (x )=(x2+2 )(x3+1) Respuesta: 5x4+6x2+2x2.f (x )=(x4−1)(x2+1)



3.f (x )= 13x2+1 Respuesta:

−6x(3x2+1)2

4. f (x )= 25x2−1

5. f (x )=x−1x+1 Respuesta:

2(x+1)2

6. f (x )=2x−1x−1

7. f (x )=(1−x)2 Respuesta: 2x-2

8.f (x )=(5x2−3√x)5

9.f (x )=5√(2x2−3x+1)3 Respuesta: 12x−9

55√(2x2−3x+1)2

10. f (x )=(2x−5)7

2x



Tema No. 8. Derivada de las funcionestrigonométricas directas.

La derivada de las seis funciones trigonométricasdirectas se obtienen aplicando los teoremascorrespondientes que pueden ser consultados en eltexto o en el prontuario o formulario.

Ejemplo: Hallar la derivada de la función f (x )=tan4x3−2cotx2+sec (2x−1)

Se tiene la derivada de una suma de tres funciones,aplicando los teoremas correspondientes para obtenerla derivada de cada término y simplificando, setiene:

Dxf (x )=sec24x3Dx (4x3 )+2csc2x2Dx (x2)



+sec (2x−1 )tan (2x−1 )Dx(2x−1)

¿12x2sec24x3+4xcsc2x2+2sec (2x−1 )tan(2x−1)

Ejercicios: Obtenga la derivada de las siguientesfunciones

1.f (x )=sen (3x−1 ) Respuesta: 3 cos(3x-1)

2.f (x )=cos2x7

3.f (x )=tan 3√x Respuesta: sec2 3√x

3 3√x2

4.f (x )=sec (1−2x−x3)5.f (x )=sen5x+cos5x Respuesta: 5 cos 5x- 5

sen 5x6.f (x )=cot√x−csc 3√x7.f (x )=tan5x5 Repuesta:25x4tan4x5sec2x5

8.f (x )=√sen22x

9. f (x )= 2x−1tan5x

10. f (x )=cos ¿ Respuesta: −3sec23xsen¿



Tema No. 9. Derivada de las funcionestrigonométricas inversas.

Para calcular la derivada de las funcionestrigonométricas inversas, se aplican los teoremascorrespondientes que pueden consultarse en eltexto o en el prontuario o formulario.



Ejemplo: Calcule la derivada de la funciónf (x )=arcsen(4−5x3)

Sí u= 4-5x3, utilizando el teoremaDxarcsenu=

1√1−u2

Dxu se tiene:

Dxf (x )= 1√1−(4−5x3)2

Dx(4−5x3)

¿−15x2

√1−(4−5x3)2

Ejercicios: Derive las siguientes funciones:

1.f (x )=arcsen (2x−1 ) Respuesta:2

√1−(2x−1)2

2.f (x )=arccos(x2¿+3)¿

3.f (x )=arctan (1+x+x2) Respuesta: 1+2x1+(1+x+x2)2



4. f (x )=arccot(3x2¿−1)¿

5. f (x )=arcsec (5−x ) Respuesta:−1

(5−x )√(5−x)2−1

6. f (x )=arccsc3√x

7. f (x )=arccot√x Respuesta: −12√x

(1+x)−1

8. f (x )=√arcsen2x

9. f (x )=arctan5xcot7x

10. f (x )=(arcsen3x)5 Respuesta:15(arcsen3x)4

√1−9x2

Tema No. 10. Derivada de las funcioneslogarítmicas.



Para calcular la derivada de una funciónlogarítmica, se aplican los teoremascorrespondientes que pueden ser consultados en eltexto o en el prontuario o formulario.

