PERTEMUAN 7PERTEMUAN 7

BENTUK-BENTUK NORMAL BENTUK-BENTUK NORMAL DANDAN

PENYEDERHANAAN FUNGSI PENYEDERHANAAN FUNGSI BOOLEANBOOLEAN

MENGAPA BENTUK NORMAL? MENGAPA BENTUK NORMAL? (1)(1)

Kemungkinan nilai dalam tabel Kemungkinan nilai dalam tabel kebenaran:kebenaran:– Semua salah (kontradiksi)Semua salah (kontradiksi)– Semua benar (tautologi)Semua benar (tautologi)– Memuat paling sedikit 1 benar Memuat paling sedikit 1 benar

(satisfiable)(satisfiable) Cara mencari nilai kebenaran, Cara mencari nilai kebenaran,

biasanya menggunakan tabel biasanya menggunakan tabel kebenaran.kebenaran.

MENGAPA BENTUK NORMAL? MENGAPA BENTUK NORMAL? (2)(2)

Pembuatan tabel kebenaran tidak Pembuatan tabel kebenaran tidak terlalu praktis, bahkan dengan terlalu praktis, bahkan dengan bantuan komputer, terutama untuk bantuan komputer, terutama untuk jumlah variabel yang besar.jumlah variabel yang besar.

Prosedur yang lebih mudah adalah Prosedur yang lebih mudah adalah dengan mereduksi ke bentuk-bentuk dengan mereduksi ke bentuk-bentuk normal.normal.

JENIS BENTUK NORMALJENIS BENTUK NORMAL

Disjunctive normal form (DNF)Disjunctive normal form (DNF)

atau Sum of products (SOP)atau Sum of products (SOP)

atau Mintermatau Minterm Conjunctive normal form (CNF)Conjunctive normal form (CNF)

atau Product of sums (POS)atau Product of sums (POS)

atau Maxtermatau Maxterm

DNFDNF

DNF terdiri dari penjumlahan dari DNF terdiri dari penjumlahan dari beberapa perkalian (sum of products beberapa perkalian (sum of products = SOP).= SOP).

Dalam tabel kebenaran, DNF Dalam tabel kebenaran, DNF merupakan perkalian-perkalian yang merupakan perkalian-perkalian yang menghasilkan nilai 1.menghasilkan nilai 1.

Contoh: xy + x’yContoh: xy + x’y Setiap suku (Setiap suku (termterm) disebut ) disebut mintermminterm

CNFCNF

CNF terdiri dari perkalian dari CNF terdiri dari perkalian dari beberapa penjumlahan (product of beberapa penjumlahan (product of sum = POS).sum = POS).

Dalam tabel kebenaran, CNF Dalam tabel kebenaran, CNF merupakan penjumlahan-penjumlahan merupakan penjumlahan-penjumlahan yang menghasilkan nilai 0.yang menghasilkan nilai 0.

Contoh: (x+y) . (x’+y)Contoh: (x+y) . (x’+y) Setiap suku (Setiap suku (termterm) disebut ) disebut maxtermmaxterm

Tabel Minterm dan Maxterm Tabel Minterm dan Maxterm (1)(1)

Tabel Minterm dan Maxterm Tabel Minterm dan Maxterm (2)(2)

Contoh 1 (1)Contoh 1 (1)

Nyatakan dalam bentuk SOP dan POSNyatakan dalam bentuk SOP dan POS

Contoh 1 (2)Contoh 1 (2)

SOPSOPKombinasi nilai-nilai peubah yang Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 01, maka fungsi dengan 1 adalah 01, maka fungsi Booleannya dalam bentuk SOP:Booleannya dalam bentuk SOP:f(x, y) = x’yf(x, y) = x’yatau atau

f(x, y) = mf(x, y) = m1 1 = = (1) (1)

Contoh 1 (3)Contoh 1 (3)

POSPOSKombinasi nilai-nilai peubah yang Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 00, 10, 11, maka dengan 0 adalah 00, 10, 11, maka fungsi Booleannya dalam bentuk fungsi Booleannya dalam bentuk POS:POS:f(x,y)=(x+y)(x’+y)(x’+y’)f(x,y)=(x+y)(x’+y)(x’+y’)atauatau

f(x, y) = Mf(x, y) = M00 M M22 M M33 = = (0, 2, 3)(0, 2, 3)

