Tim Ilmu Komputasi

Coordinator contact:Dr. Putu Harry Gunawanphgunawan@telkomuniversity.ac.id

Persamaan Diferensial

Parsial CNH3C3Week 6: Separasi Variabel

untuk Persamaan GelombangOrde dua dan Koe�sien

Fourier

1 Motivasi

2 Persamaan Gelombang 1D orde dua

3 Separasi Variabel

4 Contoh

5 Koe�sien Fourier

6 Selanjutnya

Motivasi

Gelombang melingkar

Figure : Gelombang menyebar secara melingkar.

(Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Isotropic_radiator)

Motivasi

Gelombang air

Figure : Gelombang air. (Original Image Source:http://science.kennesaw.edu)

Motivasi

Gelombang acoustic pada gitar

Figure : Gelombang acoustic pada gitar. (Original Image Source:http://www.mediacollege.com/audio/01/sound-waves.html andhttps://en.wikipedia.org/wiki/Guitar)

Persamaan Gelombang 1D orde dua

Persamaan Gelombang

Vibrasi senar merupakan sistem �sik yang sangat rumit untuk

dimodelkan.

Suatu senar akan bervibrasi jika senar diganggu

dengan kedua ujungnya diikat dengan kencang. Misalkan sebuah

senar diikat dengan kencang secara horisontal sehingga membentuk

kon�gurasi setimbang yang diilustrasikan pada Gambar beikut.

Dalam hal ini kita misalkan salah satu senar yang ada pada

instrumen musik yaitu gitar.

Figure : Gangguan pada senar gitar.

Persamaan Gelombang 1D orde dua

Persamaan Gelombang

Vibrasi senar merupakan sistem �sik yang sangat rumit untuk

dimodelkan. Suatu senar akan bervibrasi jika senar diganggu

dengan kedua ujungnya diikat dengan kencang.

Misalkan sebuah

senar diikat dengan kencang secara horisontal sehingga membentuk

kon�gurasi setimbang yang diilustrasikan pada Gambar beikut.

Dalam hal ini kita misalkan salah satu senar yang ada pada

instrumen musik yaitu gitar.

Figure : Gangguan pada senar gitar.

Persamaan Gelombang 1D orde dua

Persamaan Gelombang

Vibrasi senar merupakan sistem �sik yang sangat rumit untuk

dimodelkan. Suatu senar akan bervibrasi jika senar diganggu

dengan kedua ujungnya diikat dengan kencang. Misalkan sebuah

senar diikat dengan kencang secara horisontal sehingga membentuk

kon�gurasi setimbang yang diilustrasikan pada Gambar beikut.

Dalam hal ini kita misalkan salah satu senar yang ada pada

instrumen musik yaitu gitar.

Figure : Gangguan pada senar gitar.

Persamaan Gelombang 1D orde dua

Persamaan Gelombang

Dari model vibrasi senar di atas, model matematika vibrasi senar

berupa persamaan gelombang. Diberikan masalah nilai awal dan

nilai batas persamaan gelombang berikut

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2, x ∈ (0, L), t > 0 (2.1)

u(x , 0) = f (x), ut(x , 0) = g(x), x ∈ [0, L] (2.2)

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0. t ≥ 0 (2.3)

Selanjutnya akan dibahas mengenai solusi persamaan di atas

menggunakan metode separasi variabel.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi separasi untuk persamaan (2.1-2.3) diberikan sebagai berikut

u(x , t) = X (x)T (t).

Substitusikan ansatz ke dalam persamaan gelombang (2.1), didapat

X (x)T ′′(t) = c2X ′′(x)T (t) (3.1)

atauT ′′(t)

c2T (t)=

X ′′(x)

X (x)(3.2)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi separasi untuk persamaan (2.1-2.3) diberikan sebagai berikut

u(x , t) = X (x)T (t).

Substitusikan ansatz ke dalam persamaan gelombang (2.1), didapat

X (x)T ′′(t) = c2X ′′(x)T (t) (3.1)

atauT ′′(t)

c2T (t)=

X ′′(x)

X (x)(3.2)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi separasi untuk persamaan (2.1-2.3) diberikan sebagai berikut

u(x , t) = X (x)T (t).

