Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Waktu Optimal dalam Diversifikasi Produksi Sumber EnergiTerbarukan dan Tidak Terbarukan Dengan Menggunakan

Prinsip Minimum Pontryagin

Oleh:

Misbahur Khoir

1210 100 041

Dosen Pembimbing:

Subchan, Ph.D

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA

2014

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Pendahuluan

Latar Belakang• Kebutuhan energi di indonesia semakin meningkat .

• Persediaan energi semakin menurun.

• Kebijakan umum energi.

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Rumusan MasalahBagaimana menentukan waktu yang optimal dalam produksisumber energi terbarukan dan tidak terbarukan ?

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Batasan Masalah1. Model sistem dinamik dan fungsi tujuan yang digunakan

telah ditentukan (Miah, dkk, 2011).

2. Variabel pengendali (u) adalah persentase tingkatpertumbuhan dalam produksi sumber energi ?.

3. Simulasi menggunakan software Matlab

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Tujuanuntuk mendapatkan waktu yang optimal dalam produksi sum-ber energi terbarukan dan tidak terbarukan dengan kondisi batasyang sudah ditentukan.

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Manfaat1. Diperoleh pengetahuan untuk menerapkan teori kendali

optimal menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin untukmenentukan waktu yang ptimal dalam produksi sumberenergi terbarukan dan tidak terbarukan.

2. Dapat dijadikan sebagai bahan pertimbangan dalammenentukan kebijakan pada produksi sumber energiterbarukan dan tidak terbarukan.

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Tinjauan Pustaka

Sumber Energi Terbarukan dan Tidak Terbarukan• Sumber energi terbarukan adalah sumber energi yang

secara alamiah tidak akan habis dan dapat berkelanjutanjika dikelola dengan baik.

• Sumber energi tidak terbarukan atau yang disebutkonvensional adalah energi yang di ambil dari sumber yanghanya tersedia di alam dengan jumlah terbatas dan akanhabis suatu saat nanti.

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Model Matematika dari Sistem Dinamik Sumber Energi Terbaruk-an dan Tidak Terbarukan

x1 =dx1

dt= α1x1−β1x1x2

x2 =dx2

dt= α2x2−β2x1x2

dengan:x1 : tingkat produksi sumber energi terbarukan.x2 : tingkat produksi sumber energi tidak terbarukan.

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Model Matematika dari Sistem Dinamik Sumber Energi Terbaruk-an dan Tidak Terbarukan (2)

α1(t) : presentase tingkat pertumbuhan dalam produksi sumberenergi terbarukan, −1≤ u1 ≤ 1α2(t) : presentase tingkat pertumbuhan dalam produksi sumberenergi tidak terbarukan, −1≤ u2 ≤ 1β1 : konstanta positif dari tingkat pengurangan produksi sumberenergi terbarukan karena persaingan dengan produksi sumberenergi tidak terbarukan.β2 : konstanta positif dari tingkat pengurangan produksi sum-ber energi tidak terbarukan karena persaingan dengan produksisumber energi terbarukan.

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Model Model matematika dari fungsi tujuan

J(u) =12

∫ tf

t0{q1u2

1 + q2u22}dt

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Model Kebijakan Energi• Program Hemat energi

• Meningkatkan pemanfaatan energi terbarukan

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Teori Kendali Optimaldiberikan sistem dinamik:x(t) = f (x(t),u(t), t)x(t0) = x0 x(tf ) = xf

Akan dicari kendali optimal u∗(t) dengan tujuan meminimumk-an/memaksimumkan:J(x) = S(x(tf ), tf ) +

∫ tft0 V (x ,u, t)dt

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Prinsip Minimum Pontryagin• Langkah 1

bentuk fungsi hamiltonian H , yaitu:H (x(t),u(t),λ(t), t) = V (x(t),u(t), t) + λ′f (x(t),u(t), t)

• Langkah 2selesaikan persamaan kendali, yaitu minimumkan Hterhadap u(t)(∂H

∂u )∗ = 0sehingga diperoleh kondisi stationer u∗(t)

• Langkah 3gunakan hasil u∗(t) pada langkah 2 untuk menhapatkanHamiltonian baru yang optimal, yaitu:H (x∗(t),u∗(t),λ∗(t), t)≤H (x∗(t),u(t),λ∗(t), t)

