63

RESUME GEOMETRI EUCLID

A. Pengertian Euclid

Euclid merupakan salah satu ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Namun hampir tak ada

keterangan terperinci mengenai kehidupan Euclid yang bisa diketahui. Misalnya, kita tahu dia

pernah aktif sebagai guru di Alexandria, Mesir, di sekitar tahun 300 SM, tetapi kapan dia lahir

dan kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan, kita tidak tahu di benua apa dan dikota apa dia

dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku dan diantaranya masih ada yang tertinggal,

kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada bukunya yang hebat mengenai ilmu ukur

yang bernama The Elements.

Kebanyakan teorema yang disajikan dalam buku The Elements tidak ditemukan

sendiri oleh Euclid, tetapi merupakan hasil karya matematikawan Yunani awal seperti

Pythagoras (dan para pengikutnya), Hippocrates dari Chios, Theaetetus dari Athena, dan

Eudoxus dari Cnidos. Akan tetapi, secara umum Euclid dihargai karena telah menyusun

teorema-teorema ini secara logis, agar dapat ditunjukkan (tak dapat disangkal, tidak selalu

dengan bukti teliti seperti yang dituntut matematika modern) bahwa cukup mengikuti lima

aksioma sederhana. Euclid juga dihargai karena memikirkan sejumlah pembuktian jenius dari

teorema-teorema yang telah ditemukan sebelumnya.

Menurut (Artmann, 1999:1) secara tradisional, Elemen telah dibagi menjadi tiga

bagian utama:

1. Geometri Bidang, Buku I sampai IV

2. Aritmatika, Buku V sampai IX

3. Geometri Ruang, Buku X sampai XIII

B. Buku The Element

Adapun isi dari 13 buku Elemen menurut (Artmann, 1999:3) adalah sebagai berikut:

1. Buku 1: Pondasi Geometri Bidang

Buku ini diawali dengan kumpulan defenisi. konsep dasar titik, garis, sudut secara umum

dan penggunaan sudut dalam mendefenisikan jenis-jenis segitiga, segiempat, dan lain-

lain. Defenisi yang terakhir menggambarkan garis parallel (sejajar) dalam ilmu ukur

sebagai garis tanpa titik umum. setelah definisi kita menemukan apa yang disebut

postulat, yang merupakan aksioma dalam geometri, kelima dan terakhir ini adalah

postulat paralel terkenal. Common notions adalah aksioma mengenai besaran pada

umumnya, misalnya, " Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan

sama satu sama lainnya”.

Teorema dari Buku I dapat dikelompokkan ke dalam empat bagian sebagai berikut:

a. (I.1-26) Teorema mendasar dan konstruksi dasar dalam geometri bidang seperti

teorema kongruensi untuk segitiga atau pembelahan sudut, di teorema ini tidak

menggunakan garis sejajar.

b. (I.27-32) Teorema garis sejajar, termasuk teorema bahwa jumlah sudut interior

segitiga sama dengan dua sudut yang tepat (1,32)

c. (I.33-45) Teorema jajar genjang; transformasi dan perbandingan daerah jajaran

genjang dan segitiga.

d. (I.46-48) Teorema Phytagoras.

64

2. Buku II: Geometri dari peregi Panjang

Dibandingkan dengan buku I, buku kedua ini sangat jauh berbeda. Sebagian besar

teorema dalam buku II menjelaskan materi aljabar tentang variasi pada tema identitas

binomial (suku dua):

Hasil ini selalu dinyatakan dalam bahasa geometri subdivisi persegi panjang dan daerah

dari berbagai bagian dari subdivisi. Teorema II.l2 dan 13 menggeneralisasi teorema

Pythagoras (1,47) dengan hukum cosinus, dan Proposisi II.l4 memberikan solusi dari

masalah penting membangun persegi sama (dalam luas) untuk sosok bujursangkar

diberikan.

3. Buku III: Geometri dari Lingkaran

Buku III menjelaskan tentang fakta-fakta dasar tentang geometri lingkaran, garis

singgung, dan lingkaran dalam persegi. Bagian kedua Buku III membahas segiempat dan

lingkaran, termasuk Proposisi III.2I, yang menegaskan kesetaraan semua sudut di daerah

sama dalam lingkaran.

