Post on 07-Feb-2018
Teori Himpunan
Author-IKN
9/8/151
MUG2B3/ Logika Matematika
Jenis Himpunan
Relasi Himpunan
Operasi Himpunan
Hukum-Hukum Operasi Himpunan
Representasi Komputer untuk Himpunan
2 9/8/15
Materi
MUG2B3/ Logika Matematika
Himpunan– Sekumpulan elemen unik, terpisah, dan tanpa urutan
tertentu.
– contoh: himpunan mahasiswa IK
Notasi– x D artinya “x adalah elemen himpunan D”
– x D artinya “x bukan elemen himpunan D”
3 9/8/15
Teori Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Enumerasi/eksplisit– Contoh: D = {a,b,c,d}
Implisit– Contoh: D = {1,2,3,…}
Notasi Baku– N = himpunan bilangan asli
– Z = himpunan bilangan bulat
– Q = himpunan bilangan rasional
– R = himpunan bilangan real
– C = himpunan bilangan kompleks
4 9/8/15
Representasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Notasi pembentuk himpunan– Contoh: D = {x|x Z, 0<x<10}
Diagram Venn
5 9/8/15
Representasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Definisi– Kardinalitas (bilangan kardinal) dari sebuah himpunan
adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut.
– Kardinalitas himpunan A dinotasikan |A|
Contoh:– Jika A = {a,b,c,d}, maka |A| = 4
– Jika N = {x|x2 – 8x + 12 = 0}, maka |N| = 2
6 9/8/15
Kardinalitas
MUG2B3/ Logika Matematika
Himpunan Semesta (Universal)– Himpunan yang anggotanya merupakan semua objek
yang mungkin ada.
– Dinotasikan dengan S atau U
Himpunan Kosong (Null Set)– Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki
elemen.
– Dinotasikan dengan {} atau
– Contoh: F = {x|x < x}
7 9/8/15
Relasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Himpunan Bagian (Subset)– A dikatakan himpunan bagian (subset) dari B jika hanya
jika setiap anggota A merupakan anggota B dan dilambangkan dengan A B.
– Contoh: Himpunan B = {c,d} merupakan himpunan bagian dari
himpunan A = {a,b,c,d}.
8 9/8/15
Relasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Himpunan Sama– Himpunan A dan B dikatakan sama dan dinotasikan A = B,
jika dan hanya jika A B dan B A.
– Contoh: Himpunan A = {a,b,c,d} dan B = {b,c,a,d} adalah himpunan
yang sama
9 9/8/15
Relasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Himpunan Bagian Sejati (Proper Subset)– Himpunan A dikatakan himpunan bagian sejati (proper
subset) dari B jika A B dan minimal ada satu anggota B yang bukan anggota A, biasa ditulis A B.
– Contoh: Himpunan A = {c,d} merupakan himpunan bagian dari
himpunan B = {a,b,c,d}.
10 9/8/15
Relasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Himpunan Kuasa (Power Set)– Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang
memuat semua himpunan bagian S.
– Himpunan kuasa S dinotasikan sebagai P(S).
– Contoh: Himpunan A = {a,1,2} memiliki himpunan bagian : ,
{a},{1},{2},{a,1},{a,2},{1,2},{a,1,2}
Maka P(A) = {,{a},{1},{2},{a,1},{a,2},{1,2},{a,1,2}}
– Kardinalitas untuk himpunan kuasa P(S) adalah |P(S)| = 2|S|
11 9/8/15
Relasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Himpunan Berpotongan– Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya
jika ada elemen A yang menjadi elemen B.
– Contoh: A = {x|x2 – 8x + 12 = 0} dan B = {x|x2 – 4 = 0} berpotongan
P = {x|x2 – 8x + 12 = 0} dan Q = {1,3,5} tidak berpotongan
12 9/8/15
Relasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Himpunan Saling Lepas– Himpunan A dan B dikatakan saling lepas dan dinotasikan
A||B jika dan hanya jika kedua himpunan tidak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama
– Contoh: A = {x|x2 – 8x + 12 = 0} dan B = {x|x2 – 4 = 0} tidak saling
lepas
P = {x|x2 – 8x + 12 = 0} dan Q = {1,3,5} saling lepas
13 9/8/15
Relasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Himpunan Ekivalen– Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jika
hanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut sama
– Contoh: Himpunan A = {1,2,3,4} dan B = {a,b,c,d} adalah himpunan
ekivalen
Himpunan P = {a,b,c} dan Q = {p,q,r,s} adalah himpunan tak ekivalen
14 9/8/15
Relasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Gabungan (Union)– Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua
elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya.
