TENDENSI SENTRAL

KONSEP TENDENSI SENTRAL

• Kecenderungan pemusatan nilai dalam suatu distribusi data.

• MEAN: nilai rata-rata distribusi data• MEDIAN: nilai tengah distribusi data setelah

data diurutkan• MODUS: data (nilai/skor atau titik tengah)

yang memiliki frekuensi tertinggi dalam suatu distribusi data

POSISI TENDENSI SENTRAL

MEANMEDIANMODUS

RERATA/RATA-RATA

• Skala hitungan data paling rendah adalah pada level interval (interval dan rasio)

• Ada tiga jenis rerata mencakup

Rerata hitung (sering disebut rerata saja)Rerata ukurRerata harmonik

APAKAH RATA-RATA?• rata-rata hitung: Mengukur nilai rata-rata

sebenarnya dari data.• Misalnya Rata-rata nilai mata kuliah statistika

mahasiswa AN, Rata-rata jumlah pencari kerja selama tahun 2010 sampai 2012 yang terdaftar di Disnaker Surabaya.

MEAN/RERATA HITUNG

• MEAN (M = Mx = X)• Rumus:

∑ fXM =

N

Cara lain menghitung rerata

X Y 7 10 7 9 6 9 X = 40 / 8 = 5

5 6 4 5 4 4 4 3 Y = 50 / 10 = 5

3 2 1 1

40 50

Rumus dengan FrekuensiRumus rerata dengan melibatkan frekuensi

Rumus ini lebih praktis untuk data dengan berbagai frekuensi.

Lebih mudah jika kita dibantu oleh tabel distribusi freduensi.

f

fX

N

fX

XfXfN

kalif

XXX

kalif

XXX

N

X

X

X

XX

...)(

...)......

(

2211

2

222

1

111

1

1

Tabel 1 Persiapan Menghitung MeanInterval X f fX

65 - 69 67 6

60 - 64 62 24

55 - 59 57 25

50 - 54 52 15

45 - 49 47 10

40 - 44 42 6

35 - 39 37 5

30 - 34 32 4

25 - 29 27 3

20 - 24 22 2

JUMLAH - N=100 ∑fX

MEAN TERKAAN

∑ fx’ M = MT + ( ) i N

KETERANGAN:MT : mean yang diterka (titik tengah kelas interval yang diterka) i : lebar kelas interval x’ : x tanda (deviasi dari MT) N : jumlah sampel

PROSEDUR MENGHITUNG MEAN TERKAAN

• Terkalah letak suatu mean (suka-suka), titik tengah dari kelas interval tersebut adalah MT.

• Sebaris dengan kelas interval letak mean terkaan itu, pada kolom x’ berikan tanda 0 (nol),

• Di atas angka nol tersebut, berikan berturut-turut angka positif dan di bawahnya negatif.

• Kalikan f dengan x’ dan jumlahkan.• Isikan komponen-komponen tersebut ke dalam

rumus dan hitunglah.

Tabel 2 Persiapan Menghitung Mean dengan Rumus Mean Terkaan

Interval X f x’ fx’

65 - 69 67 6 +4 +24

60 - 64 62 24 +3 +72

55 - 59 57 25 +2 +50

50 - 54 52 15 +1 +15

45 - 49 47 10 0 0

40 - 44 42 6 -1 -6

35 - 39 37 5 -2 -10

30 - 34 32 4 -3 -12

25 - 29 27 3 -4 -12

20 - 24 22 2 -5 -10

N = 100 ∑fx’ = 111

MEAN TERKAAN

∑ fx’ M = MT + ( ) i N

111 M = 47 + ( ) 5 = 47 + 5,55 100 = 52,55

Contoh

Kelompok X f fX 31 – 40 35,5 2 71 41 – 50 45,5 3 51 – 60 55,5 5 61 – 70 65,5 14 71 – 80 75,5 25 81 – 90 85,5 18 91 – 100 95,5 13

Hitunglah rerata X dengan rumus biasa dan terkaan.

PARAMETER RERATA HITUNG PADA DATA DIKOTOMIKhusus pada data dikotomi, rerata sama dengan proporsi

X = = f/Nsehingga pada umumnya, digunakan proporsiContoh: Data dikatagorikan menjadi dua (dengan kode 1 dan 2)

Data X 1 2 X = 7 / 10 = 0,7 1 1 2 1 X = 7 dari 10 = 0,7 2 1 1 X = X = 0,7 1 7 (Jumlah f pada katagori 1) 3 (Jumlah f pada katagori 2)

APAKAH RATA-RATA UKUR?

• rata-rata ukur: Mengukur tingkat perubahan (rate of change) untuk data nilai positif

• Misalnya: (1) Rata-rata tingkat pertambahan pinjaman

setiap bulan di kantor pegadaian. (2) Rata-rata pertumbuhan sambungan telpon

setiap bulan, berdasarkan data sambungan telpon selama setahun.

