Stat prob08 distribution_discrete

DISTRIBUSI PROBABILITAS :Variabel Diskrit

ARIF RAHMAN

Ruang Sampel dan Variabel AcakRuang sampel (sample space) adalah satu

set lengkap semua keluaran yang mungkin terjadi dalam populasi.

Variabel acak (random variable) adalah suatu nilai bersifat acak dalam numerik (format angka diskrit atau kontinyu) atau nonnumerik yang menandai keluaran dalam ruang sampel tertentu (finite atau infinite).

DistribusiDistribusi adalah sebaran variabel acak X

dalam ruang sampel S dengan rentang R yang mempunyai karakteristik unik (parameter atau statistik) dalam interval tertentu (finite atau infinite) dengan fungsi probabilitas yang spesifik.

Distribusi Empiris dan TeoritisDistribusi empiris (empirical distribution)

adalah distribusi sebaran data aktual dari observasi atau eksperimen dengan pengelompokan dalam distribusi frekuensi.

Distribusi teoritis (theoretical distribution) adalah distribusi sebaran variabel acak dalam rentang tertentu yang mengikuti fungsi probabilitasnya.

Fungsi ProbabilitasFungsi probabilitas menunjukkan tingkat

frekuensi relatif dari variabel acak X bernilai diskrit atau luasan frekuensi relatif dari interval variabel acak X bernilai kontinyu.

Fungsi ProbabilitasProbability Mass Function, p(x)Probability Density Function, f(x)Cumulative Distribution Function, F(x)Expectation, E(xn)Variance, V(x)Moment, mr(x)Moment Generating Function , Mr(x)

Probability Mass FunctionFungsi massa probabilitas (probability

mass function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas dari variabel acak diskrit pada nilai tertentu.

Jika X adalah sebuah variabel acak diskrit, penaksiran nilai probabilitas P(X=x)=p(x) untuk setiap x dalam rentang R di mana nilai p(x) memenuhi : p(x)>0 untuk seluruh xR p(x) = 1

Probability Density FunctionFungsi kepadatan probabilitas (probability

density function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas dari variabel acak kontinyu dalam interval tertentu.

Jika X adalah sebuah variabel acak kontinyu, penaksiran nilai probabilitas P(a<X<b)=abf(x) dx untuk setiap interval X dalam rentang R di mana nilai f(x) memenuhi : f(x)>0 untuk seluruh xR f(x) dx = 1

Cumulative Distribution FunctionFungsi distribusi kumulatif (cumulative

distribution function) adalah fungsi yang memberikan penaksiran probabilitas kumulatif dari variabel acak diskrit atau kontinyu hingga nilai tertentu.

Jika X adalah sebuah variabel acak, penaksiran nilai probabilitas P(X<b)= F(x) untuk setiap interval X dalam rentang R di mana nilai F(x) memenuhi : F(x) = bp(x) untuk variabel acak diskrit xR F(x) = -bf(x) dx untuk variabel acak kontinyu xR

ExpectationNilai ekspektasi (expectation) adalah sebuah

nilai harapan dari sebuah fungsi terhadap fungsi probabilitas variabel acaknya.

Jika X adalah sebuah variabel acak, dan g(x) adalah fungsi dari X, maka nilai ekspektasi dari g(x) didefinisikan sebagai berikut : E((g(x)) = g(x).p(x) untuk variabel acak diskrit xR E((g(x)) = g(x).f(x) dx untuk variabel acak kontinyu

xxE )(

VarianceVariansi (variance) adalah nilai ekspektasi

fungsi kuadrat deviasi variabel acak X dengan rata-ratanya terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.

