SOLUCIONARIO ECUACIONES DIFERENCIALES

NO. 3

1.

Primero, se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { , luego,

determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √ donde

analizamos:

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma

Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma

Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

Dado el discriminante √ = 0 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

Utilizando la fórmula general hallamos los el valor de : √ √

Por lo tanto solución.

Comprobación

De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas

según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores

de las derivadas obtenidas:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial : se tiene:

0 = 0

2.

Primero, se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { ,

luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √

donde analizamos:

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma

Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma

Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

Dado el discriminante √ = - 6 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

Hallamos los valores de y :

; √| | √| |

Por lo tanto; solución.

Comprobación

De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas

según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores

de las derivadas obtenidas:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial se tiene: { } { } 0 = 0

3.

Primero analizamos que es una ECUACION DIFERENCIAL NO HOMOGENEA para ello debemos

hallar una solución homogénea yc y la parte que no es una derivada o función una solución particular yp;

donde:

La primera parte se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { ,

luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √

donde analizamos:

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma

Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma

Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

Dado el discriminante √ = - 4 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

Hallamos los valores de y :

; √| | √| |

Por lo tanto la solución homogénea es

Como nos dan parámetros, las condiciones de esa ecuación diferencial homogénea reemplazamos valores:

Sacamos su primera derivada para reemplazar las condiciones y armar un sistema de ecuaciones y hallar

los valores de y respectivamente.

Remplazando valores obtenemos: ;

De ahí obtenemos nuestra solución homogénea

La segunda parte debemos analizar la parte que no es homogénea y se observa que es de la forma

Hallamos la primera, segunda o terceras y cuartas derivadas de esa solución particular dependiendo del

grado de la ecuación para luego reemplazar los valores en la Ec. Diferencial inicial y poder hallar los

coeficientes que acompañan a esa solución particular.

Remplazamos en la Ec. Diferencial inicial

Por lo tanto;

Finalmente, la solución de la ecuación diferencial dada es: Solución.

Comprobación

De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas

según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores

de las derivadas obtenidas:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial se tiene:

4.

Primero, se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { ,

luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √

donde analizamos:

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma

Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma

Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

Dado el discriminante √ = 0 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

Utilizando la fórmula general hallamos los el valor de : √ √

Por lo tanto

Como nos dan parámetros, las condiciones de esa ecuación diferencial homogénea reemplazamos valores:

Sacamos su primera derivada para reemplazar las condiciones y armar un sistema de ecuaciones y hallar

los valores de y respectivamente.

Reemplazando las condiciones en sus respectivas derivadas hallamos: ;

De ahí obtenemos nuestra solución homogénea y Solución.

Comprobación

De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas

según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores

de las derivadas obtenidas:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial se tiene:

( ) ( ) ( )

5.

Primero analizamos que es una ECUACION DIFERENCIAL NO HOMOGENEA para ello debemos

hallar una solución homogénea yc y la parte que no es una derivada o función una solución particular yp;

donde:

La primera parte se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { ,

luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √

donde analizamos:

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma

Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma

Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

Dado el discriminante √ = -2 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

Hallamos los valores de y :

; √| | √| |

Por lo tanto la solución homogénea es

Como nos dan parámetros, las condiciones de esa ecuación diferencial homogénea reemplazamos valores:

Sacamos su primera derivada para reemplazar las condiciones y armar un sistema de ecuaciones y hallar

los valores de y respectivamente.

Remplazando valores obtenemos: ;

De ahí obtenemos nuestra solución homogénea

La segunda parte debemos analizar la parte que no es homogénea y se observa que es de la forma

Hallamos la primera, segunda o terceras y cuartas derivadas de esa solución particular dependiendo del

grado de la ecuación para luego reemplazar los valores en la Ec. Diferencial inicial y poder hallar los

coeficientes que acompañan a esa solución particular. Remplazamos en la Ec. Diferencial inicial

Hallamos los valores de A y B de la siguiente manera:

: :

Por lo tanto;

Finalmente, la solución de la ecuación diferencial dada es: Solución.

