Post on 02-Mar-2016
description
STATISTIKA DASAR
Oleh :
Y. BAGUS WISMANTO
FAKULTAS PSIKOLOGI
UNIVERSITAS KATOLIK SOEGIJAPRANATA
SEMARANG
2007
DAFTAR ISI
Halaman 1 1 2 2 3 4 7 8 9 9 14
161618202224
252527272830
323234363840
42424348
505051
I.PENDAHULUANA. Apa Statistika Itu ?B. Pentingnya Penguasaan terhadap StatistikaC. Konsep-konsep Dasar. 1. Variabel 2. Klasifikasi Variabel 3. Pengukuran 4. Kolom dan Baris 5. Pembulatan Bilangan 6. Notasi StatistikaSoal Latihan
II. DISTRIBUSI FREKUENSIA. Distribusi Frekuensi TunggalB. Distribusi Frekuensi BergolongC. Klas Interval, Batas Klas, Batas Nyata dan Titik TengahD. Frekuensi Meningkat dan MenurunSoal Latihan
III. GRAFIKA. HistogramB. PoligonC. OgiveD. Grafik Model LainSoal Latihan
IV. KECENDERUNGAN KE PUSATA. Mode atau ModusB. Nilai Rata-rataC. MedianD. Kurve dan Letak Nilai Rata-rata, Modus dan MedianSoal Latihan
V. KUARTIL, DESIL DAN PERSENTILA. KuartilB. Desil dan PersentilC. Pemanfaatan Desil dan Persentil
VI. PENGUKURAN KERAGAMAN (VARIABILITAS)A. RentangB. Simpangan
C. Rata-rata SimpanganD. Simpangan Baku dan VariansE. Angka BakuF. Angka Skala
VII. TEORI PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI NORMALA. ProbabilitasB. Distribusi Normal
VIII. KORELASI DAN REGRESIA. PengantarB. Model-model RelasiC. Persamaan Garis LurusD. KorelasiE. Korelasi JenjangF. Analisis RegresiG. Uji Signifikansi nilai r
IX. SAMPLING DAN DISTRIBUSI SAMPLINGA. Cara-cara Penarikan SampelB. Kesalahan SamplingC. Distribusi Rata-rataD. Kesalahan Baku
X. UJI HIPOTESIS : RATA-RATA DAN STATISTIK LAIN
XI. KAI KUADRAT
DAFTAR PUSTAKALAMPIRAN
52535557
595963
6565666869737678
8081828384
I. PENDAHULUAN
A. Apa Statistika itu ? Ada banyak ilmuwan yang mencoba mendefinisikan statistika. John
W. Best dalam bukunya Research in Education (1983, 219) menyatakan :statistics is a body of mathematical techniques or processes for gathering,
organizing, analyzing and interpreting numerical data. Since research yields
such quantitative data, statistics is a basic tool of measurement, evaluation
and research.
Ferguson dan Takane (1989, 4) menyatakan statistics is a branch of
scientific methodology. It deals with the collections, classification, description
and interpretion of data obtained by the conduct of survey and experiments.
Its essential purpose is to describe and draw inferences about the numerical
properties of populations . . . .
Kata statistik juga dipakai untuk menyatakan kumpulan fakta,
umumnya berbentuk angka yang disusun dalam tabel dan atau diagram,
yang menggambarkan suatu persoalan, seperti misalnya dalam kata-kata :statistik kelahiran, statistik pendidikan, statistik kesehatan maupun yanglainnya. Kata statistik juga mengandung pengertian lain, yakni dipakai untuk
menyatakan ukuran sebagai wakil dari kumpulan data mengenai sesuatu
hal, seperti misalnya penggunaan kata-kata persen dan rata-rata (Sudjana,1986, 2). Harap dibedakan antara kata statistik seperti tersebut di muka danstatistika. Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan fakta, pengolahan serta penganalisisan, penarikankesimpulan serta pembuatan keputusan yang cukup beralasan berdasarkan
fakta dan penganalisisan yang dilakukan. Tidak jauh berbeda dengan pengertian yang telah disebutkan di atas,adalah pendapat Hadi (1995, 1) yang menyatakan bahwa statistika adalahcara-cara ilmiah untuk mengumpulkan, menyusun, meringkas danmenyajikan data penyelidikan untuk kemudian menarik kesimpulan yang telitidan keputusan-keputusan yang logik. Dari berbagai pendapat tersebut di atas maka dapat dirangkumpengertian bahwa statistika adalah : cara ilmiah untuk mengumpulkan,menyusun, meringkas, menyajikan data dan menarik kesimpulan.
2
B. Pentingnya Penguasaan terhadap statistika. Pengetahuan tentang statistika merupakan kemampuan yangdisyaratkan untuk mahasiswa di berbagai disiplin ilmu seperti Ekonomi,Biologi, Pertanian, Kedokteran maupun Psikologi. Disiplin-disiplin ilmu yangpada awalnya merasa tidak memerlukan penguasaan terhadap statistikapunpada akhirnya mengharuskan mahasiswanya untuk paling tidak menguasaistatistika yang sederhana seperti statistika deskriptif (rata-rata; rentang;median; persentil atau distribusi frekuensi dsb.), agar mahasiswanya kelakdapat membaca dan memahami kajian ilmiah. Pemahaman tentang statistika dirasakan lebih terasa penting didalam masyarakat akademik, karena :1. Pembicaraan-pembicaraan di dalam rapat-rapat, seminar maupun pertemuan lain banyak berkaitan dengan data dan menginterpretasikan data.2. Banyak buku, artikel, journal maupun serial lain dalam penulisan dan laporan penelitiannya mempergunakan statistika, sehingga jika pembaca
tidak menguasai statistika maka pemahamannyapun tidak optimal.3. Bagi seorang mahasiswa, penguasaan terhadap statistika akan sangat membantu dalam kelancaran penyusunan tugas akhir atau skripsinya.
C. Konsep-konsep Dasar.1. Variabel Banyak kegiatan yang terjadi setiap hari, seperti misalnya seorang gurumengukur kemampuan bahasa murid-muridnya; seorang pelatih loncat jauhmencatat loncatan anak asuhnya; peternak ayam setiap hari mencatat
produksi telur ayam-ayamnya; dan seorang manajer mengamatiproduktivitas karyawannya adalah kejadian atau aktivitas yang berlangsungsetiap hari. Kemampuan bahasa, jauhnya loncatan, banyaknya telur tiap
hari, produktivitas karyawan, itu semua disebut variabel. Ferguson dan Takane (1989) menyatakan the term variabel refers to aproperty whereby the members of a group or set differ one from another(variabel menunjuk pada suatu sifat/hal dimana anggota-anggotakelompoknya berbeda satu dengan yang lainnya). Anggota suatu kelompokmungkin adalah individual seperti pada contoh : kemampuan bahasa,
jauhnya loncatan, produktivitas karyawan, dimana hasil yang diperolehantara satu individu dengan yang lainnya adalah berbeda; dan mungkin pula
Statistika. Y. Bagus Wismanto 2
3
berbeda secara kelompok seperti pada catatan produksi telur setiap hari darisekelompok ayam yang berbeda dari hari ke hari. Produktivitas karyawansendiri dapat dipandang sebagai variabel yang mempunyai perbedaansecara individual, tetapi juga dapat dipandang sebagai variabel yangmempunyai perbedaan secara kelompok, misalkan saja perbedaanproduktivitas antara kelompok laki-laki dan perempuan. Contoh lain yangmenunjukkan perbedaan kelompok adalah tingkatan sekolah (klas I, II danIII), usia (remaja dan dewasa), warna ruangan (biru, putih, ungu dsb),maupun suku bangsa (Jawa, Sunda, Batak dsb). Jika mengambil salah satu contoh, misalkan diambil dari catatan gurutentang kemampuan bahasa, maka dapat diperoleh :
Tabel I.1.Kemampuan Bahasa Lima Orang Siswa
Nama
Amir
Badut
Choirul
Dugel
Endri
Kemampuan bahasa
74
65
82
7660
Dari contoh tersebut di atas maka kemampuan bahasa disebut sebagaivariabel, akan tetapi angka 74, 65, 82, 76, dan 60 adalah skor atau nilai
variabel, dan skor variabel yang dimiliki masing-masing individu adalah
berbeda satu dengan yang lainnya. Skor-skor dari suatu variabel yang
dimiliki sekelompok subyek ini biasa pula disebut sebagai data. Apabila data
yang diperoleh kemudian dijadikan data untuk penelitian, maka disebut data
penelitian.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa variabel adalah suatu
substansi yang di dalamnya mengandung adanya perbedaan nilai (ada
variasi) antara anggota-anggota substansi tersebut, baik secara individual
maupun secara kelompok.
Statistika. Y. Bagus Wismanto 3
4
2. Klasifikasi Variabel.a. Diskrit dan Kontinyu (discrete/discontinuous dan continuous). Suatu variabel kontinyu dapat diambil dari nilai-nilai yang mempunyai
rentang (range). Variabel kontinyu memiliki nilai yang berseri secara terusmenerus. Antara dua nilai dalam variabel kontinyu tidak dapat ditentukanberapa banyak nilai-nilai yang mungkin ada (tergantung pada satuannya).Berat, tinggi, catatan waktu adalah contoh-contoh dari variabel kontinyu.Antara tinggi badan 160 dan 170 Cm. banyak sekali kemungkinan nilai-nilaidiantaranya. Variabel diskrit hanya dapat diambil dari nilai-nilai spesifik saja, danpasti. Jenis kelamin adalah laki-laki dan perempuan, dan tidak ada jeniskelamin lain diantara dua jenis kelamin tersebut. Jumlah anak dalamkeluarga mungkin adalah 1, 2 atau 3 tetapi diantara nilai-nilai tersebutadalah tidak mungkin lagi. Tidak ada jumlah anak adalah dua setengah(2,5). Antara keluarga dengan anak 2 dan 8, kemungkinan yang adaadalah keluarga dengan jumlah anak 3, 4, 5, 6, atau 7.
b. Nominal, Ordinal, Interval dan Rasio.1) Variabel nominal. Variabel ini sama seperti variabel diskrit, yang ditunjukkan dari sifat anggota-anggotanya yang hanya dapat dikelompokkan sama atau berbeda (diklasifikasi), dan kalau berbeda dapat dimasukkan kedalam kategori secara pasti. Ciri-ciri khusus dari variabel nominal adalah : a) Nilai-nilai variabelnya berfungsi untuk pemberian cap atau
labelling atau identifikasi, seperti pemberian nilai 0 pada jeniskelamin laki-laki dan 1 pada jenis kelamin perempuan. Pemberiannilai 0 dan 1 hanya untuk memberikan cap bahwa nilai 0untuk mereka-mereka dengan jenis kelamin laki-laki dan nilai 1untuk mereka-mereka dengan jenis kelamin perempuan. Dalamcontoh suku bangsa maka dapat diberikan cap/label atau
identifikasi : Suku Sunda = 1; Suku Batak = 2; Suku Ambon = 3 dst.b) Berkaitan dengan pemberian angka/nilai sebagai cap tersebut di atas, maka pemberian nilai tidak mempunyai perbedaan kualitatif maupun kuantitatif. Jenis kelamin lakilaki = 0 bukan berarti laki-laki lebih rendah kualitas maupun kuantitasnya bila dibandingkan
Statistika. Y. Bagus Wismanto 4
5
dengan jenis kelamin perempuan yang diberi nilai 1, yang tampaknya mempunyai nilai lebih tinggi. Oleh karena itu pemberian nilai sebagai cap dapat dibalik, sehingga laki-laki = 1 dan perempuan = 0, dan artinya sama saja.c) Oleh karena pemberian nilai hanya bersifat cap/label saja, maka nilai-nilai tersebut tidak dapat dijumlahkan, dibagi, dikurangkan ataupun dikalikan. Berkaitan dengan contoh suku bangsa, maka tidak dapat dijumlahkan 1 + 2 = 3 atau 1 (Suku Sunda) + 2 (Suku Batak) = 3 (Suku Ambon).d) Dari pemberian cap tersebut, maka dipergunakan untuk mengelom-- pokkan dan menghitung berapa jumlah yang bertanda nilai 0 dan berapa yang bertanda 1. Banyaknya subyek dengan cap 0 menunjukkan banyaknya subyek laki-laki dan jumlah subyek dengan cap 1 menunjukkan banyaknya subyek perempuan.
