Post on 25-Jun-2015
description
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Permutasi dan Kombinasi
11/8/2010
Shinichi Wijaya
Kombinasi dan permutasi
Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup
tanpa memperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan.
{1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.
Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga
buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan
ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah
amplop yang disediakan?
Solusi: Ada 3 kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.
Sedangkan permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari
suatu grup dengan memperhatikan urutan. Di dalam permutasi, urutan diperhatikan.
{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}
Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan
biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan
pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?
Solusi: Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.
Salah satu aplikasi kombinasi dan permutasi adalah digunakan untuk
mencari probabilitas suatu kejadian.
Rumus
a) Permutasi pengulangan
Jika urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali
maka jumlah permutasinya adalah:
di mana n adalah banyaknya objek yang dapat dipilih dan r adalah jumlah yang harus
dipilih.
Sebagai contoh, jika kamu memiliki huruf A, B, C, dan D dan kamu ingin
mencari tahu ada berapa cara untuk menyusunnya dalam suatu grup yang berisi tiga
angka maka kamu akan menemukan bahwa ada 43 atau 64 cara untuk menyusunnya.
Beberapa cara untuk menyusunnya adalah: AAA, BBB, CCC, DDD, ABB, CBB,
DBB, dst.
b) Permutasi tanpa pengulangan
Jika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa dipilih
atau dipakai sekali maka jumlah permutasi yang ada adalah:
di mana n adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, r adalah jumlah yang harus
dipilih dan ! adalah simbol faktorial.
Sebagai contoh, ada sebuah pemungutan suara dalam suatu organisasi.
Kandidat yang bisa dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak akan
diangkat menjadi ketua organisasi tersebut. Yang mendapat suara kedua terbanyak
akan diangkat menjadi wakil ketua. Dan yang mendapat suara ketiga terbanyak akan
menjadi sekretaris. Ada berapa banyak hasil pemungutan suara yang mungkin
terjadi ? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-3)! = 60 permutasi.
Umpamakan jika n = r (yang menandakan bahwa jumlah objek yang bisa dipilih
sama dengan jumlah yang harus dipilih) maka rumusnya menjadi:
karena 0! = 1! = 1
Sebagai contoh, ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong
itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh
diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong ?
Dengan menggunakan rumus n! maka ada 5! = 120 permutasi.
Kombinasi tanpa pengulangan
Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya
bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:
Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus
dipilih.
Sebagai contoh, kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang
berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke
sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak
cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus
di atas maka ada 5!/(5-2)!(2)! = 10 kombinasi.
Kombinasi pengulangan
Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka
jumlah kombinasi yang ada adalah:
Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus
dipilih. Sebagai contoh jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu
menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka
kombinasi yang dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.
Untuk lebih jelasnya, maka akan d bahas satu per satu….(^_^)
Permutasi
Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan
yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat
sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "adalah Permutasi suatu urutan yang
berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari."
Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai
ketentuan) disebut sorting.
Pengertian
Jika terdapat suatu untai abjad abcd, maka untai itu dapat dituliskan
kembali dengan urutan yang berbeda: acbd, dacb, dan seterusnya. Selengkapnya ada
24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama
lain.
abcd abdc acbd acdb adbc adcb
bacd badc bcad bcda bdac bdca
cabd cadb cbad cbda cdab cdba
dabc dacb dbac dbca dcab dcba
Setiap untai baru yang tertulis mengandung unsur-unsur yang sama dengan
untai semula abcd, hanya saja ditulis dengan urutan yang berbeda. Maka setiap untai
baru yang memiliki urutan berbeda dari untai semula ini disebut dengan permutasi
dari abcd.
Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin
Untuk membuat permutasi dari abcd, dapat diandaikan bahwa terdapat
empat kartu bertuliskan masing-masing huruf, yang hendak kita susun kembali. Juga
terdapat 4 kotak kosong yang hendak kita isi dengan masing-masing kartu:
Kartu Kotak kosong
----------- ---------------
a b c d [ ] [ ] [ ] [ ]
Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu
yang telah dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya
digambarkan sebagai berikut:
Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.
