UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN

Enrique Guzmán y Valle

Alma Máter del Magisterio Nacional

FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela Profesional de Matemática e Informática

Portada

MONOGRAFÍA

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER

ORDEN Teoría general de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Curvas Integrales. Ecuaciones diferenciales de primer orden por

separación de variables, ecuaciones homogéneas. Ecuaciones

diferenciales exactas. Factor integrante Ecuaciones diferenciales lineales

Ecuación de Bernoulli y de Ricatti. Aplicaciones de las ecuaciones

diferenciales de primer orden en la resolución de problemas.

Examen de Suficiencia Profesional Resolución Nº 1509-2019-D-FAC

Presentada por:

Atachahua Sánchez, Juan Manuel

Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación

Especialidad: Matemática e Informática

Lima, Perú

2019

ii

MONOGRAFÍA

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER

ORDEN Teoría general de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Curvas Integrales. Ecuaciones diferenciales de primer orden por

separación de variables, ecuaciones homogéneas. Ecuaciones

diferenciales exactas. Factor integrante Ecuaciones diferenciales lineales

Ecuación de Bernoulli y de Ricatti. Aplicaciones de las ecuaciones

diferenciales de primer orden en la resolución de problemas.

Designación de Jurado Resolución Nº 1509-2019-D-FAC

Hoja de firmas de jurado

_____________________________________

Dra. Mesías Borja, Dora Escolástica

Presidente

__________________________________________

Dra. Gutiérrez Guadalupe, Sandra Yaquelin

Secretario

_____________________________________

Lic. Mendoza García, Julio Alejandro

Vocal

Línea de investigación: Tecnología y soportes educativos

iii

Dedicatoria

Dedico esta monografía a mis tres motores: Yeraldin,

Ivanna y Alana; a mis padres; y va para ti, tío Antonio, que nunca

dejaste de creer en mí; a todos mis maestros, quienes hicieron

posible que llegue a esta instancia de mi vida; y, de manera muy

especial, a todos mis estudiantes, que a través de sus dudas me

inspiran a seguir creciendo profesionalmente.

iv

Índice de contenidos

Portada............................................................................................................................... i

Hoja de firmas de jurado ................................................................................................... ii

Dedicatoria ...................................................................................................................... iii

Índice de contenidos ........................................................................................................ iv

Lista de figuras ................................................................................................................ vi

Introducción .................................................................................................................... vii

Capítulo I. Ecuaciones diferenciales .................................................................................. 8

1.1 Concepto ..................................................................................................................... 8

1.1.1 Solución de la ecuación diferencial. .................................................................... 9

1.2 Historia .................................................................................................................... 12

1.3 Clasificación de las ecuaciones diferenciales ............................................................. 16

1.3.1 Ecuación diferencial parcial (EDP). ................................................................. 17

1.4 Grado de una ecuación diferencial ............................................................................. 17

1.5 El teorema de la función implícita ............................................................................ 19

1.6 Problema del valor inicial (pvi) o problema de Cauchy ............................................ 20

1.7 Teorema de existencia y unicidad (teorema de Picard) ............................................... 21

1.8 Criterio de exactitud ................................................................................................. 21

1.9 La ecuación diferencial es exacta............................................................................... 23

Capítulo II. Ordinarios de primer orden ........................................................................... 28

2.1 Concepto ................................................................................................................... 28

2.1.1 Ecuaciones de variables separables. .................................................................. 28

2.2 Las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primera orden............................. 31

2.2.1 Ecuación diferencial homogénea....................................................................... 32

v

2.2.2 Ecuación diferencial exacta. ............................................................................. 34

2.3 Ecuación diferencial lineal ....................................................................................... 35

2.3.1 Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad. .................................................. 36

2.3.2 Ecuación diferencial ordinaria lineal. ................................................................ 38

2.3.3 Ecuación diferencial ordinaria no lineal. ........................................................... 38

2.4 Métodos numéricos para E.D.O. de primer orden ..................................................... 38

2.5 Métodos para hallar soluciones ED............................................................................ 39

2.6 Ecuación diferencial de Bernoulli ............................................................................. 41

2.7 Ecuación de Ricatti ................................................................................................... 42

2.8 La ecuación de Lagrange ......................................................................................... 44

2.9 La ecuación de Clairaut ........................................................................................... 44

Aplicación didáctica ........................................................................................................ 46

Síntesis ........................................................................................................................... 48

Apreciación crítica y sugerencias .................................................................................... 50

Referencias ..................................................................................................................... 51

Apéndices ....................................................................................................................... 52

vi

Lista de figuras

Figura 1. La ecuación diferencial.. ................................................................. ………………..11

vii

Introducción

Este trabajo se ha realizado aplicando la investigación sobre la base de la ecuación

diferencial, que es una condición que incluye subordinados (o diferenciales) de una

capacidad oscura de al menos uno de los factores, en la remota posibilidad de que la

capacidad oscura se base solo en una variable. La condición se denomina condición

diferencial común; no obstante, si la capacidad oscura se basa en más de una variable, la

condición se conoce como condición diferencial fraccional.

Es aquella que relaciona los factores libres con la variable dependiente y sus

subsidiarias en al menos uno de los factores autónomos. Las condiciones diferenciales

asumen un trabajo central tanto en la propia Matemática como en diferentes ciencias; por

ejemplo, la Física, Ciencias, Economía, etc.

En la remota posibilidad de que y = f (x) sea una capacidad dada, su subsidiaria con

respecto al factor libre x se puede descifrar como el ritmo de progreso de la variable; y con

respecto a la variable x, por ejemplo, es muy básico que en un ciclo monetario los factores

en cuestión y sus ritmos de variedad se identifiquen entre sí a través de las reglas

financieras que administran dicha medida. Al comunicar dicha asociación en términos

numéricos, el resultado es regularmente una condición diferencial.

A diferencia de las condiciones logarítmicas, en una condición diferencial lo oscuro

es una capacidad (de vez en cuando), no un número. Una condición diferencial es aquella

que relaciona al menos un factor libre, un elemento de dichos factores (que es la capacidad

oscura) y las filiales de esta capacidad hasta una solicitud específica.

El trabajo tiene varias partes: Capítulo I, Ecuaciones diferenciales; Capítulo II,

Ordinarios de primer orden; y, por último, la aplicación didáctica.

8

Capítulo I

Ecuaciones diferenciales

1.1 Concepto

Una condición alternativa es una relación ecuménica científica que tiene capacidad, con

sus subordinados, en aplicaciones científicas. Las capacidades típicas que hablan de

maravillas físicas, las filiales que hablan de las sombras del progreso y la condición

caracterizan la conexión entre ellas, dado que estas conexiones son tan únicas. Los

contrastes entre las dos reuniones son distintivos en varios controles, que incluyen la

construcción, la ciencia de los materiales, los aspectos financieros y la ciencia.

En las matemáticas, las ecuaciones diferenciales se concentran desde puntos de vista

alternativos, la gran mayoría de los cuales se refieren al arreglo de las capacidades que

cumplen la condición, solo se pueden comprender. Al respecto, Villalobos (2008) afirma

que “Las ecuaciones diferenciales menos complejas utilizando recetas inequívocas; en

cualquier caso, algunas propiedades de las disposiciones de una ecuación diferencial

específica pueden resolverse sin descubrir su estructura exacta” (p.66).

En el caso de que no se pueda descubrir la disposición específica, es muy posible que

se obtenga numéricamente mediante una suposición que utiliza PC.

9

La hipótesis de marcos dinámicos acentúa la investigación subjetiva de marcos

explícitos por condiciones diferenciales, mientras que se han creado numerosas estrategias

numéricas para decidir arreglos con cierto nivel de exactitud.

dy

dt=k(4-x)(1-x)

a. -π(y tan a)2dy

dt=12(2gy) donde a y g son constantes2

1

b. ∂N

dt=

∂2N

∂r2+

1

r

∂N

∂r + KN donde k es constante

Resolución

• Ordenaría, estables no lineales, primera solicitud, variable subordinada "X", factor

libre "t".

• Ordinaria, consistentes no lineales, primera solicitud, variable "y" dependiente.

"t" variable independiente.

• Parcial, coeficiente variable, directo, segunda solicitud. "N" variable subordinada, "r

además, factores libres "t".

Decida las cualidades que puede recibir las constantes k, m, n, t con el objetivo de

que la ecuación diferencial x (dy

dx) m+4 (

dky

dxk) =xn sea lineal, de segundo orden y de

coeficientes estables.

Objetivo

En la remota posibilidad de que m - 1 sea recto

En caso de que k = 2 sea la segunda orden

En la remota posibilidad de que t = 0 x1 = x ° = 1 sea consistente y la condición sea

de coeficientes estables, dado que xn es el término libre, n puede ser cualquier real.