Ejemplo: Calcule la derivada de la funciónlog3(x

3−x2¿+1)¿

Considerando u= x3−x2+1 , aplicando el teorema

Dxlogau=1ulogaeDxu se tiene:

Dxf (x )= 1x3−x2+1

log3e(3x2−2x)

¿3x2−2xx3−x2+1

log3e

Ejemplo: Determine la derivada de la funcióny=ln (6x2+3x)

Considerando u=6x2+3x, aplicando el teorema Dxlnu=1uDxu

, se tiene



Dxy=1

6x2+3x(12x+3)

¿ 12x+36x2+3x


1.f (x )=log2(x4−4x2¿)¿ Respuesta:

4x3−8xx4−4x2 log2e

2.f (x )=ln(2x2¿−x)¿

3.f (x )=tan (lnx2)

4.f (x )=ln (senx)+ln¿¿¿

5. f (x )=ln(tan23x)

Respuesta: 6sec23x

tan3x

6. f (x )=cos4xlog5x



7. f (x )=log5(sen2x)

8. f (x )=log2(arccos (x−x2))

9. f (x )=arccos (lnx2)

10. f (x )=√1+ln3x Respuesta:1

2x√1+ln3x

Tema No. 11. Derivada de las funciones exponenciales.

Para calcular la derivada de una funciónexponencial, se aplican los teoremascorrespondientes, los cuales pueden serconsultados en el libro de texto, en formulario oprontuario.

Ejemplo: Obtener la derivada de la función f (x )=7x2+x



Considerando u=x2+x, aplicando el teoremaDxa

u=aulnaDxu, se tiene:

Dxf (x )=7x2+xln7Dx(x2+x)

Calculando la derivada indicada y ordenando lostérminos, se tiene la derivada de la función

¿ (2x+1 )7x2+xln7

Ejemplo: Calcular la derivada de la funcióng (x)=ecos2x

Considerando u=cos2x, aplicando el teoremaDxe

u=euDxu, se tiene:

Dxg (x)=ecos2xDxcos2x

Calculando la derivada y ordenando los términos,se tiene la derivada de la función

¿−2sen2xecos2x


1.f (x )=2x−2 Respuesta:2x−2ln2

2.f (x )=74−x



3.f (x )=3sen3x

4.f (x )=43x2+x

5.f (x )=ex2+3x−8

6.f (x )=ecosx3 Respuesta: −3x2senx3 ecosx3

Tema No.12. Derivación logarítmica.



Es un proceso que principalmente se utiliza paracalcular la derivada de una función elevada a otrafunción y para efectuar la demostración deteoremas para el cálculo de derivadas.

Para este proceso se utilizan las siguientespropiedades de los logaritmos:

a)lnAB=lnA+lnB

b)ln AB=lnA−lnB

c)lnAn=nlnA

Ejemplo: Calcular la derivada de la funciónf (x )=x5x

Igualando la función con y

y=x5x

Aplicando el logaritmo natural

lny=lnx5x

Aplicando la propiedad de los logaritmos

lny=5xlnx

Derivando con respecto a x ambos miembros de laigualdad

1yDxy=5xDxlnx+lnxDx(5x)



¿ (5x) 1x+5lnx=5+5lnx

Despejando Dxy Dxy=y ¿

Sustituyendo y=x5x

Dxx5x=5x5x+5x5xlnx

Ejercicios: Utilizando el proceso de derivaciónlogarítmica, obtenga la derivada de las siguientesfunciones.

1.f (x )=(3x)2x Respuesta:(3x)2x ¿

2.f (x )=(3x2)cos2x

3.f (x )=¿¿ R:¿¿)

4.f (x )=(x5−5x2)5x−6

5.f (x )=(senx2)cot(3x−1)



Tema No. 13. Derivadas sucesivas de una función.

Al derivar una función real de variable realcontinua, se obtiene como resultado una nuevafunción, la cual se puede dividir nuevamente. A laderivada de la derivada de una función se le llamasegunda derivada y a las derivadas obtenidas apartir de la segunda, se llaman derivadas de ordensuperior o derivadas sucesivas, siendo la primeraderivada la ordinaria.

Ejemplo: Obtenga la quinta derivada de la función

f (x )=x7+2x6−5x4+8x3−2x+2

La primera derivada de la función es:

Dxf (x )=7x6+12x5−20x3+24x2−2

La segunda derivada

Dx2f (x )=42x5+60x4−60x2+48x

La tercera derivadaM. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 38


Dx3f (x )=210x4+240x3−120x+48

La cuarta derivada

Dx4f (x )=840x3+720x2−120

La quinta derivada

Dx5f (x )=2520x2+1440x

Ejercicios: Obtenga la quinta derivada de lassiguientes funciones.