PARAMETER RERATA UKUR

Rerata ukur adalah perkalian data yang ditarik akarnya sebesar banyaknya data; Akar pangkat N dari jumlah perkalian data.Rumus rerata ukur

Contoh

Data : 3 4 5Rerata ukur

Data : 2 2 4 5 7 8 8 Rerata ukur

U =

N

N

iiX XU

1

9153

60

543

3

3

,

))()((

U

APAKAH RATA-RATA HARMONIK?• Rata-rata harmonik: Mengukur nilai rata-rata data yang

memiliki nilai positif dan ada rasio. • Misalnya 1: tiga pegawai bagian pembelian diberi tugas

membeli kayu di pedalaman. Setiap pegawai mendapat uang Rp. 450 juta. Dari hasil pembelian diperoleh bahwa pegawai ke-1 membeli kayu seharga Rp. 30.000/m3, pegawai ke-2 Rp.35.000/m3, pegawai ke-3 Rp.32.000/m3. Berapa rata-rata harga kayu per meter kubik yang telah dibayar oleh perusahaan.

• Misalnya 2: Si A bepergian pulang pergi. Saat pergi kecepatannya 10 km/jam dan pulangnya 20 km/jam. Berapa rata-rata kecepatan pulang pergi?

PARAMETER RERATA HARMONIK

Rumus

Contoh:

Data: 3 5 6 6 7 10 12

Data: 2 2 4 5 7 8 8

H =

X

X

N

i i

X

X

N

i iX

X

N

N

XH

1

1

11

1

1

875

121

101

71

61

61

51

31

7,

H

MEDIAN 1. Dasar

• Median adalah data yang membagi dua sama besar distribusi frekuensi data

• Proporsi di sebelah menyebelah median adalah masing-masing 0,5

0,5 0,5

median

0,5 0,5

median

2. Median pada Data Deret Hitung

Pada data deret hitung atau distribusi seragam, median terletak di tengah-tengah deret

Contoh

3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9

20 25 30 35 40 45

Median M = 6

Median M = 5,5

Median M = 32,5

RUMUS MEDIAN

½ N – cf (b)

• Mdn = L + ( ) i fd

½ N – cf (a)

• Mdn = U - ( ) i fd

KETERANGAN:L : batas bawah nyata dari kelas yang mengandung medianN : jumlah sampelCf(b) : cf di bawah kelas interval yang mengandung mediani : lebar kelas intervalfd : frekuensi dalam interval yang mengandung medianU : batas atas nyata dari interval yang mengandung mediancf(a) : cf di atas kelas interval yang mengandung median

LANGKAH-LANGKAH

• Buat tabel persiapan (interval, X, f, cf)• Tentukan setengah N (½ N)• Cari dalam kolom cf: angka (cf) yang

mengandung (½ N)• Tandai baris yang relevan dengan itu• Temukan komponen-komponen yang

dimaksud dalam rumus.• Gunakan rumus dan hitung.

Tabel Persiapan Menghitung MedianInterval X f cfa cfb

65 - 69 67 6 6 100

60 - 64 62 24 30 94

55 - 59 57 25 55 70

50 - 54 52 15 70 45

45 - 49 47 10 80 30

40 - 44 42 6 86 20

35 - 39 37 5 91 14

30 - 34 32 4 95 9

25 - 29 27 3 98 5

20 - 24 22 2 100 2

100

MODUS

•Modus adalah data dengan frekuensi terbesar. Di dalam

grafik, modus menunjukkan puncak pada poligon atau histogram

•Dalam susun data tertentu, dapat saja terjadi, ada dua atau lebih modus

modus

modus

Letak modus pada data tunggal• Pada data tunggal, modus terletak tepat pada data

dengan frekuensi terbesarContoh

Data X : 4 5 6 7 8 9Frek : 3 5 10 15 11 6

Modus : Mo = 7

Contoh Data X: 40 50 60 70 80 90

Frek 5 20 10 8 15 9

Modus: Mo = 50

Letak modus pada data berkelompok• Pada data kontinu, biasanya modus perlu dihitung

melalui interpolasi, sesuai dengan letak puncak pada grafik

• Modus juga sering dikemukakan sebagai titik tengah dari interval dengan f tertinggi.

• Rumus modus

b = batas bawah nyata kelas modusp = lebar kelas interval

b1 = frekuensi kelas modus minus frekuensi kelas interval segera sebelumnya b2 = frekuensi kelas modus minus frekuensi kelas interval segera sesudahnya

21

1

bb

bpbMo

Kelas Batas Batas Frek bawah atas

31 – 40 30,5 40,5 1 41 – 50 40,5 50,5 2 51 – 60 50,5 60,5 5 61 – 70 60,5 70,5 15 71 – 80 70,5 80,5 25 81 – 90 80,5 90,5 20 91 – 100 90,5 100,5 12

b = 70,5 b1 = 25 – 15 = 10

p = 10 b2 = 25 – 20 = 5

Interval sebelumnyaKelas modus

Interval sesudahnya

pbb1 b2

Modusnya adalah:

1777510

1010570

21

1 ,,

bb

bpbMo

Contoh: Hitunglah modusnya.

Kelompok Frekuensi 11 – 20 2 21 – 30 3 31 – 40 5 41 – 50 14 51 – 60 25 61 – 70 18 71 – 80 13

Mo = 56.61