Substitusikan ansatz ke dalam persamaan gelombang (2.1), didapat

X (x)T ′′(t) = c2X ′′(x)T (t) (3.1)

atauT ′′(t)

c2T (t)=

X ′′(x)

X (x)(3.2)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Seperti pada pembahasan persamaan panas 1D sebelumnya,

persamaan (3.2) harus sama dengan suatu konstanta, yakni

T ′′(t)

c2T (t)=

X ′′(x)

X (x)= −λ (3.3)

untuk λ ∈ R.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Dari (3.3), kita mendapatkan dua buah persamaan diferensial biasa

(PDB):

X ′′(x) + λX (x) = 0, (3.4)

T ′′(t) + λc2T (t) = 0. (3.5)

Tugas sekarang adalah mencari solusi dari PDB di atas!

Separasi Variabel

Separasi variabel

Dari (3.3), kita mendapatkan dua buah persamaan diferensial biasa

(PDB):

X ′′(x) + λX (x) = 0, (3.4)

T ′′(t) + λc2T (t) = 0. (3.5)

Tugas sekarang adalah mencari solusi dari PDB di atas!

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.4)

Sehingga kita akan memiliki persamaan diferensial biasa yakni

fungsi X (x) untuk masalah nilai eigen

X ′′(x) + λX (x) = 0, x ∈ (0, L), (3.6)

X (0) = X (L) = 0. (3.7)

Solusi umum untuk persamaan di atas adalah

X (x) = A cos(√λx) + B sin(

√λx) (3.8)

dengan adanya nilai batas maka

X (0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 0 (3.9)

X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.10)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.4)

Sehingga kita akan memiliki persamaan diferensial biasa yakni

fungsi X (x) untuk masalah nilai eigen

X ′′(x) + λX (x) = 0, x ∈ (0, L), (3.6)

X (0) = X (L) = 0. (3.7)

Solusi umum untuk persamaan di atas adalah

X (x) = A cos(√λx) + B sin(

√λx) (3.8)

dengan adanya nilai batas maka

X (0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 0 (3.9)

X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.10)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.4)

Sehingga kita akan memiliki persamaan diferensial biasa yakni

fungsi X (x) untuk masalah nilai eigen

X ′′(x) + λX (x) = 0, x ∈ (0, L), (3.6)

X (0) = X (L) = 0. (3.7)

Solusi umum untuk persamaan di atas adalah

X (x) = A cos(√λx) + B sin(

√λx) (3.8)

dengan adanya nilai batas maka

X (0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 0 (3.9)

X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.10)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.4)

Selanjutnya

X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.11)

yang diharapkan bernilai 0 adalah sin(√λL) sehingga

sin(√λL) = 0 (3.12)√λL = kπ, k = 1, 2 . . . (3.13)

√λ =

kπ

L, k = 1, 2 . . . (3.14)

λ =

(kπ

L

)2

, k = 1, 2 . . . (3.15)

sehingga solusi umumnya adalah

Xk(x) = Bk sin(kπx

L), k = 1, 2 . . . (3.16)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.4)

Selanjutnya

X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.11)

yang diharapkan bernilai 0 adalah sin(√λL) sehingga

sin(√λL) = 0 (3.12)√λL = kπ, k = 1, 2 . . . (3.13)

√λ =

kπ

L, k = 1, 2 . . . (3.14)

λ =

(kπ

L

)2

, k = 1, 2 . . . (3.15)

sehingga solusi umumnya adalah

Xk(x) = Bk sin(kπx

L), k = 1, 2 . . . (3.16)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.4)

Selanjutnya

X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.11)

yang diharapkan bernilai 0 adalah sin(√λL) sehingga

sin(√λL) = 0 (3.12)√λL = kπ, k = 1, 2 . . . (3.13)

√λ =

kπ

L, k = 1, 2 . . . (3.14)

λ =

(kπ

L

)2

, k = 1, 2 . . . (3.15)

sehingga solusi umumnya adalah

Xk(x) = Bk sin(kπx

L), k = 1, 2 . . . (3.16)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.4)

Selanjutnya

X (L) = 0 cos(0) + B sin(√λL) = 0 (3.11)

yang diharapkan bernilai 0 adalah sin(√λL) sehingga

sin(√λL) = 0 (3.12)√λL = kπ, k = 1, 2 . . . (3.13)