Kartu Kotak
----------- ---------------
a b c d [ ] [ ] [ ] [ ]
^ 4 pilihan: a, b, c, d
Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan
kartu untuk dimasukkan di kotak kedua.
Kartu Kotak
----------- ---------------
a * c d [b] [ ] [ ] [ ]
^ 3 pilihan: a, c, d
Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal
memiliki dua pilihan.
Kartu Kotak
----------- ---------------
a * c * [b] [d] [ ] [ ]
^ 2 pilihan: a, c
Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.
Kartu Kotak
----------- ---------------
a * * * [b] [d] [c] [ ]
^ 1 pilihan: a
Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.
Kartu Kotak
----------- ---------------
* * * * [b] [d] [c] [a]
Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang.
Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah. Jika
banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120
kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari n unsur adalah
sebanyak n!.
Definisi Formal
Bilangan Inversi
Setiap permutasi dapat kita kaitkan dengan barisan bilangan yang disebut
sebagai barisan bilangan inversi. Setiap unsur dalam permutasi dikaitkan dengan
sebuah bilangan yang menunjukkan banyaknya unsur setelah unsur tersebut, yang
posisinya salah. Sebagai contoh, salah satu permutasi dari untai abcdefg adalah
dacfgeb. Maka untuk setiap unsur dacfgeb dapat dibuat bilangan inversinya:
Posisi Unsur Bilangan
0 d 3Ada 3 huruf setelah posisi 0, yang seharusnya berada sebelum d,
yaitu a, b, dan c.
1 a 0Tidak ada huruf setelah posisi 1, yang seharusnya berada
sebelum a.
2 c 1Ada 1 huruf setelah posisi 2, yang seharusnya berada sebelum c,
yaitu b.
3 f 2Ada 2 huruf setelah posisi 3, yang seharusnya berada sebelum f,
yaitu e, dan b.
4 g 2Ada 2 huruf setelah posisi 4, yang seharusnya berada sebelum g,
yaitu e, dan b.
5 e 1Ada 1 huruf setelah posisi 5, yang seharusnya berada sebelum g,
yaitu b.
6 b 0 Tidak ada huruf setelah b.
Maka barisan bilangan inversi dari dacfgeb adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.
Faktoradik
Barisan bilangan inversi dapat dimengerti sebagai sebuah sistem bilangan,
yang setiap digitnya memiliki sifat:
dan
Sistem bilangan ini disebut sebagai faktoradik. Masing-masing faktoradik
dapat diubah maupun dibentuk dari bilangan desimal. Ini berguna untuk dapat
menghasilkan permutasi ke-k dari sebuah untai.
Membangkitkan Permutasi
Permasalahan umum yang terdapat seputar membangkitkan permutasi
adalah:
Diberikan sebuah untai S, tentukan:
Semua permutasi dari S
Semua permutasi n-elemen dari S
Permutasi berikutnya setelah S
Permutasi ke-k dari s sesuai urutan leksikografik (atau aturan lainnya)
Jenis-jenis Permutasi Lainnya
a) Permutasi-k dari n benda
Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak
semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd,
maka permutasi-2 dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12:
ab ac ad
ba bc bd
ca cb cd
da db dc
Sedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24:
abc abd acb acd adb adc
bac bca bad bda bcd bdc
cab cba cad cda cbd cdb
dab dba dac dca dbc dcb
Banyaknya kemungkinan permutasi seperti ini adalah
b) Permutasi dengan elemen yang identik
Terkadang tidak semua unsur dalam permutasi dapat dibedakan. Unsur-
unsur ini adalah unsur-unsur yang identik atau sama secara kualitas. Suatu untai aabc
terdiri dari 4 macam unsur, yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak dua kali.
Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc adalah berjumlah 12:
aabc aacb abac abca
acab acba baac baca
bcaa caab caba cbaa
Ini bisa dimengerti sebagai permutasi biasa dengan kedua unsur a dibedakan, yaitu a0
dan a1:
a0a1bc a1a0bc = aabc
a0a1cb a1a0cb = aacb
a0ba1c a1ba0c = abac
a0bca1 a1bca0 = abca
a0ca1b a1ca0b = acab
a0cba1 a1cba0 = acba
ba0a1c ba1a0c = baac
ba0ca1 ba1ca0 = baca
bca0a1 bca1a0 = bcaa
ca0a1b ca1a0b = caab
ca0ba1 ca1ba0 = caba
cba0a1 cba1a0 = cbaa
Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak 4! = 24. Tetapi total
permutasi ini juga mencakup posisi a0 dan a1 yang bertukar-tukar, yang jumlahnya
adalah 2! (karena a terdiri dari 2 unsur: a0 dan a1). Dengan demikian jika dianggap a0
= a1 maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dengan 2!. Cara menghitung ini
dapat digeneralisasikan:
Untuk untai S sepanjang n yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak k:
Lebih general lagi, jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang
masing-masing adalah sebanyak k1, k2, ..., km, maka:
atau
Sebagai contoh, untai aaaaabbcccdddddd terdiri dari 5 a, 2 b, 3 c, dan 6 d, maka
banyaknya permutasi yang dapat dibentuk:
Dalam permutasi biasa, misalnya abcd, setiap unsur hanya muncul satu kali, sehingga
Unsur yang identik tersebut tidak perlu benar-benar identik, tetapi bisa
merupakan unsur yang berbeda, tetapi ada kualitas tertentu yang kita anggap sama
dari kedua unsur tersebut. Sebagai contoh, huruf A dan huruf a bisa dianggap identik
untuk keperluan tertentu.
c) Permutasi siklis
Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.
h a
g b
f c
e d
Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu
dari untai-untai berikut:
abcdefgh
bcdefgha
cdefghab
defghabc
efghabcd
fghabcde
ghabcdef
habcdefg
Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut
bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain.
Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis
sebagai awal untai.
a bcdefgh
--------
^ bagian yang dipermutasikan
Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan
karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen
yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup
mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak (n −
1)!.
Kombinasi
Istilah kombinasi dalam matematika kombinatorik berarti himpunan objek
yang tidak mementingkan urutan. Kombinasi berbeda dengan permutasi yang
mementingkan urutan objek.
Definisi
Kombinasi C dari sebuah himpunan S adalah himpunan bagian dari S.
Sebagai contoh, misalkan terdapat suatu kumpulan buah: apel, jeruk,
mangga, pisang. Maka {apel, jeruk} dan {jeruk, mangga, pisang} adalah merupakan
kombinasi dari kumpulan tersebut. Seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk
dari kumpulan buah tersebut adalah:
tidak ada buah apa pun
satu buah:
o apel
o jeruk
o mangga
o pisang
dua buah:
o apel, jeruk
o apel, mangga
o apel, pisang
o jeruk, mangga
o jeruk, pisang
o mangga, pisang
tiga buah:
o apel, jeruk, mangga
o apel, jeruk, pisang
o apel, mangga, pisang
o jeruk, mangga, pisang
empat buah:
o apel, jeruk, mangga, pisang
Kombinasi r dari sebuah himpunan S, berarti dari himpunan S diambil
elemen sebanyak r untuk dijadikan sebuah himpunan baru. Dalam hal kumpulan buah
di atas, himpunan {apel, jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 3 dari S, sedangkan
{jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 2 dari S.
Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat
dihitung tanpa harus memperhatikan isi dari himpunan tersebut. Besarnya dinyatakan
dengan fungsi:
Fungsi dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi .
