Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Ecuaciones Tipo
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ECUACIONES DIFERENCIALES EN
DERIVADAS PARCIALES
Análisis Numérico II
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
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ECUACIONES DIFERENCIALES EN
DERIVADAS PARCIALES
Análisis Numérico II
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
• Ecuaciones Tipo
• Clasificación
• Condiciones de Borde
3/24
Ecuación de Advección
(Hiperbólica)
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Ecuaciones Tipo
0c c
Ut x
Dx
x
U
U
Qe
ce
c(x,t)
c(x+Dx,t)
4/24
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Ecuaciones Tipo
U ( , ) ( )c x t f x Ut
Ecuación de Advección
(Hiperbólica)
5/24
Ecuación de Difusión
(Parabólica)
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Ecuaciones Tipo
2
2
c cD
t x
Dx
x
F(x,t)
F(x+Dx,t)
Qe
ce
c(x,t)
c(x+Dx,t)
6/24
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Ecuaciones Tipo
( , )2
xc x t Aerf
Dt
Ecuación de Difusión
(Parabólica)
2 1x x
7/24
Ecuación de Laplace
(Elíptica)
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Ecuaciones Tipo
2 2
2 20
c c
x y
c1(x)
c2(x)
c4(y)
c3(y)
8/24
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Ecuaciones Tipo
( , ) y
n y
L
x
n xc x y Ae sen
L
Ecuación de Laplace
(Elíptica)
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Clasificación
Problema de 2º Orden
2 2 2
2 2( , ) 2 ( , ) ( , )
, , , ,
u u uA x y B x y C x y
x x y y
u uD x y u
x y
, u
un
Condiciones
de borde:
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Clasificación
Calculo Primera Derivada
, ; ,dX dY dY dX
t ndt dt dt dt
u u dX u dY
t x dt y dt
u u dY u dX
n x dt y dt
,u u
x y
2 2
1dX dY
dt dt
D
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Clasificación
Calculo Segunda Derivada
2
2
2
2
2
0
0
2
d uudX dYdt xxdt dt
dX dY u d u
dt dt x y dt y
A B C Du
y
2 2
2dY dX dY dX
A B Cdt dt dt dt
D
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Clasificación
Curvas Características
2dy B B AC
dx A
0D
Si A, B, C ctes.:
1 2, ; ,x y y c x cte x y y c x cte
, ; ,x y cte x y cte
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Clasificación
Clasificación
Tipo Curvas
características
Hiperbólicas d > 0 Reales
Elípticas d < 0 Complejas
Parabólicas d = 0 Reales, pero
coincidentes
2d B AC
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Clasificación
Formas Normalizadas
2 2
2 2, , , ,h
d u u u uD v w u
A w v v w
2v
Hiperbólicas:
2w
Coeficientes con signo opuesto
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Clasificación
Elípticas:
Coeficientes con igual signo
2 2
2 2, , , ,e
d u u u uD v w u
A w v v w
2v
2w
i
Formas Normalizadas
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Clasificación
Parabólicas:
Un coeficientes nulo
2
2, , , ,p
u u uA D v w u
w v w
v w x
Formas Normalizadas
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Clasificación
Más de dos Variables
Independientes
Tipo Coeficientes de derivada de
mayor orden
Hiperbólicas Todos no nulos y uno tiene
signo distinto a los demás
Elípticas Todos no nulos y del mismo
signo
Parabólicas Al menos uno nulo
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Condiciones de Borde
Ecuaciones Hiperbólicas
2
, , , ,u u u
G u
( , ) ( ) ( )u f g
Forma normal:
Forma elemental: 2
0u
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Condiciones de Borde
( ) ( ) ( )
( )
u t f g
u df dgt
n d n d n
Solución:
Sobre borde:
Ecuaciones Hiperbólicas
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Condiciones de Borde
( , 0) ( )
( , 0) ( )
u x t a x
ux t b x
t
2 2
2 2 2
10
u u
x c t
1 1( , ) ( ) ( ) ( )
2
x ct
x ct
u x t a x ct a x ct b dc
Ejemplo:
Ecuaciones Hiperbólicas
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Condiciones de Borde
Solución:
Condiciones de
Cauchy sobre PA
Condiciones de
Dirichlet o
Neumann sobre PB
Ecuaciones Hiperbólicas
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Condiciones de Borde
Ejemplo:
( , 0) ( )
( , 0) ( )
o
o
u x y u x
ux y N x
y
2 2
2 20
u u
x y
0
( , ) Re ( ) ( )
x iy
o ou x t u x iy i N d
Condiciones de
Cauchy sobre
contorno abierto
(Forma normal)
Ecuaciones Elípticas
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Condiciones de Borde
Ejemplo: (Forma normal)
1 0( , 0) ( )
0 0
si xu x t b x
si x
22
2
u ua
t x
2
2
/
42
( , ) , 0
x t
aa
u x t e d t
Condiciones de
Dirichlet sobre
contorno abierto
Ecuaciones Parabólicas