4. Buku IV: Poligon (Segibanyak) beraturan

Dalam buku IV, kita akan menggunakan istilah umum "poligon beraturan" (atau n-gon)

Euclid panggilan dalam kasus-kasus tertentu yang “Poligon sama sisi dan sudut sama.

Ada empat masalah yang dibahas, yaitu:

a. Cara menuliskan bujur sangkar

b. Menentukan batas lingkaran

c. Menuliskan lingkaran

d. Menentukan batas bujur sangkar

Masalah-masalah ini diselesaikan untuk:

a. segitiga secara umum (IV. 2-5)

b. persegi (segiempat beraturan) (IV. 6-9)

c. segilima beraturan (IV. 10-14);

d. segienam beraturan (IV. 15);

e. segilimabelas beraturan (IV.16)

5. Buku V: Teori Umum Dari Besaran Perbandingan

Buku V adalah buku yang paling abstrak dan independen dalam Elements dari buku-buku

sebelumnya. Jika buku-buku lain prihatin dengan benda geometris atau angka, buku ini

mempelajari “besaran” yang menurut Aristoteles meliputi angka, garis, muatan, dan

waktu. Dalam VI.33 sudut diperlakukan sebagai besaran, dan luas daerah gambar sebagai

besaran di VI.1, XII.1, dan XII.2 (area lingkaran), serta dibanyak tempat yang lain. Teori

umum ini membuat teori proporsi yang berlaku di seluruh matematika, hubungan ini

membuat teori proporsi berlaku diseluruh bidang matematika, hal ini membuktikan

pernyataan dari Eratosthene (sekitar tahun 275-194 SM) ilmuan yang pertama kali yang

menghitung keliling bumi secara akurat, “lithe unifying bond of the mathematical

sciences” artinya “ikatan pemersatu ilmu matematika”.

Berbagai sumber menunjukkan bahwa Eudoxus (sekitar 400-350) merupakan penulis

teori dalam buku V.

65

6. Buku VI: Geometri bidang dari gambar yang sama

Buku VI ini secara garis besar hampir sama dengan Buku I. Sebenarnya Buku I, II, dan

III menyajikan inti dari geometri bidang dan secara keseluruhan organisasi memberikan

kesan standar perlakuan geeometri yang telah dikerjakan berulang-ulang sebelumnya.

Seluruh bangunan dari Buku VI didasarkan pada Teorema VI.1, Teorema VI.2

merupakan teorema dasar pada proporsionalitas dari segmen garis.

Salah satu teorema utama dalam buku ini yaitu menghubungkan garis dan bidang segitiga

yang serupa (dan Poligon) (VI 19,20), jika segitiga serupa dengan kesamaan faktor k

untuk garis, maka faktor untuk sesuai daerah adalah k2. Dibagian penutup dari Buku VI

menyajikan aplikasi dari luas. yang dalam istilah modern sama saja dengan solusi

geometris masalah kuadrat. Hal ini dapat diterjemahkan ke dalam penerapan persamaan

kuadrat. Karena alasan ini Buku VI disebut "aljabar geometri" oleh beberapa penulis.

7. Buku VII: Aritmatika Dasar

Dalam buku VII euclides memulai sesuatu yang baru, materi dalam buku VII tidak

berasal dari buku-buku sebelumnya. Definisi pada awal Buku VII ditujukan untuk

membantu memahami Buku VII-IX.

Aritmatika Euclidean didasarkan pada algoritma Euclidean untuk menentukan faktor

prima dari dua buah bilangan(VII.l4). Algoritma Euclide memberikan Faktor Persekutuan

terbesar (FPB) dari dua bilangan a, b. Bagian selanjutnya pada buku ini yaitu penggunaan

defenisi 20 untuk membangun sifat-sifat dasar dari proporsi dari bilangan. Inti dari buku

VII adalah teori FPB (VII.20-32), yang berhubungan dengan kelipatan persekutuan

terkecil KPK (VII.33-39).

8. Buku VIII: Bilangan dalam Perbandingan Lanjutan

Bilangan dalam perbandingan lanjutan akan menjadi fokus utama dalam buku ini.

Dibagian kedua buku ini (VIII.11-27). Perhatian lebih akan diberikan dalam materi jenis

bilangan “dalam bentuk geometri,” seperti persegi dan kubus. Satu pertanyaan penting

dalam konteks ini adalah bagaimana karakteristik bilangan a, b yang terdapat dalam

perbandingan berikut:

9. Buku IX : Bilangan dalam Perbandingan lanjutan; Teori dari bilangan genap dan bilangan

ganjil, Bilangan Sempurna.