√λ =

kπ

L, k = 1, 2 . . . (3.14)

λ =

(kπ

L

)2

, k = 1, 2 . . . (3.15)

sehingga solusi umumnya adalah

Xk(x) = Bk sin(kπx

L), k = 1, 2 . . . (3.16)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.5)

Dilain pihak, fungsi T (t) harus memenuhi

T ′′(t) + λkc2T (t) = 0, (3.17)

T ′′(t) +

(kπc

L

)2

Tk(t) = 0 (3.18)

Sehingga solusi umumnya untuk T (t) dapat dibentuk menjadi

Tk(t) = Ck cos

(kπct

L

)+ Dk sin

(kπct

L

), (3.19)

dengan Ck ,Dk ∈ R merupakan konstanta sembarang.

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (3.5)

Dilain pihak, fungsi T (t) harus memenuhi

T ′′(t) + λkc2T (t) = 0, (3.17)

T ′′(t) +

(kπc

L

)2

Tk(t) = 0 (3.18)

Sehingga solusi umumnya untuk T (t) dapat dibentuk menjadi

Tk(t) = Ck cos

(kπct

L

)+ Dk sin

(kπct

L

), (3.19)

dengan Ck ,Dk ∈ R merupakan konstanta sembarang.

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi umum PDP gelombang 1D orde dua

Pada akhirnya, kita mendapatkan tak hingga solusi separasi dari

persamaan gelombang (2.1-2.3),

u(x , t) = X (x)T (x) (3.20)

uk(x , t) = Bk sin

(kπx

L

)(Ck cos

(kπct

L

)+ Dk sin

(kπct

L

)),

(3.21)

k = 1, 2, · · · ,

uk(x , t) = sin

(kπx

L

)(Ek cos

(kπct

L

)+ Fk sin

(kπct

L

)),

(3.22)

k = 1, 2, · · · ,

dengan Ek = BkCk dan Fk = BkDk .

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi umum PDP gelombang 1D orde dua

Solusi separasi variabel dari persamaan gelombang,

uk(x , t) = sin

(kπx

L

)(Ek cos

(kπct

L

)+ Fk sin

(kπct

L

)), k = 1, 2, · · · ,

(3.23)

memenuhi kondisi awal

uk(x , 0) = Ek sin

(kπx

L

)dan (uk)t(x , 0) = Fk

kπc

Lsin

(kπx

L

)(3.24)

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi umum PDP gelombang 1D orde dua

Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N juga

merupakan sebuah solusi yakni,

u(x , t) =N∑

k=1

sin

(kπx

L

)(Ek cos

(kπct

L

)+ Fk sin

(kπct

L

)),

(3.25)

dengan kondisi awal

u(x , 0) =N∑

k=1

Ek sin

(kπx

L

)dan ut(x , 0) =

N∑k=1

Fkkπc

Lsin

(kπx

L

).

(3.26)

Contoh

Contoh separasi variabel

Contoh

Diberikan masalah gelombang (2.1-2.3) dengan c = 1, L = 1,

f (x) = 2 sin(πx) dan g(x) = − sin(2πx).

Data awal dengan bentuk

(3.26) diberikan sebagai berikut

E1 = 2, Ek = 0, untuk k > 1

dan

F2 = −1

2π, Fk = 0, untuk k 6= 2

Sehingga solusinya u(x , t) diberikan sebagai

u(x , t) = 2 sin(πx) cos(πt)− 1

2πsin(2πx) sin(2πt)

Contoh

Contoh separasi variabel

Contoh

Diberikan masalah gelombang (2.1-2.3) dengan c = 1, L = 1,

f (x) = 2 sin(πx) dan g(x) = − sin(2πx). Data awal dengan bentuk

(3.26) diberikan sebagai berikut

E1 = 2, Ek = 0, untuk k > 1

dan

F2 = −1

2π, Fk = 0, untuk k 6= 2

Sehingga solusinya u(x , t) diberikan sebagai

u(x , t) = 2 sin(πx) cos(πt)− 1

2πsin(2πx) sin(2πt)

Contoh

Contoh separasi variabel

Contoh

Diberikan masalah gelombang (2.1-2.3) dengan c = 1, L = 1,

f (x) = 2 sin(πx) dan g(x) = − sin(2πx). Data awal dengan bentuk

(3.26) diberikan sebagai berikut

E1 = 2, Ek = 0, untuk k > 1

dan

F2 = −1

2π, Fk = 0, untuk k 6= 2

Sehingga solusinya u(x , t) diberikan sebagai

u(x , t) = 2 sin(πx) cos(πt)− 1

2πsin(2πx) sin(2πt)

Contoh

Contoh separasi variabel

Figure : Solusi u(x , t) pada contoh diatas untuk (x , t) ∈ ([0, 1]× [0, 3]).