– Secara notasi dapat ditulis
A B = {x|x A ∨ x B}
– Contoh: Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f}, maka P
Q = {a,b,c,d,e,f}
– A B dan B A merupakan dua himpunan yang sama.
– Kedua himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A B.
15 9/8/15
Operasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Irisan (Intersection)– Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen
persekutuan dari himpunan A dan B.
– Secara notasi dapat ditulis
A B = {x|x A ∧ x B}
– Contoh: Jika P = {a,b,c} dan Q = {1,2}, maka P Q = .
Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f}, maka P Q = {c,d}
– A B dan B A merupakan dua himpunan yang sama.
– Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A B.
16 9/8/15
Operasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Komplemen– Komplemen suatu himpunan A adalah himpunan semua
elemen dalam semesta yang bukan elemen A.
– Secara notasi dapat ditulis
Ac = {x|x S ∧ x A}
– Contoh: Jika P = {a,b,c} dan S= {a,b,c,d,e,f,g}, maka Pc ={d,e,f,g}
– A Ac = S dan A Ac =
– Sc = dan c = S
– (Ac) c = A
17 9/8/15
Operasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Selisih (Difference)– Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen
A yang bukan elemen B.
– Secara notasi dapat ditulis A – B atau A/B
A – B = {x|x A ∧ x B}
– Contoh: Jika P = {a,b,c} dan Q= {1,2}, maka P – Q = P
Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f}, maka P – Q = {a,b}
– A – B dan A Bc merupakan himpunan yang sama.
18 9/8/15
Operasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Selisih Simetris (Symmetric Difference)– Perbedaan simetris himpunan A dan B adalah himpunan
yang elemennya ada pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya.
– Secara notasi dapat ditulis
A B = {x|(x A ∨ x B) ∧ (x (A B))}
– Contoh: Jika P = {2,4,6} dan Q= {2,3,5}, maka P Q = {3,4,5,6}
19 9/8/15
Operasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Gabungan– A B
Irisan– A B
21 9/8/15
Diagram Venn
MUG2B3/ Logika Matematika
Komplemen– Ac
Selisih– A – B
22 9/8/15
Diagram Venn
MUG2B3/ Logika Matematika
Perbedaan Simetri– A B
23 9/8/15
Diagram Venn
MUG2B3/ Logika Matematika
Misalkan himpunan semesta S = {1,2,3,…,10}, A = {2,4,7,9}, B = {1,4,6,7,10}, dan C = {3,5,7,9}. Tentukan himpunan hasil operasi, serta gambar diagram Venn-nya.
24 9/8/15
Latihan Soal
MUG2B3/ Logika Matematika
Diketahui himpunan A = {a,b,1,2,3}, B = {a,2,4,5}– Tentukan A B, A B, A – B, B – A, A B.
– Hitunglah |A|, |B|, |A B|, |A B|.
– Tentukan himpunan P(A B) dan P(A) P(B).
25 9/8/15
Latihan Soal
MUG2B3/ Logika Matematika
Dari 75 mahasiswa yang tinggal di sebuah asrama, 47 orang memiliki radio, 18 orang memiliki TV, 39 orang memiliki tape, 10 orang memiliki radio dan TV, 12 orang memiliki TV dan tape, 30 orang memiliki radio dan tape, dan 6 orang memiliki ketiganya.– Berapa orang yang hanya memiliki tape?
– Berapa orang yang tidak memiliki satupun?
– Berapa orang yang memiliki radio dan TV tapi tidak memiliki tape
– Berapa orang yang hanya memiliki satu macam saja?