Pada bagian A sampai E, bahasan yang dibahas dalam buku ini adalah mengenai konsep

perbandingan. Yang paling special dalam buku ini adalah setelah teorema IX.20 yaitu

mengenai teori dari bilangan genap dan bilangan ganjil (“the even and the odd” as Plato

says), yang tidak memiliki hubungan dengan yang mendahuluinya, tetapi hanya bertumpu

pada Definisi 6-10 dari Buku VII. Puncak dari teori ini adalah tentang bilangan genap

sempurna (IX.36).

10. Buku X: Perbandingan ruas garis

Buku X adalah buku yang paling tebal dari Elemen. Dalam buku ini, algoritma Euclidean

Buku VII diterapkan untuk mendapatkan criteria besaran yang sepadan:

X.5. Besaran sepadan memiliki rasio satu sama lain yang sama.

66

X.6. Jika dua besaran memiliki satu sama lain rasio yang sama, besaran akan sepadan.

Dalam X.9 Euclid menyatakan sebagai konsekuensi langsung yang sisi

dari persegi luas n adalah dapat dibandingkan dengan sisi persegi dari area 1 ketika n

bukan bilangan persegi. Sebagian besar materi Buku X, hingga Proposisi 115, terdiri

dalam studi yang cermat dari berbagai jenis garis dapat dibandingkan dan di luar lingkup

tujuan. Secara historis, penemuan perbandingan garis, atau, seperti kita akan mengatakan

hari ini, bilangan irasional.

11. Buku XI: Dasar-dasar geometri Ruang

Buku XI diawali dengan defenisi-defenisi yang akan digunakan pada buku XII dan XIII.

Dalam buku ini terdapat postulat-postulat dari Buku I. berikut bagian dari buku XI:

a. (XI.l-19) Dasar-dasar geometri ruang (garis, bidang, kesejajaran, dan orthogonality).

b. (XI.20-23) sudut dalam ruang, sifat dan konstruksinya.

c. (XI.24-37) kesejajaran dalam ruang

12. Buku XII: Luas dan Volume; Metode Eudoxus tentang “Exhaustion”

Beberapa metode diperlukan untuk menentukan daerah lingkaran dalam kaitannya

dengan persegi, atau volume piramida. Metode exhaustion yang dipakai Euclides pertama

kali diciptakan oleh Eudoxus. Metode pembuktian sangat berbeda dan jauh lebih rumit

daripada buku-buku sebelumnya, kecuali buku V.

13. Buku XIII: Polyhedra beraturan

Buku ini membahas tentang Polyhedra. Polihedra adalah suatu bidang tiga dimensi yang

tersusun atas sisi-sisi berbentuk poligon. Kata Polyhedra diambil dari kata yunani kuno,

yaitu poli atau banyak dan edon yang berarti dasar. Setiap garis penghubung (edge) pada

polihedra menyatukan tepat dua buah poligon.

C. Tokoh-Tokoh Dalam Geometri Euclid

Adapun beberapa tokoh dalam perkembangan geometri Euclid (Moeharti, 1986: 2)

adalah sebagai berikut:

1. Prolus dari Alexandria (410-485), memberikan “bukti” tentang postulat sejajar Euclid.

2. Girolamo Saccheri dari Italia (1667-1733) melakukan studi yang mendalam tentang

geometri dalam buku yang berjudul Euclides Vindicatus, yang diterbitkan di tahun

saat kematiannya. Beliau melakukan pendekatan terhadap permasalahan pembuktian

postulat sejajar Euclid dengan cara baru yang radikal. Prosedurnya ekivalen dengan

mengasumsikan bahwa postulat sejajar Euclid salah, dan menemukan kontradiksi

dengan penalaran logis. Hal ini akan mensahkan postulat sejajar dengan menggunakan

prinsip metode tak langsung.

3. Karl Friedrich Gauss dari Jerman (1777 - 1855)

4. Wolfgang (Farkas) Bolyai dari Hongaria (1775 - 1856), dan anaknya Yanos Bolyai

(1802 - 18060) dan juga Nicolai Ivanoviteh Lobachevsky (1793 - 1856)