Contoh 2 (1)Contoh 2 (1)

Nyatakan dalam bentuk Nyatakan dalam bentuk

SOP dan POSSOP dan POS

Contoh 2 (2)Contoh 2 (2)

SOPSOPKombinasi nilai-nilai peubah yang Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk SOP:fungsi Booleannya dalam bentuk SOP:f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyzf(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyzatau atau

f(x, y, z) = mf(x, y, z) = m1 1 + m+ m44 + m + m77 = = (1, 4, 7) (1, 4, 7)

Contoh 2 (3)Contoh 2 (3)

POSPOS

Kombinasi nilai-nilai peubah yang Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010, 011, 101, dan 110, maka adalah 000, 010, 011, 101, dan 110, maka fungsi Booleannya dalam bentuk POS:fungsi Booleannya dalam bentuk POS:

f(x,y,z)=(x+y+z)(x+y’+z)(x+y’+z’)(x’+y+z’)f(x,y,z)=(x+y+z)(x+y’+z)(x+y’+z’)(x’+y+z’)(x’+y’+z)(x’+y’+z)

atauatau

f(x, y, z) = Mf(x, y, z) = M00 M M22 M M33 M M55 M M66 = = (0, 2, 3, 5, (0, 2, 3, 5, 6)6)

Contoh 3 (1)Contoh 3 (1)

Nyatakan fungsi Boolean f(x,y,z) = x Nyatakan fungsi Boolean f(x,y,z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POSPOS..

Contoh 3 (2)Contoh 3 (2) SOPSOP

x = x(y + y’)x = x(y + y’) = xy + xy’= xy + xy’ = xy (z + z’) + xy’(z + z’)= xy (z + z’) + xy’(z + z’) = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’y’z = y’z (x + x’)y’z = y’z (x + x’) = xy’z + x’y’z= xy’z + x’y’zJadi f(x, y, z) = x + y’zJadi f(x, y, z) = x + y’z

= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz= x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyzatau f(x, y, z) = matau f(x, y, z) = m11 + m + m44 + m + m55 + m + m66 + m + m77 = = (1,4,5,6,7)(1,4,5,6,7)

Contoh 3 (3)Contoh 3 (3) POSPOS

f(x, y, z) = x + y’z f(x, y, z) = x + y’z = (x + y’)(x + z)= (x + y’)(x + z)x + y’ = x + y’ + zz’x + y’ = x + y’ + zz’ = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)= (x + y’ + z)(x + y’ + z’)x + z = x + z + yy’x + z = x + z + yy’ = (x + y + z)(x + y’ + z)= (x + y + z)(x + y’ + z)Jadi, f(x, y, z) = (x+y’+z)(x+y’+z’)(x+y+z)(x+y’+ z)Jadi, f(x, y, z) = (x+y’+z)(x+y’+z’)(x+y+z)(x+y’+ z)

= (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)= (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)atau f(x, y, z) = Matau f(x, y, z) = M00MM22MM33 = = (0, 2, 3)(0, 2, 3)

Konversi Antar Bentuk Normal Konversi Antar Bentuk Normal (1)(1)

MisalkanMisalkan f(x, y, z) = f(x, y, z) = (1, 4, 5, 6, 7) (1, 4, 5, 6, 7) dan f’ adalah fungsi komplemen dari dan f’ adalah fungsi komplemen dari f, makaf, maka

f’(x, y, z) = f’(x, y, z) = (0, 2, 3) = m (0, 2, 3) = m00+ m+ m22 + m + m33

Dengan menggunakan hukum De Dengan menggunakan hukum De Morgan, diperoleh fungsi f dalam Morgan, diperoleh fungsi f dalam bentuk POS.bentuk POS.

