Teknik Pengintegralan

2

Pendahuluan• Sering dijumpai bahwa fungsi-fungsi yang akan diintegralkan

bukan merupakan bentuk baku (rumus umum integrasi), sehingga tidak dapat langsung diintegralkan.

• Fungsi tersebut harus dibawa ke bentuk baku, dengan cara:– Teknik substitusi – Teknik pengintegralan parsial

A. Teknik Substitusi– Mengubah ke bentuk baku– Mengubah-ubah integran– Beberapa integral trigonometri

Basic Integration Formulas

4

A.1. Mengubah ke bentuk baku• Untuk menentukan f(x) dx, dapat mensubstitusikan u = g(x), dengan g adalah

fungsi yang dapat diintegralkan. • Apabila substitusi mengubah f(x) dx menjadi h(u) du dan apabila H antiturunan h,

maka:

f(x) dx = h(u) du = H(u) + c = H(g(x)) + cContoh 3• Tentukan

• Bentuk baku yang mendekati adalah eudu dengan mengandaikan u = 1/x , maka du = sehingga :

dxxe x

2

1

6

dxx

2

1

dxxe x

2

1

6

duedxx

e ux 612

1

= -6 = - 6 eu + c ce x 1

6=

5

Contoh 4

dxxx 1143

Ingat bentuk baku u = x4 + 11, maka

Contoh

A.2. Mengubah ke bentuk integran• Sebelum melakukan substitusi, sering kali dibutuhkan menulis integran ke dalam

bentuk yang lebih cocok.

Contoh 5

7

A.3. Bentuk Integral Trigonometri• Apabila kita menggunakan metode penggantian dan disertai dengan

pemakaian kesamaan trigonometri yang tepat, maka kita dapat mengintegralkan banyak bentuk trigonometri.

• Tiga jenis integral yang sering dijumpai :i. sin n x dx dan cos n x dxii. sin m x cos n x dxiii. sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx cos nx dx

i) Jenis sin n x dx dan cos n x dx– Untuk n = ganjil, digunakan kesamaan : sin2 x + cos2 x =1 Contoh 6

8

– Untuk n = genap, digunakan kesamaan : sin2x = ½ (1 - cos 2x) cos2 x = ½ (1 + cos 2x)

Contoh 7. sin 2 x dx = ½ (1 - cos 2x) dx = ½ dx – ¼ cos 2x (2) dx = ½ dx – ¼ cos 2x d(2x) = ½ x – ¼ sin 2x + c

ii) Jenis sin m x cos n x dxUntuk m atau n ganjil sedang eksponen lain merupakan bilangan sembarang, maka dikeluarkan sin x atau cos x dan digunakan kesamaan : sin2 x + cos2 x =1Contoh 8.

9

• Untuk m dan n genap maka digunakan kesamaan : sin2x = ½ (1 - cos 2x) cos2 x = ½ (1 + cos 2x)

Contoh 9.

10

iii) Jenis sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx cos nx dxIntegral jenis ini banyak digunakan dalam teori arus bolak-balik, teori perpindahan panas dan teori-teori yang menggunakan deret Fourier.

Untuk menyelesaikan integral jenis ini digunakan kesamaan sebagai berikut.

– sin mx cos nx = ½ [sin (m+n) x+ sin (m - n) x]– sin mx sin nx = - ½ [cos (m+n) x - cos (m - n) x]– cos mx cos nx = ½ [cos (m+n) x+ cos (m - n) x]

Contoh 10.

11

12

B. Pengintegralan Parsial Apabila pengintegralan dengan metode penggantian tidak berhasil, dengan menerapkan metode penggunaan ganda, yang lebih dikenal dengan pengintegralan parsial. Metode ini didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasil kali dua fungsi.

Andaikan u dan v adalah fumgsi x yang dapat dideferensiasikan. Maka

d(uv) = v du + u dvuv = v du + u dv u dv = uv - v du

Dua aturan umum yang harus diikuti adalah :• bagian yang dipilih sebagai dv harus segera dapat diintegrasikan• v du tidak boleh lebih sulit daripada u dv

13

• Contoh 11 : Tentukan x cos x dx Penyelesaian : Jika diambil u = x dv = cos x dx

du = dx v = sin x Maka :

x cos x dx = x sin x - sin x dx = x sin x + cos x + c

14

• Pengintegralan Parsial Berulang• Sering kali di dalam penerapan teknik ini dijumpai pengintegralan parsial

yang harus dilakukan beberapa kali.• Contoh 12

Hitunglah x2 sin x dx.Penyelesaian :

Andaikan u = x2 dv = sin x dx du = 2x v = - cos x

Maka : x2 sin x dx = - x2 cos x + 2 x cos x dx

x2 sin x dx = - x2 cos x + 2(x sin x + cos x + C ) = - x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + K

15

Contoh 13• Tentukan ex sin x dx.

Penyelesaian :Andaikan u = ex dan dv = sin x dx du = ex dx v = - cos x

Sehingga ex sin x dx = -ex cos x + ex cos x dx

• Tampaknya tidak ada perbaikan. Akan tetapi dengan sekali lagi menerapkan pengintegralan parsial pada integral kedua, yaitu dengan mengandaikan :

u = ex dan dv = cos x dx du = ex dx v = sin xMaka :

ex cos x dx = ex sin x - ex sin x dxApabila hasil ini kita substitusikan ke dalam hasil pertama, maka diperoleh:

ex sin x dx = - ex cos x + ex sin x - ex sin x dxDengan mengubah urutan suku terakhir ke sebelah kiri integral dan mengumpulkan suku-

sukunya, kita peroleh2 ex sin x dx = ex (sin x - cos x) + C

Sehingga akhirnya : ex sin x dx = ½ ex (sin x - cos x) + K

Pengintegralan Tabular• Jika pengulangan integral parsial dilakukan berkali-kali, maka bisa diperingkas

dengan integral tabular• Ilustrasi dari integral ini adalah

18

Teknik Integral Fungsi Rasional

• Menurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom).

• Contoh :

• Untuk pengintegralan yang dicari adalah membuat bentuk fungsi rasional seperti sisi kiri dari fungsi rasional di sisi kanan.

115

)1)(1(15

13

12

2

xx

xxx

xx

19

A. Faktor linear yang berlainan

dxxx

x6

132Tentukan integral

Solusi : x2-x-6 = (x-3)(x+2)

Sehingga penjabaran pecahannnya

3)2(613

2

xB

xA

xxx

Selanjutnya dicari nilai A dan B : 3x-1 = A(x-3) + B(x+2)

3x-1 = (A+B) x + (-3A+2B)

A + B = 3-3A + 2B = -1

A = 7/5 dan B =8/5

Jadi

dxxx

x6

132

dxx

dxx 3

158

21

57

=

= 7/5 ln |x + 2 | + 8/5 ln | x - 3 | + C

20

B. Faktor linear yang berulang

dx

xx

23Tentukan integral

Penjabaran menjadi pecahan parsial adalah 22 )3(33

xB

xA

xx

Nilai A dan B dapat dicari, setelah penyebut-penyebutnya dihilangkan diperoleh

x = A(x-3) + B A = 1 dan B = 3

dx

xx

23

dx

xdx

x 2)3(1

33

1=

cx

33

= ln | x-3 | -

21

C. Faktor kuadrat yang berulang

Penjabaran :

Tentukan integral

Kesamaan :

dan E = 0

22

Sehingga :

Subsitusi trigonometri

• Untuk mensubtitusi bentuk dan dengan dan