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Prinsip Minimum Pontryagin (Lanjutan)• Langkah 4

Selesaikan 2n persamaan:x(t) = +( (∂H )∗

∂λ)

danλ(t) =−( (∂H )∗

∂x )

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Prinsip Minimum Pontryagin (Lanjutan)Berdasarkan perbedaan antara keadaan dimana tf dan state pa-da waktu akhir (x(tf )) sistem dibedakan menjadi lima tipe yaitu(Naidu, 2002):

• Sistem dengan waktu akhir dan state pada waktu akhirditentukan, sehingga tidak ada batas untuk sistem ini.

• Sistem dengan waktu akhir tidak ditentukan dan state padawaktu akhir ditentukan, sehingga batas untuk sistem iniyaitu:

(H∗+∂S∂t

)tf = 0

• Sistem dengan waktu akhir ditentukan dan state padawaktu akhir tidak ditentukan, sehingga batas untuk sistemini adalah:

((∂S∂x

)∗−λ∗(t))tf = 0

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Prinsip Minimum Pontryagin (Lanjutan)• Sistem dengan waktu akhir dan state pada waktu akhir

tidak ditentukan keduanya, dengan state pada waktu akhirmerupakan fungsi yang bergantung pada waktu akhirKarena x(tf ) = θ(tf ) dan δxf ≈ θ(tf )δtf , batas untuk sistemini adalah:

[(H∗+∂S∂t

) + ((∂S∂x

)∗−λ∗(t))′θ(t)]tf δtf = 0

Dan karena waktu akhir tidak ditentukan maka δtf bernilaisebarang, oleh sebab itu untuk sistem ini yaitu:

[(H∗+∂S∂t

) + ((∂S∂x

)∗−λ∗(t))θ(t)]tf = 0

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Prinsip Minimum Pontryagin (Lanjutan)• Sistem dengan waktu akhir dan state pada waktu akhir

tidak ditentukan keduanya, dengan state pada waktu akhirdan waktu akhir tidak berhubungan.Karena tf dan x(tf ) tidak berhubungan maka δtf dan δxf

juga tidak berhubungan, batas untuk sistem ini yaitu:

(H∗+∂S∂t

)tf = 0

((∂S∂x

)∗−λ∗(t))t f = 0

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Analisis dan PembahasanA. Formula Kendali Optimal

x1(t) =dx1(t)

dt= u1(t)x1(t)−β1x1(t)x2(t)

x2(t) =dx2(t)

dt= u2(t)x2(t)−β2x1(t)x2(t)

dengan kondisi batas yang sudah ditentukan, yaitu:x1(t0) = 0.05x2(t0) = 0.95tf = freet0 = 0x1(tf ) = 0.5x2(tf ) = 0.5

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Analisis dan Pembahasan (Lanjutan)dan fungsi tujuan sebagai berikut:

J(u) =12

∫ tf

t0{q1u2

1 + q2u22}dt

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Analisis dan Pembahasan (Lanjutan)B. Penyelesaian Kendali OptimalB.1. Fungsi Hamiltonian

H =12

Q1u21(t) +

12

Q2u22(t)

+λ1(t)u1(t)x1(t)−β1λ1(t)x1(t)x2(t)

+λ2(t)u2(t)x2(t)−β2λ2(t)x1(t)x2(t)

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Analisis dan Pembahasan (Lanjutan)

B.ii. Menentukan u∗∂H

∂u(t)= 0

didapatkan:

u∗1 =−λ1(t)x1(t)q1

u∗2 =−λ2(t)x2(t)q2

dengan u(t) ∈ [−1,1]kemudian hasil tersebut disubtitusikan ke dalam hamiltonian,untuk mendapatkan fungsi Hamiltonian yang Optimal (H ∗).

