STATISTIKA

TEKNIK INFORMATIKAUNIVERSITAS ATMA JAYA YOGYAKARTA

KONSEP DASAR KONSEP DASAR PROBABILITASPROBABILITAS

PROBABILITAS (P)

• derajat/tingkat keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik

• suatu bilangan dari 0 sampai 1 yang mengukur keyakinan seseorang bahwa suatu kejadian dari suatu percobaan akan terjadi.

EKSPERIMEN (PERCOBAAN

STATISTIK)

• suatu aktifitas yang diamati atau diukur.

• Sesuatu yang direncanakan untuk dilakukan di mana hasilnya belum diketahui

• Eksperimen menghasilkan satu atau lebih keluaran (outcome) yang disebut event (kejadian).

• What is one of the possible events for flipping a coin 3 times?

RUANG SAMPEL (S)

• himpunan semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik.

• anggota ruang sampel disebut titik-titik sampel.

Contoh :- pelemparan mata uang S={M, B}- pelemparan dadu S = {1,2,3,4,5,6}

• What is the sample space for flipping a coin 3 times?

PENDEKATAN PROBABILITAS

1. Pendekatan Objektif :– probabilitas klasik

- asumsi : keluaran dari suatu eksperimen

mempunyai kemungkinan sama

- P = jumlah keluaran yang diharapkan dibagi total

keluaran yang mungkin

PENDEKATAN PROBABILITAS (2)

– konsep frekuensi relatif- probabilitas suatu kejadian (P) ditentukan

dengan mengobservasi berapa kali suatu kejadian terjadi.

P = jumlah suatu kejadian terjadi / jumlah

total observasi.

- Bila suatu kejadian A terjadi dalam m cara dari ruang sampel S yang terjadi dalam n cara, maka probabilitas kejadian A adalah :

n

m

Sn

AnAP

)(

)()(

PENDEKATAN PROBABILITAS (3)

2. Pendekatan Subjektif

- berdasarkan subjektifitas individu.

Contoh

– Coin: What is the probability of obtaining heads when flipping a coin?

– A single die: What is the probability I will roll a four?– Two dice: What is the probability I will roll a four?– A jar of 30 red and 40 green jelly beans: What is the

probability I will randomly select a red jelly bean?– Computer: In the past 20 times I used my computer, it

crashed 4 times and didn’t crash 16 times. What is the probability my computer will crash next time I use it?

Kejadian Independen

• Dua kejadian disebut independen jika keluaran dari kejadian yang satu tidak mempengaruhi keluaran kejadian kedua

Kejadian Independen DependenFlipping a coin twice

3 jelly beans: red, green, orange. Eat one. Eat another.

SIFAT PROBABILITAS

• Sifat probabilitas kejadian A : a. 0 P(A) 1

P (HTH) = 1/8 which is between 0 and 1.

b. P(S) = 1P (rolling a 1 or 2 or 3 or 4 or 5 or 6) = 1

c. Probabilitas kejadian A atau B = P (AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

joint probabilityProbabilitas muncul kartu As atau kartu merah pada pengambilan 2 kartu pada setumpuk kartu remi?

SIFAT PROBABILITAS (2)

d. Untuk 2 kejadian yang mutually exclusive (tidak ada 2 kejadian yang terjadi secara bersamaan pada waktu yang sama) :

P (AB) = P(A) + P(B)

P (rolling a 1 or a 6) = P (rolling a 1) + P (rolling a 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 or 1/3

e. P(A’) = 1-P(A)P (not rolling a 5) = 1 – 1/6 = 5/6

SIFAT PROBABILITAS (3)

f. Jika ada 2 kejadian A dan B independent (keluaran kejadian 1 tidak berpengaruh pada keluaran kejadian berikutnya)

P(AB) = P(A).P(B)

P (rolling a 1 and then a 6) = P(rolling a 1) * Pr(rolling a 6) = (1/6)(1/6) = 1/36

Berapa probabilitas mendapat 2 buah muka pada pelemparan 2 koin berturutan ?

SIFAT PROBABILITAS (4)

g. Jika 2 kejadian tidak independen

P(AB) = P(A).P(B|A)

PROBABILITAS BERSYARAT

0)(,)(

)()/(

BP

BP

BAPBAP

SIFAT PROBABILITAS (5)

Contoh :

1. Sebuah mata uang dilantunkan 2 kali. Berapa peluang paling sedikit muncul muka 1 kali.

2. Peluang seorang mahasiswa lulus statistika dasar 2/3 dan peluang lulus matematika diskret 4/9. Jika diketahui peluang lulus paling sedikit satu matakuliah 4/5, berapa peluang lulus dalam kedua mata kuliah.

HUKUM PERKALIAN

• Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n cara dan bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan m cara, maka kedua operasi ini dapat dikerjakan bersama-sama dengan n.m cara.

• Contoh :1. Berapa banyaknya titik sampel dalam ruang

sampel jika sepasang dadu dilantunkan sekali ?

2. Berapa banyak bilangan genap yang terdiri dari 3 angka dapat dibuat dari angka 1,2,5,6,9 bila tiap angka hanya boleh digunakan sekali?

BILANGAN FAKTORIAL

• Bila n bilangan bulat positif, maka bilangan faktorial n ditulis sebagai n! dan didefinisikan sebagai :

n! = n.(n-1).(n-2) …3.2.1

• 0! = 1 • 1! = 1• n! = n. (n-1)!

