PENGERTIAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG

Pengertian Dasar Unsur-Unsur dalam Ruang

Titik, garis, dan bidang merupakan unsur-unsur dalam ruang atau

sering disebut unsur ruang.

a. Titik

Titik biasanya dilukiskan dengan noktah ( ) atau tanda (×)

dan ditulis dengan huruf besar, seperti A, B, C dan seterusnya.

Titik tidak mempunyai ukuran, dan sering disebut benda berdimensi

nol.

b. Garis (garis lurus)

Garis sering dijumpai sebagai rusuk dari benda ruang. Sebuah

garis panjangnya tak hingga, karena itu gambar sebuah garis

biasanya dilukiskan dengan wakil dari garis itu. Pemberian nama sebuah

garis dapat dilakukan dengan melukiskan wakilnya atau titik-titik

ujung garis itu.

Satu garis dapat dilukiskan dengan huruf kecil, seperti l,m,n. Garis merupakan benda berdimensi satu.

l Garis l

A B Garis AB

c. Bidang

Bidang yang dimaksud disini adalah bidang datar. Bidang

mempunyai ukuran panjang dan lebar, panjang dan tinggi, atau

tinggi dan lebar, sering disebut benda berdimensi dua. Suatu bidang

selalu dianggap dapat diperluas menurut arah panjang atau

lebarnya. Luas sebuah bidang besarnya tak terbatas, karena itu

gambar sebuah bidang biasanya yang dilukis adalah wakil bidang itu.

Wakil sebuah bidang dapat berbentuk jajargenjang atau persegi

panjang atau yang lainnya. Sebuah bidang diberi nama dengan

menuliskannya pada satu pojok bidang itu dengan huruf latin :

v,w,x,…danseterusnya,hurufkhusus:α,β,γ,… dan seterusnya, ataudengan menuliskan titik-titik sudut dari wakil bidang tersebut.

α

Bidang αBidang ABCD

KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG

1. Kedudukan titik terhadap garis

a. Sebuah titik dikatakan terletak pada sebuah garis, jika

titik itu dilalui garis.

D

A

C

B

b. Sebuah titik terletak di luar garis, titik itu tidak

dilalui garis.

Catatan : sebuah garis dapat dibuat melalui dua buah titik,

atau melalui dua buah titik hanya dapat dilukiskan sebuah

garis saja.

2. Kedudukan titik terhadap bidang

a. Sebuah titik dikatakan terletak pada sebuah bidang, jika

titik itu dilalui bidang.

b. Sebuah titik terletak di luar bidang, jika titik itu

tidak dilalui bidang.

Catatan : i. Melalui tiga titik sembarang, paling sedikit

dapat dibuat satu bidang.

ii. Melalui tiga titik yang tidak segaris hanya

dapat dibuat satu bidang, atau sebuah bidang

tertentu dapat dibuat melalui tiga titik yang

tidak segaris.

iii. melalui empat titik sembarang, tidak dapat

dibuat sebuah bidang.

3. Kedudukan garis terhadap garis

a. Dua garis dikatakan berpotongan, jika dua garis itu

sebidang dan mempunyai satu titik persekutuan. Titik

E

BA

F

C

G

D

I

H

persekutuan ini disebut titik potong. Pada gambar di bawah,

garis l dan m berpotongan di titik P.m

lb. Dua garis dikatakan sejajar, jika dua garis itu sebidang

dan tidak mempunyai titik persekutuan. Pada gambar di

bawah, garis l dan garis m sejajar.

l mc. Dua buah garis dikatakan bersilangan, jika dua buah garis

itu tidak sebidang atau melalui kedua garis itu tidak

dapat dibuat sebuah bidang datar (seperti gambar di bawah

ini ).

lm

4. Kedudukan garis terhadap bidang

a. Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika setiap

titik pada garis terletak juga pada bidang (seperti gambar

di bawah).

m

P

v

b. Sebuah garis dikatakan memotong (menembus) bidang, jika

garis dan bidang mempunyai satu titik persekutuan dan

titik itu disebut titik potong atau titik tembus.

l α

c. Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang

tidak bersekutu pada satu titik pun. l

α

5. Kedudukan bidang terhadap bidang

a. Dua bidang dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak

bersekutu pada satu titik pun.

b. Dua bidang dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu

mempunyai sebuah garis persekutuan atau garis potong.

