Post on 12-Jan-2017
63
RESUME GEOMETRI EUCLID
A. Pengertian Euclid
Euclid merupakan salah satu ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Namun hampir tak ada
keterangan terperinci mengenai kehidupan Euclid yang bisa diketahui. Misalnya, kita tahu dia
pernah aktif sebagai guru di Alexandria, Mesir, di sekitar tahun 300 SM, tetapi kapan dia lahir
dan kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan, kita tidak tahu di benua apa dan dikota apa dia
dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku dan diantaranya masih ada yang tertinggal,
kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada bukunya yang hebat mengenai ilmu ukur
yang bernama The Elements.
Kebanyakan teorema yang disajikan dalam buku The Elements tidak ditemukan
sendiri oleh Euclid, tetapi merupakan hasil karya matematikawan Yunani awal seperti
Pythagoras (dan para pengikutnya), Hippocrates dari Chios, Theaetetus dari Athena, dan
Eudoxus dari Cnidos. Akan tetapi, secara umum Euclid dihargai karena telah menyusun
teorema-teorema ini secara logis, agar dapat ditunjukkan (tak dapat disangkal, tidak selalu
dengan bukti teliti seperti yang dituntut matematika modern) bahwa cukup mengikuti lima
aksioma sederhana. Euclid juga dihargai karena memikirkan sejumlah pembuktian jenius dari
teorema-teorema yang telah ditemukan sebelumnya.
Menurut (Artmann, 1999:1) secara tradisional, Elemen telah dibagi menjadi tiga
bagian utama:
1. Geometri Bidang, Buku I sampai IV
2. Aritmatika, Buku V sampai IX
3. Geometri Ruang, Buku X sampai XIII
B. Buku The Element
Adapun isi dari 13 buku Elemen menurut (Artmann, 1999:3) adalah sebagai berikut:
1. Buku 1: Pondasi Geometri Bidang
Buku ini diawali dengan kumpulan defenisi. konsep dasar titik, garis, sudut secara umum
dan penggunaan sudut dalam mendefenisikan jenis-jenis segitiga, segiempat, dan lain-
lain. Defenisi yang terakhir menggambarkan garis parallel (sejajar) dalam ilmu ukur
sebagai garis tanpa titik umum. setelah definisi kita menemukan apa yang disebut
postulat, yang merupakan aksioma dalam geometri, kelima dan terakhir ini adalah
postulat paralel terkenal. Common notions adalah aksioma mengenai besaran pada
umumnya, misalnya, " Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan
sama satu sama lainnya”.
Teorema dari Buku I dapat dikelompokkan ke dalam empat bagian sebagai berikut:
a. (I.1-26) Teorema mendasar dan konstruksi dasar dalam geometri bidang seperti
teorema kongruensi untuk segitiga atau pembelahan sudut, di teorema ini tidak
menggunakan garis sejajar.
b. (I.27-32) Teorema garis sejajar, termasuk teorema bahwa jumlah sudut interior
segitiga sama dengan dua sudut yang tepat (1,32)
c. (I.33-45) Teorema jajar genjang; transformasi dan perbandingan daerah jajaran
genjang dan segitiga.
d. (I.46-48) Teorema Phytagoras.
64
2. Buku II: Geometri dari peregi Panjang
Dibandingkan dengan buku I, buku kedua ini sangat jauh berbeda. Sebagian besar
teorema dalam buku II menjelaskan materi aljabar tentang variasi pada tema identitas
binomial (suku dua):
Hasil ini selalu dinyatakan dalam bahasa geometri subdivisi persegi panjang dan daerah
dari berbagai bagian dari subdivisi. Teorema II.l2 dan 13 menggeneralisasi teorema
Pythagoras (1,47) dengan hukum cosinus, dan Proposisi II.l4 memberikan solusi dari
masalah penting membangun persegi sama (dalam luas) untuk sosok bujursangkar
diberikan.
3. Buku III: Geometri dari Lingkaran
Buku III menjelaskan tentang fakta-fakta dasar tentang geometri lingkaran, garis
singgung, dan lingkaran dalam persegi. Bagian kedua Buku III membahas segiempat dan
lingkaran, termasuk Proposisi III.2I, yang menegaskan kesetaraan semua sudut di daerah
sama dalam lingkaran.