PERMUTASI (P)

• Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan.

PERMUTASI (2)

• Misal akan dibuat permutasi dari suatu himpunan dengan n anggota dan diambil sebanyak r, rn, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat:

)!(

!

rn

nPrn

PERMUTASI (3)

• contoh :

1. Berapa pasangan Presiden dan Wakil

Presiden yang dapat terbentuk jika ada 4

orang calon yang ada.

2. Dari 20 peserta lomba, akan diambil 3

pemenang sebagai juara 1,2,3. Tentukan

banyaknya kemungkinan susunan

pemenang yang dapat terjadi.

KOMBINASI (C)

• Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan.

KOMBINASI (2)

• Misal akan dibuat kombinasi dari suatu himpunan dengan n anggota dan diambil sebanyak r, rn, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat :

)!!.(

!

rnr

nCrn

KOMBINASI (3)

• contoh :1. Dari 20 peserta lomba, akan diambil 3

pemenang untuk masuk babak grand final. Tentukan banyaknya susunan yang dapat terjadi.2. Seorang perangkai bunga mempunyai 3 jenis bunga berbeda. Berapa jenis

susunan rangkaian bunga yang dapat dibuat.

SOAL

• Suatu keluarga yang baru menikah ingin mempunyai 4 anak. Misal anak laki-laki dilambangkan dengan L dan anak perempuan dilambangkan dengan P, tentukan :

a. Ruang sampel S.

b. Tentukan probabilitas keluarga tersebut mempunyai :

i). Semuanya laki-laki

ii). Satu anak laki-laki dan tiga anak perempuan.

iii). Dua laki-laki dan du a perempuan

SOAL

• Dalam permainan dengan kartu remi, diambil empat kartu (satu persatu) secara acak. Berapa besar kemungkinan kempatnya merupakan kartu diamond, jika

a. tiap pengambilan kartu dikembalikan

b. tiap pengambilan kartu tidak dikembalikan

DISTRIBUSI TEORITIS

• variabel acak (variabel random) adalah

suatu fungsi acak bernilai real yang harganya ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sampel

• Suatu variabel acak adalah suatu variabel yang nilainya adalah suatu keluaran numerik dari fenomena acak.

• Biasanya ditulis dalam huruf kapital.

• Variabel acak diskret dan kontinu

DISTRIBUSI TEORITIS (2)

• Variabel acak diskret : jika ruang sampelnya mempunyai titik-titik sampel yang berhingga banyaknya atau suatu deretan anggota yang sama dengan banyaknya bilangan bulat.

• Suatu variabel acak diskret, X, mempunyai sejumlah berhingga nilai yang mungkin .

DISTRIBUSI TEORITIS (2)

• Variabel acak kontinu jika ruang sampelnya mempunyai titik-titik yang tak berhingga banyaknya dan sama banyaknya dengan titik-titik pada sepotong garis bilangan

• Suatu Variabel acak kontinu , X, memuat semua nilai pada suatu interval nilai tertentu

DISTRIBUSI TEORITIS (3)

• Distribusi Probabilitas : Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel acak X, yaitu P(X=x).

• Jika X adalah variabel acak dan P(X=x) adalah distribusi probabilitas dari X maka fungsi f(x) = P(X=x) disebut fungsi probabilitas

SIFAT FUNGSI PROBABILITAS

• Sifat-sifat fungsi probabilitas f(x) :

a. Untuk variabel acak diskret :1. f(x) = P(X=x)

2. f(x) 0

3. x

xf 1)(

SIFAT FUNGSI PROBABILITAS

b. Untuk variabel acak kontinu :1. P(a<X<b) =

2. f(x) 0

3.

b

a

dxxf )(

~

~

1)( dxxf

NILAI HARAPAN

• E(X) = , untuk X diskret

• E(X) = , untuk X kontinu

• Sifat-sifat harapan matematis x:1. E(c)= c

2. E(bX) = bE(X)

3. E(a+bX) = a+bE(X)

)()( xXxPxxf

dxxxf )(

KEGUNAAN NILAI HARAPAN

• Menghitung :1. Mean populasi µ = E(X)

2. Variansi populasi σ2 = E{(X- µ)2} = E(X2) - µ2

3. Standar deviasi σ = 22 )( XE

Discrete Probability Example

X 1 2 3 4 5

P(X) 0.1 0.1 0.2 0.3 0.3

• To find the mean of a discrete distribution, multiply each possible value by its probability, then add all the products.

• To find the variance of a discrete distribution, subtract the mean from each of the X’s, square it, multiply it by the corresponding probability, then add up all the products.

Random Variables

• Distribusi probabilitas pada variabel acak kontinu dinyatakan dengan kurva densitas.

• Probabilitas suatu kejadian = luas daerah dibawah kurva dan diatas sumbu X yang memenuhi kejadian tersebut.

• Contoh distribusi probabilitas uniform, normal, distribusi menceng kiri, dan distribution menceng kanan.

Uniform Distribution Example

• This is a Uniform Distribution from 0 to 1. Since the area under the curve is 1, the height is also 1. To find the probability for a given interval, you find the areas under the curve.

The Normal Distribution

We often write that a variable (call it X) has normal distribution with mean and variance 2 in the following way:

2,~ NX

Note that the std. dev. is still .