Contoh

Latihan

Andaikan diberikan kondisi awal persamaan gelombang 1D orde dua

utt − uxx = 0 sebagai berikut, tentukanlah solusi umum persamaan

gelombang!

1. f (x) = 3 sin(4πx) dan g(x) = 5 sin(7πx), x ∈ [0, 1].

2. f (x) = 3 sin(4πx) + 2 sin(2πx) dan g(x) =5 sin(7πx), x ∈ [0, 1]

Koe�sien Fourier

Koe�sien Fourier

Bagaimana jika nilai awal yang diberikan f (x) dan g(x) merupakan

subuah konstanta?

Contoh nilai awal sebagai berikut

u(x , 0) = f (x) = 1, (5.1)

ut(x , 0) = g(x) = 0 (5.2)

Tentu saja dengan menggunakan solusi

u(x , t) =N∑

k=1

sin

(kπx

L

)(Ek cos

(kπct

L

)+ Fk sin

(kπct

L

)),

(5.3)

tidak bisa.

Koe�sien Fourier

Koe�sien Fourier

Bagaimana jika nilai awal yang diberikan f (x) dan g(x) merupakan

subuah konstanta? Contoh nilai awal sebagai berikut

u(x , 0) = f (x) = 1, (5.1)

ut(x , 0) = g(x) = 0 (5.2)

Tentu saja dengan menggunakan solusi

u(x , t) =N∑

k=1

sin

(kπx

L

)(Ek cos

(kπct

L

)+ Fk sin

(kπct

L

)),

(5.3)

tidak bisa.

Koe�sien Fourier

Koe�sien Fourier

Bagaimana jika nilai awal yang diberikan f (x) dan g(x) merupakan

subuah konstanta? Contoh nilai awal sebagai berikut

u(x , 0) = f (x) = 1, (5.1)

ut(x , 0) = g(x) = 0 (5.2)

Tentu saja dengan menggunakan solusi

u(x , t) =N∑

k=1

sin

(kπx

L

)(Ek cos

(kπct

L

)+ Fk sin

(kπct

L

)),

(5.3)

tidak bisa.

Koe�sien Fourier

Koe�sien Fourier

Dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan panas 1D,

yaitu membentuk nilai awal konstan menjadi deret sin yaitu

u(x , 0) = f (x) = 1 =N∑

k=1

Ek sin

(kπx

L

), (5.4)

ut(x , 0) = g(x) = 0 =N∑

k=1

Fkckπ

Lsin

(kπx

L

)(5.5)

Sehingga tugas terakhir adalah mencari nilai koe�sien Ek dan Fk !

Koe�sien Fourier

Koe�sien Fourier

Dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan panas 1D,

yaitu membentuk nilai awal konstan menjadi deret sin yaitu

u(x , 0) = f (x) = 1 =N∑

k=1

Ek sin

(kπx

L

), (5.4)

ut(x , 0) = g(x) = 0 =N∑

k=1

Fkckπ

Lsin

(kπx

L

)(5.5)

Sehingga tugas terakhir adalah mencari nilai koe�sien Ek dan Fk !

Koe�sien Fourier

Koe�sien Fourier

Sama dengan proses mencari koe�sien Fourier pada kasus

persamaan panas, didapat

Ek =2

L

∫L

0

f (x) sin

(kπx

L

), (5.6)

Fk =2

ckπ

∫L

0

g(x) sin

(kπx

L

)(5.7)

Koe�sien Fourier

Contoh Koe�sien Fourier

Misalkan diberikan nilai awal untuk persamaan gelombang 1D orde

dua utt − uxx = 0 pada selang x ∈ [0, 1] seperti berikut

u(x , 0) = f (x) = 1, (5.8)

ut(x , 0) = g(x) = 0 (5.9)

Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang!