Konversi Antar Bentuk Normal Konversi Antar Bentuk Normal (2)(2)

f(x, y, z) = (f’(x, y, z))’ = (mf(x, y, z) = (f’(x, y, z))’ = (m00 + m + m22 + m + m33)’)’

= m= m00’ . m’ . m22’ . m’ . m33’’

= (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’= (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’

= (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + = (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’)z’)

= M= M00 M M22 M M33

= = (0,2,3) (0,2,3) Jadi, f(x, y, z) = Jadi, f(x, y, z) = (1, 4, 5, 6, 7) = (1, 4, 5, 6, 7) = (0,2,3). (0,2,3). KesimpulanKesimpulan: m: mjj’ = M’ = Mjj

ContohContoh

NyatakanNyatakan

f(x, y, z)=f(x, y, z)=(0,2,4,5) dalam SOP (0,2,4,5) dalam SOP

g(w, x, y, z)=g(w, x, y, z)=(1,2,5,6,10,15) dalam (1,2,5,6,10,15) dalam POSPOS

Penyelesaian:Penyelesaian:– f(x, y, z) = f(x, y, z) = (1, 3, 6, 7) (1, 3, 6, 7)– g(w, x, y, z)= g(w, x, y, z)=

(0,3,4,7,8,9,11,12,13,14)(0,3,4,7,8,9,11,12,13,14)

Penyederhanaan Fungsi Penyederhanaan Fungsi BooleanBoolean

Secara aljabarSecara aljabar Menggunakan Peta KarnaughMenggunakan Peta Karnaugh

Penyederhanaan Secara Penyederhanaan Secara Aljabar Aljabar

Menggunakan sifat-sifat/hukum-Menggunakan sifat-sifat/hukum-hukum aljabar boolean, seperti di hukum aljabar boolean, seperti di logika matematika.logika matematika.

Contoh (1)Contoh (1)

Sederhanakan a + a’b !Sederhanakan a + a’b ! Penyelesaian:Penyelesaian:

a + a’b a + a’b = (a + ab) + a’b= (a + ab) + a’b(Penyerapan)(Penyerapan)

= a + (ab + a’b)= a + (ab + a’b)(Asosiatif)(Asosiatif)

= a + (a + a’) b= a + (a + a’) b(Distributif)(Distributif)

= a + 1 = a + 1 b b (Komplemen)(Komplemen)

= a + b= a + b (Identitas)(Identitas)

Contoh (2)Contoh (2) Sederhanakan ((x+y’)’ + (x+z))’ + y !Sederhanakan ((x+y’)’ + (x+z))’ + y ! Penyelesaian:Penyelesaian:

= ((x+y’) (x+z)’) + y= ((x+y’) (x+z)’) + y= ((x+y’) (x’z’)) + y= ((x+y’) (x’z’)) + y= (xx’z’ + x’y’z’) + y= (xx’z’ + x’y’z’) + y= 0 + x’y’z’ + y= 0 + x’y’z’ + y= x’y’z’ + y= x’y’z’ + y= (x’+y) (y’+y) (z’+y)= (x’+y) (y’+y) (z’+y)= (x’+y) (z’+y)= (x’+y) (z’+y)= x’z’ + y= x’z’ + y

Peta Karnaugh (1)Peta Karnaugh (1)

Peta Karnaugh dengan dua peubahPeta Karnaugh dengan dua peubah

Peta Karnaugh (2)Peta Karnaugh (2)

Peta Karnaugh dengan tiga peubahPeta Karnaugh dengan tiga peubah

Contoh 1 (1)Contoh 1 (1)

Diketahui tabel kebenaran berikut, Diketahui tabel kebenaran berikut, sederhanakanlah! sederhanakanlah!

Contoh 1 (2)Contoh 1 (2)

Peta Karnaugh:Peta Karnaugh:

Penyelesaian: x’y + yz’Penyelesaian: x’y + yz’

Contoh 2 (1)Contoh 2 (1)

Diketahui tabel Diketahui tabel

kebenaran berikut, kebenaran berikut,

sederhanakanlah!sederhanakanlah!

Contoh 2 (2)Contoh 2 (2)

Peta KarnaughPeta Karnaugh

Penyelesaian: w’x’y’z + w’xy + w’yz’ Penyelesaian: w’x’y’z + w’xy + w’yz’ + xyz’+ xyz’