Post on 01-Feb-2023
2
Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat
Menentukanproyeksi dan besar
sudut dalamruang dimensi tiga
3
Proyeksi Pada Bangun Ruang:
proyeksi titik pada garis
proyeksi titik pada bidang
proyeksi garis pada bidang
4
Proyeksi titik pada garis
Dari titik Pditarik garis m garis kgaris m memotong k di Q,
titik Q adalah hasil proyeksi
titik P pada k
P
Qk
m
5
ContohDiketahui kubus ABCD.EFGHTentukan proyeksititik A pada garis a. BC b.BDc. ET (T perpotongan AC dan BD).
A BCD
HE F
G
T
6
PembahasanProyeksi titik A pada
a. BC adalah titik
b. BD adalah titik
c. ET adalah titik
A BCD
HE F
G
T
B
TA’
A’(AC ET)
(AB BC)
(AC BD)
7
Proyeksi Titik pada BidangDari titik Pdi luar bidang Hditarik garis g H. Garis g menembus bidang H di titik P’.Titik P’ adalahproyeksi titik P di bidang H
H
P
P’
g
8
Contoh Diketahui kubus ABCD.EFGHa. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah….b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah….
A BCD
HE F
G
9
Pembahasana. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah
b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah CE BDG
A BCD
HE F
G
(EA ABCD)AP
P
10
Proyeksi garis pada bidangProyeksi sebuah gariske sebuah bidangdapat diperoleh dengan memproyek-sikan titik-titik yangterletak pada garis ituke bidang.
H
A
A’
g
Jadi proyeksi garis g pada bidang H adalah g’
B
B’g’
11
Fakta-fakta1. Proyeksi garis pada bidang
umumnya berupa garis2. Jika garis h maka proyeksi garis h pada bidang berupa titik.
3. Jika garis g // bidang maka g’ yaitu proyeksi garis g pada dan sejajar garis g
12
Contoh 1 Diketahui kubus ABCD.EFGHa. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD adalah….
A BCD
HE F
G
b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, Panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah….
13
Pembahasana. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD berarti menentukan proyeksi titik E dan F pada bidang ABCD, yaitu titik A dan B
A BCD
HE F
G
Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB
14
Pembahasanb. Proyeksi garis CG pada bidang BDG berarti menentukan proyeksi titik C dan titik G pada bidang BDG, yaitu titik P dan G
A BCD
HE F
G
Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya?
P
6 cm
15
A BCD
HE F
G •Panjang proyeksi CG pada BDG adalah panjang garis PG.
•PG = ⅔.GR = ⅔.½a√6 = ⅓a√6 = ⅓.6√6
PR
•Jadi panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah 2√6 cm
6 cm
16
Contoh 2Diketahui limasberaturanT.ABCDdengan panjang AB= 16 cm, TA = 18 cmPanjang proyeksi TApada bidang ABCDadalah….
T
AD C
B16 cm
18 cm
17
PembahasanProyeksi TApada bidang ABCDadalah AT’.Panjang AT’= ½AC = ½.16√2 = 8√2
T
AD C
B16 cm
18 cm
T’
Jadi panjang proyeksi TA padabidang ABCD adalah 8√2 cm
18
Sudut Pada Bangun Ruang:
Sudut antara dua garis Sudut antara garis dan
bidang Sudut antara bidang dan
bidang
19
Sudut antara Dua Garis
Yang dimaksud dengan besar sudut antara
dua garis adalahbesar sudut terkecil
yang dibentuk oleh kedua
garis tersebut
k
m
20
ContohDiketahui kubus ABCD.EFGH Besar sudut antaragaris-garis:a. AB dengan BGb. AH dengan AF c. BE dengan DF
A BCD
HE F
G
21
PembahasanBesar sudut antara
garis-garis:a. AB dengan BG = 900
b. AH dengan AF = 600 (∆ AFH smss)
c. BE dengan DF = 900 (BE DF)
A BCD
HE F
G
22
P
QV
Sudut antara Garis dan Bidang
Sudut antara garis a dan bidang
dilambangkan (a,)adalah sudut antara
garis a dan proyeksinya pada .
Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan P’Q = PQP’
P’
23
Contoh 1Diketahui
kubus ABCD.EFGHpanjang rusuk 6
cm. Gambarlah sudutantara garis BG dengan ACGE,
A BCD
HE F
G
6 cm
Kemudian hitunglah besar sudutnya!