4. Buku IV: Poligon (Segibanyak) beraturan
Dalam buku IV, kita akan menggunakan istilah umum "poligon beraturan" (atau n-gon)
Euclid panggilan dalam kasus-kasus tertentu yang “Poligon sama sisi dan sudut sama.
Ada empat masalah yang dibahas, yaitu:
a. Cara menuliskan bujur sangkar
b. Menentukan batas lingkaran
c. Menuliskan lingkaran
d. Menentukan batas bujur sangkar
Masalah-masalah ini diselesaikan untuk:
a. segitiga secara umum (IV. 2-5)
b. persegi (segiempat beraturan) (IV. 6-9)
c. segilima beraturan (IV. 10-14);
d. segienam beraturan (IV. 15);
e. segilimabelas beraturan (IV.16)
5. Buku V: Teori Umum Dari Besaran Perbandingan
Buku V adalah buku yang paling abstrak dan independen dalam Elements dari buku-buku
sebelumnya. Jika buku-buku lain prihatin dengan benda geometris atau angka, buku ini
mempelajari “besaran” yang menurut Aristoteles meliputi angka, garis, muatan, dan
waktu. Dalam VI.33 sudut diperlakukan sebagai besaran, dan luas daerah gambar sebagai
besaran di VI.1, XII.1, dan XII.2 (area lingkaran), serta dibanyak tempat yang lain. Teori
umum ini membuat teori proporsi yang berlaku di seluruh matematika, hubungan ini
membuat teori proporsi berlaku diseluruh bidang matematika, hal ini membuktikan
pernyataan dari Eratosthene (sekitar tahun 275-194 SM) ilmuan yang pertama kali yang
menghitung keliling bumi secara akurat, “lithe unifying bond of the mathematical
sciences” artinya “ikatan pemersatu ilmu matematika”.
Berbagai sumber menunjukkan bahwa Eudoxus (sekitar 400-350) merupakan penulis
teori dalam buku V.
65
6. Buku VI: Geometri bidang dari gambar yang sama
Buku VI ini secara garis besar hampir sama dengan Buku I. Sebenarnya Buku I, II, dan
III menyajikan inti dari geometri bidang dan secara keseluruhan organisasi memberikan
kesan standar perlakuan geeometri yang telah dikerjakan berulang-ulang sebelumnya.
Seluruh bangunan dari Buku VI didasarkan pada Teorema VI.1, Teorema VI.2
merupakan teorema dasar pada proporsionalitas dari segmen garis.
Salah satu teorema utama dalam buku ini yaitu menghubungkan garis dan bidang segitiga
yang serupa (dan Poligon) (VI 19,20), jika segitiga serupa dengan kesamaan faktor k
untuk garis, maka faktor untuk sesuai daerah adalah k2. Dibagian penutup dari Buku VI
menyajikan aplikasi dari luas. yang dalam istilah modern sama saja dengan solusi
geometris masalah kuadrat. Hal ini dapat diterjemahkan ke dalam penerapan persamaan
kuadrat. Karena alasan ini Buku VI disebut "aljabar geometri" oleh beberapa penulis.
7. Buku VII: Aritmatika Dasar
Dalam buku VII euclides memulai sesuatu yang baru, materi dalam buku VII tidak
berasal dari buku-buku sebelumnya. Definisi pada awal Buku VII ditujukan untuk
membantu memahami Buku VII-IX.
Aritmatika Euclidean didasarkan pada algoritma Euclidean untuk menentukan faktor
prima dari dua buah bilangan(VII.l4). Algoritma Euclide memberikan Faktor Persekutuan
terbesar (FPB) dari dua bilangan a, b. Bagian selanjutnya pada buku ini yaitu penggunaan
defenisi 20 untuk membangun sifat-sifat dasar dari proporsi dari bilangan. Inti dari buku
VII adalah teori FPB (VII.20-32), yang berhubungan dengan kelipatan persekutuan
terkecil KPK (VII.33-39).
8. Buku VIII: Bilangan dalam Perbandingan Lanjutan
Bilangan dalam perbandingan lanjutan akan menjadi fokus utama dalam buku ini.
Dibagian kedua buku ini (VIII.11-27). Perhatian lebih akan diberikan dalam materi jenis
bilangan “dalam bentuk geometri,” seperti persegi dan kubus. Satu pertanyaan penting
dalam konteks ini adalah bagaimana karakteristik bilangan a, b yang terdapat dalam
perbandingan berikut:
9. Buku IX : Bilangan dalam Perbandingan lanjutan; Teori dari bilangan genap dan bilangan
ganjil, Bilangan Sempurna.