1.f (x )=2x5−2x3 R:240

2.f (x )=cos (5x−3 )

3.f (x )=sen (3x−2 )

4.f (x )=√4x2−5

5.f (x )=√2x−1 R.105

√(2x−1)9



Tema No. 14. Derivación de funciones implícitas.

Una función real de variable real es implícitacuando en su regla de correspondencia ningunavariable está despejada en términos de la otra. Laderivada de una función implícita se puededeterminar con respecto a la variable independiente



x o con respecto a la variable dependiente ymediante el proceso denominado derivación implícita.Al derivar funciones implícitas, es común aplicar laregla de la cadena. El procedimiento para estaderivación se puede consultar en el libro de texto yen el formulario o prontuario.

Ejemplo: Mediante derivación implícita, obtenga laderivada con respecto a x de la función

3x4y2+3x2=xy+7

Derivando con respecto a x

Dx (3x4y2 )+Dx ¿)=Dx (xy)+Dx(7)

Aquí se debe tener en cuenta que para derivar lostérminos 3x4y2 y xy se debe aplicar elteorema de la derivada de un producto.

Calculando las derivadas y representando por y ´la derivada de y con respecto a x.

6x4yy´+12x3y2+6x=xy´+y

Reordenando y como se desea obtener el valor de y´,los términos que contiene a y´ se agrupan en elprimer miembro, factorizando los términosM. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 41


y' (6x4y−x )=y−12x3y2−6x

Despejando y’, se tiene la derivada de la funcióncon respecto a x.

y'=y−12x3y2−6x

6x4y−x

Ejercicios: Derive implícitamente con respecto a xlas siguientes funciones

1.xy+x3=y2 R: y'=y+3x2

2y−x

2.x3+y2+cosxy=3xy

3.x2+senx2=y2−cosy

4.x3+y2=arcsen5x

Tema No.15. Ecuación de las rectas tangente ynormal a una curva.



Una de las aplicaciones de la derivada, que tieneuna utilidad inmediata, y que se apoya en ladefinición e interpretación geométrica de laderivada de una función real de variable realcontinua, consiste en la obtención de la ecuaciónde la recta tangente y normal en un puntodeterminado de la curva. Mediante la derivada seobtiene la pendiente y se aplican las ecuacionesde la geometría analítica para rectas

Ejemplo: Obtenga la ecuación de la recta tangentey normal a la curva f (x )=2x3+3x2−5x+3 en el puntode abscisa x=0.

La ordenada del punto de tangencia, se calculasustituyendo x=0 en la ecuación de la curva.

f (0)=3

Entonces el punto de tangencia es P (0,3).

La pendiente de la recta tangente, se obtienederivando y valuando la función en la abscisa delpunto de tangencia. La derivada de la función es:

f' (x)=6x2+6x−5



El valor de la pendiente de la recta en el puntode tangencia es:

m=f' (0)=−5

Aplicando los valores anteriores en la ecuación derecta conociendo un punto y la pendiente, paraobtener la ecuación de la tangente:

y−3=−5 (x−0)

5x+y−3=0

La ecuación de la normal es:

y−3=15

(x−0)

x−5y+15=0

Se obtiene el ángulo de inclinación de la rectatangente, esto es:

∝=angtanm=angtan(−5)

∝=¿101º

Se obtiene el ángulo de inclinación de la rectanormal sumando 90° al ángulo de la recta tangente,esto es:

β=101º+90º=191º

Ejercicios: Obtenga la ecuación de la rectatangente y normal a la curva en el punto indicado,graficando en cada caso la curva y ambas rectas enel mismo plano.



1.f (x )=x2−3,enx=1 R: 2x-y-4=0, x+2y+3=0

2.f (x )=3x2+6x−5,enx=1

3.Obtenga la ecuación de la recta tangente a lacurva y=x2−3x−10 , con ángulo de inclinación de135°.

4.f (x )=4−x2 en x=-2 R: 4x-y+8=0,x+4y+2=0

Tema No. 16 Máximos y mínimos de una función.

La principal utilidad al obtener los puntos máximosy mínimos de una función, así como los intervalosdonde es creciente y decreciente es para realizar unesbozo general de la gráfica de la función, sinembargo, en problemas de aplicación el objetivoprincipal es determinar los valores máximos omínimos que optimicen el problema.