RxdxxfxxxV

RxxpxxxV

kontinyu acak abeluntuk vari)(.)()(

diskrit acak abeluntuk vari)(.)()(

)()()(

xExExxE

MomentMomen origin (moment about the origin

atau raw moment) adalah nilai ekspektasi fungsi deviasi variabel acak X dengan titik origin (nol, 0) dalam orde ke-r terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.

rrr xEm ''

Rxdxxfxm

Rxxpxm

kontinyu acak abeluntuk vari)(.''

diskrit acak abeluntuk vari)(.''0

MomentMomen pusat (central moment) adalah

nilai ekspektasi fungsi deviasi variabel acak X dengan nilai rata-rata dalam orde ke-r terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.

rrr xxEm )(

Rxdxxfxxm

Rxxpxxm

kontinyu acak abeluntuk vari)(.)(

diskrit acak abeluntuk vari)(.)(0

Moment Generating FunctionFungsi pembangkitan momen (moment

generating function) adalah nilai ekspektasi fungsi eksponensial variabel t dan variabel acak X dengan nilai rata-rata terhadap fungsi distribusi probabilitasnya.

xteEtM .)(

RxdxxfetM

RxxpetM

kontinyu acak abeluntuk vari)(.)(

diskrit acak abeluntuk vari)(.)(

Moment Generating FunctionHubungan antara Fungsi pembangkitan

momen (moment generating function) dengan momen origin (moment about the origin) ditunjukkan dengan fungsi derivatif.

dttMd ')(

Distribusi DiskritHubungan antara p(x) dengan F(x)

xpxXPxFxX

rentang dalam asprobabilit luntuk tota 1)( mana di

)()()(0

p(x) F(x)

Distribusi KontinyuHubungan antara f(x) dengan F(x)

dxxfxXPxFxX

rentang dalam asprobabilit luntuk tota 1)( mana di

)()()(

f(x) F(x)

Proses Stokastik dan Eksperimen AcakProses stokastik (stochastic process)

adalah proses dengan keluaran sekumpulan variabel acak X={X(t), tT}, yang terdistribusi acak pada saat t dalam rentang continuum T.

Eksperimen acak (random experiment) adalah eksperimentasi yang menghasilkan keluaran yang berbeda, meskipun dilakukan perulangan dengan rancangan kondisi eksperimentasi yang sama.

Proses StokastikVariabel acak diskrit dalam perubahan

waktu diskritVariabel acak kontinyu dalam perubahan

waktu diskritVariabel acak diskrit dalam perubahan

waktu kontinyuVariabel acak kontinyu dalam perubahan

waktu kontinyu

Proses Stokastik20

Proses StokastikRandom point processes, Counting processes, Branching processes, Intensity processes, Cumulative (accumulator) processes, Moving average processes, Bernoulli processes, Birth-death processes, Brownian motion (Wiener) processes, Brownian bridge processes, Gaussian processes, Mark point processes, Markov processes, Martingale processes, Ornstein-Uhlenbeck processes, Poisson processes, Queueing processes, Random walk processes, Renewal processes, White noise processes, Yule processes

Bernoulli ProcessesProses Bernoulli (Bernoulli process)

adalah proses eksperimentasi yang melakukan percobaan Bernoulli sebanyak n kali dan setiap percobaan tersebut bebas (independent) dengan peluang sukses p.

Percobaan Bernoulli (Bernoulli trials) merupakan percobaan tunggal yang mempunyai keluaran dikotomi atau 2 nilai mutually exclusive yang mungkin terjadi, yaitu sukses dan gagal.

Bernoulli ProcessesProperti dari proses Bernoulli :

X(t){0,1} , di mana 0 menotasikan gagal dan 1 menotasikan sukses.

Setiap kejadian bersifat independent. Kejadian gagal dan sukses mutually exclusive.

(x=0)(x=1)= Probabilitas sukses sebesar p dan probabilitas

gagal sebesar q=1-p.P(x=1) = p dan P(x=0) = 1-p

Percobaan Bernoulli24

-1 -1 -1

N-n+2 N-n+1N-n+3N N-1 N-2

-1 -1 -1

p1(x) p2(x) p3(x) ... pn-2(x) pn-1(x) pn(x)

-1 -1 -1

N NNN N N

-1 -1 -1

p1(x) = p2(x) = p3(x) = ... = pn-2(x) = pn-1(x) = pn(x)

Tanpa Pengembalian (without replacement)

Dengan Pengembalian (with replacement)

Proses PoissonProses Poisson (Poisson process) adalah

proses penghitungan (counting process) banyaknya kejadian (N(t), t>0) hingga saat t, dengan parameter laju kemunculan kejadian (>0).

Macam proses Poisson: stationary (homogeneous) Poisson process, nonstationary (nonhomogeneous) Poisson process, generalized Poisson process, compound Poisson process, filtered Poisson process, doubly stochastic Poisson process.