1.1.1 Solución de la ecuación diferencial.

La función y (x) - C {ex + C2 e2x Sea la función y (x) –c (ec +c2 e2x)

10

a. Demuestre que y (x) es una respuesta de la ecuación.

d

2y

dx-

dy

dx-2y = 0

b. Determina, en la remota posibilidad de que existan, las cualidades de C1 y C2, tales,

cumplen las condiciones subyacentes y (0) = 2, y (0) = 1.

Resolución

En la remota posibilidad de que y (x) sea una respuesta de la condición diferencial,

en ese punto debe cumplirla, se determina la primera y segunda derivadas de la función y

(x) al derivar nuevamente se obtiene.

dy

dx=-C1e-x2 C2 e2x

Al derivar nuevamente se obtiene.

dy

dx=-C1e-x+2C2e2x

d2y

dx2=C1e-x+4C2e2x

A continuación, estas capacidades se sustituyen en la ecuación diferencial.

C1e-x +4C2 e2x-(-C1e-x+2 C2 e2x)-2(C1e-x+C2e2x) = 0

Se realizan tareas y se disminuyen los términos comparables, por lo que tiene 0 = 0;

además, de esta manera se muestra que y (x) es una respuesta de la condición diferencial.

Para la condición y (0) = 2, se incluye en la disposición de la condición diferencial,

es decir

• 2=C1e-(0)+C2e(0)

• 2=C1+C2

De la misma manera, para la condición y (0) = 1, está subordinada en el subordinado

principal del trabajo de arreglo.

• 1= - C1e(0)+2C2e(0)

11

• 1= - C1+2 C2

Se entiende el marco conformado por (1) y 82); incluyendo ambas ecuaciones

(1) + (2)

3 = 3 C2

3 = C2

Finalmente, se sustituye este valor en (2), con lo que obtiene.

C1 =2- C2

C1 = 2 -3

C1 = -1

Dada la ecuación diferencial (y1)2 +2y/ + 4 - 4y = O, si su solución general es

y =(x-C)2 + C.

Desarrolle un cuadro de los arreglos familiares; decida, en caso de que exista, la

condición de un arreglo solitario.

Resolución

• y-C = (x - C) 2 representa el grupo de parábolas con vértices en la recta y = x

• Para decidir si hay algún arreglo solitario, infiera la condición diferencial

Figura 1. La ecuación diferencial. Fuente: Bernardet, 2008.

12

Parcialmente respecto a y:

∂

∂y[(y)2+2y+4x-4y]= 0

De aquí se obtiene 2y+2 = 0

y= -1

Este valor de y es sustituido en la ecuación diferencial

(-1)2+(-1)+4x-4y = 0, al disminuir los términos tenemos 4x - 4y = 1,

comprende una disposición solitaria, en el cuadro del pasaje se observa la línea

de digresión al grupo de parábolas; esta línea es la representación realista de la

disposición obtenida (Acero, 2007, p.149).

1.2 Historia

La mecánica es la más establecida de las ciencias físicas, las obras registradas más

establecidas sobre este tema, hijo de Arquímedes (287-212 a. C.). Hacen referencia a la

directriz del interruptor y la regla de empuje.

Un avance generoso anticipó el plan de las leyes de síntesis de poderes de

Stevin (1548-1620), y un creador similar articuló la mayoría de los estándares

de Estática. La investigación principal de un tema poderoso se debe a Galileo

(1564-1642) y alude a las pruebas sobre la caída de los cuerpos, a pesar del

hecho de que debemos pensar en un antecedente (Quintana, 2008, p.86).

Significativo: Copérnico (1473-1543), quien, con su marco heliocéntrico, envió los

establecimientos de otra ciencia: la mecánica.

a. Azul claro

En general, la combinación fue antes de la separación, impredecible, 2,000 años, la

antigua estrategia griega para la exhalación y las pequeñas medidas de Arquímedes,

hablando de casos anticuados de procedimientos restrictivos de totales básicos. Sin

13

embargo, no fue sino hasta el siglo XVII que Fermat descubrió digresiones y enfoques

básicos, por estrategias comparables a la evaluación de residuos graduales. He encontrado

la idea al revés de estos dos procedimientos, junto con la consiguiente aclaración del

contador, inducción para decidir lo más lejos posible la separación, tanto inversa como

directa, cambia el cálculo esencial en una nueva pieza innovadora de matemáticas, la

reconciliación, fue tomada como "el recuerdo de la inferencia" y no fue sino hasta 150

años adicionales.

Posteriormente, esa consideración fue directamente a la idea de expansión en el

cómputo. El cálculo apareció impreso, solo porque en una memoria de seis páginas de en

la Ley de Eruditorium de 1684, que contenía un significado del diferencial y donde daba

pocos estándares para su estimación en agregados, elementos restantes poderes y raíces,

también incluía pequeñas aplicaciones a la digresión y cuestiones básicas.

Antes de los creadores de matemáticas, el problema de la coordinación de las

condiciones diferenciales, en su comienzo, se introdujo como un componente de un

problema cada vez más amplio: el problema inverso de poca investigación, normalmente,

el énfasis estaba primero en las condiciones distintivas de la primera solicitud, su respuesta

se buscó como capacidades aritméticas básicas o extraordinarias, con la ayuda de

estrategias elegidas con bastante eficacia, para disminuir este problema a la búsqueda de

capacidades brutas, los creadores del examen y sus seguidores en general separarían los

factores en cada condición diferencial esta estrategia, con la cual comienzan actualmente

los mensajes ordenados de la hipótesis de las condiciones diferenciales, parece haber sido

verificablemente la primera, para comenzar, llamaremos la atención sobre que el término

condición diferencial desde una perspectiva limitada) en 1676 para mostrar una relación

seria entre los diferenciales dx y dy y dos segmentos xey, una idea de que el resto en este

momento, los problemas aún se acercaban con una visión geométrica-euclidiana, tanto

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Leibniz como Newton amplían sus conceptualizaciones numéricas en cuanto a sustancias

geométricas, en las que se hablan propiedades e ideas, este fue el resultado de cuán

limitada era la idea de capacidad en el siglo severo, la idea de la capacidad perpetúa a

pesar de todo lo relacionado con la posibilidad de una curva geométrica, en este sentido,

claramente la idea de la digresión era euclidiana. En Leibniz hay un componente

alternativo, aunque equívoco, de imaginar la línea de digresión como la de dos focos

ilimitadamente cercanos de todos modos, el pensamiento que se ocupó de la línea de

digresión fue inequívocamente instintivo.

Una reunión de características muy cercanas; en las cantidades de Newton que

cambian con el tiempo, lo esencial considera el continuo matemático abarcado por zonas

diminutas, el segundo tiene un pensamiento instintivo de desarrollo incesante en la medida

de lo posible. Newton necesita sugerir vulnerabilidad en lo que respecta a razones

escandalosas en la última década del siglo extremo, los hermanos Bernoulli, James, Johan

decidieron los términos, por ejemplo, "organizar" una condición diferencial, al igual que la

forma de "factores de confinamiento" de una condición diferencial, alrededor de 1692,

encontró otra técnica, reconocieron un movimiento de problemas, el "aumento mediante

una variable de coordinación" (particularmente para resolver las condiciones en las que no

se utilizó la técnica anterior, supongamos que condición αxdy - ydx = 0, ya que a pesar del

hecho de que era concebible aislar los factores, no se pueden incorporar, ya que en ese

momento no se sabía que ∫dx / x = lnx), una técnica igualmente utilizada por su sobrino

Daniel, 1700-1782, desde 1720. No obstante, las técnicas eran inadecuadas y no se podía

proponer la hipótesis general de las condiciones diferenciales a mediados del siglo XVIII.

Los resultados generales comenzaron a declararse a mediados de la década de 1920.

En 1724, el matemático italiano JF Riccati (1676-1754) contempló la condición: dy / dx +

ay2 = bxα, (α, a, b constantes), decidiendo la unión en elementos rudimentarios de esto.

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Posteriormente lleva su nombre, un nombre que llegó a todas las condiciones de tipo y' = P

(x) y2 + Q (x) y + R (x), (P, Q y R capacidades persistentes).

Quintana (2008) indica que:

Se relaciona con la principal sistematización de las obras pasadas, donde

descubrimos lo que puede conocerse como la hipótesis principal de las

condiciones diferenciales habituales. Este trabajo contiene una parte decente (y

sustancialmente más) del material que encontramos en la lectura de un curso

actual, por ejemplo, la investigación de las condiciones diferenciales de la

primera solicitud (y su disposición de comparación en "distinto",

"homogéneo", "directo" "exactas"), los de la solicitud posterior (directa y

aquellos equipados para disminuir la solicitud), y su especulación con los de

una solicitud superior de la misma manera, descubrimos la técnica de

disposición de fuerzas para explicar las condiciones, por ejemplo, y "+ axny =

0. Lo que desde nuestro punto de vista merece presentar en este trabajo es su

método de conceptualizar las condiciones diferenciales típicas, la enunciación

dy / dx infiere para una porción sobrante entre los diferenciales y no nuestro

subordinado actual en una condición de solicitud posterior, los diferenciales

dy, dx aparecen en lugar del segundo asistente (p.145).

