Post on 28-Jul-2021
PROGRAM LINIER
Fungsi tujuan
Semua kendala
Bentuk Umum Program Linier :
Max
S.t
; C =
b = ; A =
didapat,
max C
s.t A b
x 0
Contoh :
Pabrik kayu menghasilkan 2 produk pintu dan jendela dengan proses sebagai berikut :
PROGRAM LINIER 1
Fungsi linier thd variabel keputusan
Spesifikasi :- Terdapat 4 mesin di unit I
- Terdapat 3 mesin di unit II
- Terdapat 3 mesin di unit III
- Tiap mesin di unit I dpt menghasilkan 1 pintu tiap 3 jam
- Tiap mesin di unit II dpt menghasilkan 1 jendela tiap 2 jam
- Tiap mesin di unit III dpt menghasilkan 1 pintu tiap 2 jam dan 1
jendela tiap 1 jam
- Tiap hari jam kerja yang tersedia adalah 9 jam
- Keuntungan tiap pintu = Rp 20.000
- Keuntungan tiap jendela = Rp 15.000
Buat Formulasi Program Linier supaya didapat keuntungan yang maksimum !
Penyelesaian :
: banyaknya pintu yang diproduksi
: banyaknya jendela yang diproduksi
: Keuntungan
Formulasi Program Linier :
max
s.t
Dalam Notasi Matrik :
C = A = b =
PROGRAM LINIER 2
Pintu dan jendela siap jualkayu
I
II
III
Pintu kasar
Jendela kasar
Penyelesaian Grafis dari Program Linier :
Titik – titik ekstrim dari program linier tersebut adalah :
, , , ,
kandidat penyelesaian dari program linier
Dari arah terlihat bahwa titik maksimumnya adalah :
dengan
Penyelesaian dengan Kuhn-Tucker :
max
PROGRAM LINIER 3
02 x
01 x
272 21 xx
272 2 x
363 1 x
min :
s.t :
:
:
:
:
PROGRAM LINIER 4
PENYELESAIAN MATRIK UNTUKPROGRAM LINIER
Pertidaksamaan diubah menjadi Persamaan dengan menambahkan SLACK :
max
s.t
Dengan menambahkan slack sebanyak kendala didapatkan :
max
s.t
Dalam bentuk Matrik didapatkan :
Max
s.t Bentuk Kanonik
dimana,
PROGRAM LINIER 5
Contoh :
Nyatakan dalam bentuk kanonik :
max
s.t
Bentuk Kanonik :
Max
s.t
PROGRAM LINIER 6
max
s.t
0
PROGRAM LINIER 7
PENYELESAIAN DASAR SISTEM PERSAMAAN LINIER
Sistem Persamaan Linier ditulis sebagai :
A x = b
Agar memiliki penyelesaian tunggal, harus dipenuhi syarat :
- banyaknya persamaan = banyaknya variabel
- A harus memiliki rank penuh yang berarti memiliki invers
Penyelesaiannya adalah :
Dalam program linier akan didapat sistem persamaan linier dengan banyaknya variabel
selalu lebih banyak dari banyaknya persamaan. Akibatnya sistem terseut akan punya
banyak penyelesaian, yang salah satunya adalah penyelesaian dasar yang dapat dicari
sbb :
dimana B adalah matrik bujur sangkar yang mempunyai invers
, berubah menjadi
=
+ =
X
+ =
+ =
= -
Penyelesaian dasar didapat dengan memilih :
PROGRAM LINIER 8
Didapat :
yang berarti :
penyelesaian dasar dari sistem persamaan linier
disebut variabel dasar
disebut variabel bukan dasar
disebut matrik dasar
disebut matrik bukan dasar
Contoh :
Max
s.t
bentuk kanoniknya adalah sbb :
max
s.t
Daerah kelayakannya adalah sbb :
Titik - titik ekstrim :
Penyelesaian dasarnya dapat dicari sbb :
PROGRAM LINIER 9
1x
alternatif 1 :
( titik ekstrim )
alternatif 2 :
( tdk memenuhi )
alternatif 3 :
dst………
PROGRAM LINIER 10
( titik ekstrim )
PENYELESAIAN PROGRAM LINIERDENGAN TABEL ELIMINASI
Menyelesaikan program linier sama saja dengan mencari penyelesaian dasar dari suatu
sistem persamaan linier, karenanya dapat dilakukan dengan menggunakan Eliminasi GAUSS. Untuk itu program linier tersebut dinyatakan dalam bentuk tabel sehingga
memudahkan proses eliminasi Gauss.
Pada proses in dimulai dari suatu penyelesaian dasar yang paling mudah dicari kemudian
pada tiap iterasi berusaha mendapatkan penyelesaian dasar yang memiliki nilai tujuan
( Z ) yang lebih baik dan seterusnya sampai tidak dapat menghasilkan yang lebih tinggi.
Pada saat itu iterasi dihentikan dan penyelesaian dasar yang terakhir adalah penyelesaian
optimal yang dicari.