Proses PoissonProperti dari proses Poisson :

X(t)=N(t), t>0 N(0) = 0 N(t) > 0, N(t)integer N(t) nondecreasing function. N(ti)<N(tj) jika ti<tj

N(t) mempunyai independent increments, N(tj)-N(ti)=N(t), jika ti<tj dan t=tj-ti

N(t){0,1} untuk t sangat kecil.P(N(t)=1)= .t+o(t) dan P(N(t)>2)= o(t)

!)()()(

ntensNstNP

Distribusi BernoulliDistribusi Bernoulli menunjukkan sebaran

variabel acak dari percobaan Bernoulli tunggal pada dua nilai keluaran, gagal (0) dan sukses(1), X{0,1}, dengan probabilitas sukses sebesar p.

Penerapan Distribusi Bernoulli antara lain untuk menunjukkan kejadian acak dengan dua keluaran, misalnya pelemparan koin.

Distribusi Bernoulli Parameter p (probability of success) Probability Mass Function, p(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

otherxpxp

1110)1(

Distribusi BernoulliDinotasikan dengan Bernoulli(x;p)Parameter pMean

Variance

)1(2 pp

Distribusi Discrete UniformDistribusi Discrete Uniform menunjukkan

sebaran variabel acak pada n buah nilai keluaran berimbang (equally likely) dalam rentang x1=a hingga xn=b, X{x1,x2,...,xn}, dengan probabilitas seragam sebesar 1/n.

Penerapan Distribusi Discrete Uniform antara lain untuk menunjukkan kejadian acak dengan beberapa keluaran berimbang, misalnya pelemparan dadu.

Distribusi Discrete Uniform Parameter a (minimum) dan b (maximum) Probability Mass Function, p(x)

baaxabxp

,...,1,1)(

bxaabax

11)(1)(

Distribusi Discrete UniformDinotasikan dengan DU(x;p) Parameter a dan bMean

Variance

121)1( 2

Distribusi BinomialDistribusi Binomial menunjukkan sebaran

variabel acak banyaknya sukses dari n buah percobaan Bernoulli bebas dalam rentang semua gagal (0) hingga semua sukses (n), X{0,1,...,n}, dengan probabilitas sukses setiap percobaan sebesar p.

Distribusi BinomialVariabel acak x menunjukkan banyaknya

sukses dari n percobaan. Karena gagal dan sukses bersifat mutually exclusive, maka banyaknya gagal ditunjukkan dengan (n-x). Sehingga banyaknya susunan gagal-sukses dalam n menggunakan permutasi obyek sama.

)!(!!Permutasi obyek sama

(n-x) gagal dan x suksesdalam n obyek

Kombinasi n obyekdiambil x

Distribusi BinomialPenerapan Distribusi Binomial antara lain:

banyaknya kejadian sukses dari n kejadian bebas, banyaknya cacat dalam batch berukuran n, banyaknya item terpilih dalam satu lot atau himpunan berisi n anggota, banyaknya pembelian dengan persediaan n unit, banyaknya jawaban yang benar dalam n soal, banyaknya yang sembuh dari n pasien.

Distribusi Binomial Parameter p (probability of success) dan n (number of

trials) Probability Mass Function, p(x)

nxppxn

,...,1,0)1()(p(x)

Distribusi BinomialDinotasikan dengan BIN(x;n,p)Parameter p dan nMean

Variance

)1(.2 ppn

Distribusi MultinomialDistribusi Multinomial menunjukkan

kumpulan variabel acak dari n buah percobaan dengan k jenis keluaran (x1,x2,...xk; xi=n) dalam rentang dari null hingga n, Xi{0,1,...,n}, dengan probabilitas setiap jenis keluaran p1, p2, ...,pk.

kk xxxn

,...,,!!...!!

Permutasi obyeksama k kelompokdalam n obyek

Kombinasi partisi nobyek dalam k kelompok

Distribusi MultinomialPenerapan Distribusi Multinomial antara

lain: banyaknya kejadian di setiap keluaran dari n kejadian bebas dengan peluang banyak keluaran, misalnya banyaknya di setiap keluaran (2,3,...,12) di n pelemparan dua dadu, banyaknya yang dilayani di setiap kasir dari k kasir pada n pembeli.