2) Variabel Ordinal. Dalam suatu lomba lari disebutkan bahwa juara 1 adalah
Ali, juara ke 2 adalah Badut dan juara ke 3 adalah Codet. Dari contohtersebut diketahui bahwa 1, 2, dan 3 adalah urutannya (ordernya), tetapiselisih kecepatan lari antara juara ke 1 dengan juara ke 2 maupun selisih
kecepatan lari antara juara ke 2 dengan juara ke 3 adalah tidak diketahui.Ada kemungkinan selisih antara juara ke 1 dengan juara ke 2 adalah
hanya 0,4 detik, akan tetapi selisih antara juara ke 2 dengan juara ke 3kemungkinan adalah 10 detik. Namun demikian, bagaimanapun jugaorang ke tiga yang masuk finish tetap menduduki urutan atau ranking ke3. Pada kenyataanya Ali, Badut dan Codet adalah juara I, II, dan III.Oleh karena itulah kita sadari bahwa nilai variabel ordinal berfungsi untukpenjenjangan (ranking) dan pengurutan (ordering). Ali di jenjang/diurutan
pertama karena mencapai garis finish yang tercepat, Badut di jenjangkedua dan Codet dijenjang ketiga karena mencapai garis finish setelah Alidan Badut. Contoh lain misalnya ada seorang pengamat yang mengukur
tinggi badan memperoleh hasil : si A = 158, si B = 182, si C = 165, dan siD = 150. Telah diketahui bersama bahwa tinggi badan adalah variabelkontinyu, akan tetapi pengamat tersebut dapat juga mengadakan
modifikasi dengan membuat pengurutan (ordering) atau penjenjangan(ranking), sehingga hasilnya adalah sebagai berikut :
Statistika. Y. Bagus Wismanto 5
6
Tabel I.2.Tabel Tinggi Badan
Subyek si A Si B Si C Si D
Tinggi Badan 158 182 165 150
Urutan 3 1 2 4
Dari contoh tersebut di atas maka diketahui bahwa perbedaan nilai
ordinalnya menunjukkan ada perbedaan urutan atau jenjang saja,akan tetapi perbedaan besaran kuantitatif antar nilai adalah tidakdiketahui (jika tidak melihat nilai originalnya) dan tidak sama besar.
Perbedaan kuantitatif urutan 1 (satu) dan 2 (dua) (182 dengan 165)adalah tidak sama dengan perbedaan kuantitatif urutan 2 (dua) dan 3(tiga) (165 dengan 158). Oleh karena itu terhadap nilai-nilai variabel
ordinal hanya dapat diterapkan notasi sama (=); lebih besar (>);atau lebih kecil (
8
ukurannya. Oleh karena itu ketika si Abas mendapat skor 25 dan si Badumendapat skor 50 bukan berarti kemampuan si Badu adalah dua kali lipatkemampuan si Abas dalam substansi yang diukur tersebut (kemampuanberhitung).Penting untuk dicatat adalah : a. Perlu diasadari adanya variasi stabilitas terhadap construct-
construct psikologi yang ada. Anak yang mendapat skor 25 dalam
kemampuan berhitung, kemampuan berhitungnya dapat berkurangkarena proses lupa dan kurangnya latihan, atau sebaliknyakemampuannya dapat bertambah karena adanya proses belajar danlatihan. Ada construct psikologi yang relatif lama berubah (sikapmisalnya), akan tetapi ada pula construct psikologi yang cepat berubah,misalnya emosi manusia. b. Perlu disadari bahwa setiap hasil pengukuran psikologi selalumengandung adanya kesalahan hasil pengukuran (error). Teori tes klasik
(True Score Classical Theory) menyebutkan bahwa obtained score (raw
score) atau skor yang diperoleh dari pengukuran sebenarnya terdiri dari
true score dan error score. Akan tetapi error score selalu diusahakan
untuk dikontrol, atau diketahui besarannya yaitu dengan estimasi validitasdan reliabilitas.
4. Kolom dan Baris. Berikut ini adalah skema garis besar untuk sebuah tabel dengan nama-nama bagiannya :
Tabel I.3Penunjukan Kolom dan Baris
Judul Kolom I (B1)
Judul Baris I (A1)Judul Baris II (A2)Judul Baris III (A3)
Sel A1, B1(Baris 2, Kolom 2)
Sel A1, B2(Baris 3, Kolom 3)
Sel A3, B3Baris 4, Kolom 4)
Judul Kolom II (B2)
Judul Kolom III (B3) Sel A1, B3(Baris 2, Kolom 4)
Keterangan :
Statistika. Y. Bagus Wismanto 8
9
Keterangan tabel pada umumnya diletakkan di bagian bawah tabel.Pada Umumnya memberikan keterangan terhadap kolom dan baris.
5. Pembulatan Bilangan. Ada beberapa aturan dalam pembulatan bilangan yang harus diketahui : a. Jika angka terkiri yang hendak dihilangkan adalah lebih kecil dari angka lima (
10
Suatu kelompok skor, nilai, hasil pengukuran atau hasil observasi darisuatu variabel disimbolkan X1; X2; X3; . . . ; XN atau Y1; Y2; Y3; . . . ; YN,dimana N menunjukkan jumlah subyek. Perlu dicatat, bahwa terkadang
untuk menunjukkan jumlah subyek, ada pula dalam buku yang berbeda
dipergunakan simbol s (huruf kecil). Huruf-huruf lain sebagai simbol ada
kalanya juga dipergunakan sebagai pengganti X atau Y. Sebagai
contoh diperoleh skor hasil lompat tinggi siswa/i klas 3 sebuah SMP, makasimbol X1 menunjukkan tinggi lompatan subyek yang pertama, X 2menunjukkan tinggi lompatan subyek yang ke dua, X 3 menunjukkan tinggi
lompatan subyek yang ke tiga dan seterusnya hingga XN yang menunjukkantinggi lompatan yang ke N, dan jika jumlah subyek adalah 40, maka XNadalah X40 yang menunjukkan tinggi lompatan subyek yang ke 40. Contohdengan data : diandaikan ada lima orang yang dicatat tinggi lompatannyayaitu 140, 145, 142, 150 dan 146 maka X1 = 140; X2 = 145; X3 = 142; X4 =
150 dan X5 = 146. Untuk menyimbolkan skor suatu variabel ditulis X i dimana I mewakili
suatu subyek dari 1 sampai dengan N, Simbol-simbol J dan K juga seringdipergunakan untuk menggantikan simbol N sebagai subskrip (simbol yangdicetak agak kebawah).
b. Penjumlahan suatu variabel. Penjumlahan sekelompok data, misalkan X1 + X2 + X3 + . . . + XN
dapat diwakili dengan notasi X ii =1
N
makai =1 X i = X 1 + X 2 + X 3 +...+ X NN
Dari persamaan tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut : adalah huruf Yunani (baca : sigma) dan menunjukkan pada operasi
penjumlahan.
Ruas sebelah kiri tanda = dari persamaan tersebut di atas dapat dibaca : sigma Xi dimana I dari 1 sampai dengan N, yaitu penjumlahan dari X yang
pertama sampai dengan X yang terakhir (ke N).
Xii=1
5
berarti penjumlahan Xi dari X yang pertama sampai dengan X ke
5.
Xii= 6
10
berarti penjumlahan Xi dari X yang ke 6 sampai dengan X ke 10.
Statistika. Y. Bagus Wismanto 10
11
Jika 140, 145, 142, 150 dan 146 adalah hasil pengukuran tinggi lompatandari lima orang subyek, maka jumlah dari lima pengukuran tersebut adalah
140 + 145 + 142 + 150 + 146 = 723 atau dapat dinotasikan X i = 723i=1
5
Meskipun sudah ada notasi yang jelas, namun pada prakteknya notasitersebut tidak ditulis secara lengkap dan hanya ditulis Xi atau X saja.
Statistika. Y. Bagus Wismanto 11
12
c. Peraturan-peraturan Notasi Penjumlahan. Terdapat tiga peraturan baku/prinsip yang biasa digunakan untuk notasipenjumlahan, yaitu :1). Prinsip I : Penjumlahan dari perkalian suatu bilangan tetap/konstan (constantnumber = c) dengan suatu variabel, adalah sama dengan perkalian antarabilangan tetap itu dengan penjumlahan skor atau nilai-nilai variabel itu.
i =1 cX i = cX 1 + cX 2 + cX 3 +...+ cX N
= c( X 1 + X 2 + X 3 +...+ X N )
= c X ii =1
N
N
Contoh :
Misalkan terdapat lima buah skor hasil suatu observasi : 20, 21, 18, 19 22dikalikan dengan bilangan tetap/konstan 6 maka hasilnya adalah :
i =1 6 X i =(6 X 20) + (6 X 21) + (6 X 18) + (6 X 19) + (6 X 22)
= 6(20 + 21 + 18 + 19 + 22)= 6 X 100 = 600
5
5
sedangkan X i sendiri adalah 100.i =1
2). Prinsip II : Penjumlahan bilangan tetap (c) sebanyak N buah, adalah samadengan Nc.
i =1 ci = c1 + c2 + c3 +...+ c N = NcN
Contoh :Misalkan bilangan tetapnya adalah 6 dan sebanyak 5 buah, maka :
i =1 6 = 5 X 6 = 305
3). Prinsip III : Penjumlahan dari jumlah beberapa variabel adalah sama denganpenjumlahan dari jumlah itu secara sendiri-sendiri.
Statistika. Y. Bagus Wismanto 12
13
i =1 ( X i + Yi + Z i ) = X 1 + Y1 + Z 1 + X 2 + Y2 + Z 2 +...+ X N + YN + Z N
= X i + Yi + Z ii =1 i =1 i =1
N N N
N
Contoh :
Misalkan empat subyek dites pada dua variabel yang berbeda dan dihasilkanskor : 5, 6,12, 15 untuk variabel X dan 2, 3, 7, 10 untuk variabel Y, makahasilnya adalah :
i =1 X i Yi = (5 X 2) + (6 X 3) + (12 X 7) + (15 X 10) = 2624
d. Notasi untuk Distribusi Frekuensi. Distribusi frekuensi pada umumnya digambarkan dalam tabel sebagai
berikut :
Xi
X1
X2X3
. . .Xk
fi
f1
f2
f3 . . .fk
Simbol k menunjuk pada jumlah skor/nilai-nilai yang berbeda dari Xi da fidimana i bergerak dari 1 sampai dengan k. Penjumlahan variabel ditulis :
i =1 X i = f i X i = f 1 X 1 + f 2 X 2 + f 3 X 3 +...+ f k X k
i =1
N k
Meskipun data dikumpulkan dari N subyek akan tetapi skor subyekdigolongkan ke dalam k kelompok/klas interval, dengan frekuensinya f 1, f2,
f3, . . . , fk.
Statistika. Y. Bagus Wismanto 13
14
Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas dapat diambil contoh dariskor-skor sebagai berikut : 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5. Dari skor-
skor tersebut di atas, N=15 dani =1 X i = 47 .15
Data tersebut dapat disusun ke dalam distribusi frekuensi sebagaiberikut :
Xi
12345
fi
32425
15
fiXi
3 412 8
20
47
Tabel tersebut di atas menunjukkan bahwa skor 1 ada 3 buah; skor 2 ada 2buah; skor 3 ada 4 buah; skor 4 ada 2 buah dan skor 5 ada 5 buah. Jumlahsubyek ada 15, sedangkan jumlah hasil perkalian antara skor dengan
frekuensi adalah 47.
Statistika. Y. Bagus Wismanto 14
15
Soal-soal Latihan :
1. Tulislah soal berikut ke dalam notasi penjumlahan :
a. Y1 + Y2 + Y3 + . . . + YN
b. (X1 + Y1) + ( X2+ Y2) + (X3 + Y3) + . . . + (X7 + Y7)c. X1Y1 + X2Y2 + X3Y3 + . . . + XNYNd. (Y1 + c) +_ (Y2 + c) + (Y3 + c) + . . . + (Y8 + c)e. X1/c + X2/c + X3/c + . . . + XN/c
2. Tulislah notasi berikut ini secara lengkap :
a.
c.
Xi =1
4
i =1
9
i
6
b.
+ Yi )
X Yii =1
5
i
(X i d. Xi =1
i+ 4c
3. Jawablah beberapa pertanyaan berikut ini dengan pilihan jawaban :
a. Nominalb. Ordinalc. Intervald. Rasio 1) Kecepatan mobil per jam 2) Banyaknya jumlah mahasiswa pada suatu perguruan tinggi. 3) Banyaknya kecelakaan setiap hari 4) Angka meteran listrik di rumah 5) Penilaian dosen dalam huruf 6) Nomor punggung pemain sepakbola
Statistika. Y. Bagus Wismanto 15
II. DISTRIBUSI FREKUENSI.
Data yang dikumpulkan dari suatu penelitian, baik itu suatueksperimen maupun survey, kemungkinannya dalam bentuk angka-angka
dan kemungkinan lain adalah dalam bentuk suatu uraian. Untuk lebihmemudahkan dalam memahami data yang diperoleh maka kumpulan datatersebut perlu disusun, diringkas, diklasifikasikan yaitu dalam bentuk
distribusi frekuensi (ingat : diantara tugas statistik adalah meringkas danmenyusun).