Pada bagian A sampai E, bahasan yang dibahas dalam buku ini adalah mengenai konsep
perbandingan. Yang paling special dalam buku ini adalah setelah teorema IX.20 yaitu
mengenai teori dari bilangan genap dan bilangan ganjil (“the even and the odd” as Plato
says), yang tidak memiliki hubungan dengan yang mendahuluinya, tetapi hanya bertumpu
pada Definisi 6-10 dari Buku VII. Puncak dari teori ini adalah tentang bilangan genap
sempurna (IX.36).
10. Buku X: Perbandingan ruas garis
Buku X adalah buku yang paling tebal dari Elemen. Dalam buku ini, algoritma Euclidean
Buku VII diterapkan untuk mendapatkan criteria besaran yang sepadan:
X.5. Besaran sepadan memiliki rasio satu sama lain yang sama.
66
X.6. Jika dua besaran memiliki satu sama lain rasio yang sama, besaran akan sepadan.
Dalam X.9 Euclid menyatakan sebagai konsekuensi langsung yang sisi
dari persegi luas n adalah dapat dibandingkan dengan sisi persegi dari area 1 ketika n
bukan bilangan persegi. Sebagian besar materi Buku X, hingga Proposisi 115, terdiri
dalam studi yang cermat dari berbagai jenis garis dapat dibandingkan dan di luar lingkup
tujuan. Secara historis, penemuan perbandingan garis, atau, seperti kita akan mengatakan
hari ini, bilangan irasional.
11. Buku XI: Dasar-dasar geometri Ruang
Buku XI diawali dengan defenisi-defenisi yang akan digunakan pada buku XII dan XIII.
Dalam buku ini terdapat postulat-postulat dari Buku I. berikut bagian dari buku XI:
a. (XI.l-19) Dasar-dasar geometri ruang (garis, bidang, kesejajaran, dan orthogonality).
b. (XI.20-23) sudut dalam ruang, sifat dan konstruksinya.
c. (XI.24-37) kesejajaran dalam ruang
12. Buku XII: Luas dan Volume; Metode Eudoxus tentang “Exhaustion”
Beberapa metode diperlukan untuk menentukan daerah lingkaran dalam kaitannya
dengan persegi, atau volume piramida. Metode exhaustion yang dipakai Euclides pertama
kali diciptakan oleh Eudoxus. Metode pembuktian sangat berbeda dan jauh lebih rumit
daripada buku-buku sebelumnya, kecuali buku V.
13. Buku XIII: Polyhedra beraturan
Buku ini membahas tentang Polyhedra. Polihedra adalah suatu bidang tiga dimensi yang
tersusun atas sisi-sisi berbentuk poligon. Kata Polyhedra diambil dari kata yunani kuno,
yaitu poli atau banyak dan edon yang berarti dasar. Setiap garis penghubung (edge) pada
polihedra menyatukan tepat dua buah poligon.
C. Tokoh-Tokoh Dalam Geometri Euclid
Adapun beberapa tokoh dalam perkembangan geometri Euclid (Moeharti, 1986: 2)
adalah sebagai berikut:
1. Prolus dari Alexandria (410-485), memberikan “bukti” tentang postulat sejajar Euclid.
2. Girolamo Saccheri dari Italia (1667-1733) melakukan studi yang mendalam tentang
geometri dalam buku yang berjudul Euclides Vindicatus, yang diterbitkan di tahun
saat kematiannya. Beliau melakukan pendekatan terhadap permasalahan pembuktian
postulat sejajar Euclid dengan cara baru yang radikal. Prosedurnya ekivalen dengan
mengasumsikan bahwa postulat sejajar Euclid salah, dan menemukan kontradiksi
dengan penalaran logis. Hal ini akan mensahkan postulat sejajar dengan menggunakan
prinsip metode tak langsung.
3. Karl Friedrich Gauss dari Jerman (1777 - 1855)
4. Wolfgang (Farkas) Bolyai dari Hongaria (1775 - 1856), dan anaknya Yanos Bolyai
(1802 - 18060) dan juga Nicolai Ivanoviteh Lobachevsky (1793 - 1856)