Post on 13-May-2023
Derivadas
Derivadas de Funções Elementares
Taxa de variação e incremento
Dada uma função xfy , que varia uniformemente em um certo intervalo, e
considere-se x um ponto deste intervalo. Se for dado um pequeno acréscimo a
x , representado por x (denominada incremento da variável independente
x ), neste ponto a função y sofrerá um acréscimo y , isto é,
xxfyy
ou
xfxxfyyxxfy .
Expressão denominada incremento da função y .
Se a expressão anterior for dividida pelo incremento x da variável independente tem-se
x
xfxxf
x
y
)()( 11
Esta última expressão é denominada taxa de variação média de y em
relação a x .
Graficamente pode-se representar as relações anteriores como segue:
Note que xy é a inclinação da reta secante (que corta a curva em P e
Q ). Se x for muito pequeno, isto é, 0 x , então o ponto Q tende para
mxy
yyy
xxx
12
12
reta secante
y
x tangente em P
1x 2x
1y
2y
X
Y xf
Q
P
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1
o ponto P , a inclinação da reta secante PQ tende para a inclinação “ m ”
da reta tangente no ponto P , ou seja,
x
xfxxf
x
ym
xx
00limlimtan
x
xfxxfm
x
0lim
O “ m ” é também denominado coeficiente angular da reta tangente à curva
xfy no ponto P . Esta reta só contém um ponto 11, yx em comum com
a curva xf , e sua equação é:
bmxy
onde m e b podem ser determinados em cada ponto 11, yx conforme
mostra o exemplo a seguir. Como foi visto anteriormente o coeficiente angular
m pode ser convertido em ângulo, ou seja mggm arctantan .
Exemplo: Dada a função 0
2 xxy , determinar a equação da reta tangente
e seu ângulo no ponto 20 x .
a) Cálculo do m :
x
xfxxfm
x
)()(lim 0
0 x
xxx
x
)2(2)(lim
2
0
2
0
0
x
xxxxxm
x
222lim
2
0
22
0
00
2
0
02
2lim x
x
xxx
x
oo mxybbmxy 00
6,2P
Se 22 xy
para 62 yx e
o ponto onde vamos
calcular a tangente é
6,2P
X
Y
12
9
6
3
1 2 3
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2
Dados xm, e y , calcula-se b
se
46,2, 00 myx
e a equação da reta tangente que tem um ponto P em comum com a curva
xfy é
24 xy e 2246 b
Exemplo: Dada a função calcular o coeficiente angular da reta e a reta
tangente no ponto 2,7P .
3)( xxf
x
xfxxfm
x
)()(lim 0
0 como 7x
x
xm
x
373)7(lim
0 x
x
x
24lim
0
racionalizando e lembrando que a b a b 222
baba
xx
xxm
x
24
2424lim
0 24
44lim
0
xx
x
x
24
lim0
xx
xm
x 4
1
24
1
A reta tangente no ponto 2,7, 11 yxP da curva é
4
17
4
1211 bbbmxy
logo 4
1
4
1 xy é a equação da reta tangente no ponto P .
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3
Derivada de uma Função
Dada uma função xf , a sua derivada representada por xf é definida por
x
xfxxfxf
x
)()(lim
0m
x
y
x
0lim
(3.6)
O domínio da função xf (derivada), é o conjunto de todos os números x do
domínio de xf para os quais o limite do quociente
existe é chamado taxa média de variação da função f quando x passa do
valor para valor é a medida da variação média sofrida pela função entre esses dois pontos. Acompanhe o raciocínio nos exemplos a seguir.
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Exemplos de derivadas:
1) Dada a função 2xxf , achar a sua derivada
x
xfxxfxf
x
)()(lim
0 x
xxx
x
22
0
)(lim
xxxx
xxxxxxf
xx22lim
2lim
0
222
0
xxf 2
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Derivamos: z = u = u ½ ↔ z´ = uu
uu2
11.