A. Distribusi Frekuensi Tunggal. Jika dilemparkan sebuah mata uang sebanyak sepuluh kali dandicatat hasilnya (singkatan G = Gambar pada mata uang dan singkatan A =Angka yang menunjukkan nilai rupiahnya), diperoleh : G, A, G, G, G, A, A,G, G, A. Cukup sulitlah untuk ditarik suatu kesimpulan dari undiantersebut. Hal ini terjadi karena belum diolah, diringkas dan disajikan secarabaik. Bandingkan jika data telah disusun sebagai berikut :
Tabel II.1.Distribusi Frekuensi Undian Mata Uang
Variabel (X) G A Jumlah
Jari-jari/Tally IIIII I IIII -
Frekuensi (f) 6 4 10
Contoh yang berikutnya, misalkan dari hasil ujian matematika klas 3suatu sekolah lanjutan diperoleh hasil sebagai berikut :
98785
65465
47866
76676
48685
97975
Seperti halnya pada contoh kasus undian mata uang tersebut di atas,
maka cukup sulitlah bagi seorang guru untuk menarik kesimpulan dari hasilujian matematuka tersebut. Dari sebaran data cukup sulit untuk melihat
17
berapa siswakah yang tidak lulus dan perlu perhatian secara khusus,berapa orang yang memperoleh nilai memuaskan dan sebagainya. Untuk membantu guru, maka dapat disusun ke dalam sebuahdistribusi frekuensi dengan nilai tunggal atau distribusi frekuensi tunggal.
Untuk proses penyusunannya maka ditempuh dengan cara : 1. Temukan rentangnya, yaitu selisih nilai/skor terendah dengan nilai/skortertingginya. Nilai terrendah adalah 4 dan nilai tertinggi adalah 9, dan nilai-nilai diantara keduanya adalah 5, 6, 7, dan 8. Dengan mengetahui rentang,maka diketahui pula batas paling atas dan batas paling bawah nilainya, danpastilah tidak akan ada nilai yang tidak tercakup dalam tabel yang disusunnanti. Pada umumnya nilai tertinggi diletakkan di bagian atas, akan tetapidalam hal-hal tertentu ada pula yang meletakkan nilai rendah di bagian atas.
2. Setelah nilai disusun dari atas ke bawah maka dapat dihitunglahanggota setiap nilai dengan perhitungan jari-jari/tally.
3. Dengan terhitungnya seluruh anggota kelompok, maka dapat diketahuijumlah anggota setiap nilai atau frekuensi setiap nilai.
Tabel II.2.Hasil Ujian Matematika Klas III SMU
Nilai (X) Jari-jari/Tally
9 8 7 6 5 4Jumlah
IIIIIIIIIIIII IIIIII IIIIIIIIIII-
Frekuensi (f) 3 5 6 8 5 3 30
Setelah di susun dalam suatu distribusi frekuensi tunggal sepertitersebut di atas, maka sangat memudahkan bagi guru untuk mengambil
keputusan dan sikap. Guru akan mengetahui bahwa ada 3 siswa yangmasih harus diperhatikan kemampuannya yaitu mereka yang mendapat nilai4, sedangkan mereka yang berada dibawah nilai 6 ada 8 siswa. Lebih jauh
lagi guru tersebut juga dapat menarik kesimpulan bahwa sebagian besar
Statistika. Y. Bagus Wismanto 17
18
siswa menguasai matematika, karena 22 siswa dari 30 siswa dapatdinyatakan lulus atau menguasai matematika. Dalam penyajiannya secara resmi, distribusi frekuensi tidakmenyertakan kolom jari-jari, karena kolom itu sebenarnya hanyapertolongan untuk menghitung frekuensi agar lebih teliti. Dengan demikian,pada akhirnya kolom nilai langsung diikuti kolom frekuensi.
B. Distribusi Frekuensi Bergolong. Distribusi frekuensi tersebut di atas oleh karena kolom nilai hanyaberisi 1 (satu) nilai saja, maka umum menyebut sebagai distribusi frekuensitunggal. Distribusi frekuensi ini sangat sulit untuk diterapkan pada suatudistribusi dengan sebaran nilai (range) yang begitu lebar. Sebagai contoh dapat diambil dari hasil pengukuran tinggi badan 50siswa dari sebuah Sekolah Menengah Umum, yang hasilnya adalah sebagaiberikut:
170168183158165
138165149162170
186166156166169
150145131174159
152136135138168
162143134149165
154167161168135
147163178173146
159155148172154
158172157158168
Dari sebaran mentah tersebut di atas maka diketahui bahwa rentang(range) nya adalah sangat lebar yaitu R = 186 - 131 = 55. Dengandemikian bila distribusi frekuensi yang dibuat adalah distribusi frekuensitunggal, maka dibutuhkan paling tidak 55 baris dengan konsekuensidiantara nilai yang ditulis terdapat beberapa nilai yang tidak memilikifrekuensi, seperti tergambarkan di bawah ini :
Statistika. Y. Bagus Wismanto 18
19
Tabel II.3Distribusi Frekuensi Tunggal Siswa/i SMU
Nilai(X)186185184183182181180179178177176175174173172
f
100100001000112
Nilai (X)
171170169168167166165164163162161160159158157
f
021412301210231
Nilai(X)156155154153152151150149148147146145144143142
f
112010111211110
Nilai (X) 141 140 139 138 137 136 135 134 133 132 131--------- --
Jumlah
f
0 0 0 2 0 1 2 0 0 0 1---- -50
Untuk mengatasi hal tersebut di atas, maka untuk penyusunan danperingkasan data digunakanlah suatu distribusi dengan penggolongan, yangbiasa disebut sebagai distribusi frekuensi bergolong, karena menggunakan
klas-klas interval sebagai penggolongan.penyusunannya sebagai berikut :
Sedangkan tata cara
1. Tentukan jumlah klas intervalnya. Klas interval pada umumnya antara5 sampai dengan 20 klas. Yang penting adalah klas interval harus
mencakup seluruh rentang nilai. Sebagai contoh, jika nilai terrendah dalamsuatu kelompok data adalah 2 dan nilai tertinggi adalah 38, maka jumlahklas intervalnya dapat ditentukan 13 dengan pengandaian lebar klas intervaladalah 3. Seandainya dihitung rentangnya maka didapatkan R = 38 - 2 = 36,sedangkan cakupan intervalnya adalah 3 kali 13 = 39. Dengan demikiantidak ada nilai atau skor yang tidak tercakup dalam klas interval.
2. Lebar klas interval yang umum dipakai adalah 1, 3, 5, 10 atau 20 nilai.
3. Klas interval dengan nilai tinggi pada umumnya diletakkan di bagianatas. Mulailah penyusunan klas interval, dimana nilai teratas menjadi nilai
Statistika. Y. Bagus Wismanto 19
20
tertinggi. Cara lain adalah dengan pertimbangan penggunaan bilangankelipatan lebar klas intervalnya. Sebagai contoh, jika ditentukan lebar klasintervalnya adalah 5 (lima), maka klas intervalnya dapat dimulai dengan 5,10, 15, 20, 25 dan selanjutnya. Jika lebar klas intervalnya adalah 10, makaklas interval dapat dimulai dengan bilangan 10, 20, 30, 40, dst. atau 11, 21,31, 41 dst.
4. Setelah klas-klas interval tersusun, teliti sekali lagi apakah nilaiterrendah dan nilai tertingginya tercakup dalam seluruh klas interval.
5. Mulailah menghitung frekuensi setiap klas interval. Dengan cara tersebut di atas, maka data tentang tinggi badan siswa/iSMU tersebut di atas dapat disusun distribusi frekuensi bergolong. Dari datayang ada dapat diperoleh rentang (R = 186 - 131 = 55). Jika ditentukanlebar klas interval 10, maka dapat disusun 6 klas interval, dan klas-klasinterval ini dapat mencakup 6 kali 10 = 60 nilai. Dengan demikian sebaran
seluruh data dapat tercakup dalam klas interval. Hasilnya adalah sebagaiberikut :
Tabel II.4Distribusi Frekuensi Bergolong Siswa/i SMU
KlasInterval
180 - 189170 - 179160 - 169150 - 159140 - 149130 - 139
Jari-jari/Tally
IIIIIII IIIIIII IIIII IIIIIIIIII IIIII IIIIIII IIIIIIII I
Frekuensi (f)
2 71512 8 6
50Jumlah
C. Klas Interval, Batas Klas, Batas Nyata dan Titik Tengah. Setiap kelompok nilai variabel disebut sebagai klas interval. Dalam
tabel di atas didapatkan adanya enam klas interval. Klas interval 180 - 189berarti merupakan kelompok nilai-nilai 180; 181; 182; 183; 184; 185; 186;
Statistika. Y. Bagus Wismanto 20
21
187; 188; dan 189. Meskipun yang ditulis hanya 180 - 189 akan tetapikelompok tersebut mencakup nilai-nilai dari 180 sampai dengan 189. Perludiketahui bahwa ada beberapa ahli statistik yang menyebut klas intervalhanya dengan istilah klas atau interval saja.
Dalam distribusi frekuensi bergolong di kenal adanya batas klas, yaitubatas klas atas dan batas klas bawah. Batas klas atas adalah nilai tertinggi
yang ada di dalam klas interval, sedangkan batas klas bawah adalah nilaiterrendah yang ada dalam klas interval tertentu. Setiap klas intervalmempunyai batas atas dan batas bawahnya masing-masing. Dari klasinterval 180 - 189, maka batas atas klas intervalnya adalah 189, sedangkanbatas bawah klas intervalnya adalah 180. Distribusi frekuensi bergolong umumnya dipergunakan pada datayang kontinyu. Apabila dalam pencatatan datanya dilakukan dalam bentukdiskrit/pilah, maka data kontinyu yang ada diperlakukan secara pilah.Dengan demikian data yang dicatat harus tergolong dalam batas-batas
nyata. Batas nyata ini pada umumnya ditentukan dengan : Batas atas
suatu klas interval ditambah batas bawah klas interval di atasnya di bagidua. Oleh karena itu, batas nyata selalu menghasilkan satuan/kalibrasi yanglebih rendah dari data-data yang dibatasinya. Setiap klas interval memiliki titik tengahnya masing-masing. Titik
tengah yaitu suatu nilai yang berada di tengah-tengah klas interval. Titik
tengah ini pada umumnya dipergunakan sebagai suatu nilai yang mewakiliklas interval. Jika suatu klas interval terdiri dari angka 20; 21; 22; 23; 24,maka dapat ditentukan bahwa titik tengahnya adalah 22. Jika suatu intervalterdiri dari angka 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19, maka titik tengah
dapat ditentukan dengan cara menambahkan batas bawah dengan batasatas dari klas interval yang sama, kemudian di bagi dua. Dengan demikiantitik tengah dari klas interval tersebut adalah : 10 ditambah 19 di bagi duasama dengan 14,5. Berdasar distribusi frekuensi yang telah dibuat tersebut di atas, makadapat ditentukan batas atas, batas bawah, batas nyata dan titik tengahnyasebagai berikut :
Statistika. Y. Bagus Wismanto 21
22
Tabel II.5Contoh Batas Atas, Batas Bawah, Batas Nyata dan Titik Tengah
KlasInterval
180 - 189170 - 179160 - 169150 - 159140 - 149130 - 139
BatasAtas
189179169159149139
BatasBawah
180170160150140130
Batas Nyata TitikTengah
184,5174,5164,5154,5144,5134,5
f
179,5 - 189,5169,5 - 179,5159,5 - 169,5149,5 - 159,5139,5 - 159,5129,5 - 139,5
2 71512 8 6
50Jumlah
D. Distribusi Frekuensi Meningkat dan Menurun. Distribusi frekuensi meningkat atau menurun dikerjakan dengan
menambah satu kolom lagi setelah kolom frekuensi, yaitu kolom yangdiperuntukkan frekuensi meningkat/frekuensi kumulatif (fK) atau frekuensimenurun (fT). Frekuensi kumulatif dapat ditentukan dengan menjumlahkan
secara meningkat terhadap frekuensi yang ada. dalam frekuensi meningkatpada akhirnya ditemukan bahwa frekuensi paling tinggi adalah samadengan jumlah selkuruh frekuensi.