24
PembahasanProyeksi garis
BGpada bidang ACGEadalah garis KG
(K = titik potong AC dan BD)
A BC D
HE F
G
6 cmJadi (BG,ACGE) = (BG,KG)
= BGK
K
25
PembahasanBG = 6√2 cm
BK = ½BD = ½.6√2 = 3√2 cm ∆BKG siku-siku di K
A BC D
HE F
G
6 cmsinBGK =
Jadi, besar BGK = 300
K
BGBK
21
2623
26
Contoh 2Diketahui
kubus ABCD.EFGHpanjang rusuk 8
cm. A BCD
HE F
G
8 cmNilai tangens sudut antara
garis CGdan bidang AFH adalah….
27
Pembahasantan(CG,AFH)
= tan (PQ,AP) = tan APQ = =
A BCD
HE F
G
8 cm
P
Q
PQAQ
824
828.2
1
GCAC2
1
Nilai tangens sudut antara garis CGdan bidang AFH adalah ½√2
28
Contoh 3Pada limas
segiempat beraturan T.ABCD yang semua
rusuknya sama panjang, sudut antara TA dan bidang
ABCDadalah….
T
A BCD
a cm
a cm
29
Pembahasan• TA = TB = a cm• AC = a√2 (diagonal persegi)• ∆TAC = ∆ siku-siku samakaki
T
A BCD
a cm
a cm
sudut antara TA dan bidang ABCDadalah sudut antara TA dan ACyang besarnya 450
30
Sudut antara Bidang dan Bidang
Sudut antara bidang dan bidang
adalah sudut antaragaris g dan h, dimana
g (,) dan h (,).(,) garis potong bidang dan
(,)g
h
31
Contoh 1 Diketahui kubus
ABCD.EFGHa. Gambarlah sudut
antara bidang BDG
dengan ABCDb. Tentukan nilai sinus
sudut antara BDG
dan ABCD!
A BCD
HE F
G
32
Pembahasana. (BDG,ABCD) • garis potong BDG
dan ABCD BD
• garis pada ABCD
yang BD AC
• garis pada BDG
yang BD GP
A BCD
HE F
G
Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC) =GPC
P
33
Pembahasanb. sin(BDG,ABCD) = sin GPC = = = ⅓√6A BCD
HE F
G
Jadi, sin(BDG,ABCD) = ⅓√6
P
GPGC
x 6a
a
21 .6
6 66
21
34
Contoh 2Limas beraturan T.ABC, panjangrusuk alas 6 cm dan
panjang rusuk tegak
9 cm. Nilai sinus sudut
antara bidang TABdengan bidang ABCadalah….
A
B
C
T
6 cm
9 cm
35
Pembahasan•sin(TAB,ABC) = sin(TP,PC) = sinTPC•TC = 9 cm, BP = 3 cm
•PC = =•PT = =
A
B
C
T
6 cm
9 cm
P 22 36 cm 3327
22 39 cm 3672
3
36
• Lihat ∆ TPC PT = 6√2, PC = 3√3
Aturan cosinusTC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cosTPC
81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cosTPC
36√6.cosTPC = 99 – 81
36√6.cosTPC = 18
cosTPC = =
A
B
C
T
9 cm
P
6√2
3√3 2 1
621
66x
12
6
37
• Lihat ∆ TPCcosP = Maka diperolehSin P =
Jadi sinus (TAB,ABC)
=
12
6
12
√6
6 144 -
P 138
12138
12138
38
Contoh 3 Diketahui kubus
ABCD.EFGH, pan-
jang rusuk 4 cm
Titik P dan Q berturut-turut
di tengah-tengah
AB dan AD.
A BCD
HE F
G
Sudut antara bidang FHQP dan bi-dang AFH adalah . Nilai cos =…
4 cm
PQ
39
Pembahasan • (FHQP,AFH) =
(KL,KA) = AKL =
• AK = ½a√6 = 2√6
• AL = LM = ¼ AC
= ¼a√2 = √2
• KL = = =3√2
A BCD
HE F
G4 cm
PQ
K
L
M22 MLKM
18242
40
Pembahasan• AK = 2√6 , AL = √2
KL = 3√2Aturan Cosinus:AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcos
2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cos
24√3.cos = 42 – 2 24√3.cos = 40 cos =
K
L
MA
Jadi nilai cos = 395
395