Para determinar los puntos máximos y mínimos de unafunción, así como los intervalos donde es crecientey decreciente, se emplea el procedimiento que marcael libro de texto utilizando el criterio de laprimera y segunda derivada.

Ejemplo: Obtenga los puntos máximos y mínimos de lafunción

f (x )=x3−3x2−9x+3 , así como los intervalos en loscuales es creciente y decreciente.

Derivando la función

f' (x)=3x2−6x−9

Igualando con cero la primera derivada

3x2−6x−9=0

Simplificando y resolviendo la ecuación, se tiene laabscisa de los puntos críticos

x2−2x−3=0

(x−3 ) (x+1 )=0

x-3=0 x+1=0

x=3y x=-1

Calculando la segunda derivada de la función

f'' (x )=6x−6M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 46


Valuando la segunda derivada en los puntos críticos.

X

f'' (x )=6x−6

-1

6(-1)-6=-12 f'' (x )<0entoncessetieneunmáximoenx=−1

3 6(3)-6=12 f'' (x )>0entoncessetieneunmínimoenx=3

Valuando los puntos críticos en la función original,se tiene el valor de sus ordenadas

x f (x )=x3−3x2−9x+3-1

(−1)3−3(−1)2-9(-1)+3= 8 Entonces se tiene un máximo en(-1,8)

3

−3(3)2−9 (3 )+3=−24 Entonces se tiene un mínimo en(3,-24)

A partir de estos datos, se determinan losintervalos donde la función es creciente odecreciente, es importante tener en cuenta que estosmismos intervalos también es posible obtenerlosmediante la primera derivada de la función.

La función es creciente en: x∈ (−∞,−1) y en (3,∞)

La función es decreciente en: x∈(−1,3)

Se deja al estudiante el trazo de la gráfica.

Ejercicios: Trace la gráfica de las siguientesfunciones determinando sus puntos máximos y mínimos,



así como los intervalos en los cuales es creciente ydecreciente.

1.f (x )=x2+6x−1 R: D (−∞,3 ),Min (−3,10),C(−3,∞)

2.f (x )=3x2−4x−2

3.f (x )=3−8x−x2

4.f (x )=2x3−7x+2

5.f (x )=2x3−3x2 R: C(−∞,−4¿,máx (−4,19),D(−4,∞)



Tema No. 17. Problemas de aplicación de máximos ymínimos.

Algunos problemas de planteo en los cuales lasolución es un máximo o un mínimo, pueden resolversecon la teoría que se ha desarrollado hasta elmomento.

La aplicación principal de este tipo de problemas sepresenta en problemas de optimización, en los cualesse pide obtener uno o varios valores máximos omínimos. No existe un método general que se puedaaplicar para resolver todos los problemas de estetipo, pero en el libro de texto se hacen algunasrecomendaciones que el estudiante puede consultar.

Por problema práctico entendemos un problema quepuede surgir en la vida cotidiana. Tales problemasen raras ocasiones tienen puntos singulares; por loregular en éstos los valores máximos y mínimos sepresentan en puntos estacionarios, aunque tambiéndeberán comprobarse los puntos frontera.



Ejemplo: Un proyectil es disparado siguiendo unatrayectoria parabólica, dada por la ecuaciónh=−t2+8t−13, donde h es la altura en metros y t eltiempo en segundos. Halle el tiempo en que alcanzasu altura máxima y el valor de ésta.

En este caso la función objetivo a maximizar esh=−t2+8t−13

Derivando la altura con respecto al tiempo,igualando a cero y resolviendo la ecuación

h'=−2t+8

−2t+8=0

t=4

Por lo tanto el punto crítico se presenta cuandot=4

La segunda derivada es h''=−2

En el punto crítico h'' (4 )=−2<0 entonces en t= 4la función presenta un máximo. Sustituyendo t enh se obtiene h=−¿4)2 +8(4)-13 =3,por lo tanto el proyectil tarda 4 segundos enalcanzar la altura máxima que es de 3 metros.

Ejercicios:



1.Un diseñador gráfico tiene que realizar untrabajo donde tenga 180 cm2 de material impreso,dejando 3 cm de margen superior e inferior y 2cm de margen izquierdo y derecho. Determine lasdimensiones que debe tener el trabajo para quese utilice la menor cantidad de papel posible.R. 14.95 X 22.43 cm

2.Se desea cercar un terreno utilizando 200 m derollo de tela de alambre, el terreno cercadodebe quedar en forma cuadrada o rectangular.Determine las dimensiones del terreno de talmanera que el área cercada sea máxima.