Tabel II.6Contoh Frekuensi Meningkat dan Frekuensi Menurun
KlasInterval
180 - 189170 - 179160 - 169150 - 159140 - 149130 - 139
Jumlah
f FrekuensiMeningkat (fK)
5048412614 6
-
FrekuensiMenurun (fT)
2 924364450
-
2 71512 8 6
50
Dari contoh tersebut di atas, maka dapat dijelaskan bahwa di dalamfrekuensi meningkat, frekuensi terrendahnya adalah sama dengan frekuensi
Statistika. Y. Bagus Wismanto 22
23
yang sesungguhnya, akan tetapi semakin ke atas/semakin ke arah nilaiyang lebih tinggi frekuensinya semakin meningkat. Hal tersebut di atasdapat diperoleh dengan menambahkan frekuensi dari klas interval diatasnya. Frekuensi meningkat 14 diperoleh dengan menambahkan 6(frekuensi terrendah) dengan 8 (frekuensi klas interval di atasnya).Frekuensi meningkat 26 diperoleh dengan menambahkan frekuensi yangtelah diperoleh yaitu 14 dengan frekuensi klas interval di atasnya yaitu 12.Demikianlah seterusnya sehingga akhirnya diperoleh frekuensi meningkatpaling atas adalah sama dengan jumlah frekuensi keseluruhan. Di samping frekuensi meningkat kadang-kadang suatu tabel jugamenyajikan frekuensi menurun. Frekuensi menurun dapat diperoleh denganpenentuan frekuensi yang berlawanan dengan proses frekuensi meningkat.Di dalam frekuensi menurun jumlah frekuensi tertinggi (sama dengan jumlahfrekuensi keseluruhan/total) malah berada pada klas interval yang palingrendah. Penambahan frekuensi dimulai dari nilai paling tinggi, menuju kenilai terrendah.
Baik frekuensi meningkat maupun frekuensi menurun, ke duanyadapat pula disajikan dalam bentuk prosentase. Hal ini dapat ditempuhdengan membandingkan antara frekuensi yang ada pada setiap klas interval
dengan jumlah frekuensi secara total.
Statistika. Y. Bagus Wismanto 23
24
SOAL-SOAL LATIHAN.
1. Berikut ini adalah nilai yang dihasilkan dari 40 siswa/i dalam ujian bahasa Inggris.
4296835244
8880626571
3752534972
7576798087
9866696791
9354565982
7373818889
6269758079
Buatlah suatu distribusi frekuensi dan frekuensi meningkat dari datatersebut di atasdengan menggunakan lebar klas interval 5.
2. Tuliskanlah batas nyatanya dan titik tengah pada setiap klas interval, dari distribusi frekuensi yang dihasilkan tersebut di atas.
3. Berikut ini adalah nilai yang dihasilkan dari 50 siswa/i dari suatu ujian.
3151374168
5052384472
3260534564
5461545564
5383525573
6583565874
6675575948
7076624649
7140634748
3641766749
Susunlah ke dalam suatu distribusi frekuensi dengan lebar klas interval 5dan padukankanlah dengan frekuensi meningkat.Tunjukkan pula frekuensi meningkat dalam bentuk prosentase.
4. Tuliskanlah a. Nilai titik tengahnya b. Batas nyata dari distribusi frekuensi tersebut di atas.
5. Tuliskanlah batas nyata dan titik tengah untuk klas interval seperti tersebut di bawah ini : a. 90 - 99 b. 3 - 5 c. 300 -349 d. 50 74 e. 800 - 899
Statistika. Y. Bagus Wismanto 24
III. GRAFIK
Grafik adalah tampilan visual dari suatu kelompok data, yang telahdiolah (diringkas dan disusun), oleh karena itu grafik pada umumnyamerupakan pelaporan dari tabel yang telah disusun, baik itu distribusi
frekuensi tunggal maupun distribusi frekuensi bergolong. Orangbahwa dengan tampilan grafik akan lebih mudah dipahami dankesimpulannya. Untuk menyusun grafik harus dikenal terlebih dahulu yangabsisyangbiasadisimbolkandengansumbuX
menilaidiambil
disebut(sumbu
mendatar/horizontal) yang mewakili nilai-nilai variabel dan ordinat yang
disimbolkan dengan sumbu Y (sumbu tegak/vertikal) yang mewakilifrekuensi nilai. Seperti telah diketahui bahwa huruf X didalam distribusi
frekuensi memang untuk mewakili nilai-nilai variabel, akan tetapi huruf Ydidalam distribusi frekuensi diwakili oleh huruf f. Oleh karena itu disampingkiri sumbu Y dapat ditambahkan kata frekuensi, dan dibawah sumbu Xdapat pula dituliskan nama variabelnya, hal ini adalah untuk memudahkanpembaca. Panjang sumbu X dan Y secara proporsional adalah 3 : 2, namunbila dikehendaki berbeda adalah boleh saja, sejauh penampilannya tidak
membingungkan pembaca. Ada berbagai macam grafik, akan tetapi dalam hal ini hanya akandibicarakan tiga model yang paling pokok, yaitu Histogram,
poligon/frekuensi poligon dan ogive atau poligon dengan frekuensi
meningkat.
A. Histogram. Histogram adalah grafik dimana tampilannya dalam bentuk balok-balok atau segi empat-segi empat yang didirikan tegak diatas nilai-nilaivariabelnya atau selebar klas intervalnya pada sumbu absisnya (sumbu X).Nilai-nilai variabel ini dapat berupa batas klas interval, dapat pula diwakilioleh titik tengahnya. Ada pula beberapa penyaji grafik yangmempergunakan batas nyata klas interval sebagai tempat berpijak balokatau segi empat, dengan tujuan agar dalam tampilannya tidak ada jarakantara balok yang satu dengan yang lainnya. Untuk melengkapi histogram,dapat ditambahkan pula keterangan grafik yang diletakkan di bawah
26
gambar. Sedangkan sumbu tegaknya (sumbu Y) mencerminkan besarkecilnya frekuensi. Sebagai contoh kita pergunakan tabel distribusi frekuensi tinggibadan siswa/i SMU pada bab 3 diatas, yaitu sebagai berikut :
Tabel III. 1Distribusi Tinggi Badan Siswa/i SMU
Klas Interval180 - 189170 - 179160 - 169150 - 159140 - 149130 - 139
Batas nyata
179,5 - 189,5169,5 - 179,5159,5 - 169,5149,5 - 159,5139,5 - 149,5129,5 - 139,5 Jumlah
TitikTengah 184,5 174,5 164,5 154,5 145,5 134,5
Frekuensi (f)
2 71512 8 650
Dari tabel tersebut di atas dapat disajikan ke dalam bentuk grafik seperti
yang ada di bawah ini :t f
16
14
12
10
8
6
4
2
0
129.5 139.5 149.5 159.5 169.5 179.5 189.5Tinggi Badan
Gam bar III.1. Histogram Tinggi Badan 50 siswa siswi SMU.
Penting untuk diperhatikan bahwa nama tabel pada umumnya diletakkan di
atas tabel yang dibuat dan tanpa diakhiri dengan tanda titik, sedangkannama gambar pada umumnya diletakkan di bagian bawah gambar, dandiakhiri dengan tanda titik. Hal-hal tersebut adalah ketentuan yang bersifatumum, namun apabila ada yang menyajkan dengan cara yang berbeda, halitu adalah hak pembuat tabel atau gambar, karena yang terpenting adalahdapat dipahaminya tabel atau gambar oleh pembaca. Apabila diperlukan,
Statistika. Y. Bagus Wismanto 26
27
tabel atau gambar dapat dilengkapi dengan keterangan untuk memperjelas,dan biasanya diletakkan dibawah tabel atau gambar.
B. Poligon. Secara prinsip perbedaan antara histogram dan poligon adalah padapenampilannya. Histogram penampilannya mempergunakan balok-balokatau kotak-kotak yang berdiri di atas titik tengah atau batas klas, makapoligon penampilannya berbentuk garis yang mengikuti tinggi rendahnyafrekuensi. Garis frekuensi ini umumnya mengikuti titik-titik pertemuan antarafrekuensi klas dan titik tengahnya. Lebih jauh lagi histogram dalampenampilannya tampak bahwa seolah-olah frekuensi klas interval adalahmerata diseluruh nilai-nilai klasnya, sedangkan poligon menunjuk titiktengah sebagai wakil dari klas interval. Awal garis poligon sebaiknya dihubungkan dengan titk tengah klasinterval dibawahnya yang frekuensinya adalah nol, demikian pula akhir garispoligon juga dihubungkan dengan titik tengah klas interval di atasnya, yang
juga mempunyai frekuensi nol.
f
16
14
12
10
8
6
4
2
0
129.5 139.5 149.5 159.5 169.5 179.5 189.5 199.5Tinggi Badan
Gam bar III.2. Poligon Tinggi Badan 50 siswa sisw i SM U.
C. Ogive. Sesuai dengan judulnya, ogive adalah tidak jauh berbeda dengan
poligon, akan tetapi frekuensi yang dipergunakan adalah frekuensimeningkatnya. Dengan kata lain, ogive adalah grafik dengan tampilan garis,
dimana garis tersebut dibentuk berdasarkan titik-titik pertemuan antara
frekuensi meningkatnya dengan batas nyata klas interval.
Statistika. Y. Bagus Wismanto 27
28
Ada dua pokok yang membedakan antara poligon dan ogive, yaitu : a. Poligon disusun berdasarkan pada frekuensi tiap klas intervalnya,sedangkan ogive disusun berdasarkan frekuensi meningkat/kumulatifnya, b. Poligon berdasar disusun berdasar titik tengah tiap klas interval,sedangkan ogive disusun berdasar batas nyata klas interval. Hal inidisebabkan karena frekuensi meningkat berakhir di setiap akhir klas interval,seperti yang terlihat pada tabel. Sebagai contoh frekuensi 14adalah frekuensi maksimal yang diperoleh sampai dengan batas klas 149.Jika yang dipergunakan adalah titik tengahnya (yaitu 144,5) maka masihada kemungkinan diketemukannya nilai-nilai di atas nilai 144,5, yaitu nilai145, 146, 147, 148 dan 149. Dalam kenyataannya ada satu nilai 145; ada
satu nilai 146; ada dua nilai 147; ada satu nilai 148 dan ada satu nilai 149.
Dengan demikian jika frekuensi meningkat yang dipergunakan adalah 144,5maka berarti ada enam frekuensi yang tidak tercakup.
Untuk jelasnya, perhatikan gambar ogive di bawah ini.
fk
5048
41
30
26
20
14
6
0
129.5 139.5 149.5 159.5 169.5 179.5 189.5Tinggi Badan
G am bar III.3. Ogive Tinggi Badan 50 siswa siswi SM U.
4. Grafik model lain. Grafik yang sering pula dipergunakan oleh para statistikawan adalah
grafik dalam bentuk serabi atau pie. Grafik ini mengasumsikan bahwa serabiyang utuh bulat mewakili jumlah seluruh subyek. Oleh karena itu pembagianserabi tergantung prosentase masing-masing bagian.
Statistika. Y. Bagus Wismanto 28
29
calon I
calon II
calon III
calon IV
Gambar III.4. Grafik SerabiKomposisi Suara Pemilihan Calon Kepala Desa
Statistika. Y. Bagus Wismanto 29
30
SOAL-SOAL :
1. Di bawah ini adalah angka-angka yang menunjukkan prosentase pendapatan keluarga di kota Ungaran yang mereka belanjakan untuk bahan makanan.
242045593641
343942425348
464335515638
444632455225
224757262446
521732464335
223924414748
284260485430
374359413145
394155252832
a. Susunlah angka-angka tersebut ke dalam sebuah distribusi frekuensi yang paling tepat/sesuai menurut Saudara.b. Gambarkanlah Histogram, dan poligonnya.
2. Seorang guru menyusun distribusi frekuensi dari angka-angka ujian yang diperoleh dari pengamatan 100 orang murid. Guru tersebut memperoleh pencaran sebagai berikut :
Angka Ujian
0,0 - 9,910,0 - 19,920,0 - 29,930,0 - 39,940,0 - 49,950,0 - 59,960,0 - 69,970,0 - 79,980,0 - 89,990,0 - 99,9
JumlahMurid 0 0 1 1 0 17 52 25 3 2 100
a. Bagaimanakah pendapat Saudara mengenai susunan distribusi frekuensi itu .b. Jika Saudara ingin mendapat keterangan yang lebih banyak dari data yang tersusun di dalam distribusi frekuensi itu, perubahan-perubahan apakah yang Saudara lakukan ?c. Bandingkanlah histogram dari distribusi frekuensi di atas dengan distribusi frekuensi yang Saudara perolehsesudah melakukan perubahan yang tersebut pada (b).