Comprobación

De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas

según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores

de las derivadas obtenidas:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial se tiene:

6. Primero analizamos que es una ECUACION DIFERENCIAL NO HOMOGENEA para ello debemos

hallar una solución homogénea yc y la parte que no es una derivada o función una solución particular yp;

donde:

La primera parte se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { ,

luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √

donde analizamos:

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma

Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma

Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

Dado el discriminante √ = -20 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

Hallamos los valores de y :

; √| | √| | √ √

Por lo tanto la solución homogénea es √ √

La segunda parte debemos analizar la parte que no es homogénea y se observa que es de la forma

Hallamos la primera, segunda o terceras y cuartas derivadas de esa solución particular dependiendo del

grado de la ecuación para luego reemplazar los valores en la Ec. Diferencial inicial y poder hallar los

coeficientes que acompañan a esa solución particular.

Remplazamos en la Ec. Diferencial inicial

Hallamos los valores de A y B de la siguiente manera:

: 9 :

cte:

Por lo tanto;

Finalmente, la solución de la ecuación diferencial dada es: (√ ) (√ ) Solución.

Comprobación

De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas

según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores

de las derivadas obtenidas: (√ ) (√ ) ( (√ ) (√ )) ( √ (√ ) √ (√ )) ( (√ ) (√ )) ( √ (√ ) √ (√ )) ( √ (√ ) √ (√ )) ( (√ ) (√ ))

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial se tiene: ( (√ ) (√ )) ( √ (√ ) √ (√ )) ( √ (√ ) √ (√ )) ( (√ ) (√ )) ( ( (√ ) (√ )) ( √ (√ ) √ (√ )) ) ( (√ ) (√ ) )

7.

Al no ser una Ec. Diferencial de segundo orden aplicamos una división sintética para disminuir el grado el

grado de la Ec. Diferencial.

1 6 11 6 -1

-1 -5 -6

1 5 6

De ahí me queda una Ec. Diferencial de grado 2:

Otra manera de resolver sin utilizar la formula cuadrática es FACTORIZANDO solo si se puede factorar: La solución nos quedaría como son raíces REALES:

Solución.

Comprobación

De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas

según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores

de las derivadas obtenidas:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial se tiene:

8.

Primero analizamos que es una ECUACION DIFERENCIAL NO HOMOGENEA para ello debemos

hallar una solución homogénea yc y la parte que no es una derivada o función una solución particular yp;

donde:

La primera parte se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde {

, luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √

donde analizamos:

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma

Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma

Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

Dado el discriminante √ = 4 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

Utilizando la fórmula general hallamos los el valor de :

√ √ {

Por lo tanto

Por lo tanto la solución homogénea es

Como nos dan parámetros, las condiciones de esa ecuación diferencial homogénea reemplazamos valores:

Sacamos su primera derivada para reemplazar las condiciones y armar un sistema de ecuaciones y hallar

los valores de y respectivamente.

Remplazando valores obtenemos: ;

De ahí obtenemos nuestra solución homogénea

La segunda parte debemos analizar la parte que no es homogénea y se observa que es de la forma

Hallamos la primera, segunda o terceras y cuartas derivadas de esa solución particular dependiendo del

grado de la ecuación para luego reemplazar los valores en la Ec. Diferencial inicial y poder hallar los

coeficientes que acompañan a esa solución particular.

Remplazamos en la Ec. Diferencial inicial

Hallamos los valores de A y B de la siguiente manera:

: : : :

Por lo tanto;

Finalmente, la solución de la ecuación diferencial dada es: Solución.

Comprobación

De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas

según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores

de las derivadas obtenidas:

Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial se tiene: ( )

9.

La primera parte se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { ,

luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √

donde analizamos:

Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma

Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma

Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma

Dado el discriminante √ = 0 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma

Utilizando la fórmula general hallamos los el valor de : √ √

Por lo tanto

Como nos dan parámetros, las condiciones de esa ecuación diferencial homogénea reemplazamos valores:

Sacamos su primera derivada para reemplazar las condiciones y armar un sistema de ecuaciones y hallar

los valores de y respectivamente.

Reemplazando las condiciones en sus respectivas derivadas hallamos: ;

De ahí obtenemos nuestra solución homogénea y

Solución.

Comprobación