3.Encuentre el volumen de la caja sin tapa másgrande que se pueda hacer con una hoja cuadradade cartón, de 24 pulgadas de lado, cortandocuadrados iguales en las esquinas y doblando.R: 1024 pulgadas cubicas.

4.Un proyectil es disparado siguiendo unatrayectoria parabólica, dada por la ecuaciónh=

−14t2+60t, donde h es la altura en metros y t



el tiempo en segundos. Halle el tiempo en quealcanza su altura máxima y el valor de esta.

5.Se requiere construir un recipiente cilíndricosin tapa empleando 480 cm2 de lámina. ¿Quédimensiones debe tener el cilindro para que elvolumen contenido en el sea máximo? R. r,h=7.13 cm

GLOSARIO.



Abscisa. Una de las dos coordenadas rectilíneas que fijan la posición de un punto en el plano.

Álgebra. Ciencia que tiene por principal objetosimplificar y generalizar las cuestiones relativas alos números. Esto se consigue utilizando letras paradesignar los números que se buscan; las reglasoperacionales se eligieron para que siguieran elmismo patrón que en aritmética ordinaria con elempleo generalizado del número negativo.

Amplitud. De un intervalo (a, b)

Aproximación. Evaluación o cálculo empírico conresultado inexacto, pero lo suficientemente cercanoal real para considerarse suficiente.

Asíntota. Línea recta que, prolongadaindefinidamente, se acerca de continuo a una curva,sin llegar a encontrarla nunca.

Cálculo Diferencial. Rama de las matemáticas quetrata de las unidades de cambio en las cantidadesvariables. En el cálculo diferencial se consideransolamente los incrementos en las cantidadesvariables; se antepone a ellas el símbolo “d”, loque significa un incremento.

Coordenadas. Se le llama coordenada a la pareja (x,y) que determina la distancia que un punto guarda enrelación con los ejes de coordenadas rectilíneas ocartesianas. La x se define como la abscisa y es la



distancia ortogonal que dicho punto guarda con eleje de las Y, y la coordenada “y” representa ladistancia ortogonal que el punto guarda con respectoal eje X.

Curva. Línea o trayectoria que se desvíaconstantemente de su dirección y no contiene ningunaposición de línea recta. Es el lugar geométrico delas posiciones sucesivas que ocupa un punto que setraslada con arreglo a una determinada ley; por lotanto, es una figura geométrica determinada por unsistema de coordenadas y la expresión gráfica de lavariación que experimenta una magnitud en función deotra u otras, de cuya definición se desprende queuna recta es un caso particular de curva.

Derivación. Es la operación con la que se encuentrala derivada de una función.

Discontinuo. Magnitud que varía por saltos y nogradualmente.

Función, derivada de una. Es la tendencia de unafunción al acercamiento a un valor dado de lavariable independiente. Existen varias fórmulas paraderivar.

Funciones implícitas. Son implícitas cuando sudependencia con la variable independiente no seencuentra en forma de ecuación resuelta, como es:

5xy−2y=8, en este caso “y” es una funciónimplícita de x.M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 54


Funciones, valores críticos de las. Se llamanvalores críticos a los valores en los que unafunción encuentra un máximo, un mínimo o un punto deinflexión, éstos se localizan derivando la función eigualando a cero. Los valores de x que satisfacena f’(x) se llaman valores críticos.

Límite de una función. Es el valor al que tiende elresultado de la operación cuando la variable tiendea un valor predeterminado. Como es decir que ellímite de f(x) cuando x tiende a “a” sea k.

Máximo. Límite superior de una cosa. Valor mayor deuna cantidad variable entre ciertos límites.

Trascendentes. Ecuaciones y funciones que no sepueden representar por expresiones algebraicas,porque intervienen en ellas logaritmos, funcionestrigonométricas o ecuaciones en las que el exponentees la variable.

Variable dependiente. Magnitud que en una relación ofunción depende del valor que se le asigne a otrasvariables.

Variable independiente. Magnitud que no depende deotra para obtener su valor.



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Cuaderno de ejercicios de calculo diferencial e integral 2009

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