Statistika. Y. Bagus Wismanto 30
31
3. Misalkan terdapat sebuah distribusi frekuensi sebagai berikut :
Kelas ke : 1Frekuensi
2:5
313
440
52
611
720
813
913 1
Kelas-kelas tersebut mempunyai interval yang sama. Jelas kelihatanbahwa distribusi itu tidak baik bentuknya. Anjuran apakah yang dapatdiberikan untuk memperbaikinya ?
Statistika. Y. Bagus Wismanto 31
32
IV. KECENDERUNGAN KE PUSAT
Kecenderungan ke pusat biasa pula disebut kecenderunganpemusatan yaitu beberapa teknik pengukuran terhadap sekelompok data
untuk diketahui pemusatannya. Untuk mengetahui gambaran darisekelompok data dapat dicari suatu bilangan yang dapat mewakili kelompok
data tersebut. Sebagai contoh telah dijelaskan dimuka bahwa titik tengahklas interval dapat dianggap sebagai suatu angka yang mewakili klasintervalnya. Pada pembahasan kali ini angka yang dimaksudkan bukanuntuk mewakili suatu klas interval tapi dapat mewakili satu kelompok dataatau suatu sebaran data. Angka-angka yang dapat mewakili sekelompok data tersebutdiantaranya adalah nilai Mode, nilai rata-rata, dan nilai median.
A. Mode atau Modus.
Pada tahun 1960 an banyak remaja yang memakai celana, sepatudan potongan rambut seperti yang dikenakan para pemain band thebeatles ; pada tahun 1980 an banyak remaja putri yang meniru potongan
rambut Putri Diana dari Kerajaan Inggris (Lady Di) atau pada tahun 1990 anpara remaja putri meniru potongan rambut Demi moore (aktris dari filmGhost). Itu semua dikatakan sebagai mode, karena begitu banyak remajayang berpenampilan sama. Jika terdapat sepuluh siswa mendapat nilai bahasa indonesiasebagai berikut : 5, 6, 7, 7, 6, 7, 8, 7, 7, 6. Maka dapat dilihat bahwa nilai 7adalah yang paling banyak diperoleh oleh siswa, maka dapat dikatakanbahwa modenya adalah nilai 7. Mode atau modus adalah suatu nilai atau suatu golongan gejala yangpaling banyak terjadi, atau paling besar frekuensinya. Kadang-kadang jugadikatakan bahwa mode adalah nilai yang paling populer. Mode sangat mudah ditentukan. Periksa dan teliti saja distribusi
frekuensinya (baik tunggal maupun bergolong) dan lihat nilai atau klasinterval yang paling tinggi frekuensinya. Nilai atau atau titik tengah dari klasinterval itulah yang modenya. Mode adalah alat yang paling cepat untuk menaksir kecenderunganpemusatan nilai dalam distribusi, namun sifatnya sangat kasar, meskipunmasih lebih baik dari sekedar terkaan yang sembarangan. Mode sangat
Statistika. Y. Bagus Wismanto 32
33
cocok untuk menggambarkan kasus-kasus yang tipikal. Keuntungan darimode adalah tidak terpengaruh oleh nilai-nilai yang ekstrem. Ada pula yang mengusulkan modus harus disampaikan dalam nilaiatau skor yang pasti. Untuk nilai yang pasti ini, mode dapat ditentukandengan rumus sebagai berikut :
f1 Mod = Bb + i f 1+ f 2
dimana :Bb = Batas bawah nyata pada klas interval yang memuat mode
f 1 = Frekuensi klas interval yang memuat mode dikurangi frekuensi klas
interval di bawahnya
f 2 = Frekuensi klas interval yang memuat mode dikurangi frekuensi klas
i
interval di atasnya= lebar klas interval.
Sebagai contoh akan dipergunakan tabel tinggi badan siswa siswi sebuahSMU di bawah ini :
Tabel IV.1Distribusi Tinggi Badan Siswa/I SMU
Klas Interval (X)
180 - 189 170 - 179 160 - 169 150 - 159 140 - 149 130 - 139Jumlah
f
2 71512 8 650
Berdasarkan data tersebut di atas maka modus nya dapat dihitungdengan langkah-langkah sebagai berikut :1. Klas interval yang memuat mode adalah klas interval 160 169.2. Batas bawah nyata klas interval tersebut adalah 159,5
3. f 1 = 15 12 = 3
Statistika. Y. Bagus Wismanto 33
34
4. f 2 = 15 7 = 8
5. i = 10
3 sehingga akan diperoleh hasil : Mod = 159,5 + 10 = 162,2273. 3 + 8 Dari perhitungan tersebut di atas diperoleh bahwa modus daridistribusi frekuensi adalah 162,23. Sedangkan secara kasar dari distribusifrekuensi yang ada dapat pula dinyatakan bahwa modusnya adalah titik
tengah pada klas interval yang memiliki frekuensi yang terbanyak, yaitu164,5 yang diperoleh dari 160 + 169 dibagi 2.
B. Nilai Rata-rata.
Seandainya ada tiga orang memiliki uang, misalnya Abi mempunyaiuang Rp 100,-; Badut memiliki Rp 200,- dan Codet memiliki Rp 300,-, makasecara mudah dapat ditentukan bahwa mereka rata-rata mereka memilikiuang Rp 200,-. Dalam hal ini dapat diandaikan Abi sebagai X1 = Rp 100,-;Badut sebagai X2 = Rp 200,- dan Codet sebagai X3 = Rp 300,- . Maka
Nilai rata-rata dalam kasus ini diperoleh dari X1 + X2 + X3 dibagi jumlahsubyek (n) yaitu tiga orang. Uang rata-rata mereka = Rp 100,- + Rp 200,- +Rp 300,- : 3 = Rp 200,-
X1+ X 2 + X 3Rata rata = X == n
Xn
1. Mencari nilai rata-rata pada distribusi frekuensi tunggal. Untuk pencarian nilai rata-rata yang sudah tersusun dalam suatu
distribusi frekuensi tunggal, maka penghitungannya dapat dilakukan dengancara : a. Setiap nilai tunggal yang ada dalam kolom nilai (X) harus dikalikanterlebih dahulu dengan jumlah frekuensinya. Pada tebel III di muka, nilai 9mempunyai jumlah frekuensi 3, yang berarti pula bahwa nilai 9 ditemui
sebanyak 3 kali dengan demikian jumlah nilai 9 adalah 27 (9 kali 3). b. Mengkalikan semua nilai dengan frekuensinya masing-masing. c. Menjumlahkan hasil perkalian (antara nilai dan frekuensi)tersebutdiatas.
Statistika. Y. Bagus Wismanto 34
35
d. Membagi hasil perkalian nilai dan frekuensinya masing-masing denganjumlah seluruh subyek (n). Jumlah n sama dengan jumlah f. Hasilnya adalahsebagai berikut :
Tabel IV.2Perkalian Nilai variabel dan Frekuensinya
X
987654
f
356853
30
fX
274042482512
194
2. Mencari nilai rata-rata pada distribusi frekuensi bergolong. Untuk distribusi frekuensi bergolong cara penghitungan nilai rata-
ratanya tidak jauh berbeda dengan cara penghitungan nilai rata-rata padadistribusi frekuensi tunggal. Hanya saja dalam distribusi bergolong harusditentukan terlebih dahulu titik tengahnya sebagai nilai yang mewakili klasinterval. Cara penentuan titik tengah telah dibahas di bab yang mendahului.
Setiap titik tengah yang mewakili klas interval kemudian dikalikan denganmasing-masing frekuensi setiap klas intervalnya. Jumlah dari perkalian titik
tengah dengan frekuensinya masing-masing kemudian dibagi denganbanyaknya subyek (n). Nilai yang dihasilkan adalah nilai rata-rata. Seandainya di ambil tabel III.4 sebagai contoh, maka nilai rata-rata
akan diperoleh sebagai berikut :
Statistika. Y. Bagus Wismanto 35
36
Tabel IV.3Perkalian Titik Tengah Klas Interval dan Frekuensi
Klas Interval (X)
180 - 189170 - 179160 - 169150 - 159140 - 149130 - 139
Titik Tengah f fX
184,5174,5164,5154,5144,5134,5
Jumlah
2 71512 8 6
50
3691221.52467.518541156 807
7875
Maka nilai rata-rata yang diperoleh dari distribusi bergolong tersebut
di atas adalah:
X= fX
n
Dengan demikian dapat diperoleh nilai rata-rata = 7875 : 50 = 1575.
C. Median. Median adalah suatu nilai atau bilangan yang membatasi setengah(50 %) frekuensi berada dibagian bawah nilai median dan separuh lagi (50%) berada di bagian atas dari nilai median. Jika seandainya ada 5 orang mempunyai berat badan : 40; 42; 72; 60
dan 54 maka untuk menentukan mediannya, nilai-nilai tersebut harusdisusun dalam urutan yang benar, yaitu :
X (nilai) : 40Urutan :
421
54 2
60 3
72. 4 5
Maka nilai mediannya adalah 54, karena ada dua orang dibawah nilai
median (54) dan ada dua orang pula diatas nilai tersebut. Lain halnya jika ada enam orang yang mempunyai berat badan :
X:Urutan :
401
422
54 3
60 4
72 5
73 6
Statistika. Y. Bagus Wismanto 36
37
maka nilai mediannya adalah nilai yang berada di pertengahan antara nilai54 dan 60, atau 54 + 60 / 2 = 57. Untuk menentukan nilai median dari suatu distribusi frekuensibergolong, maka langkah-langkah yang garus diambildalampenghitungannya adalah seperti di bawah ini :
Seandainya diperoleh distribusi bergolong inteligensi dari 60 orangadalah : Tabel IV. 4 Distribusi Inteligensi 60 Orang
KlasInterval
125 - 129120 - 124115 - 119110 - 114105 - 109100 - 104 95 - 99
Jumlah
Frekuensi (f)
3 7122011 5 2
60
Frekuensi Meningkat (fK)
6057503818 7 2
-
Frekuensi Menurun (fT)
3102242535860
-
a. Telah diketahui bahwa jumlah seluruh subyek adalah 60 orang. Separuh dari jumlah tersebut adalah 30 orang (50 % X 60).b. Nilai median dapat dipastikan berada dalam klas interval 110 - 114,
karena jika dihitung baik dari frekuensi meningkat maupun frekuensimenurun, subyek sejumlah 30 (50%) berada didalam klas intervaltersebut.
c. Jika dihitung dari klas interval yang terrendah, maka sampai dengan batas nyata 109,5 sudah terdapat 18 subyek, maka untuk mencapai jumlah subyek 30 orang diperlukan 12 orang lagi dari jumlah 20 subyek yang berada dalam klas interval 110 - 114 (yang mempunyai 5 nilai klas).d. Seandainya ke 20 orang anggota klas interval tersebut tersebar merata ke dalam 5 nilai klas, maka tiap nilai mempunyai jumlah subyek sebanyak 20 : 5 = 4 orang. Oleh karena itu untuk 12 orang yang dibutuhkan maka diperoleh dari 3 nilai klas interval yaitu 110; 111;
Statistika. Y. Bagus Wismanto 37
38
dan 112. Dengan demikian nilai mediannya adalah 112,5(pertengahan/titik tengah antara nilai 112 dan 113). Dapat puladiperoleh dari 109,5 (batas atas nyata dari 18 subyek) ditambah 3 nilai(jumlah 12 orang subyek yang dibutuhkan), sehingga 109,5 + 3 =
112,5.
Dengan demikian median dapat ditemukan dengan rumus :
N / 2 fkb iMedian= Med = Bb + fm dimana : Bb = batas bawah nyata dari klas interval yang memuat median
fkb = frekuensi meningkat sampai dengan klas interval dibawah Bb
fm = frekuensi di dalam klas interval yang memuat median. i= lebar klas interval.Hasil perhitungannya adalah :
60 18 Med = 109,5 + 2 5 = 112,5 20
D. Kurve dan letak Nilai Rata-rata, Mode dan Mediannya. Telah dibicarakan di muka bahwa kurve pada hakekatnya adalah
poligon, akan tetapi garis poligonnya telah dihaluskan sehingga tidaktampak terpatah-patah. Garis kurve tentu saja akan mengikuti tinggirendahnya frekuensi nilai. Oleh karena itu antara sumbu X dan tingginyagaris kurve mencerminkan banyaknya frekuensi.