Telah didapat bahwa :
atau
….. ( 1 )
Untuk nilai tujuan digunakan persamaan sbb :
……… ( 2 )
Bila , penyelesaian dasar yang sekarang sudah
Optimal
PROGRAM LINIER 11
Bila ada yang negatif, ambil yang nilai nya adalah yang paling negatif,
buat supaya variabel ini menjadi variabel dasar
Karena banyaknya variabel dasar adalah tetap, berarti harus ada salah satu variabel
dasar yang juga harus diubah menjadi variabel bukan dasar yaitu variabel dasar yang
menjadi nol karena ada variabel bukan dasar yang nilainya menjadi positip sesuai dengan
persamaan :
Terjadi pertukaran tempat antara salah satu dengan salah satu
Tabel Eliminasi Gauss dapat disusun dari persamaan (1) dan (2) sebagai berikut :
Z
Supaya prosesnya sederhana, sebagai awal dipilih variabel - variabel yang memiliki
koefisien 0 pada tujuan dan koefisien I pada kendala
Contoh 1:
Max
s.t
Bentuk kanonik :
Max
s.t
Z RK
PROGRAM LINIER 12
Z RK
10
0
I
Z 1 -1 -2 0 0 0
0 1 1 1 0 4
0 0 1 0 1 2
Z RK
Z 1 -1 0 0 2 4
0 1 0 1 -1 2
0 0 1 0 1 2
Z RK
Z 1 0 0 1 1 6
0 1 0 1 -1 2
0 0 1 0 1 2
Jadi
Contoh 2 :
Max
s.t
Bentuk Kanonik :
Max
s.t
Z RK
Z 1 -1 -1 0 0 0
PROGRAM LINIER 13
0 1 5 1 0 5
0 2 1 0 1 4
Z RK
Z 1 0 - 0 0 2
0 0 1 0 3
0 1 0 2
Z RK
Z 1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0
Jadi
PROGRAM LINIER 14
METODE SIMPLEK UNTUK PROGRAM LINIER TIDAK STANDAR
Standar :
- Tujuan Memaksimumkan
- Kendala
- Ruas kanan nonnegatif
- Variabel nonnegatif
Tidak Standar :
- Salah satu di atas tidak dipenuhi
1. Tujuan : Meminimumkan
min Z = - ( maks -Z )
2. Variabel tidak nonnegatif
tidak dibatasi
,
3. Ruas kanan tidak non negatif
PROGRAM LINIER 15X -1
Untuk menghadapi kasus dimana kendalanya tidak dalam bentuk ,
( dapat atau = ) perlu ditambahkan variabel semu.
: slack
tidak dapat dipakai sebagai variabel dasar untuk itu ditambahkan variabel semu yang
dapat dipakai sebagai variabel dasar.
: variabel semu yang diasumsikan bernilai
Tetapi melalui sejumlah iterasi harus dibuat menjadi variabel nondasar supaya bernilai
0
Kondisi ini dapat dicapai dengan cara : meminimumkan .
Contoh :
Max
s.t
Bentuk Kanonik :
Max
s.t
min max
Z RK
Za 0 0 0 0 0 1 0
Z 1 -2 -1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 3
0 -1 1 0 -1 1 1
PROGRAM LINIER 16
Z RK
Za 0 1 -1 0 1 0 -1
Z 1 -2 -1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 3
0 -1 1 0 -1 1 1
Z RK
Za 0 0 0 0 0 1 0
Z 1 -3 0 0 -1 1 1
0 2 0 1 1 -1 2
0 -1 1 0 -1 1 1
Z RK
Z 1 0 0 - 4
0 1 0 - 1
0 0 1 2
Jadi,
Contoh :
Min
s.t
Penyelesaian :
PROGRAM LINIER 17
Diabaikan, boleh dibuang
Misal :
sehingga,
min
s.t
menjadi,
max
s.t
min max
Z x RK
aZ 0 0 0 0 0 0 1 1 0-1 1 1 2 0 0 0 0 -10 1 -1 1 1 0 0 0 70 2 1 0 0 -1 1 0 20 1 0 2 0 0 0 1 5
Z x RK
aZ 0 -3 -1 -2 0 1 0 0 0-1 1 1 2 0 0 0 0 -10 1 -1 1 1 0 0 0 70 2 1 0 0 -1 1 0 20 1 0 2 0 0 0 1 5
Z x RK
aZ 0 0 ½ -2 0 -1/2 3/2 0 -4-1 0 1/2 2 0 ½ -1/2 0 -20 0 -3/2 1 1 ½ -1/2 0 6
PROGRAM LINIER 18
0 1 ½ 0 0 -1/2 ½ 0 10 0 -1/2 2 0 1/2 -1/2 1 4
Z x RK
aZ 0 0 0 0 0 0 1 1 0-1 0 1 0 0 0 0 -1 -60 0 -5/4 0 1 ¼ -1/4 -1/2 40 1 ½ 0 0 -1/2 ½ 0 10 0 -1/4 1 0 1/4 -1/4 1/2 2
Jadi
PROGRAM LINIER 19
Diabaikan, boleh dibuang