Por otro lado, consideramos que este trabajo implica el final de la etapa algorítmica

logarítmica a través de toda la cercanía de las condiciones diferenciales habituales, y se

inicia la etapa posterior (hasta fines del siglo XIX), que hemos denominado fundamentos,

ya que en este se encuentra presente las cuestiones clave de establecimiento, tratamiento y

eliminación, encontró el comportamiento general de una condición recta no homogénea,

que corresponde a la absoluta conducta de una conducta particular y la calidad general de

la condición homogénea relacionada, algunos matemáticos lo siguieron inequívocamente,

16

el marco del factor de unión así, en los años 1768-1769, revisó clases de condiciones

diferenciales que tienen un fragmento ordenante de un tipo dado, e intentó extender estas

evaluaciones a condiciones de intriga más sobresalientes.

Fueron compuestas hacia el último cuarto del siglo XVIII. La seguridad de la

estrategia general de una condición diferencial directa homogénea de solicitación n con

coeficientes confiables es de la estructura: y = c1y1 + c2y2 + ... + cnyn,

donde y1, y2, ..., yn son muchos arreglos directamente autónomos y c1, c2, ..., cn

son constantes subjetivas ("Norma de superposición"); del mismo modo, también encontró

en su estructura general la "estrategia para la variedad de parámetros (o constantes)",

alrededor la ecuación de Riccati "rompe" con la costumbre aritmética: una condición

generalmente básica que, en general, no se puede incorporar a los cuadrados en segundo

lugar, este descanso se basa más en la posibilidad de que llamemos la atención sobre eso.

Una razón por la cual es más simple comprender una condición diferencial directa

que no es recta (aparte de la idea misma de lo último, que puede bloquear dicho objeto), es

la presencia del principio de superposición mencionado anteriormente. Esta norma es el

método típico para distinguir la disposición general como un componente de un número

limitado de disposiciones específicas. La condición de Riccati es una condición no lineal

que tiene una disposición general, pero con una estructura recta.

En este sentido, en el siglo XVIII, el trabajo consistió en comprender condiciones

específicas explícitas; del mismo modo, se expusieron las premisas para la elaboración de

las bases de la hipótesis general, con una progresión de ideas esenciales.

1.3 Clasificación de las ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales la podemos clasificar de acuerdo a su cantidad de variables:

pueden ser de dos tipos:

17

1.3.1 Ecuación diferencial parcial (EDP).

Son las condiciones diferenciales que tienen al menos dos variables.

Ejemplo

∂

2ᾨ

u2+

∂2ᾨ

∂v2

= ky

1.4 Grado de una ecuación diferencial

En este aspecto, Kurmyshev (2003) señala que “Es el exponente del término de la mayor

derivada o que es lo mismo decir, es el exponente del orden de la ecuación diferencial”

(p.10).

Los ejemplos anteriores para continuidad de la explicación:

Ejemplo:

senx(dy

dx)2-2

d3y

dx3+5y=10 El exponente de la derivada más alta (orden 3) es uno.

Ecuación diferencial es de grado 1, es decir es una EDO lineal.

y dy

dx+x (

d3y

dx3) 2+3xy=0, el exponente de la derivada más alta (orden 3) es dos.

Acero (2007) confirma la:

Ecuación diferencial es de grado 2, es decir es una EDO no lineal soluciones

las ecuaciones diferenciales comprenden una condición diferencial, implica

decidir una capacidad φ (x) caracterizada en un intervalo apropiado I ≤ R en tal

medida que cumpla la ecuación diferencial (p.110).

Matemáticamente lo representaremos así: φ (x) es solución de la ED

↔G (x,φ(x),

dφ

dx,

d2φ

dx2,…,

dnφ

dxn) = 0

En pocas palabras, si al sustituir una función a la ED y cumple la igualdad, entonces

iremos que se trata de la solución de la ED.

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Ejemplo:

Verificar si la función: 𝑦 =e-x; es solución de la ecuación diferencial y´´-y=0.

Derivando la función 𝑦=e-x se obtiene:

y´=-e-x

y´´= e-x

Sustituyendo en y´´- y = 0

e-x-e-x= 0

Con el objetivo de que la capacidad "y =" "e" ^ "- x" en sí misma sea una respuesta

de "y '' - y = 0", las soluciones de una ecuación diferencial se clasifican en implícitas y

explícitas, siendo representadas de la siguiente forma:

Solución explícita:

y=f(x), o bien 𝑥 = g (y).

Ejemplo:

y= x2 _ x-1 Es una solución explícita de

d2

dx2-2

y

x2= 0 para entenderlo mejor:

observamos que la solución “y” está despejado, entonces derivaremos dos (2) veces para

reemplazarlo en la ecuación diferencial.

dy

dx=2x+x-2 , reemplazando tenemos: 2-2x

-3-2(x2-x-1

dx) = 0 2 32x - 2 32x = 0

satisface la igualdad, se trata de solución explícita.

Solución implícita: son de la forma F(x, y)= c. Si una solución está en forma

implícita, se tienen dos opciones.

En general, puede aceptar que "y = f (x)" e inferir la capacidad convencionalmente

aplicando la regla de la cadena, la elección posterior es aplicar la hipótesis de capacidad

entendida.

19

1.5 El teorema de la función implícita

Sea F(x, y)=0 una función implícita de dos variables, si las derivadas parciales ∂F

∂x y

∂F

∂y

existen y son continuas, entonces: dF=∂F

∂xdx+

∂F

∂ydy=0 en el caso en que

∂F

∂Y≠0, se cumple

que dy

dx=-

∂F

∂x∂F

∂y

=-Fx

Fy.

Ejemplos:

Verificar que la función y3=ce-3x2+3 es una solución implícita de la ecuación

diferencial dy

dx+2xy=

6x

y2.

Derivando implícitamente la función y3=ce-3x2+3

dy

dx=-

6cxe-3x2

3y2.

Usamos el teorema de la función implícita

dy

dx=-

6x(y3-3)

3y2 Sustituimos 𝑐e-3x2

=y3-3

dy

dx=-2xy+

6x

y2 Simplificamos

dy

dx+2xy=

6x

y2 Reordenamos

De manera que la capacidad "y" ^ "3" "= c" "e" ^ ("- 3" "x" ^ "2") "+3" es una

respuesta entendida para la condición diferencial dada.

Solución:

Dada la ecuación diferencial ordinaria.

F(x,y,y´,y´´,…,y(n-1),y(n)) = 0

Se le denomina solución general a todas las soluciones que posee la ecuación α y

posee la siguiente forma:

G(x,y,c1,c2,…,cn) = 0 .

20

Es una familia de soluciones con n parámetros arbitrarios. Sobre el particular,

Martínez (1998) expresa: “Como te podrás imaginar para cada valor de “n” habrá una

curva, entonces para los “n” valores habrán “n” curvas, a la familia de la representación

gráfica de todas esas soluciones, se les denomina” (p.48).

Curvas integrales, solución particular:

Es una solución obtenida a partir de la solución general, el asignarle a la constante un

cierto valor, le corresponderá un valor particular para “x” e “y”.

En el caso de que la capacidad.

y = 0 sea una respuesta, declaramos que y = 0 es la disposición insignificante.

Una respuesta de una condición diferencial se llama solitaria en caso de que no

pueda obtenerse del grupo de arreglos dando cualidades a las constantes autoafirmativas.

1.6 Problema del valor inicial (pvi) o problema de Cauchy

La cuestión del valor introductorio es la cuestión de comprender la condición

diferencialyn=f(x,y,y´,…,yn-1) sujeta a las condiciones 𝑦(x0) = y0, y´(x0) = y

1,…,

yn-1(x0) = yn-1

.

Cuando se resuelve un problema de valor inicial, gráficamente se está

determinar qué capacidad familiar encuentra un punto o punto dado algunos

enfoques, las condiciones dadas deben evaluarse de modo que, mediante un

procedimiento matemático, decida la estimación de la coherencia subjetiva o

las cualidades de las constantes discrecionales que deciden una capacidad

conjunta que cumpla con cada una de las condiciones dadas (Álvarez, 2010,

p.68).