Berdasarkan pengertian tersebut di atas, maka macam-macam bentukkurve ditentukan oleh (1) lebar-sempitnya rentang nilai (selisih nilai tertinggidan nilai terrendah) yang akan menentukan lebar-sempitnya kaki kurve dan(2) frekuensi masing-masing nilai yang akan menentukan tinggi-rendahnyagaris kurve.
Statistika. Y. Bagus Wismanto 38
39
Ada beberapa macam kurve, antara lain :1. Kurve mesokurtik,
MeanMedian Modus
2. Kurve Platikurtik
MeanMedianModus
3. Kurve Leptokurtik
Mean
MedianModus
Statistika. Y. Bagus Wismanto 39
40
Soal-soal latihan :
1. Dari data-data berikut ini hitunglah nilai rata-rata dan mediannya : a. 1, 4, 5, 7, 9. b. 3, 7, 15, 26, 45. c. 4, 23, 28, 35, 41, 54. d. 0, 0 , 0, 7, 9, 25 ,126.
2. Dibawah ini adalah suatu distribusi frekuensi dari suatu penelitian :
Klas Interval
90 - 9980 - 8970 - 7960 - 6950 - 5940 - 4930 - 39
Jumlah
Frekuensi
6
1220261513 8
100
Tentukanlah nilai mode; rata-rata dan mediannya.
3. Dari 140 orang mahasiswa yang diamati, terdapat distribusi frekuensi dari uang saku mingguannya sebagai berikut :
Uang Saku
Rp 600,- - 699,- 700,- - 799,-
800,- - 899,-
900,- - 999,-1000,- - 1099,-
1100,- - 1199,-
1200,- - 1299,-
Frekuensi
316
25
46
35
13 2
Statistika. Y. Bagus Wismanto 40
41
a. Gambarkanlah poligon dan Histogram dari distribusi frekuensi tersebut dalam suatu koordinat.b. Berapakah uang saku rata-rata (hitung) dari seratus 140 orang mahasiswa tersebut.c. Berapakah median dan modus dari uang saku tersebut ?
4. Dua buah perusahaan menghasilkan bola lampu, yaitu perusahaan X dan Y. Ke dua perusahaan tersebut menyatakan bahwa masing-masing menghasilkan bola lampu yang lebih tahan dipakai dari yang lain. Berhubung dengan itu, seorang mencoba memeriksa kebenaran dari pernyataan ke dua perusahaan itu. Orang tersebut mengambil lima buah bola lampu masing-masing dari kedua perusahaan itu untuk pemeriksaan. Bola dari perusahaan X tahan menyala terus menerus selama 536; 446; 548; 480; dan 470 jam, sedang bola yang dihasilkan perusahaan Y tahan menyala terus menerus selama 512; 468; 420; 520; dan 500 jam. Pernyataan perusahaan yang manakah yang benar ?
Statistika. Y. Bagus Wismanto 41
V. KUARTIL, DESIL, DAN PERSENTIL
A. Kuartil. Seperti halnya median, kuartil mempunyai prinsip yang relatif sama.Perbedaannya terletak pada prosentase pembagian frekuensi / jumlah
subyeknya. Pada median jumlah subyek dibagi dua bagian sama besar,yaitu masing-masing bagian 50 %. Pada kuartil pembagian subyek dibagikedalam empat bagian yang sama besar/sama banyak, yaitu masing-masing25 % (kwartaal, bahasa Belanda berarti tiga bulan atau 1/4 tahun). Pada
median hanya terdapat satu nilai median (yang membagi frekuensi / subyekmenjadi dua bagian sama besar), sedangkan pada kuartil terdapat tiga nilaikuartil (K1; K2 dan K3) yang membagi distribusi nilai menjadi empat bagianyang besar. Dengan demikian dapat di gambarkan :
Kuartil 1 (K1) adalah suatu nilai yang membagi frekuensi/subyek di dalam
suatu distribusi, 1/4 (25 %) berada di bawah nilai K1 dan 3/4(75%) berada di atas nilai K1.
Kuartil 2 (K2) adalah suatu nilai yang membagi frekuensi/subyek di dalam suatu distribusi 2/4 (50%) berada di bawah nilai K2 dan 2/4
(50%) berada di atas nilai K2. Kuartil 2 sama dengan Median.
Kuartil 3 (K3) adalah suatu nilai yang membagi frekuensi/subyek di dalam suatu distribusi 3/4 (75%) berada di bawah nilai K3 dan 1/4 (25%) berada diatas nilai K3.
Langkah-langkah untuk menemukan nilai kuartil pun sama denganlangkah-langkah yang dilakukan dalam penentuan median, yaitu :
1. Susunlah nilai frekuensi meningkatnya (fk).
2. Hitunglah untuk K1 :14 X jumlah subyek
2 X jumlah subyek 4 3 K3 :X jumlah subyek 4Penghitungan tersebut di atas dimaksudkan untuk menentukan pada
K2 :
klas interval manakah letak K1, K2, K3.3. Tentukanlah kelas interval yang memuat K1, K2 atau K3 nya.
43
4. Tentukan batas bawah nyata klas interval yang memuat K1, K2 atau K3.5. Tentukan :fkb : frekuensi meningkat sampai dengan kelas interval dibawah kelas interval yang memuat K1, K2 atau K3, atau sampai dengan di bawah BbfK : frekuensi di dalam kelas interval yang memuat K1, K2 atau K3i: lebar kelas intervalnya.
Rumusnyapun sebenarnya merupakan perubahan dari rumus median(ingat bahwa K2 sama persis dengan median), yaitu :
1 / 4 N fkb K1 = Bb + i fK
2 / 4 N fkb K 2 = Bb + i fK
3 / 4 N fkb K 3 = Bb + i fK
dimana :Bb adalah batas bawah nyata klas interval yang memuat K1, K2 atau K3fkb adalah frekuensi meningkat sampai dengan klas interval dibawah Bb
fK adalah frekuensi di dalam klas interval yang memuat K1, K2 atau K3i adalah lebar klas interval.
B. Desil dan Persentil. Kuartil, Desil dan Persentil sebenarnya merupakan satu kesatuan
dalam pengertian. Hal yang membedakan antara ketiganya hanya padajumlah pembagian subyek atau frekuensinya saja. Telah diketahui bahwadalam kuartil distribusi data/subyek dibagi ke dalam empat bagian yang
sama banyak/sama besar, maka pada desil distribusi data di bagi ke dalamsepuluh bagian yang sama besar, dimana masing-masing bagian mendapat1/10 (10%) dan pada persentil distribusinya dibagi kedalam seratus bagianyang sama besar, dimana msing-masing bagian mendapat 1/100 atau 1 %saja. Apabila diformulasikan, maka pengertian desil adalah : Desil 1 (D1) adalah suatu nilai yang membagi frekuensi/subyek di dalam suatu distribusi, 1/10 (10%) berada di bawah nilai D1 dan 9/10 (90%) berada di atas nilai D1.
Statistika. Y. Bagus Wismanto 43
44
Desil 2 (D2) adalah suatu nilai yang membagi frekuensi/subyek di dalam suatu distribusi, 2/10 (20%) berada di bawah nilai D2 dan 8/10 (80%) berada di atas nilai D2.Desil 5 (D5) adalah suatu nilai yang membagi frekuensi/subyek di dalam suatu distribusi, 5/10 (50%) berada di bawah nilai D5 dan 5/10 (50%) berada di atas nilai D5.Desil 7 (D7) adalah suatu nilai yang membagi frekuensi/subyek di dalam suatu distribusi, 7/10 (70%) berada di bawah nilai D7 dan 3/10 (30%) berada di atas nilai D7.maka secara umum dapat dinyatakan Desil ke k (Dk) adalah suatu nilai yang membagi frekuensi/subyek di dalam suatu distribusi, k/10 berada di bawah Dk dan 10-k/10 berada di atas nilai Dk.
Sedangkan pengertian persentil adalah :Persentil 1 (P1) adalah suatu nilai yang membagi frekuensi/subyek di dalam suatu distribusi, 1/100 (1%) berada di bawah nilai P1
dan 99/100 (99%) berada di atas nilai P1.Persentil 27 (P27) adalah suatu nilai yang membagi frekuensi/subyek di dalam suatu distribusi, 27/100 (27%) berada dibawah nilai P27
dan 73/100 (73 %) berada di atas nilai P27.Persentil 50 (P50) adalah suatu nilai yang membagi frekuensi/subyek di
dalam suatu distribusi, 50/100 (50%) berada bi bawah nilai P50 dan 50/100 (50%) berada di atas nilai P50.Persentil 99 (P99) adalah suatu nilai yang membagi frekuensi/subyek di dalam suatu distribusi, 99/100 (99%) berada di bawah nilai P99
dan 1/100 (1%) berada di atas nilai P99.maka secara umum dapat dinyatakan Persentil ke k (Pk) adalah suatu nilai yang membagi frekuensi/subyek di dalam suatu distribusi, k/100 berada dibawah Pk dan 100-k/100 berada di atas nilai Pk.
Proses mendapatkan nilai-nilai desil dan persentilpun tidak berbedadengan proses mendapatkan nilai median maupun kuartil. Demikian pularumusnya, hanya merupakan perluasan atau perubahan dari rumus median
maupun kuartil. Rumus Desil :
Statistika. Y. Bagus Wismanto 44
45
1 / 10 N fkb D1 = Bb + i fD 8 / 10 N fkb D8 = Bb + i fD
3 / 10 N fkb D3 = Bb + i fD
Secara umum rumus desil dapat ditulis :
Rumus Persentil :
k / 10 N fkb Dk = Bb + i fDk
4 / 100 N fkb P 4 = Bb + i fP 73 / 100 N fkb P 73 = Bb + i fP
47 / 100 N fkb P 47 = Bb + i fP 92 / 100 N fkb P 92 = Bb + i fP
k / 100 N fkb secara umum : Pk = Bb + i fPk
dimana :
Bb adalah batas bawah nyata dari klas interval yang memuat Desil atau
Persentil
fkb adalah frekuensi meningkat sampai dengan klas interval di bawah Bb
fD atau fP adalah frekuensi di dalam klas interval yang memuat Desil atau
Persentil
I adalah lebar klas interval.
Dari penjelasan di atas, maka tampaklah bahwa Median (Med) = K2 = D5 =
P50.Sebagai contoh proses penghitungan, dapat diambil dari suatu kumpulandata pengukuran ketelitian menghitung huruf, yang distribusi frekuensinya
tergambar di bawah ini :
Statistika. Y. Bagus Wismanto 45
46
Tabel V.1.Ketelitian Menghitung Huruf
Klas interval
65 - 6960 - 6455 - 5950 - 5445 - 4940 - 4435 - 3930 - 3425 - 2920 - 2415 - 1910 - 14Jumlah
frekuen si 1 6 11 13 17 33 32 32 23 24 7 1 200
frekuensimeningkat 200 199 193 182 169 152 119 87 55 32 8 1
Dari data tersebut dapat dihitung :
Desil 1 :
1. 1/10 N = 1/10 dari 200 = 20
2. Dilihat dari frekuensi meningkatnya, maka D1 terletak di dalam klas interval 20 - 24.3. Batas bawah nyata (Bb) klas interval 20 - 24 adalah 19.54. Frekuensi di dalam klas interval yang memuat Desil 1 (fD) adalah 24
5. Frekuensi meningkat sampai dengan Bb (fkb) adalah 86. Lebar klas interval adalah 5
20 8 Dengan demikian, D1 = 19.5 + 5 = 22 24
Desil 4 :1. 4/10 N = 4/10 dari 200 = 802. D4 terletak dalam klas interval 30 - 34 (lihat frekuensi meningkatnya !!)3. Batas bawah nyata klas interval 30 - 34 adalah 29.54. Frekuensi di dalam klas interval yang memuat Desil 4 (fD) adalah 325. Frekuensi meningkat sampai dengan Bb (fkb) adalah 55
6. Lebar klas interval adalah 5.
Statistika. Y. Bagus Wismanto 46
47
Dengan demikian, 80 55 D4 = 29.5 + 5 = 33.406 32
Persentil 9 :1. 9/100 N = 9/100 dari 200 = 182. P9 terletak di dalam klas interval 20 - 243. Batas bawah nyata klas interval 20 - 24 adalah 19.54. Frekuensi di dalam klas interval yang memuat P9 (fP) adalah 245. Frekuensi meningkat sampai dengan Bb (fkb) adalah 8
6. Lebar klas interval adalah 5
18 8 Dengan demikian, P9 = 19.5 + . 5 = 2158 24
176 169 P83 = 49.5 + 5 = 52.19 13
Telah disebutkan bahwa Median = K2 = D5 = P50, dapat dibuktikan :
Median = 1/2 N = 1/2 X 200 = 100Kuartil 2 = 2/4 N = 2/4 X 200 = 100Desil 5 = 5/10 N = 5/10 X 200 = 100Persentil 50 = 50/100 N = 50/100 X 200 = 100
Dengan demikian letak Median, kuartil 2, Desil5 maupun Persentil 50 adalah di klas interval yang sama, yaitu klas interval 35 - 39.