β

α (α,β)

Contoh :

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan :

a. Titik yang berada pada garis DF

b. Titik yang berada diluar bidang BCHE

c. Garis yang sejajar dengan CF

d. Garis yang berpotongan dengan BE

e. Garis yang bersilangan dengan FG

f. Bidang yang sejajar dengan bidang BDG

Jawab :

a. Titik D dan F

b. Titik A, D, F, G

c. DE

d. EA, EF, ED, EH

e. AB, DC, AE, DH

f. AFH

A B

CD

E

GH

F

JARAK TITIK, GARIS, DAN BIDANG

1. Menghitung antara Dua Buah Titik

Jarak antara dua buah titik adalah panjang garis yang menghubungkan

kedua titik itu. Formula untuk menentukan jarak antara dua

titik dalam ruang dapat dilakukan sebagai berikut.

a. Jika kedua titik telah diketahui atau dapat ditentukan

A (xA,yA,zA )danB(xB,yB,zB), maka jarak AB adalah

|AB|=√(xB−xA)2+(yB−yA)

2+(zB−zA)2

b. Jika kedua titik tidak diketahui atau sulit ditentukan,

pergunakan rumus-rumus trigonometri pada segitiga yang

dibentuk oleh kedua titik tersebut dan satu titik

lainnya.

Contoh :

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk α cm.

Hitunglah :

a. Jarak titik A dan titik C

b. Jarak titik A dan titik G

Jawab :

a.

Berdasarkan teorema Pythagoras, diperoleh :

A B

CD

FE

H G

AC2=AB2+BC2=a2+a2=2a2

AC=√2a2=a√2cm

Jadi, jarak titik A dan titik C adalah a√2cm

b.

Berdasarkan teorema Pythagoras, diperoleh :

AG2=AC2+CG2=(a√2)2+a2=2a2+a2=3a2

AG=√3a=a√3cm

Jadi, jarak titik A dan titik G adalah a√3cm.

2. Menghitung jarak antara titik dan garis

Jarak antara titik dan garis merupakan panjang ruas garis

yang ditarik dari suatu titik sampai memotong garis tersebut

secara tegak lurus.

Jarak antara titik A dengan garis g

A dalah AB, karena AB tegak lurus

g

A

H G

E F

A B

D C

Dengan garis g

Contoh :

1. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk α cm.

Hitunglah jarak titik A ke garis CF.

Jawab :

Dengan menghubungkan A dengan F dan C akan terbentuk segitiga

sama sisi AFC dengan panjang rusuk:

AF=AC=CF=a√2cm.

Perhatikan ⊿AFC

Cara I : (dengan rumus Trigonometri)

Jarak titik A ke garis CF adalah AA’

AA’= AF sin 600

AA’= a√2. 12 √3=12a√6cm.

Cara 2 : (dengan teorema Pyhtagoras)

AA'=√¿¿¿

B

A B

CD

E F

GH

Jadi, jarak titik A ke garis CF adalah a2 √6cm.

3. Menghitung jarak antara titik dan bidang

Jarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis yang

ditarik dari suatu titik diluar bidang sampai memotong tegak

lurus bidang.

Jarak titik A ke bidang H

Adalah AB, karena garis AB

Tegak lurus dengan bidang H

4. Menghitung jarak antara 2 garis

a. Dua garis yang berpotongan tidak mempunyai jarak

b. Jarak antara dua garis yang sejajar adalah panjang ruas

garis yang ditarik dari suatu titik pada salah satu

garis sejajar dan tegak lurus garis sejajar yang lain.

Jarak antara garis g dan

h

Adalah AB, karena AB ¿

g dan h

A

BH

g

h

A

B

c. Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis

hubung yang letaknya tegak lurus pada kedua garis

bersilangan itu.

Jarak antara garis g dan h adalah AB karena AB tegak lurus g

dan h.

5. Menghitung jarak antara garis dan bidang

Jarak antara garis dan bidang yang sejajar adalah jarak

antara salah satu titik pada garis tehadap bidang.

h

g

A

B

H

gA

Jarak antara garis g dan bidang H adalah AB, karena AB tegak

lurus g dan bidang H.

6. Jarak antara dua bidang

Jarak antara dua bidang yang sejajar sama dengan jarak

antara sebuah titik pada salah satu bidang ke bidang yang

lain.

Jarak antara bidang G dan H

Adalah AB.

Contoh :

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm.

Hitunglah jarak antara :

B

H

A

BH

G

a. Titik A ke H

b. Titik A ke P (P adalah perpotongan diagonal ruang)

c. Titik A ke garis CE

d. Titik A ke bidang BCGF

e. Titik A ke bidang BDHF

f. Titik A ke bidang BDE

g. Garis AE ke garis CG

h. Garis AE ke garis CG

i. Bidang ABCD ke EFGH

Jawab :

a. Jarak titik A ke H = AH

AH = √AD2+DH2

AH = √100+100

AH = √200

AH = 10√2 cm

AB

CD

G

E F

H

10

R

P

b. Jarak titik A ke P = AP = ½ AG = 102 √3

cm

c. Jarak A ke CE = AK

Pada segitiga siku-siku CAE

L CAE = ½.AC.AE = ½.CE.AK

12.10√2.10=√2.10√3.AK

AK=

12.10√2.10

12.10√3

AK=10√2√3

AK=103 √6

d. Jarak titik A ke bidang BCGF = AB = 10 cm

e. Jarak titik A ke bidang BDHF = AR (R titik tengah garis BD)

AR = ½ AC = ½ 10√2 = 5√2 cm

g. Jarak titik A ke bidang BDE

A C

GE

K

GH

E F

Perhatikan persegi panjang ACGE sbb :

Garis AG berpotongan tegak lurus dengan

Garis ER dititik T, sehingga jarak A ke

Bidang BDE adalah AT.