2
1
2
1
2
12/1
2/112/1
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EXERCÍCIOS:
Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:
1) xxy 42 ; R: 42 xdx
dy
2) 2
2
xxf ; R:
3
2
xxf
3) 2
3
2
3 xxy ; R: 1
2
3 2 xdx
dy
4) 3 xy ; R : 3 23
1
xdx
dy
5) 161
3
x
xxxf ; R :
3
132
2
xx
dx
xdf
6) xba
x
ba
xy
25
; R: 125 4
ba
x
ba
x
dx
dy
7)
23
31
x
xy
; R:
252
1132
x
xx
dx
dy
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8) 2312 xxxy ; R: 192 2 xxdx
dy
9) 22
42
xb
xy
; R:
222
223 24
xb
xbx
dx
dy
10) xa
xay
; R:
2
2
xa
a
dx
dy
11) 3
xa
xay ; R:
4
26
xa
xaa
dx
dy
12) x
xy
1
1 ; R:
211
1
xxdx
dy
13) 331 xy ; R:
2
3
11
xxxdx
dy
14) 2
2
1
12
xx
xy
; R:
322
2
1
41
xx
x
dx
dy
15) 522 axy ; R: 42210 axxdx
dy
Derivadas de Funções Diversas
Regras de derivação funções trigonométricas Derivada da função seno Seja xxf sen então
x
xxxx
dx
d
x
sensenlimsen
0
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Pela relação trigonométrica
2sen
2cos2sensen
BABABA , tem-se:
2sen
2cos
2lim
sensenlimsen
00
xxxxxx
xx
xxxx
dx
d
xx
22
2cos
2lim
2sen
2
2cos
2limsen
00
xxx
x
xxx
xx
dx
d
xx
xxxx
xdx
d
xcos
2
2cos
2
2coslimsen
0
e de forma semelhante serão obtidas as derivadas das outras funções trigonométricas. Assim, pode-se obter a seguinte tabela de derivadas de funções trigonométricas:
Tabela das derivadas de funções trigonométricas e suas inversas
udx
duu
dx
dcossen para xuu u
dx
duu
dx
dsencos para xuu
udx
duu
dx
d 2sectan para xuu udx
duu
dx
d 2csccot para xuu
uudx
duu
dx
dtansecsec para xuu uu
dx
duu
dx
dcotcsccsc para xuu
2
1
1arcsen
udx
duu
dx
d
para xuu 2
1
1arccos
udx
duu
dx
d
para xuu
2
1
1arctan
udx
duu
dx
d
para xuu
21
1cot
udx
duuarc
dx
d
para xuu
1
1sec
2
uudx
duuarc
dx
d para xuu
1
1csc
2
uudx
duuarc
dx
dpara
xuu
Exemplo: encontrar a derivada genérica da função 2sen xy
Solução: 2222 cos2cossen xxxxdx
dx
dx
d
dx
dy
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Exemplo: encontrar a derivada genérica da função
1cos
x
xy
Solução:
1sen
1
111
1sen
11cos
2 x
x
x
xx
x
x
x
x
dx
d
x
x
dx
d
dx
dy
1sen
1
1
1sen
1
1
1sen
1
1222 x
x
xx
x
xx
x
x
xx
dx
dy
Exemplo: encontrar a derivada genérica da função
xy
1tan
Solução:
xx
x
xxdx
d
xdx
d
dx
dy 1sec
1101sec
11tan 2
2
2
xxxxxxdx
dy 1sec
11sec
11sec
10 2
2
2
2
2
2
Exemplo: encontrar a derivada genérica da função xy 3sec
Solução: xxxxxdx
dx
dx
d
dx
dy3tan3sec33tan3sec33sec
Assim, podem obter-se as seguintes relações, conforme tabela a tabela a seguir:
Tabela de relações entre derivadas de funções trigonométricas inversas
udx
d
udx
duu
dx
darccos
1
1arcsen
2
para xuu
uarcdx
d
udx
duu
dx
dcot
1
1arctan
2
para xuu
uarcdx
d
uudx
duuarc
dx
dcsc
1
1sec
2
para xuu
Regras de derivação funções exponenciais e logarítmicas Derivada da função exponencial
Seja xexf então
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x
ee
x
ee
x
ee
x
eee
dx
dx
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
x 1lim
1lim
1limlim
0000
como xe x 1 , tem-se:
xx
x
x
x
x
x
x eeex
xee
dx
d
000lim1limlim
e de forma semelhante serão obtidas as derivadas das outras funções exponenciais e logarítmicas. Assim, pode-se obter a seguinte tabela de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas:
Tabela das derivadas de funções exponenciais e logarítmicas
uu edx
due
dx
d para xuu
udx
duun
dx
d 1 para xuu
anedx
dua
dx
d uu para xuu anudx
duuog
dx
da
1 para xuu
xnxdx
duuxx
dx
d uuu 1 para
xuu
xvv
xuupara
dx
dvunu
dx
duvuu
dx
d vvv 1
Exemplo: encontrar a derivada genérica da função 2xey
Solução: 222
22 xxx exexdx
de
dx
d
dx
dy
Exemplo: encontrar a derivada genérica da função
1x
xny
Solução: x
x
x
x
dx
d
x
xx
x
dx
d
x
xn
dx
d
dx
dy 1
1
1
1
11
111
1
11
1
11
1
1222
xxx
x
xx
x
xx
x
x
xx
dx
dy
EXERCÍCIOS:
Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:
1) xxy 4sen 2 ; R: xxxdx
dy4cos42 2
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2)
2
2cos
xxf ; R:
23
2sen
2
xxxf
3)
2
3
2cos
3 xxy ; R:
2
3
2cos1
2
3 32 xx
xdx
dy
4) 3tan xy ; R : 32
3 2sec
3
1x
xdx
dy
5) 16sec xxf ; R :
16tan16sec3 xxdx
xdf
6)
ba
xy
5
cot ; R:
ba
x
ba
x
dx
dy 52
4
csc5
7) 31csc xy ; R: 332
1cot1csc13 xxxdx
dy
8) 23 xey ; R: 233 xedx
dy
9) 22
42
xb
x
ey ; R:
22
42
222
223 24xb
x
exb
xbx
dx
dy
10)
xa
xany ; R:
22
2
xa
a
dx
dy