Mempunyai Batas bawah nyata (Bb) klas interval yang sama yaitu 34.5Mempunyai frekuensi meningkat sampai dengan Bb yang sama pula,yaitu 87
Mempunyai frekuensi di dalam klas interval yang memuat med., K2, D5dan P50 (fm; fK; fD maupun fP) yang sama pula yaitu 32Dan mempunyai lebar klas interval yang sama pula yaitu 5.
Dengan denikian, maka :
100 87 Med = K 2 = D5 = P 50 = 34.5 + 5 = 36.531 32
Statistika. Y. Bagus Wismanto 47
48
C. Pemanfaat Desil dan Persentil : Desil dan persentil telah diketahui bersama bermanfaat sebagaipembagi frekuensi subyek dalam suatu kelompok ke dalam sepuluh atauseratus bagian yang sama besar. Berkaitan dengan fungsi tersebut makabaik desil maupun persentil umumnya dimanfaatkan untuk pembagiankelompok kedalam kelompok yang lebih kecil dan kemudian diberikansebutan atau kualifikasi yang berbeda antara kelompok. Salah satu pemanfaatannya adalah dalam pemberian penilaiannormatif dalam tes-tes prestasi yang diberikan oleh guru. Pemberian nilainormatif ini adalah pemberian nilai yang relatif, karena pemberian nilaididasarkan atas norma kelompok dengan melihat posisi relatif seorang siswaterhadap siswa yang lainnya. Penilaian ini biasa pula disebut sebagai norm-referenced. Pemberian nilai normatif ini dapat digunakan desil, dapat pula
digunakan persentil yang dihitung dari distribusi skor klas. Misalkan sajaseorang guru menghendaki pemberian nilai huruf yang terdiri dari nilai A, B,C, D, dan E, maka penguji dapat menentukan lebih dahulu prosentase
masing-masing nilai, misalkan saja nilai A hendak diberikan kepada 10 %dari jumlah subyek, B 20 % dari jumlah subyek, C kepada 40 % dari jumlahsubyek, D kepada 20 % dari subyek dan nilai E 10 % subyek. Maka dapatdigambarkan :
10% 20% 40% 20% 10%
EDCB------------------------------------------------------------------ D1D7 P10P70
D3P30
D9P90
A
Statistika. Y. Bagus Wismanto 48
49
SOAL-SOAL LATIHAN.
1. Berikut ini adalah alokasi dana (dalam ribuan) dalam setiap bulan yang dikeluarkan ibu rumah tangga untukkeperluanpengembangan pendidikan bagi anak-anaknya. Hasilnya adalah sebagai berikut :
3040352535503040 4045402045454045 2035452540303545 2533202020452535 3534153025402535a. Hitunglah rata-rata pengeluaran ibu-ibu rumah tangga tersebut ?b. Berapa besarnya median ?c. Berapa modusnya ?
2. Nilai ujian matematika 120 mahasiswa/i fakultas ekonomi Unika Soegijapranata adalah sebagai berikut :
Nilai Ujian
31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 9091 - 100
Frekuensi
932432111 3 1
a. Hitunglah kuartil pertama dan ke tiga !b. Hitunglah Desil pertama, ke 4, ke 5 dan ke 7 !c. Hitunglah persentil yang pertama, ke 25, ke 50 dan ke 76d. Jika dosen yang bersangkutan menentukan bahwa 15% teratas dari jumlah mahasiswa akan diberi nilai A, 20 % akan diberi nilai B, 50% akan diberi nilai C, 10 % akan diberi nilai D, dan 5 % akan diberi nilai E.
Berapakah batas-batas nilai tersebut ?
Statistika. Y. Bagus Wismanto 49
VI. PENGUKURAN KERAGAMAN (VARIABILITAS)
Hal yang sangat diperhatikan oleh statistikawan adalah variasi darikejadian alami. Pengukuran yang dilakukan oleh para ahli biasanya
dilakukan terhadap suatu sampel. Pengukuran-pengukuran misalnya sajaterhadap inteligensi, waktu reaksi, locus of control, panjangnya leher,kebisingan lingkungan menunjukkan variasi individu dalam suatu sampel.Oleh karena itu statistik dapat dikatakan pula sebagai ilmu yang mempelajarivariasi.
Sampel dapat diartikan sebagai sebagian dari populasi yang masihmempunyai karakteristik yang sama dengan populasinya. Sampel dapatpula diartikan sebagai miniatur dari populasi. Apabila kita mencicipi air tehdari suatu gelas dengan sendok, maka air teh yang ada di dalam gelas
dapat dianggap sebagai populasi sedangkan air teh yang ada di dalamsendok dapat dianggap sebagai sampelnya. Kesimpulan rasa manis yangdirasakan dari satu sendok air teh dapat digunakan untuk menyimpulkanrasa manis air teh yang ada di dalam gelas. Ukuran-ukuran yang dihasilkan dari penghitungan terhadap sampeldikatakan sebagai statistik, sedangkan ukuran-ukuran yang dihasilkan daripenghitungan terhadap populasi dikatakan sebagai parameter. Oleh karenaitu ukuran yang sama dapat bernama statistik dapat pula bernama
parameter, tergantung pada apakah ukuran tersebu diambil dari sampelatau populasi. Pengukuran terhadap suatu sampel akan ditemukan pula variasi didalamnya. Apabila dilakukan pengukuran berat badan terhadap sekelompokorang (sekelompok orang ini adalah sampel), maka akan diperoleh hasilpengukuran yang menyebar dari berat badan yang paling ringan sampaidengan ke berat badan yang paling berat dari kelompok orang tersebut. Darihasil pengukuran berat badan, maka dapat dihitung rata-rata berat badandari kelompok. Perlu disadari bahwa berat badan yang paling banyakdijumpai dalam pengukuran adalah berat badan yang berada di sekitar nilairata-rata. Sebagai contoh dari suatu Fakultas dilakukan pengukuran beratbadan mahasiswanya, ternyata pertama kali yang diperoleh adalah subyekdengan berat badan 85 kg., kedua 40 kg., ketiga 54 kg., dan seterusnya,
51
yang akhirya diketahui bahwa semakin lama akan semakin sering dijumpaimereka-mereka yang mempunyai berat badan disekitar nilai rata-rata dalampengukuran berat badan tersebut. Di samping itu di dalam pengukuran akanditemukan pula nilai-nilai berat badan yang jauh dari nilai rata-rata. Nilai-nilaiyang jauh dari rata-rata inilah yang akan menentukan variasi dari suatu
kelompok data. Beberapa ukuran variabilitas yang perlu dibicarakan dalam statistikadalah rentang (range); simpangan (deviation); rata-rata simpangan (meandeviation) , simpangan baku (standard deviation), angka baku (standardscore) serta angka skala (T score).
A. Rentang. Apabila kita memiliki dua kelompok pemain bola basket dan tercatattinggi badan mereka adalah :
Group I : 170Group II : 160
180175
190190
200205
210220
group II) memangbila ditengok lebihpada group I. Halyang lebih lebar
Dari kedua sampel tersebut (baik group I maupundiperoleh nilai rata-rata yang sama yaitu 190, akan tetapiteliti maka diketahui bahwa group II lebih bervariasi daritersebut terjadi karena group II mempunyai rentang
daripada group I. Secara sederhana, rentang atau range dapat diformulasikan sebagaiselisih antara skor/nilai tertinggi dengan skor/nilai terrendah, atau
R (rentang/range) = Skor tertinggi - skor terrendah.
Sebagai ilustrasi dari manfaat rentang adalah ketika pelatih bolabasket Tim Negara Phillipina datang ke Indonesia, untuk menggambarkantinggi pemain-pemainnya, pelatih hanya menyatakan bahwa tinggipemainnya antara 178 sampai 201 Cm. Dari pernyataan pelatih tersebutdapat dipahami bahwa pemain bola basket tim tersebut memiliki tinggibadan yang sangat tinggi karena tinggi badan paling rendah adalah 178 Cm.
Statistika. Y. Bagus Wismanto 51
52
B. Simpangan . Simpangan atau deviation(x huruf kecil) diartikan sebagaiseberapa jauh/banyak nilai suatu subyek menyimpang dari nilai rata-ratakelompoknya. Seandainya kembali ke hasil pengukuran berat badan mahasiswa
tersebut di atas, dan diperoleh nilai rata-rata 48 kg., maka Fredi yangmempunyai berat badan 74 kg. dapat dinyatakan mempunyai penyimpanganberat badan dari rata-ratanya sebesar = 74 - 48 = 26. Sedangkan Astutiyang memiliki berat badan 42 kg. dapat dinyatakan mempunyaipenyimpangan = 42 - 48 = - 6.
Maka simpangan dapat dirumuskan :
x = X X
dimana x adalah nilai simpangan X adalah nilai yang dimiliki seorang subyek
X adalah mean atau nilai rata-rata atau X.
Contoh lain, seandainya diambil dari hasil pengukuranenam subyek diperoleh hasil sebagai berikut :
SubyekLingkar KepalaUkuran KakiTinggi Badan
150 36153
252 36170
3 54 37160
4 56 37168
5 56 37172
terhadap
6 56 36170
Ketika diperhitungkan penyimpangannya (dengan rata-rata masingmasing pengukuran adalah 54 untuk lingkar kepala; 36,5 untuk ukuran kakidan 165,5 untuk tinggi badan) maka akan diperoleh :
SubyekLingkar kepalaUkuran KakiTinggi Badan
1 -4 - 0,5- 12,5
2 -2- 0,5+ 4,5
3 0+ 0,5- 5,5
4 +2+ 0,5+ 2,5
5 +2+ 0,5+ 6,5
6 +2- 0,5+ 4,5
Dari ketiga pengukuran tersebut di atas tampak bahwa hasilpengukuran ukuran kaki kurang bervariasi bila dibandingkan dengan hasil
Statistika. Y. Bagus Wismanto 52
53
pengukuran lingkar kepala, dan hasil pengukuran lingkar kepala kurangbervariasi bila dibandingkan dengan hasil pengukuran tinggi badan.
C. Rata-rata simpangan (Mean Deviation). Apabila dari suatu mata kuliah yang diikuti sepuluh mahasiswa, dan
mereka mempunyai berat badan : 50; 77; 46; 44; 49; 47; 42; 45; 46 dan 60,maka dari kelompok ini dapat dihitung rata-rata berat badan, yaitu 48 danpenyimpangan berat badan masing-masing subyek, dan dapat pula dihitungrata-rata dari penyimpangan-penyimpangan, atau biasa disebut sebagairata-rata simpangan atau mean deviation.
Berat Badan Subyek 50Berat Badan Rata- 48rataSimpangan+2
7748
4648
4448
-4
4948
+1
4748
-1
4248
-6
4548
-3
4648
-2
6048
+12+29 -2
Dari pengertian dasarnya dapat dimengerti bahwa sebenarnyapenyimpangan nilai tidak memperhatikan negatip atau positipnyapenyimpangan. Oleh karena itu simpangan dalam penghitungan rata-ratasimpangan tidak memperhatikan positip dan negatip simpangan. Dengandemikian dari contoh tersebut di atas dapat dihitung rata-rata simpangannya adalah : 2 + 29 + 2 + 4 + 1 + 1 + 6 + 3 + 2 + 12 dibagi banyaknya
2 + 29 + 2 + 4 + 1 + 1 + 6 + 3 + 2 + 12 = 6,2 10
subyek (n) yaitu RS =
Rata-rata simpangan dengan demikian dapat dirumuskan : RS =x
n
D. Simpangan Baku dan Varians ( Standard Deviation and Variance ). Penghitungan terhadap simpangan di bawah nilai rata-rata akandiperoleh hasil negatip sedangkan di atas nilai rata-rata akan diperoleh hasilpositip. Jumlah simpangan adalah nol. Di dalam penghitungan rata-rata simpangan, simpangan baik negatipmaupun positip ke duanya dianggap positip (diperhatikan harga mutlaknya)karena yang dipentingkan dalam hal ini adalah jarak antara nilai rata-rata
Statistika. Y. Bagus Wismanto 53
54
dengan suatu nilai tertentu. Oleh karena itu |X - X | diartikan sebagai jarak
antara X dengan X.