21

1.7 Teorema de existencia y unicidad (teorema de Picard)

La introducción al tema de desentrañar la condición diferencial "dy" / "dx" "= f (x, y)",

sujeto a la conducción "y" ("x" _ "0") "=" "y" _ "0" tiene una disposición solitaria

caracterizada sobre un tramo enfocado en x_0 sí. “Las capacidades "f (x, y") y "∂f" / "∂y"

son las fuentes consistentes sobre un distrito que contiene el punto (x0,y

0)" (Acero, 2007,

p.22).

Ejemplo: resuelva el PVI

dy

dx= y

y (0)=1

∫dy

y= ∫ dx → ln y = x+c (Esto es su solución general)

Reemplazamos (x0, y0) = (0,1) y concluimos que c = 3.

La solución particular será: y=ex+3

1.8 Criterio de exactitud

Sean los subordinados primarios derivadas parciales de M (x, y) y N (x, y) continuas en x2

Entonces la ecuación diferencial M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0 es exacta

∂M

∂Y=

∂N

∂x∀ (x,y)∈R

Solución:

Sea la ecuación diferencial exacta M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

Entonces cumple:

Paso 1

dF(X,Y)= M(x, y)dx+N(x, y)dy

dF (x,y)= 0

F(x, y)= C

22

Solución implícita

Paso 2

M(x, y)=∂F

∂x (x, y)

F(x, y) = ∫ M (x, y)dx +φ(y)

Paso 3

N(x, y)=∂F

∂y

∂

∂y(∫ M(x, y)∂x +φ(y)) =N (x, y)

φ(y) = N(x, y)-∂

∂y∫ M (x, y)dx

φ(y)= ∫ [N(x, y)-∂

∂y∫ M (x, y)dx] dx

Ejemplo 1

Determinar en el caso que la ecuación diferencial adjunta sea precisa, en el caso de

que sea encontrar la solución general.

(y-3x2)+(x-1)dy = 0

Solución:

M(x, y)=y-3x2 →∂M

∂y=1

N (x, y)=x-1→∂N

∂x= →

∂M

∂y=

∂N

∂x

23

1.9 La ecuación diferencial es exacta

Una ecuación diferencial de la estructura M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, se llama condición

diferencial precisa si hay una capacidad, F (x, y) de modo

que:∂F

∂X(x, y)dx+

∂x

∂y(x, y)dy=M(x, y) dx+N(x, y)dy

La disposición general será en ese punto de la estructura F (x, y (= C, en la remota

posibilidad de que M, N sean de clase C ', la condición M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es

cuidadosa si y solo en el caso de que se confirme, ∂M

∂y(x, y)=

∂N

∂x(x, y).

Paso 1

∂F

∂x=M (x, y)→F(x, y)= ∫ (y-3x2 )dx+ φ(y)→F(x, y)= yx-x3+φ(y)

Paso 2

N(x,y)=∂F

∂y

→ x-1=∂

∂y (yx-x3 + φ(y))

→ x-1=x- 0+φ(y)

→ φ(y)= -1

→φ(y)=- ∫ dy

→∅(y)= - y

∴F(x,y) = yx - x3 – y

La solución de la ecuación diferencial dada es:

F(x,y)=C

→ yx-x3- y=C

→ y(x-1)=x3+C

→ y=x3+C

x-1

24

Ejemplo 2

Determinar en la remota posibilidad de que la ecuación diferencial acompañante sea

definida, en el caso de que sea encontrar la solución general.

(2xy-Sec2x)dx+(x2+2y)dy = 0

Solución:

M (x, y)=2xy-Sec2x→∂M

∂y= 2x

N (x, y) = x2+2y→∂N

∂x = 2x

→∂M

∂y=

∂N

∂x

Paso 1

∂F

∂x= M (x, y)

F (x, y) ∫ (2xy-sec2 x)dx+∅(y)

→F(x, y)=x2y- tg(x)+∅(y)

Paso 2

∂F

∂y = N(x,y)

x2+∅(y) = x2+2y

→∅(y) = 2y

→∅ (y) = ∫ 2ydy

→∅ (y)=y2

∴F (x,y) = x2y-tg (x)+y2

La disposición general de la ecuación diferencial dada es:

x2y- tg (x)+ y2=C

25

a. Factores integrantes

La capacidad μ (x, y) es un factor básico de la condición no cuidadosa M (x, y) dx +

N (x, y) dy = 0 si y solo si la condición diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es exacto.

b. Factores integrantes especiales

Sea:

M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 una ecuación no exacta μ(x, y) es un factor integrante de

la ecuación dada → μ(x, y) M(x, y) dx+ μ(x, y) N(x, y) dy = 0 es exacta

∂M1

∂y1=

∂N

∂x

∂

∂y (u, M)=

∂

∂x(u, N)

u∂M

∂y+M

∂u

∂y=u

∂M

∂x+N

∂u

∂x

u∂M

∂y-M

∂u

∂y=u

∂M

∂y-N

∂u

∂x

u (∂M

∂y-

∂u

∂x) =N

∂u

∂x+M hay dos (2) casos para hallar el factor integrante 1. μ= μ(x)

∂u

∂y=0

u (∂M

∂y-∂N

∂x) =N

∂u

∂x

∂u

u=

1

N(

∂M

∂y-∂N

∂x) ∂x

∫∂u

u= ∫

1

N(∂M

∂y-∂N

∂x) ∂x

1n(u)= ∫1

N (

∂M

∂y-

∂N

∂x) ∂x

e ∫1

N(∂M

∂y-∂N

∂x) ∂x

Primera posible solución 1. μ= μ (y)

26

u (∂M

∂x-∂N

∂x) =M

∂u

∂y

M∂u

∂y= u (

∂M

∂x-∂M

∂y)

∂u

u=

1

M(

∂N

∂x-∂M

∂y) ∂y

∫∂u

u= ∫

1

M(∂N

∂x-∂M

∂x) ∂y

1n(u)= ∫1

M(∂N

∂x-∂M

∂y)

u(y)= e ∫1

M(

∂N

∂x-

∂M

∂y) ∂y (Segunda posible solución)

Ejemplo

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

(2x2+y)dx + (x2 y-x)d y = 0

M(x, y) = 2x2y + y→∂M

∂y=1

N(x, y)= x2y-x→∂N

∂x=2xy-1

∂M

∂y ≠

∂N

∂x→No es exacta

c. Aplicaré la primera opción de factor integrante

u(x)=e ∫1

N(

∂M

∂y-

∂N

∂x) ∂x Reemplazando y desarrollando llegaremos a: u (x)= x-2

1.u=u(x)

u(x)=e ∫-2

xdx

1

N [

∂M

∂y-

∂N

∂x] ∂x=

1

x (y-1) [1-(2xy-1)]

=2(1-xy)

x(xy-1) u(x) = e2-2ln (x)

27

= 2(-1)

x

U (x) = x-2.

Multiplicando por el factor integrante:

x-2(2x2+y)dx+x-2(x2y-x)dy = 0 .

Llegamos a: (2+x-2y)dx+(y-x-1)dy = 0

Obteniendo

M1(x, y)=2+x-2y y N1(x, y-x-1

d. Aplicamos el procedimiento de anterior de EDO exactas

df

df= M1(x, y)

F(x, y)= ∫ 2+x-2 dx+∅(y)

=2x+ yx-1

-1+∅(y)

=2x - yx-1+∅(y)

2. df

dy=N1(x, y)

0-x-2+∅(y) = y-x-2

∅(y) = y

∅(y) = ∫ ydy

∅(y)=y2

2

F(x, y)=2x-y

x+

y2

2

Solución general:

2x-y

x+

y2

2+c

28

Capítulo II

Ordinarios de primer orden

2.1 Concepto

Algunos tipos de estados diferenciales de primer orden para los cuales tenemos técnicas de

percepción y que parecen ser elegidos en ellos. A continuación, nos centraremos en

“Algunos tipos de estados diferenciales de primera orden para las cuales tenemos

estrategias de comprensión y que parecen decididas en las aplicaciones” (Zamudio, 2007,

p.94).

Integración directa, variables separables, exactas, lineal de primer orden homogénea

y no homogénea. Posteriormente se estudiarán algunas otras ecuaciones de primer orden

que pueden reducirse a estos casos elementales.

2.1.1 Ecuaciones de variables separables.

El primer orden es de desentrañar es y = f (x) donde f es una capacidad integrable,

para desentrañarlo basta con incorporar a los dos individuos respecto a x y;

consecuentemente, obtenemos y = ∫f(x) dx\+c.

Por lo tanto, su disposición general viene dada por (2), y contiene todas las

disposiciones de la condición (1), en general, cada condición de primera

29

solicitud y '= f (x, y) en la que y' se puede comunicar como resultado de dos

capacidades, una que se basa solo en la variable x y otra que se basa solo en la

variable y, esto es, de la estructura (Vásquez, 2005, p.79).

y= g(x)

h(y) .