Pertama kita

tentukan koe�sien Fourier

Ek = 2

∫1

0

1 sin

(kπx

1

), (5.10)

Fk =2

kπ

∫1

0

0 sin

(kπx

1

)(5.11)

Koe�sien Fourier

Contoh Koe�sien Fourier

Misalkan diberikan nilai awal untuk persamaan gelombang 1D orde

dua utt − uxx = 0 pada selang x ∈ [0, 1] seperti berikut

u(x , 0) = f (x) = 1, (5.8)

ut(x , 0) = g(x) = 0 (5.9)

Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang! Pertama kita

tentukan koe�sien Fourier

Ek = 2

∫1

0

1 sin

(kπx

1

), (5.10)

Fk =2

kπ

∫1

0

0 sin

(kπx

1

)(5.11)

Koe�sien Fourier

Contoh Koe�sien Fourier

Untuk Koe�sien Ek :

Pertama kita tentukan koe�sien Fourier

Ek = 2

∫1

0

1 sin

(kπx

1

), (5.12)

Ek =2

kπ[−cos (kπx)]1

0, (5.13)

Ek =2

kπ(1− cos (kπ)) , (5.14)

Ek =4

kπ,∀k ganjil,Ek = 0,∀k genap (5.15)

Untuk Koe�sien Fk didapatkan

Fk =2

kπ

∫1

0

0 sin

(kπx

1

)= 0 (5.16)

Koe�sien Fourier

Contoh Koe�sien Fourier

Untuk Koe�sien Ek :

Pertama kita tentukan koe�sien Fourier

Ek = 2

∫1

0

1 sin

(kπx

1

), (5.12)

Ek =2

kπ[−cos (kπx)]1

0, (5.13)

Ek =2

kπ(1− cos (kπ)) , (5.14)

Ek =4

kπ, ∀k ganjil,Ek = 0,∀k genap (5.15)

Untuk Koe�sien Fk didapatkan

Fk =2

kπ

∫1

0

0 sin

(kπx

1

)= 0 (5.16)

Koe�sien Fourier

Contoh Koe�sien Fourier

Untuk Koe�sien Ek :

Pertama kita tentukan koe�sien Fourier

Ek = 2

∫1

0

1 sin

(kπx

1

), (5.12)

Ek =2

kπ[−cos (kπx)]1

0, (5.13)

Ek =2

kπ(1− cos (kπ)) , (5.14)

Ek =4

kπ, ∀k ganjil,Ek = 0,∀k genap (5.15)

Untuk Koe�sien Fk didapatkan

Fk =2

kπ

∫1

0

0 sin

(kπx

1

)= 0 (5.16)

Koe�sien Fourier

Contoh Koe�sien Fourier

Sehingga solusinya didapatkan

u(x , t) =N∑

k=1

sin

(kπx

L

)(Ek cos

(kπct

L

)+ Fk sin

(kπct

L

)),

(5.17)

u(x , t) =N∑

k=1

sin

(kπx

L

)(4

kπcos

(kπct

L

)+ 0 sin

(kπct

L

)),∀k ganjil,

(5.18)

u(x , t) =N∑

k=1

4

(2k − 1)πsin

((2k − 1)πx

L

)cos

((2k − 1)πct

L

),

(5.19)

Koe�sien Fourier

Latihan Koe�sien Fourier

Misalkan diberikan nilai awal untuk persamaan gelombang 1D orde

dua utt − 4uxx = 0 pada selang x ∈ [0, 3] seperti berikut

u(x , 0) = f (x) = 10, (5.20)

ut(x , 0) = g(x) = 0 (5.21)

Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang!

Koe�sien Fourier

Homework

Andaikan diberikan kondisi awal persamaan gelombang 1D orde dua

utt − uxx = 0 sebagai berikut

f (x) = x(1− x) dan g(x) = 0. (5.22)

Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang! (Hint:

Gunakan metode koe�sien Fourier untuk menentukan fungsi f (x)menjadi fungsi sinusoidal!)

Selanjutnya

Next

Selanjutnya, akan dibahas contoh soal-soal untuk menghadapi UTS.

End of presentation!