Simpangan baku biasa pula dikatakan standard deviation atau deviasistandar atau simpangan standar, adalah ukuran variabilitas yang terpenting.Simpangan baku untuk statistik diberi simbol s atau SD, sedangkan untuk
populasi diberi simbol (baca : sigma).
Dalam pengertiannya simpangan baku biasa diartikan sebagai akarpangkat dua dari jumlah kuadrat simpangan dibagi banyaknya frekuensiatau banyaknya subyek. Sedangkan dalam rumus statistiknya biasa ditulis :
1. s =x 2N 1
atau 2. s = (X X )
N 1
2
Rumus tersebut di atas pada umumnya dipergunakan untuk data yangbelum tersusun ke dalam distribusi frekuensi.Simpangan baku untuk distribusi frekuensi tunggal rumusnya adalah :
3. s = fx 2N 1
atau s = f (X X )
N 1
2
Rumus simpangan baku untuk distribusi bergolong adalah :
4. s = f (X X )
N 1
2
atau 5. s =N . fX 2 ( fX )
N ( N 1)
2
di mana simbol-simbol yang digunakan dalam rumus 1 sampai dengan 5tersebut adalah :s = simpangan bakux = simpanganX = nilai variabel atau titik tengah klas interval.f = frekuensi tiap nilai atau frekuensi klas intervalN = jumlah subyek
Untuk simpangan baku pada populasi, rumusnya adalah :
6. = (X )
N
2
Statistika. Y. Bagus Wismanto 54
55
Varians (variance) pada hakekatnya adalah kuadrat dari simpanganbaku. Berdasarkan hal tersebut maka rumusnya adalah :
7. Varians sampel : s 2 (X X )= N
2
8. Varians populasi : 2 (X )= N
2
dimana :s 2 = varians sampel 2 = varians populasi = Rata-rata populasi.
Sebagai contoh, diambil lima buah nilai, misalkan : 7, 8, 10, 12, dan 13maka nilai rata-ratanya adalah : 10, sedangkan simpangan dan kuadratsimpangan masing-masing subyek adalah :
X
13 12 10 8 7Jumlah
x(X X ) 3 2 0 -2 -3 0
(X X )2
9404926
maka dari data tersebut di atas, dapat dicari simpangan bakunya adalah :
s= (X X )
N 1
2
= 26 = 2.549509751
sedangkan variansnya dapat dihitung dengan mengkuadratkan nilaisimpangan bakunya saja, dan diperoleh : s2 = 2.54950972 = 6,4999997
E. Angka Baku (Standard Score). Angka baku biasa dikatakan pula sebagai standar skor atau nilaistandar, dan disimbolkan dengan huruf z. Oleh karena diberi simbol zmaka banyak pula yang menyebut z score atau z skor atau angka z. Angka baku (z skor) adalah suatu nilai atau suatu angka yang
menunjukkan seberapa jauh atau seberapa banyak suatu angka atau nilai
Statistika. Y. Bagus Wismanto 55
56
yang dimiliki individu menyimpang dari nilai rata-ratanya, dengan satuansimpangan bakunya. seandainya terdapat dua orang yaitu si Abu dan si Bento dari klasyang berbeda mendapat nilai Bhs Inggris 65 dan 70, maka kurangbijaksanalah apabila segera diambil kesimpulan bahwa nilai Bento lebih baik
daripada nilai Abu, tanpa melihat nilai rata-rata dan simpangan baku darimasing-masing kelasnya. Seandainya nilai rata-rata kelas adalah sama, yaitu 55, itupun belumdapat disimpulkan nilai si Bento lebih baik daripada si Abu tanpa melihatsimpangan bakunya. Hal tersebut dapat terjadi karena simpangan baku
menentukan seberapa lebar sebaran nilai dari masing-masing kelas. Apabilasimpangan baku dari kelas Abu adalah 5, sedangkan simpangan baku darikelas Bento adalah 15, maka tampaklah bahwa Abu lebih baik daripadaBento, karena :
z=XX s
sehingga nilai Abu dan Bento masing-masing menyimpang dari nilai rata-rata dengan ukuran simpangan baku sebesar :
65 55 =2 5
70 55 =1 15
z Abu = dan z Bento =
Dari hasil perhitungan tersebut di atas dapat diyakinkan bahwa nilaiAbu lebih baik daripada nilai Bento ketika dibandingkan dengan masing-masing kelompoknya. Kelompok Bento lebih besar variasinya dari padakelompok Abu, karena kelompok Bento memiliki simpangan baku sebesar15. Jika dilihat dalam prosentase, maka Abu menyimpang dari nilai rata-ratanya sejauh 2 s atau 47,72 % sedangkan Bento 1 s atau 34,13%
Contoh lain, ketika dibandingkan nilai yang diperoleh Abu dalam matauji bahasa Inggris dan Matematika masing-masing adalah 65 dan 75, makameskipun diperoleh dari kelompok atau klas yang sama akan tetapi tidakdapat langsung dinyatakan bahwa nilai matematika lebih baik daripada nilaibahasa Inggris tanpa melihat nilai rata-rata dan simpangan bakunya. Ketikadilihat nilai rata-rata dan simpangan bakunya, diperoleh sebagai berikut :
Statistika. Y. Bagus Wismanto 56
57
Mata UjiBahasa InggrisMatematika
Nilai 65 75
Rata-rata 55 70
S58
z (angka baku) 2 0,625
z=75 70 = 0,625 8
angka baku matematika Abu diperoleh dengan jalan :
Dapat disimpulkan bahwa nilai matematika Abu meskipun nilai hanya65, akan tetapi posisi dalam kelasnya lebih baik daripada nilaimatematikanya. Contoh lain dari angka baku yaitu seandainya dari suatu distribusihasil ujian statistik diperoleh hasil sebagai berikut :
Tabel VII. 1.Hasil Ujian Statistik Mahasiswa
KlasInterval91 - 100 81 - 90 71 - 80 61 - 70 51 - 60 41 - 50 31 - 40 21 - 30 11 - 20 -
F
4 9122831251610 5140
Dari hasil di atas muncul beberapa pertanyaan :
a. Nilai berapakah pembatas bagi mereka yang mendapat 10% nilaiterbaik ? b. Berapa orangkah yang mendapat nilai antara 60 sampai dengan 75 ? c. Seandainya kelulusan minimal adalah 50, berapa mahasiswa yangtidak lulus ?
Maka dari beberapa pertanyaan tersebut di atas, kesemuanya dapatdiselesaikan dengan metode angka baku.
Statistika. Y. Bagus Wismanto 57
58
Catatan : Apabila angka baku (z skor) yang diperoleh adalah 0, makaberarti nilai yang dihitung tersebut terletak persis di nilai rata-ratanya.
F. Angka Skala (T-Score) Sebagaimana z-skor, T-skor didasarkan pula atas penyimpangan
angka atau nilai tertentu dari nilai rata-ratanya, akan tetapi T-skormempergunakan nilai rata-rata = 50 dan s = 10. T-skor merupakan tindaklanjut dari z-skor, karena untuk menemukan T-skor, z-skor yang diperolehdikalikan 10, kemudian ditambah 50. Persamaan untuk T-skor adalah :
X X T = 50 + 10 s
Bila ditindak lanjuti contoh si Abu di atas, maka diperoleh T-skor :
65 60 Bahasa Inggris : T = 50 + 10 = 60 5 Matematika
75 70 : T = 50 + 10 = 56,25 8
Baik dengan z-skor maupun dengan T-skor, maka dapatdibandingkan nilai si Abu pada ke dua mata uji tersebut. Sebagaimanadisebutkan terdahulu bahwa nilai si Abu lebih baik dalam bahasa Inggrisdibandingkan matematikanya. Seandainya tidak untuk membandingkan antara dua atau lebih nilai,angka baku secara langsung juga dapat digunakan untuk melihatkedudukan relatif seseorang jika dibandingkan dengan nilai-nilai didalamkelompoknya sendiri. Nilai suatu mata uji misalkan saja Fisika, jika hanyadikatakan 80, tidak akan berarti apa-apa kalau tidak disertai denganindikator yang lain (rata-rata dan simpangan baku), akan tetapi jikadinyatakan dalam angka baku, misalkan saja z-skor Fisika si Bento adalah -2 (negatip dua), maka kita dapat mengerti bahwa nilai tersebut jauh dibawah rata-rata, dan dianggap sebagai prestasi yang jelek.
Statistika. Y. Bagus Wismanto 58
59
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Hitunglah rentang dari data berikut ini : a. 30; 27; 3; 5; 18; 27; 46; 13; 49; 14 b. 8; 8; 9; 9; 9; 3; 3; 25; 2; 5; 10
c. 2; -4; -5; -6; -8; -1; 3; -7
2. Terdapat 10 orang yang dihitung berat badanya, dan hasilnya adalah sebagai berikut : 64; 46; 50; 48; 56; 70; 82; 65; 62; dan 50. Berapakah simpangan baku dari data tersebut ?
3. Di bawah ini adalah sebuah distribusi frekuensi tentang penghasilan sebuah RT di sebuah desa :
Kelas interval (000)
600700800900
699799899999
Frekuensi
31625463513
2
140
a. Hitunglah nilai rentang; rata-rata; dan simpangan bakub. Jika Abu memiliki penghasilan 700.000 rupiah per bulan, berapa banyak orang lain yang berpenghasilan di bawahnya ?c. Jika Zaenudin memiliki penghasilan 980.000 rupiah, berapa jumlah orang yang berpenghasilan di atasnya ?d. Jika Ali berpenghasilan 825.000 dan Bagyo berpenghasilan 1.125.000, berapa orang yang berpenghasilan di antra keduanya ?
1000 10991100 11991200 -1299
Statistika. Y. Bagus Wismanto 59
60
VII. TEORI PROBABILITAS PADA DISTRIBUSI NORMAL
A. Probabilitas. Probabilitas atau peluang secara umum diartikan sebagai peluangterjadinya suatu peristiwa, dan secara khusus diartikan sebagai
perbandingan antara kemungkinan munculnya suatu kejadian dibandingkandengan semua kemungkinan kejadian yang dapat terjadi. Apabila sebuah mata uang yang masih bagus (belum melengkung),dan dilemparkan ke atas seperti pada pengundian, maka kemungkinan yangada adalah muncul gambar (G) dan angka (A). Kemungkinan muncul
disebut sebagai sukses dan kemungkinan tidak muncul disebut sebagaigagal. Apabila peluang sukses diberi simbol p dan peluang gagal diberisimbol q, dan kemungkinan munculnya p dan q adalah sama, maka dapatdibatasi bahwa p = q. Dari semua kejadian yang mungkin maka dapat
disimpulkan :
ps = p = 1 - q = pg = q = 1 - p
dimana ps adalah kemungkinan sukses pg adalah kemungkinan gagal.
Sebagai contoh apabila sebuah mata uang dilemparkan secarabebas sebanyak sepuluh kali, maka apabila tidak ada unsur kebetulan atautidak ada kekuatan yang khusus yang mengendalikan pelemparan uang,maka kemungkinan atau probabilitas atau peluang muncul gambar (G)
adalah lima kali dan maupun angka (A) juga sebanyak lima kali. Dengandemikian kemungkinan atau peluang munculnya G adalah setengah (5 dari10 kemungkinan) dan kemungkinan atau peluang munculnya A jugasetengah (5 dari 10 kemungkinan). Jika ditulis dengan simbul :
p = 1/2 dan q = 1/2 atau p = 0,5 dan q = 0,5.
1. Probabilitas Teoritis dan Probabilitas Empiris.
Perbandingan kemungkinan atau peluang munculnya sukses dangagal yang telah dijelaskan di atas adalah probabilitas teoritis. Padakenyataannya, jika dilemparkan sebuah mata uang sebanyak sepuluh kali,maka yang muncul kemungkinan adalah 3 G dan 7 A atau 4 G dan 6 A atau
Statistika. Y. Bagus Wismanto 60
61
6 G dan 4 A. Jarang sekali ditemukan muncul 5 G dan 5 A. Apabilakenyataannya diperoleh 5 G dan 5A maka hal ini dapat dikatakan sebagaiunsur kebetulan belaka. Apabila pelemparan mata uang tersebut dilanjutkan lagi, misalkansaja sampai 50 kali, maka kemungkinan akan diperoleh muncul 22 G dan 28
A. Seandainy