Se llama la ecuación variable distinta, para resolver (3) multiplique ambos miembros

por h (y) para obtener.

h(y)dy

dx= g(x) .

Actualmente se ve que sí y = f (x) es una respuesta de (4), comprobando dicha

condición, en ese punto concuerda.

h(f(x))f'(x) = g(x). Por lo que al integrar se obtendrá

∫ h (f(x))f'(x)dx = ∫ g (x)dx +c.

Pero como dy = f'(x) dx, entonces (5) se puede escribir así:

∫ h (y)dy = ∫ g (x)dx +c

Entonces (6) comprende un grupo de disposiciones un parámetro, que típicamente se

comunican de manera verificable, el pensamiento anterior requiere una estrategia para

comprender la condición (3):

Desde la condición (3) vamos a h (y) dy = g (x) dx por fin facilitaremos que las dos

personas adquieran el curso de acción general de la condición dada.

Nota.- Las condiciones y '= g (x) h (y), "y' =" "h (y)" / "g (x)" son factores variables

además únicos y también se examinan. Modelo. Vamos a iluminar la condición de los

factores divisibles y '= y2 – 4, componemos la condición en la estructura "1" / ("y" ^ "2" "-

4") "dy = dx".

Debajo incorporamos los dos individuos, para los cuales usaremos

1

y2-4=

-1/4

y+2+

1/4

y-2

30

Así se obtendrá

-1

4ln|y+2|+

1

4ln|y-2|=x+c1→-ln|y+2|+ln|y-2|=4x+4c1→

ln |y-2

y+2| =4x+c2→ |

y-2

y+2| =e4x+c2=c3e4x→

y-2

y+2= ce4x, con c ∈R.

Finalmente, despejando

y = 21+ce4x

dx1-ce4x

Tenga en cuenta que en el caso de que estuviéramos buscando el arreglo principal

con el objetivo final que y {0) = - 2, al sustituir x = 0, y = - 2, en la articulación pasada,

llegamos al - 1 = 1.

Esto demuestra que hemos perdido en la técnica de la meta al manejar este problema

de valor subyacente.

Ivorra (2011) indica que:

En el caso de que auditemos los recuentos, se ve que está aislado por y2 – 4, de

esta manera se considera que y ≠ 2, y ≠ - 2. En ese punto, si surgiera una

ocurrencia de ser y = 2 o y = - 2 arreglos de la condición diferencial,

podríamos haber eliminado. Es difícil identificar que para esta situación, y = 2

e y = - 2 son arreglos de la condición diferencial, la disposición y = 2 puede ser

obtener de la solución general y = 21+ce-4x

1-ce-4x para el valor c = 0 del límite, sin

embargo, y = - 2 no es una pieza de esta familia un paramétrica (p.111).

No obstante, es explícitamente la disposición y = - 2 la disposición de la cuestión de

valor subyacente presentada.

Para el valor c = 0 del límite, sin embargo y = - 2 no es importante para dicha familia

una paramétrica, en cualquier caso, es inequívocamente el arreglo y = - 2, que es el arreglo

del tema de valor subyacente presentado.

31

2.2 Las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primera orden

En los procedimientos de desarrollo y decadencia: la medida del efectivo en un registro en

el que los dividendos acumulados constantes se pagan a un costo financiero anual.

Carmona (1992) afirma que:

La ley de la velocidad de Newton que comunica: El ritmo de progreso de la

temperatura "t)" de un cuerpo con respecto al tiempo es relativa a la distinción

entre la temperatura Ta, de la naturaleza y la temperatura "T" ("t") del cuerpo,

comunicado en cuanto a condiciones diferenciales iguales a "dT" / "dt" "= a"

("T" _ "a" "- T") donde a> 0 es el constante de proporcionalidad (p.34).

• Los cuerpos caen cerca del exterior de la tierra;

• Trayectorias ortogonales.

Ejemplo:

El desarrollo de una ciudad es relativo a la cantidad de ocupantes que hay en

cualquier momento, en el caso de que la población subyacente sea de 400,000; y después

de 3 años es de 450,000.

a. ¿Cuánto se tarda en duplicar?

b. ¿Qué población habrá en 10 años?

Solución:

Obedece a una ecuación diferencial del tipo dp

dt= kp

Como se trata de un problema de crecimiento poblacional, la solución estará dada

por la expresión P(t) = P0ekt , como es crecimiento poblacional la exponencial es positiva.

P0=400 000 habitantes

t=3años→P=450 000 habitantes

• Primero calculamos la constante k:

450 000 = 400 000ek(3)

32

450 000

400 000=ek(3)

9

8=ek(3)

ln9

8= ln ek(3)

ln (9

8) = 3k ∴ k =

ln (98

)

3= 0.039261

La ecuación diferencial que describe el comportamiento poblacional del problema

es: P(t) = 400 000e0.039261t.

Ahora, para doblar la población inicial necesitaríamos 800000 habitantes:

400 000(2) = 400 000e0.039261t.

2=e0.039261t

ln 2 = ln e0.039261t

ln 2 =0.039261t ∴ t =ln 2

0.039261=17.6548 años, entonces el tiempo empleado para

doblar la población inicial es de 17. 6 años.

Para un t =10 años, P=?

P(t) = 400 000e0.039261t

P(t) = 400 000e(0.039261)(10)

P(t) = 400 000e0.39261

P(t) = 592 336 habitantes

2.2.1 Ecuación diferencial homogénea.

Algunas condiciones diferenciales que no son divisibles se vuelven desmontables

después de un cambio variable, esta es la situación de condiciones diferenciales de la

estructura y '= f (x, y), dado que f es una capacidad homogénea (Carmona, 1992).

33

Snider (2005) afirma que:

Una capacidad f (x, y) es una capacidad homogénea de grado n en los factores

xey si f (tx, ty) = tn f (x, y) una condición diferencial de primera solicitud de la

estructura y0 = f (x , y) se conoce como condición diferencial homogénea si el

límite f es homogéneo de grado 0 las condiciones homogéneas se pueden

comunicar desde el forma y = g (y

x), además, al implementar la mejora de la

variable z = y

x, la ecuación se reduce a uno de los factores aislados (p.35).

En el caso de que la condición diferencial se comunique en la estructura M (x, y) dx

+ N (x, y) d y = 0, es homogéneo si M y N son elementos homogéneos de grado similar.

Una ecuación diferencial de la estructura.

y´=f (ax+by+c

a´ x +b´y + c`)

En el que las líneas hatchet + b y + c = 0 y a' x + b' y + c '= 0 no son iguales (y c ≠

0oc' ≠ 0 a la luz del hecho de que generalmente la condición ahora es homogénea) se

puede cambiar en una condición homogénea moviendo la raíz de direcciones al punto de

convergencia de dichas líneas (x0, y0) por factores evolutivos.

x = X + x0

y = Y + y0

En el caso de que las líneas sean iguales, cambiar la variable z = hacha + por

disminuye la condición a uno de factores aislados.

Ejercicios

Resueltas las ecuaciones diferenciales siguientes:

a. y`=x2+y2

xy

b. (3y-x)y`=3x-y-4.

c. (2x-4y+5)y`= x-2y+3.

34

d. (x+y+1)dx+(2x+2y-1)d y = o.

e. 4y(x2+3y2)dx = x(x2-6y2)d y.

f. (x2+y2)dx = x(x +y)d y.

g. y`= (x +y)2.

h. x2y`= (2x-y+1)2.

i. (x-y)2y`= (x-y+1)

2

Incorporar la ecuación diferencial (1 - x2y2) y '= 2xy3 una diferencia en el factor del

tipo y = zα que lo hace homogéneo.

Hallar las curvas que tienen la propiedad de que los buenos caminos desde el inicio

de las direcciones hasta cualquier línea de digresión son equivalentes a la estimación

directa de la abscisa del propósito de la unión.

2.2.2 Ecuación diferencial exacta.

Son de la forma, M(x, y) dx + N(x, y) d y = 0

Para que la ED sea exacta en, la condición necesaria es:

∂M

∂y=

∂N

∂x↔M y =N x

• Una vez comprobado que la ED es exacta, la condición suficiente será que:

• ∃f = f(x, y)/ f(x, y) = c. Para hallar dicha función “f” tendremos que desarrollar:

∂F

dx=M (x, y y

∂F

dy=N(x, y) es decir:

dF (x, y)=M(x, y)d x + N(x, y)d y

35

2.3 Ecuación diferencial lineal

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es de la forma "a" _"1" ("x" ) "dx"

/"dy" "+" "a" _"0" ("x" )"y=g(x)" , en donde las funciones "a" _"1" ("x" )"," "a" _"0"

("x" ) y g(x) dependen todas de “x” y “y” es una función derivable.

Romero (2015) afirma que "resolver una condición diferencial directa de primera

solicitud implica decidir una capacidad y que cumple la condición en un tramo donde las

capacidades p (x) yf (x) son ambas constantes" (p. 229).