26 9/8/15
Latihan Soal
MUG2B3/ Logika Matematika
Hukum Komutatif– A B = B A
– A B = B A
Hukum Asosiatif– (A B) C = A (B C)
– (A B) C = A (B C)
Hukum Distributif– A (B C) = (A B) (A C)
– A (B C) = (A B) (A C)
27 9/8/15
Hukum-Hukum Operasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Hukum Identitas– A = A
– A S = A
Hukum Komplemen– A Ac = S
– A Ac =
Hukum Dobel Komplemen– (Ac)c = A
28 9/8/15
Hukum-Hukum Operasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Hukum Idempotent– A A = A
– A A = A
Hukum Dominasi– A S = S
– A =
Hukum De Morgan– (A B)c = Ac Bc
– (A B)c = Ac Bc
29 9/8/15
Hukum-hukum Operasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Hukum Penyerapan/ Absorpsi– A (A B) = A
– A (A B) = A
Komplemen S dan – Sc = – c = S
Hukum Selisih Himpunan– A – B = A Bc
30 9/8/15
Hukum-Hukum Operasi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Pembuktian dengan Diagram Venn– Tunjukkan bahwa A (B C) = (A B) (A C)
31 9/8/15
Pembuktian Prosisi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Pembuktian dengan Tabel Keanggotaan– Tunjukkan bahwa A (B C) = (A B) (A C)
32 9/8/15
Pembuktian Prosisi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Pembuktian dengan Aljabar Himpunan– Tunjukkan bahwa (A (B C))c = (Cc Bc) Ac
(A (B C))c = Ac (B C)c (hukum De Morgan)
= Ac (Bc Cc) (hukum De Morgan)
= (Bc Cc) Ac (hukum komutatif)
= (Cc Bc) Ac (hukum komutatif)
33 9/8/15
Pembuktian Prosisi Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Buktikan hukum De Morgan dengan menggunakan tabel keanggotaan
34 9/8/15
Latihan Soal
MUG2B3/ Logika Matematika
Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasi dalam sebuah komputer?
Himpunan didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacu pada sebuah himpunan semesta S.
Dalam konteks ini terdapat pengecualian terhadap aturan umum mengenai urutan elemen.
35 9/8/15
Representasi Komputer untuk Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Himpunan A direpresentasikan dengan sebuah string n bits, {b1 b2 … bn}, dimana n adalah bilangan kardinal dari S.
Aturan pengisian nilai– bi = 1 jika elemen ke-i dari S berada dalam A
– bi = 0 jika elemen ke-i dari S tidak berada dalam A
36 9/8/15
Representasi Komputer untuk Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}– Tentukan representasi dari {2,3,5,7} sebagai sebuah bit
string.
– Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string 1001011011.
Jawaban:– 0110101000
– {1,4,6,7,9,10}
37 9/8/15
Representasi Komputer untuk Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Operasi– Irisan, gabungan dan komplemen dapat dinyatakan dalam
bit string.
Proses perhitungan– Operasi untuk mendapatkan bit string dari A B disebut
operasi bitwise and.
– Operasi untuk mendapatkan bit string dari A B disebut operasi bitwise or.
– Operasi untuk mendapatkan bit string dari Ac disebut operasi bitwise not.
38 9/8/15
Representasi Komputer untuk Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
Contoh– Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bit
string untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bit string untuk: A B, A B, dan Ac.
Jawab– A B = 00100100
– A B = 10101111
– Ac = 11010001
39 9/8/15
Representasi Komputer untuk Himpunan
MUG2B3/ Logika Matematika
40 9/8/15
Latihan
MUG2B3/ Logika Matematika
41 9/8/15
Latihan
MUG2B3/ Logika Matematika
42 9/8/15
Latihan
MUG2B3/ Logika Matematika
43 9/8/15
Latihan
MUG2B3/ Logika Matematika
44 9/8/15
Latihan
MUG2B3/ Logika Matematika
45 9/8/15
Latihan
MUG2B3/ Logika Matematika
46 9/8/15
Latihan
MUG2B3/ Logika Matematika
47 9/8/15
Latihan
MUG2B3/ Logika Matematika
THANK YOU489/8/15