Distribusi Multinomial Parameter p1,p2,...,pk (probability of i-th outcome) dan n

(number of trials) Probability Mass Function, p(x1,x2,...,xk)

Di mana

nxpppxxx

,...,1,0,...,,),...,,(

Distribusi Pascal atau Negative BinomialDistribusi Negative Binomial atau Pascal

menunjukkan sebaran variabel acak yang menyatakan banyaknya percobaan Bernoulli yang dilakukan untuk mendapatkan s sukses. Variabel acak dalam rentang semua langsung didapat (s) sampai tak hingga (), X{s,s+1,..., }. Probabilitas sukses setiap percobaan sebesar p.

Distribusi Pascal atau Negative BinomialVariabel acak x menunjukkan banyaknya

percobaan untuk mendapatkan s sukses. Karena gagal dan sukses bersifat mutually exclusive, maka banyaknya gagal ditunjukkan dengan (x-s). Sukses ke-s menjadi penutup susunan (urutan ke-x), sehingga banyaknya susunan gagal-sukses menggunakan permutasi obyek sama.

)!()!1()!1(

Permutasi obyek sama(x-s) gagal dan s suksesdalam x obyek dengansukses ke-s ada di akhir

Kombinasi (x-1) obyekdiambil (s-1)

Distribusi Pascal atau Negative BinomialPenerapan Distribusi Pascal atau Negative

Binomial antara lain: banyaknya kejadian bebas dengan s kejadian sukses, banyaknya produksi (termasuk cacat) untuk mendapatkan s produk baik, banyaknya anggota himpunan yang terwakili s anggota, banyaknya persediaan yang diperlukan agar terjadi pembelian sebanyak s unit.

Distribusi Pascal atau Negative Binomial Parameter p (probability of success) dan s (number of

succeeds) Probability Mass Function, p(x)

ssxppsx

,...,1,)1(11

)(p(x)

sxxF x

Distribusi Pascal atau Negative BinomialDinotasikan dengan NEGBIN(x;s,p)Parameter p dan sMean

Variance

22 )1(

Distribusi Pascal atau Negative BinomialBeberapa literatur lain menyatakan variabel acak

x menunjukkan banyaknya gagal sebelum mendapatkan s sukses. Karena gagal dan sukses bersifat mutually exclusive, maka banyaknya percobaan Bernoulli ditunjukkan dengan (x+s). Sukses ke-s menjadi penutup susunan (urutan ke-x), sehingga banyaknya susunan gagal-sukses menggunakan permutasi obyek sama.

xssx 1

!)!1()!1)((

Permutasi obyek samax gagal dan s suksesdengan sukses ke-sada di akhir

Kombinasi (x+s-1)obyek diambil x

Distribusi Pascal atau Negative Binomial Parameter p (probability of success) dan s (number of

succeeds) Probability Mass Function, p(x)

xppxxs

,...,1,0)1(1

)(p(x)

Distribusi Pascal atau Negative BinomialDinotasikan dengan NEGBIN(x;s,p)Parameter p dan sMean

Variance

pps )1(

22 )1(

Distribusi GeometricDistribusi Geometric menunjukkan

sebaran variabel acak yang menyatakan banyaknya percobaan Bernoulli yang dilakukan untuk mendapatkan sukses pertama. Variabel acak dalam rentang pertama kali langsung didapat (1) sampai tak hingga (), X{1,2,..., }. Probabilitas sukses setiap percobaan sebesar p.

Distribusi GeometricVariabel acak x menunjukkan banyaknya

percobaan hingga mendapatkan sukses. Karena gagal dan sukses bersifat mutually exclusive, maka banyaknya gagal ditunjukkan dengan (x-1). Sukses menjadi penutup susunan (urutan ke-x).

Distribusi GeometricPenerapan Distribusi Geometric antara lain:

banyaknya kejadian bebas hingga mencapai kejadian sukses, banyaknya produksi hingga cacat yang pertama, banyaknya audisi hingga terpilih, banyaknya penawaran penjualan hingga terjadi pembelian.