Para explicar una condición diferencial directa de primera solicitud, debe saber si es

homogénea o no. Cada condición diferencial recta homogénea de primera solicitud es

distinta, tanto de la estructura dy

dx+ p(x)y = 0 o bien

dy

dx= f(x).

La ecuación dy

dx+p(x)y = 0 se puede escribir como:

∫dy

y+ ∫ p(x)dx =0

ln y =- ∫ p(x)dx +c1

y = e- ∫ p(x)dx+c1

y = ce- ∫ p(x)dx

Escribimos c=ec1

La ecuación lineal no homogénea dy

dx+p(x)y=f(x) una condición definida, puede ser

disminuida. Una estrategia para comprender una condición directa no homogénea de

primera solicitud depende de terminar una condición diferencial cuidadosa, por lo que

debe cumplirse∂

∂y((p(x)y-f(x))μ(x)) =

∂

∂x(μ(x)).

La ecuación lineal dy

dx+p(x)y=f(x) se puede completar a una ecuación exacta con el

factor integrante μ(x)=e∫ p(x)dx.

36

Al aumentar el elemento de incorporación a la condición diferencial recta, un

diferencial completo se termina enmarcado por el subordinado del elemento coordinador

por la variable necesitada, es decir d (e∫ p(x)dxy).

Entonces, al desentrañar la condición directa no homogénea de la solicitud principal,

aceptamos que tanto p (x) como f (x) son persistentes en un tramo típico, por lo que se

cumplen los estados de la hipótesis de presencia y unicidad. Cualquier respuesta para la

condición directa de solicitud principal será la estructura, todas las soluciones son

particulares, no singulares y = ce- ∫ p(x)dx+e- ∫ p(x)dx ∫ f(x) e∫ p(x)dxdx

2.3.1 Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad.

Una condición diferencial es una condición que contiene. “Las subordinadas o

subsidiarias de al menos un factor de protección como al menos un factor libre las

condiciones diferenciales pueden caracterizarse por su tipo normal e incompleto”

(Villalobos, 2008, p.18).

Se supone que una condición diferencial es habitual (EDO) en el caso de que

contenga subordinados o subsidiarias de al menos un factor de protección como para un

factor libre solitario.

Ejemplo:

dy

dx=ln xy ln y ; csc2ydx + cotxdy = 0

Una condición diferencial se llama incompleta (EDP) en el caso de que contenga

subordinados o subsidiarias de al menos un factor de protección con respecto de al menos

dos factores autónomos.

Ejemplo:

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2=0; k

∂2u

∂x2=

∂u

∂t; a2

∂2u

∂x2=

∂2u

∂t2

37

La solicitud de una condición diferencial se caracteriza como la solicitud de la

subsidiaria más notable que aparece en la condición, es decir, la filial del líder del

ayuntamiento es lo que caracteriza la solicitud de la condición diferencial prestando poca

atención a qué tipo se plantea.

Por ejemplo:

y´-1

xy=ex orden 1

y´´-(y´)3x = tan x orden 2

x4y´´´-x2y´´= cos x orden 3

García (2020) señala que:

Una condición diferencial directa tiene la propiedad de que la variable

dependiente y cada uno de sus subordinados están en la potencia 1, una

condición diferencial estándar se llama directa cuando es de la estructura:

an(x)y(n)+an-1(x)y(n-1)+…+a2(x)y´´+a1(x)y´+a0(x)y = g(x).

Si g(x)=0 la ecuación se denomina homogénea, si g(x) ≠ 0 entonces la

ecuación no es homogénea entonces si una ecuación no tiene la forma anterior

se dice que la ecuación no es lineal (p.15).

El ejemplo en el que se plantean las subsidiarias y la variable dependiente se conoce

como el nivel de la condición diferencial. Entonces, la mayor capacidad a la que se eleva

una variable necesitada o cualquiera de sus subordinados se conoce como el nivel de una

condición diferencial.

Ejemplo:

𝑦´-1

xy=ex . Grado 1

y(4)-y(3)+9(y´´)2-4y´=0 . Grado 2

∂u

∂x+

∂2u

∂ x ∂y- (

∂2u

∂y2)

3

=0 . Grado 3

38

2.3.2 Ecuación diferencial ordinaria lineal.

Es cuando el exponente de la derivada más alta es uno.

Ejemplos:

senx (dy

dx) 2-2

d3y

dx3 +5y=10, hay tercera derivada (orden 3) pero su exponente es 1 (por

ende es lineal). −5d

2y

dx2=3y-2

dy

dx , hay segunda derivada (orden 2) pero su exponente es 1

(por ende es lineal).

2.3.3 Ecuación diferencial ordinaria no lineal.

Es cuando el exponente de la derivada más alta mayor que uno.

Ejemplo:

y dy

dx+x (

d3y

dx3) 2+3xy=0 Hay tercera derivada (orden 3) pero esta elevado al cuadrado

(por ende no es lineal).

tgx dy

dx= x-2 (

d2y

dx2) 4 hay segunda derivada (orden 2) pero esta elevado a la cuarta (por

ende no es lineal).

2.4 Métodos numéricos para E.D.O. de primer orden

Regularmente hay problemas útiles que provocan condiciones diferenciales que no pueden

resolverse mediante las estrategias anteriores o, además, las condiciones de nuestras

respuestas comunicadas en términos tan confusos que a menudo es deseable adquirir una

tabla de cualidades inexactas de acuerdo a los fines de un tramo específico.

Huerta (2009) afirma que:

Si suponemos que hay una respuesta para una condición diferencial dada, por

lo que le habla a un locus (curva) en el plano, en este segmento estudiamos la

metodología numérica que utiliza la condición diferencial para adquirir una

39

progresión de enfoques, nuestras direcciones suponían las direcciones de los

propósitos de la curva que es adecuadamente la disposición (p.45).

Dado un problema de valor subyacente.

{y = f(x,y)

y(x0)= y0}

La idea es adquirir alrededor de las cualidades de la disposición, en caso de que

exista, en muchos propósitos del lapso [a, b] que nos intriga, entre los cuales debe estar el

punto x = x0. Para hacer esto, configure h> 0 y obtenga muchos enfoques {x o, xi, x „} C

de la estructura x1 = x0 + h, x2 = x o + 2k, X3 = x o + 3k,..., x n = x0 + n h para el cual se

determinarán las cualidades supuestas de la disposición y1, y2,.. -, yn de la condición

diferencial, con la condición y (x o) = I, la longitud h de cada subintervalo [xi, xi + 1] es

conoce como la progresión, un método general para calcular las cualidades estimadas de la

disposición en cada progresión es mediante la utilización de polinomios de Taylor.

y (x + h) » y (x) + hy' (x) + h

2

2y" (x) + . … +

hk

hyk (x)

Considerando que si la estimación de h es pequeña, las fuerzas más elevadas h?, H?

'son pequeñas.

2.5 Métodos para hallar soluciones ED

Son de la forma:

M (x)dx = N(y)dy

Es separable porque un miembro posee la variable “x” el otro miembro posee la

variable “y”

Ejemplo:

Resuelva la inecuación diferencial

ex+ysenx. dx+(2y+1)e-y2 dy = 0

40

Solución

Agrupando en ambos miembros entre las variables x e y

exsenx. dx=-(2y+1)e-y2

dy

ey

exsenx. dx=-(2y+1)e-(y2+y)dy

Desarrollando esto llegaremos como solución general a:

ex (senx-cosx

2) =-e-(y2+y)+C

Procedimiento

De la expresión: exsenx.dx =-(2y+1)e-(y2+y)dy integrando ambos miembros

∫ ex senx.dx= ∫ -(2y+1) e-(y2+y)dy….(1) tenemos que desarrollar las 2 integrales, primero

resolveré la integral ∫ exsenx.dx, para ello utilizaré el método de integral por partes

hacemos u = senx→ du = Cosx. dx dv = exdx → v = ex

∫ exsenx.dx = senx.ex- ∫ ex. cos xdx = senx.ex - [cos x.ex- ∫ ex.(-senx)dx] ∫ exsenx. dx =

ex(senx-cosx)

2

Ahora resolveré la integral, ∫ -(2y+1)e-(y2+y)dy. (∝), hago un cambio de variable,

sea: y2+y=u entonces: du=(2y+1)dy. (B).

Reemplazando β en α llegaremos a: - ∫ e-u du=e-u+c, entonces llegamos a:

∫ -(2y+1) e-(y2+y)dy=e-(y

2+y)+c

Finalmente, reemplazando mis resultados en la ecuación (1)

∫ ex senx. dx = ∫ -(2y+1)e-(y2+y) dy

Por tanto, la solución de la ecuación será:

ex (senx-cosx

2) =-e-(y2+y)+C

41

2.6 Ecuación diferencial de Bernoulli

“Una condición diferencial de la estructura. dy

dx+P(x)y = Q(x)yn, es conocida como la

ecuación diferencial de Bernoulli” (López, 2007, p.28).