ER = √AR2+AE2

= √50+100

= √150

= 5√6 cm.

L . ARE = ½. AR. AE = ½. RE. AT

½. 5√2.10 = ½ . 5√6.AT

50√2 = 5√6.AT

AT = 50√25√6 =

103 √3

cm

h. Jarak AE ke CG = AC = 10√3

A B

CD

T

A C

GE

R

T

R

i. Jarak ABCD dan EFGH = AC = 10 cm

SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG

1. Sudut antara dua garis berpotongan

Sudut antara dua garis berpotongan diambil sudut yang lancip.

Garis g berpotongan dengan garis h di titik A, sudut yang

dibentuk adalah α .

2. Sudut antara dua garis bersilangan

Sudut antara dua garis bersilangan ditentukan dengan membuat

garis sejajar salah satu garis bersilangan tadi dan memotong

garis yang lain dan sudut yang dimaksud adalah sudut antara

dua garis berpotongan itu.

g

h

A α

h

g

h1

Garis g bersilangan dengan garis h

Garis h1 sejajar dengan h

Dan memotong garis g

Sudut antara garis g dan garis h sama dengan sudut antara g dan

h1

3. Sudut antara garis dan bidang

Sudut antara garis dan bidang hanya ada jika garis menembus

bidang.

Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dan

proyeksinya pada bidang itu.

Garis g menembus bidang H dititik A.

Proyeksi garis g pada bidang H

adalah g1

Sudut antara garis g dengan bidang H

Adalah sudut yang dibentuk garis g

dg g1

4. Sudut antara bidang dengan bidang

g

g1

H

A

Sudut antara dua bidang terjadi jika kedua bidang saling

berpotongan.

Untuk menentukannya sbb :

a. Tentukan garis potong kedua bidang

b. Tentukan sebarang garis pada bidang pertama yang tegak lurus

garis potong kdua bidang

c. Pada bidang kedua buat pula garis yang tegak lurus garis

potong kedua bidang dan berpotongan dengan garis pada bidang

pertama tadi.

d. Sudut antara kedua bidang sama dengan sudut antara kedua

garis tadi

e.

Bidang G dan H berpotong pada garis (G,H). Garis g pada G tegak

lurus gais (G,H). Garis h pada H tegak lurus garis (G,H)

Sudut antara bidang G dan H sama dengan sudut antara garis g dan

h

Contoh :

H

G

g

h

(G,H)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukan :

a. Besar sudut antara BG dan bidang ABCD

b. Cosinus sudut antara BH dan ABCD

Jawab :

a. Sudut antara BG dengan ABCD adalah sudut CBG = 450

b. Cosinus sudut antara BH dengan ABCD adalah Cos DBH = BDBH

= 5√25√3

= √63

A B

CDE F

GH

5 cm

LATIHAN

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH denan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah

jarak antara :

a. Titik H ke garis AC

b. Titik B ke garis AG

c. Titik C ke BDG

d. garis AE dan CG

e. garis AB dan CDHG

f. bidang HFC dan DBE

2. Diketahui balik PQRS.TUVW dengan PQ = 4 cm, QR = 3 cm, PT = 6

cm

Hitung jarak antara :

a. V ke RSTU

b. Q ke PRVT

3. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan AB = 10 cm, TA = 12

cm. Hitung jarak antara :

a. titik B ke AT

b. titik T ke ABCD

c. titik A ke TBC

4. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk 8

cm. Tentukan jarak T ke bidang ABC.

5. ABCD.EFGH adalah sebuah balok. Nyatakan dan gambarkan kemudian

beri nama sudut antara :

a. CH dan ABCD

b. AG dan EFGH

c. BH dan CDHG

6. T. ABCD adalah limas tegak beraturan. Panjang rusuk alas 4 cm

dan panjang rusuk tegak 8 cm. Hitunglah :

a. Tan sudut antar TC dan ABCD

b. Cos sudut antara TQ dan ABCD dimana Q titik tengah AD

7. Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan AB = 6 cm dan TC =

3√5 cm. Hitung:

a. Cosinus sudut antara bidang ABCD dan TDC

b. Sinus sudut antara TAB dan TCD

8. Diketahui limas segitiga T.ABC. TA tegak lurus bidang alas.

Segitiga ABC siku-siku di B. Panjang AB = 6 cm, BC = 8 cm.

Panjang TA = 24 cm. O titik tengah BC. Hitunglah :

a. Panjang AC, TC, AO

b. tan sudut antara TO dan bidang ABC