Distribusi Geometric Parameter p (probability of success) Probability Mass Function, p(x)

otherxpp

0,...,2,1)1.(

1)1(110

Distribusi GeometricDinotasikan dengan GEOM(x;p)Parameter pMean

Variance

22 )1(

Distribusi GeometricBeberapa literatur lain menyatakan variabel

acak x menunjukkan banyaknya gagal sebelum mendapatkan sukses pertama kali. Karena gagal dan sukses bersifat mutually exclusive, maka banyaknya percobaan Bernoulli ditunjukkan dengan (x+1). Sukses menjadi penutup susunan (urutan ke-x).

Distribusi Geometric Parameter p (probability of success) Probability Mass Function, p(x)

otherxpp

0,...,1,0)1.(

0)1(100

)( 1 xpx

Distribusi GeometricDinotasikan dengan GEOM(x;p)Parameter pMean

Variance

22 )1(

Distribusi HypergeometricDistribusi Hypergeometric menunjukkan

sebaran variabel acak yang menyatakan banyaknya sukses dari n percobaan tanpa pengembalian pada himpunan berisikan N anggota dengan D sukses. Variabel acak dalam rentang tanpa sukses (0) hingga semua sukses (n), X{1,2,...,n; n<D} atau hingga total sukses terpilih (D), X{1,2,...,n; n>D}.

Distribusi Hypergeometric Variabel acak menunjukkan banyaknya sukses terpilih dari

D titik sampel. Karena gagal dan sukses bersifat mutually exclusive, maka banyaknya gagal sebesar (n-x) terpilih dari (N-D) titik sampel. Ruang sampel terbentuk dari kombinasi N objek terambil n. Sedangkan kejadian terbentuk dari kombinasi D objek terambil x beririsan dengan kombinasi (N-D) objek terambil (n-x).

. {xD}{(n-x)(N-D)}

Kombinasi N obyekdiambil n

Distribusi HypergeometricPenerapan Distribusi Hypergeometric

antara lain: banyaknya kejadian sukses dari sumber terbatas dengan sebagian bernilai sukses, banyaknya produk cacat yang terpilih dari persediaan yang ada, banyaknya wanita yang terpilih sebagai pengurus harian koperasi dari anggota koperasi.

Distribusi Hypergeometric Parameter N(number of sample points) , D(number of

succeeds) dan n (number of trials) Probability Mass Function, p(x)

),min(,...,1,0.

)( p(x)

Distribusi HypergeometricDinotasikan dengan HGEOM(x;N,D,n)Parameter N, D dan nMean

Variance

Distribusi Multivariate HypergeometricDistribusi Multivariate Hypergeometric

menunjukkan sekumpulan variabel acak dari n percobaan tanpa pengembalian dengan k jenis keluaran (x1,x2,...xk; xi=n) pada himpunan berisikan N anggota dengan k bagian (D1,D2,...Dk; Di=N). Variabel acak dalam rentang null hingga n, Xi{1,2,...,n; n<Di} atau hingga Di, X{1,2,...,n; n>Di}.

Distribusi Multivariate Hypergeometric Variabel acak menunjukkan banyaknya sukses terpilih dari

masing-masing Di titik sampel bagian dari N. Karena gagal dan sukses bersifat mutually exclusive, maka banyaknya gagal sebesar (n-x) terpilih dari (N-D) titik sampel. Ruang sampel terbentuk dari kombinasi N objek terambil n. Sedangkan kejadian terbentuk dari irisan semua kombinasi Di objek terambil xi.

1 . {xiDi}

Kombinasi N obyekdiambil n

Distribusi Multivariate HypergeometricPenerapan Distribusi Multivariate

Hypergeometric antara lain: banyaknya kejadian terpilih di setiap bagian dari sumber terbatas, banyaknya dan jenis item yang terbeli dari persediaan yang ada. banyaknya anggota yang terpilih sesuai daerah asal sebagai pengurus organisasi.

Distribusi Multivariate Hypergeometric Parameter N(number of sample points) , Di(number of

succeeds on i-th group) dan n (number of trials) Probability Mass Function, p(x)

di mana

xxxp ik

),min(,...,1,0.