Al considerar la condición de Bernoulli se pueden estudiar por simplicidad los

siguientes casos:

a. Caso1: n = 0

Cuando n=0, la ecuación de Bernoulli se reduce a la ecuación lineal no homogénea

de la forma dy

dx+P(x)y = Q(x).

b. Caso 2: n = 1

Cuando n = 1, la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable

dy

dx+P(x)y = Q(x)y

dy

y = (Q(x)-P(x))dx Separamos

∫dy

y= ∫(Q(x)-P(x))dx Integramos

ln y = ∫(Q(x)-P(x))dx +c1

y=ce∫(Q(x)-P(x))dx c=ec1 Sustituimos

c. Caso 3: n ≠ 0,1

La intención es que la ecuación de Bernoulli se reduzca a una ecuación lineal de

primer orden.

Ejemplo:

Solución

dy

dx+

y

x=5x2y-1.

42

Al comparar con la ecuación dy

dx+P(x)y=Q(x)yn, podemos identificar n=- primer

paso: (multiplico por y – objetivo que solo quede Q(x)) y.dy

dx+

y2

x=5x2

Segundo paso: (multiplico por: 1-n es decir, en este caso: x2)

2y.dy

dx+

2y2

x=10x2 ………

Tercer paso: (hago un cambio de variable:

(u=y2) . du

dx=2y

dy

dx

Este resultado lo reemplazamos en la ecuación ∝, y habremos obtenido la forma

lineal:

du

dx+ (

2

x) u=10x2, por comparación deducimos:

P(x)= 2

x y Q(x) =10x2 finalmente aplicamos la fórmula para hallar la solución

general de una EDO lineal.

y = e- ∫ p(x)dx [∫∫ p(x)dx .

e .Q(x)dx+c

]

Reemplazando y calculando llegaremos a:

x2y2=2x5+c, familia de soluciones.

2.7 Ecuación de Ricatti

Son de la forma, dy

dx+P(x)y=Q(x)y2+R(x), se debe conocer una solución particular y =

y(1)entonces la solución general viene a ser: y = y (x) +u(x), con el cambio de z = u -1

llegamos a: dz

dx-(2P(∅1)+Q)Z=P (esto es una ecuación diferencial lineal)

Ejemplo:

Utilizando la solución y=1, halle la solución general de:

dy

dx+y=y2

43

Solución:

Si: y1 =1 entonces reemplazando en dy

dx+y = y2

Sea y=y1+

1

u la solución general luego: y1= y

11-

u1

u2=-

u1

u2

La ecuación propuesta será entonces:

u1

u2+1+

1

u= (1+

1

u) 2=1+

2

u+

1

u2

u1+u=-1→ ∫ d( exu) =- ∫ dx ∴ex u = c+x.

De aquí llegaremos como solución general, y=1

1-ex.ec

Condiciones de grado n respecto a y ', estas son las condiciones diferenciales de la

estructura, (y') n + f1 (x, y) (y ') n - 1 +… + fn −1 (x, y) y' + fn (x, y) = 0.

Para localizar su disposición general, aclare la condición relativa a y 'y consolide

todas las condiciones posteriores.

Kurmyshev (2003) afirma que:

Condiciones de la estructura "f" ("y, y '") "= 0", en el caso de que y 'pueda

explicarse en estas condiciones, resultan condiciones de factores

independientes, en la remota posibilidad de que y, y = g (y ') se pueda

comprender, la diferencia en el factor y' = t se hace con lo que y = g (t).

Separando esta condición y sustituyendo dy por t dx, la disposición general de

la condición diferencial se obtiene en estructura paramétrica (p.78).

En el caso de que ni y ni y 'puedan establecerse, sin embargo, se pueden comunicar

paramétricamente desde el forma, y = g (t) y '= h (t)

La diferencia de la condición primaria y sustituyendo dy para h (t) dx, el plan de

juego general de la condición diferencial se obtiene en estructura paramétrica.

Estados de la estructura f (x, y ') = 0, como en el pasado, si estas condiciones se

pueden explicar para y ', resultan condiciones de factores independientes, en el caso de que

44

podamos conformarnos con x, x = g (y '), la diferencia en el factor y' = t se hace con lo que

x = g (t). Separando esta condición y sustituyendo dx por dy / dxt, la disposición general

de la condición diferencial se obtiene en estructura paramétrica.

En el caso de que ni x ni y0 se puedan sondear, pero se puedan comunicar

paramétricamente en la estructura.

x = g (t)

y '= h (t)

En ese punto, separando la condición primaria y sustituyendo dx por dy, la

disposición general de la condición diferencial se obtiene en estructura paramétrica.

2.8 La ecuación de Lagrange

La condición de Lagrange es una condición diferencial de la estructura, y = xf (y ') + g (y').

Para abordar un estado de este tipo, se termina la distinción en el factor y0 = t,

disminuyéndolo, aislándolo a una condición recta pensando en x como un elemento de t.

En ese momento, la disposición general se dará en estructura paramétrica:

x = ϕ(t, C )

y = ϕ(t, C )f (t) + g(t)

2.9 La ecuación de Clairaut

La ecuación Clairaut es una condición diferencial de la estructura,

y = xy '+ g (y').

En este sentido, una instancia específica de la condición de Lagrange, seguida de

arreglos, son un grupo de líneas junto con su envolvente, que es una solución.

Ejercicios

1. Resuelve las condiciones diferenciales siguientes:

45

a. 3xy`-2y=x2y-2.

b. y=xy`+(y`)2.

c. y=2xy`+sen y`.

d. xy`+y=y2 log x.

e. y2/3+(y`)2/3

=1.

f. y=2xy`+ log y`.

g. y=xy`+a

2y` siendo a una constante.

h. 2y` sen x+y cosx=y3 (x cos x-sen x).

i. 2y=xy`+y` log y`.

j. y=(y`)2e y`

.

k. x= log y`+sen y`.

l. y4-(y)4-y(y`)

2=0.

2. Integra la ecuación diferencial

xy`=y+2x

x4-1(y2-x2)

• Sabiendo que concede arreglos específicos de la estructura y = hacha + b.

• Encuentre la curva para la cual la sección de la digresión entre las hachas de guerra

facilitadores tiene una longitud constante a.

• Resuelva las condiciones diferenciales de primer pedido y de grado 2 adjuntas relativas

a. y (y`)2+(x-y)y`-x = 0.

b. (y`)2-(2x+y)y`+x2+xy = 0.

c. x(y`)2+2xy`-y = 0.

d. 4 (y`)2-9x = 0.

e. (y`)2-2yy`= y2(ex-1).

f. x2(y`)2+3xyy`+2y2 = 0.

46

Aplicación didáctica

Sesión de aprendizaje

I. DATOS INFORMATIVOS:

1.1. Institución Educativa : Universidad Nacional Enrique Guzmán y Valle

1.2. Facultad : Ciencias

1.3. Área curricular : Matemática

1.4. Tema : Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.5. N° de unidad didáctica : 1

1.6. Fecha : 2019 – 12-30

1.7. Duración : 45 minutos

1.8. Bachiller : Juan Manuel Atachahua Sánchez

II. APRENDIZAJES ESPERADOS

COMPETENCIA CAPACIDADES INDICADORES

Gestión de datos e

incertidumbre

Comunica y representa

ideas matemáticas.

Elabora y usa estrategias.

Razona y argumenta

generando ideas

matemáticas.

Expresa los conceptos y señala las

aplicaciones reales que tiene las

ecuaciones diferenciales.

Escribe la ecuación de la gráfica

obtenida en la solución del EDO y se

utiliza para interpretar resultados.

Justifica la familia de curvas obtenidas

a través de diferentes métodos.

47

III. SECUENCIA DIDÁCTICA

MOMENTOS ESTRATEGIAS/ACTIVIDADES RECURSOS TIEMPO

Inicio El bachiller saluda a los miembros del

jurado y al público presente en la sala de

grado y agradece la oportunidad brindada,

escribe el título del tema y hace una

introducción del tema recordándoles los

objetivos y la importancia que tiene este

tema.

Pizarra,

plumones,

fotocopia de la

actividad

5 minutos

Desarrollo Señala los conceptos de ED, orden y

grado, tipos de ecuaciones, etc.,

mostrando ejemplos que permiten

comprender la información.

Muestra algunos métodos escritos y hace

una observación de cuando es

recomendable.

Desarrolla ED de separación de variables,

ED homogéneas, ED exactas, ED lineales,

ED de Bernoulli y ED de Ricatti.