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Analisis dan Pembahasan (Lanjutan)

H ∗ = −λ21(t)x2

1 (t)2Q1

−β1λ1(t)x1(t)x2(t))

−λ22(t)x2

2 (t)2Q2

−β2λ2(t)x1(t)x2(t))

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Analisis dan Pembahasan (Lanjutan)B.iii. Menentukan State dan Costate

˙x1(t) =∂H ∗

∂λ1(t)=−λ1(t)x2

1 (t)Q1

−β1x1(t)x2(t)

˙x2(t) =∂H ∗

∂λ2(t)=−λ2(t)x2

2 (t)Q2

−β2x1(t)x2(t)

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Analisis dan Pembahasan (Lanjutan)

λ1(t) = − ∂H ∗

∂x1(t)= β1λ1(t)x2(t)

+β2λ2(t)x2(t) +2λ2

1(t)x1(t)Q1

λ2(t) = − ∂H ∗

∂x2(t)= β1λ1(t)x1(t)

+β2λ2(t)x1(t) +2λ212(t)x2(t)

Q2

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Analisis dan Pembahasan (Lanjutan)B.iv. Menentukan Kondisi Tranversalitas

(H ∗+∂S∂t

)tf = 0

dengan S adalah mayer dari fungsi tujuan, yaitu:

S = 0

daidapatkan:

−(x2

1 (tf )2Q1

)λ21(tf )− (

x22 (tf )2Q2

)λ22(tf )

−(β1x1(tf )x2(tf ))λ1(tf )− (β2x1(t)x2(t))λ2(tf ) = 0

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Analisis dan Pembahasan (Lanjutan)C. Hasil Simulasi Hasil Simulasi atingkat produksi sumber energi terbarukan tanpa pengendalian

Gambar: Tingkat produksi energi terbarukan tanpa pengendalian

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Analisis dan Pembahasan (Lanjutan)Hasil Simulasi btingkat produksi sumber energi tidak terbarukan tanpa pengen-dalian.

Gambar: Tingkat produksi energi tidak terbarukan tanpa pengendalian

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Analisis dan Pembahasan (Lanjutan)Hasil Simulasi ctingkat produksi sumber energi terbarukan dengan pengendali-an.

Gambar: Tingkat produksi energi terbarukan dengan pengendalian

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Analisis dan Pembahasan (Lanjutan)Hasil Simulasi dtingkat produksi sumber energi terbarukan dengan pengendali-an.

Gambar: tingkat produksi energi tidak terbarukan denganpengendalian

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Kesimpulan:Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah disajikanpada bab sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa denganmenerapkan PMP (Prinsip Minimum Pontryagin) diperolehpengendali optimal dalam produksi sumber energi terbarukandengan nilai awal produksi sebesar 0.05 (5%) dan produksisumber energi tidak terbarukan dengan nilai produksi awal0.95% dan nilai produksi di akhir masing masing sebesar 50%adalah selama 17.69 tahun.

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Daftar PustakaDaftar Pustaka

Agustiawan,KIndonesia dan Ketahanan Energihttp://www.pertamina.com/NewsPageDetail.aspx?id=865, 5Februari 2014

TaslimaKendali Optimal Pada Pencegahan Wabah Flu BurungDengan Eliminasi, Karantina Dan PengobatanPaper jurusan Matematika UNY, 2011

David, dkkPenggunaan Bahan Bakar Nabati Biosolar dan TanamanJarak Rak Pengganti Bahan Bakar Fosil Solarhttp://farinlutvy.blogspot.com/, 5 Februari 2014

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Daftar Pustaka (Lanjutan)

Daftar Pustaka (Lanjutan)

HujuiSumber energihttp://hujui.wordpress.com/sumber-energi/, 6 Februari 2014

Farhadian FebriMenghadapi krisis energi (Fosil Fuel) di Indonesiahttp://www.slideshare.net/ , 6 Februari 2014

Miah,M.SOptimum Policy for Integration of Renewable energysources into the power Generation Systemhelsevier. Energy Economics pp: 558-567.

Pendahuluan Tinjauan Pustaka Analisis dan Pembahasan Kesimpulan dan Saran Daftar Pustaka

Daftar Pustaka (Lanjutan)Daftar Pustaka (Lanjutan)

Irma FKendali Optimal dalam Produksi Sumber Energi Terbarukandan Tidak TerbarukanPaper Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya.Surabaya 2013.

Naidu,D.SOptimal Control SystemCRC PRESS, New York, 2002

PerpresPeraturan presiden republik IndonesiaJakarta, 2006