),...,,(2

Distribusi PoissonDistribusi Poisson menunjukkan sebaran

variabel acak yang menyatakan banyaknya sukses dari proses Poisson yang terjadi dalam satu horison waktu (continuum) dengan laju . Variabel acak dalam rentang tidak ada kejadian (0) sampai tak hingga (), X{1,2,..., }. Laju ekuivalen dengan n.p distribusi binomial.

Distribusi Poisson Variabel acak menunjukkan banyaknya sukses dari proses

Poisson yang terjadi dalam satu horison waktu (continuum) dengan laju . Dengan t=1 satuan waktu, maka X=X(t)=N(t) dari proses Poisson dengan t=, sehingga probabilitas P(X=x) sebagai berikut :

Distribusi PoissonPenerapan Distribusi Poisson antara lain:

banyaknya kejadian sukses selama interval waktu tertentu dengan laju stasioner, banyaknya item dalam satu batch, banyaknya permintaan setiap satuan waktu tertentu.

Distribusi Poisson Parameter (rate of occurences) Probability Mass Function, p(x)

,...,1,0!)(

Distribusi PoissonDinotasikan dengan Poisson(x;)Parameter Mean

Variance

Pendekatan Distribusi DiskritPendekatan Distribusi Binomial pada variabel

acak berdistribusi Hypergeometric saat banyaknya anggota ruang sampel sangat banyak (limit N)

Pendekatan Distribusi Poisson pada variabel acak berdistribusi Binomial saat banyaknya trial sangat banyak (limit n) dan probabilitas sukses sangat kecil (limit p0)

Dist. Binomial Dist. HypergeometricVariabel acak distribusi Binomial dapat ditinjau

sebagai bentuk pendekatan distribusi Hypergeometric dengan anggota ruang sampel sangat banyak (limit N) dan rasionya dengan banyaknya trial sangat kecil (limit n/N 0), di mana rasio banyaknya sukses dalam ruang sampel dengan banyaknya seluruh anggota ruang sampel (D/N) ekuivalen dengan probabilitas kejadian sukses (p) yang menjadi parameter distribusi Binomial.

Dist. Binomial Dist. Hypergeometric

xnxnDNDNDN

xnxnDNDN

xxDDnN

).(.!)!(

)1)...(1.()!(

))())...((1).((.!

)1)...(1.(!)!(

!)!())!()((

)!(.!)!(

.)(lim

)1()(lim

Dist. Binomial Dist. HypergeometricDist. BinomialMean

Variance

Dist. HypergeometricMean

Variance

)1.(.2 ppn

1.1..1

Dist. Poisson Dist. BinomialVariabel acak distribusi Poisson dapat ditinjau

sebagai bentuk pendekatan distribusi Binomial dengan banyaknya trial sangat banyak (limit n) dan probabilitas sukses sangat kecil (limit p0), di mana rata-rata banyaknya kejadian sukses (E(x)=n.p) ekuivalen dengan laju munculnya kejadian sukses () yang menjadi parameter distribusi Poisson.

Dist. Poisson Dist. Binomial

.)(lim0

nnxnxnnn

nnxxnn

01.1.!

.)1)...(1.(

1..!)!.(

1..)(lim0

!.)(lim

0xexXP

1)(lim

0lim n

Dist. Poisson Dist. BinomialDist. PoissonMean

Variance

Dist. BinomialMean

Variance

)1.()1.(.2

)(lim0

.)(lim0

Terima kasih ...Terima kasih ...

... Ada pertanyaan ???... Ada pertanyaan ???

Stat prob08 distribution_discrete

Engineering

Transcript of Stat prob08 distribution_discrete

Data+Pemusatan Stat

Stat prob11 distribution_sampling

Pengantar Stat Fk

Diktat Stat Ekonomi

Presentase Stat Deskriptif-1

Stat Produksi ST2013

2 Stat Deskriptif & Histogram

Stat Non Par

STAT-1 & 2

2 Terminologi TI - Stat

Stat DishutSumsel 2010

Stat prob09 distribution_continue

Stat DishutKalbar 08 0

Matriks Stat

Stat Pro Modul 1

Unit 1 stat pend

R Dalam Aplikasi Stat

Stat prob12 confidenceinterval

Stat prob04 descriptivestatistic_tablechart

Stat prob05 descriptivestatistic_statisticmeasure