Sebagai contoh, tanpa harus mengetahui elemen himpunan {apel, jeruk,
mangga, pisang}, banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:
Sifat rekursif dari Kombinasi
Kombinasi dapat dibentuk dari dua kombinasi sebelumnya. Ini
mengakibatkan banyaknya kombinasi juga bersifat rekursif:
Hubungan dengan Permutasi
Dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} dapat diambil permutasi 3
unsur, yang dapat didaftar sebagai berikut:
apel jeruk
mangga
apel mangga
jeruk
jeruk apel
mangga
jeruk mangga
apel
mangga apel
jeruk
mangga jeruk
apel
apel jeruk
pisang
apel pisang
jeruk
jeruk apel
pisang
jeruk pisang
apel
pisang apel
jeruk
pisang jeruk
apel
apel mangga
pisang
apel pisang
mangga
mangga apel
pisang
mangga
pisang apel
pisang apel
mangga
pisang
mangga apel
jeruk mangga
pisang
jeruk pisang
mangga
mangga jeruk
pisang
mangga
pisang jeruk
pisang jeruk
mangga
pisang
mangga jeruk
Perhatikan bahwa dalam susunan ini setiap kolom merupakan permutasi
dari kolom pertama. Karena dalam kombinasi urutan tidak dipentingkan, maka cukup
salah satu kolom saja yang diambil. Jika kita mengambil kolom pertama saja, maka
kita mendapatkan kombinasi 3 dari keempat buah tersebut adalah:
apel, jeruk, mangga
apel, jeruk, pisang
apel, mangga, pisang
jeruk, mangga, pisang
Penyusunan tabel seperti di atas akan menghasilkan atau 24 permutasi,
dengan 3! kolom, karena untuk setiap baris terdapat 3! permutasi dari kolom pertama.
Dengan demikian, jumlah baris dari tabel akan sebesar:
Aturan seperti ini dapat digeneralisasikan sehingga untuk setiap n unsur
yang dikombinasikan r unsur, berlaku:
Yang dapat dengan mudah dibuktikan:
Hubungan dengan Permutasi Berunsur Identik
Kombinasi juga berhubungan dengan permutasi dengan unsur identik.
Kombinasi dari sebuah himpunan S dapat dimengerti sebagai pemilihan unsur-unsur
himpunan S. Unsur yang terpilih kita tandai dengan 1, dan yang tidak terpilih kita
tandai dengan 0. Dengan demikian dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}
tersebut, kita dapat mendaftarkan kombinasi-3 nya seperti ini:
Kombinasi apel jeruk mangga pisang
apel, jeruk, mangga 1 1 1 0
apel, jeruk, pisang 1 1 0 1
apel, mangga, pisang 1 0 1 1
jeruk, mangga, pisang 0 1 1 1
Dengan demikian, banyaknya kombinasi 3 unsur dari himpunan S yang
berisi 4 benda setara dengan banyaknya permutasi terhadap untai 1110, yaitu:
Karena untai 1110 memiliki 4 unsur, tetapi ada 3 unsur identik, yaitu 1.
Maka total permutasinya adalah 4! dibagi dengan 3!. Kombinasi r dari n unsur, sesuai
dengan pengertian itu, selalu setara dengan permutasi yang terdiri dari r angka 1 dan
n - r angka 0. Maka permutasinya menjadi:
Yang sesuai dengan rumus kita di awal, untuk menghitung .
Koefisien Binomial
Suatu binomial (a + b)n yang dijabarkan dalam bentuk jumlahan, akan
membangkitkan koefisien-koefisien yang merupakan bilangan kombinasi.
Dengan penjabaran seperti di atas, maka banyaknya kombinasi r dari n
unsur bisa didapat dari setiap suku:
Daftar berikut menunjukkan beberapa penjabaran binomial:
1. (a + b)0 = 1a0b0
2. (a + b)1 = 1a1b0 + 1a0b1
3. (a + b)2 = 1a2b0 + 2a1b1 + 1a0b2
4. (a + b)3 = 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + 1a0b3
5. (a + b)4 = 1a4b0 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + 1a0b4
6. (a + b)5 = 1a5b0 + 5a4b1 + 10a3b2 + 10a2b3 + 5a1b4 + 1a0b5
7. (a + b)6 = 1a6b0 + 6a5b1 + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6a1b5 + 1a0b6
Segitiga Pascal
Dengan menuliskan hanya koefisiennya saja, dari penjabaran binomial
dapat kita peroleh:
1.
2.
3.
4.
Jika diteruskan, daftar koefisien ini akan membentuk susunan yang disebut sebagai
Segitiga Pascal.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1