Pizarra,

plumones

Pizarra,

proyector

Pizarra

5 minutos

5 minutos

25 minutos

Cierre Realiza la comparación entre todos los

métodos y concluye con su importancia.

Finalmente, el bachiller agradece al

jurado.

Material

impreso

5 minutos

48

Síntesis

Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático, ya que

a través de su aprendizaje podemos modelar e interpretar situaciones reales de nuestra vida

cotidiana. Una ecuación diferencial es una relación permitida dentro de un intervalo, pero

su resolución requiere de conocimientos previos de las derivadas e integrales, y su

aplicación es llevada a diferentes áreas como la economía, la física, la biología, etc.

Históricamente, a Newton se le concede la autoría de haber desarrollado las

ecuaciones diferenciales, pero eso fue debido a la necesidad que tenía para describir los

desarrollos de los cuerpos sometidos a la gravedad. Su metodología es como un lenguaje

adecuado para establecer leyes físicas y ensamblar modelos, abarca todas las ciencias. Esa

es la razón por la que las ecuaciones diferenciales no solo consisten en un conjunto de

artificios que te permiten hacer unos cálculos sino, por lo contrario, es una herramienta que

permite la descripción de ciertos hechos cotidianos. Las ecuaciones diferenciales

ordinarias se han dado fundamentalmente en tres situaciones: logarítmicas, numéricas,

geométricas, cada una con varias estrategias y diversas representaciones para el arreglo, a

saber: una receta o un arreglo interminable, un conjunto (inferido por un procedimiento

iterativo) y un grupo de curvas.

De estos tres, la monografía se concentró más en matemática, y con aplicaciones,

necesitaba mostrar progresivamente la traducción geométrica. Hay que tener en cuenta de

que actualmente la metodología matemática se ha trasladado constantemente a los libros

de cursos, mientras que la numérica es más difícil de encontrar y parece ajustada en los

mensajes de examen numérico, debido a la geometría, una carga de tener más de 100 años,

es decir, hace mucho tiempo. Está básicamente ligado al tratamiento de las isoclinas y al

campo de las inclinaciones, de todos modos, la disposición de marcos rectos con

49

coeficientes estables en el plano, es decir, marcos del tipo x '= hatchet + by, y' = cx + dy

(anuncio ≠ bc), en el que el tratamiento de sus raíces de marca registrada es absolutamente

logarítmico. Se pasa por alto que en esta naturaleza aritmética todos los datos son

importantes para decidir el diseño.

Finalmente, es necesario resaltar que, de todos los métodos estudiados en la

monografía, he obviado algunos pasos que considero son muy básicos y que el lector ya de

antemano lo puede hacer por separado, de modo que pueda continuar con el estudio de esta

monografía.

50

Apreciación crítica y sugerencias

Entender los conceptos de las ED, así como manipular muy bien los métodos, sería el

reflejo de un estudiante que posee un dominio del cálculo integral y de las derivadas,

conduciéndose así a una solidez del manejo del análisis matemático.

Como he mencionado, en la actualidad los maestros han enfocado más el aspecto

algebraico, que es lo que estamos heredando. Estamos dejando de lado la interpretación

física, la construcción de la gráfica y, lo más importante, lo que hoy pretende el Ministerio

de Educación (que es muy bueno, porque pretende el aprendizaje significativo) es

contextualizar.

Como futuro licenciado en Educación matemática, sugiero que la enseñanza de las

ecuaciones diferenciales cumpla algunos criterios como:

Contextualizar el problema, demostrar y aplicar los métodos, de modo que el

estudiante se quite el chip de que solo es una aplicación de fórmula; la idea central es

manipular la información y para ello hay que entenderlo primero.

51

Referencias

Acero, I. (2007). Ecuaciones diferenciales teoría y problemas. España: Tebar.

Álvarez, M. (2010). Curso de ecuaciones diferenciales ordinarias. España: Unizar.

Carmona, I. (1992). Ecuaciones diferenciales. México: Pearson.

García, O. (2020). Ecuaciones diferenciales. Colombia: Universidad EAFIT.

Huerta, A. (2009). Métodos numéricos introducción, aplicaciones y programación.

España: UPC.

Ivorra, C. (2011). Matemáticas económico-empresariales, 2da. ed. España: Universidad de

Valencia.

Kurmyshev, E. (2003). Fundamentos de métodos matemáticos para Física e Ingeniería.

México: Limusa.

López, J. (2007). Métodos Analíticos para ecuaciones diferenciales ordinarias. México:

Papime.

Martínez, F. (1998). Matemáticas II: Resúmenes teóricos y ejercicios. España: Creasur.

Quintana, P. (2008). Métodos de solución de ecuaciones diferenciales y aplicaciones.

México: Reverte.

Romero, M. (2015). Álgebra y programación lineal. Colombia: Externado de Colombia.

Snider, D. (2005). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.

México: Pearson.

Vásquez, R. (2005). Tópicos de ecuaciones diferenciales epítome para un curso básico.

Colombia: Sello editorial.

Villalobos, E. (2008). Métodos de solución de ecuaciones diferenciales y aplicaciones.

España: Reverte S.A.

Zamudio, J. (2007). Métodos analíticos para ecuaciones diferenciales ordinarias. México:

UNAM.

52

Apéndices

Apéndice A: Teoremas de existencia y unidad

Apéndice B: Existencia con explicación detallada

Apéndice C: Condiciones o criterios para el teorema de existencia

Apéndice D: Importancia del teorema de existencia

53

Apéndice A: Teoremas de existencia y unidad

Teorema (Picard). Sea f: [a, b] × [c, d] R y proceda (x0, y0) ∈ [a, b] × [c, d].

Suponga que f es lipschitzian con respecto de la segunda variable, es decir, existe L> 0 con

el objetivo final de que | f (x, y1) - f (x, y2) | ≤ L | y1 - y2 |

Para cualquier (x, y1), (x, y2) ∈ [a, b] × [c, d]. En ese punto hay un tramo I ⊂ [a, b]

enfocado en x0 y una capacidad única y: I R con subordinado constante que

cumple con el equilibrio, y (x) = f (x, y (x)).

Para todo x ∈ I y la condición básica y (x0) = y0.

Especulación. Contemplando la investigación del valor fundamental

yn) + a1 (x) yn - 1) + · + a 1 (x) y + a (x) y = g (x)

y (x0) = y0

y0 (x0) = y01

yn - 1) (x0) = y0n - 1

Con x ∈ [a, b], los límites ai (x), 1 ≤ I ≤ n y g (x) son perpetuos.

Así que este número tiene un solo arreglo.

Hipótesis. Sea A (x) una capacidad de estructura cuadrada de solicitud n, g (x) un

trabajo vectorial, ambos incesantes en un tramo [a, b] y

y = A (x) y + g (x).

Un plan de condiciones diferenciales rectas de primera solicitud, en la remota

posibilidad de que la condición subyacente sea forzada.

y (x0) = (y1 (x0), y2 (x0), ..., yn (x0)) = (y01, y02, ..., y0n)

En ese punto hay un trabajo vectorial solitario que es una respuesta para el

framework y para comprobar dicha condición de partida.

54

Apéndice B: Existencia con explicación detallada

Figura B1. Existencia de teorema. Fuente: Burgos, 2009.

Las ecuaciones de teoremas

Figura B2. Las ecuaciones. Fuente: Burgos, 2009.

55

Apéndice C: Condiciones o criterios para el teorema de existencia

Figura C1. Teorema de existencia con explicación detallada. Fuente: Martínez, 1991.

Teorema de existencia y unicidad: demostración, ejemplos.

Figura C2. Ecuación diferencial con condición inicial y su solución. Fuente: Martínez, 1991.

56

Apéndice D: Importancia del teorema de existencia

Esta es vista como una de las hipótesis más significativas con respecto a la hipótesis de

ordinarios separados. Además, cuando nos enfrentamos a un tema inconfundible de

cualidades de partida, la mejor creación como la de Cauchy, esta hipótesis es el resultado

ideal para desentrañarlas, dependiendo de lo que ocurra con las condiciones que la

acompañan: disolubilidad y vulnerabilidad.

En el momento en que hablamos de un tema de Cauchy, aludimos a una dificultad

que se ha ido configurando por dos componentes significativos: uno de ellos es el mandato

separado y el otro es una condición peculiar. Elaborado por esto, es una respuesta

potencial para una condición de este tipo. Esto es concebible para la situación en que uno

de los factores tiene un valor particular, lo que permite reconocer las condiciones marco.

Se acredita una de las principales verificaciones de la hipótesis de presencia y unidad

Figura D1. Charles Emile Picard (1856- 1941). Fuente: Martínez, 2007.

57

Aplicado a las ecuaciones diferenciales

Figura D2. Definición del intervalo de solución. Fuente: Martínez, 2007.