Post on 26-Oct-2015
HASIL KALI TRANSFORMASI
Definisi: Andaikan F dan G dua transformasi, dengan
Maka produk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G o F didefinisikan sebagai
(G o F)(P) = G [F(P)], ∀ P∈V .
Teorema 5.1: Jika F : V→V dan G : V→V masing-masing suatu transformasi,
maka hasilkali H= G o F : V→V adalah juga suatu transformasi.
Bukti :
i. Harus dibuktikan bahwa H= G o F : V→V ada.
1) Jelas adalah seluruh bidang V
2) Jelas adalah seluruh bidang V
Jadi ada sehingga H = G o F : V→V ada.
ii. Harus dibuktikan dua hal yaitu: 1) H surjektif, 2) H injektif.
1) Misal H(y) = (G o F)(y) = x
Akan dibuktikan H(y) = x surjektif.
Ambil sebarang x V.
Karena G suatu transformasi maka G surjektif artinya
x V z V G(z) = x.
Karena F suatu transformasi maka F surjektif artinya
pada z V y V z = F(y).
Jadi ada y V (G o F)(y) = H(y) = x.
Jadi H surjektif.
2) Ambil x, y dengan x y H(x) H(y)
Andaikan H(x) = H(y) maka (G o F)(x) = (G o F)(y)
Karena G injektif maka F(x) = F(y).
F :V →VG :V →V
Karena F injektif maka x = y.
Ini suatu kontradiksi.
Jadi pengandaian salah, sehingga haruslah x y.
Jadi H injektif.
Berdasarkan i dan ii maka H= G o F : V→V adalah suatu transformasi.
Catatan:
Hasil kali J = F o G : V→V adalah juga suatu transformasi.
Bukti :
i. Harus dibuktikan bahwa J = F o G : V→V ada.
1) Jelas adalah seluruh bidang V
2) Jelas adalah seluruh bidang V
Jadi ada sehingga J = F o G : V→V ada.
ii. Harus dibuktikan dua hal yaitu: 1). J surjektif, 2). J injektif.
1) Misal J(y) = (F o G)(y) = x.
Akan dibuktikan J(y) = x surjektif.
Ambil sebarang x V.
Karena F suatu transformasi maka F surjektif artinya
x V z V F(z) = x.
Karena G suatu transformasi maka G surjektif artinya
pada z V y V z = G(y).
Jadi ada y V (F o G)(y) = J(y) = x.
Jadi J surjektif.
2) Ambil x, y dengan x y J(x) J(y).
Andaikan J(x) = J(y) maka (F o G)(x) = (F o G)(y)
Karena F injektif maka G(x) = G(y).
Karena G injektif maka x = y.
Ini suatu kontradiksi dengan x y.
Jadi pengandaian salah, sehingga haruslah x y.
Jadi J injektif.
g
h
A
CB
A’
C’
C”
A”
B”
g
A = A’
CB
C’B’
Berdasarkan i dan ii maka J = F o G : V→V adalah suatu transformasi.
1). Diketahui : garis-garis g dan h, A∈ g, B∈ h, C ∈ h
Lukislah :
a). Mg[Mh(Δ ABC)]
b). Mh[Mg(Δ ABC)]
c). K sehingga Mg[Mh(K)] = K
d). R sehingga Mh[Mg(R)] = D
Penyelesaian:
a).
Mh(A) = A’
Mh(B) = B (karena B∈h )
Mh(C) = C’
Mg(A’) = A”
Mg(B’) = B”
Mg(C’) = C”
Jadi, Mg[Mh(ABC)] = A”B”C”.
b).
g
h
K
g
h
R
D
Mg(A) = A’ = A (karena A∈g )
Mg(B) = B’
Mg(C) = C’
Mh(A’) = A”
Mh(B’) = B”
Mh(C’) = C”
Jadi, Mh[Mg(ABC)] = A”B”C”.
c). Akan dilukis K sehingga Mg[Mh(K)] = K.
Mg[Mh(K)] = K ⇔ (MgMh)(K) = K.
Hasil kali persamaan (MgMh)(K) = K hanya akan terjadi pada titik potong antara garis g
dan garis h. Oleh karena itu K adalah titik potong garis g dan garis h.
d). Akan dilukiskan titik R sehingga Mh[Mg(R)] = D.
Karena D∈h maka D’ = Mh(D) = D.
Diperoleh Mg(R) = D.
Jadi, R adalah prapeta D oleh Mg
Teorema 1
Setiap transformasi T memiliki balikan.
Bukti:
Dipunyai T transformasi, akan dibuktikan T memiliki balikan.
Misal balikan dari T adalah L, maka TL=LT =I
Oleh karena T suatu transformasi, maka T surjektif.
Karena surjektif, ∀ x∈V ∃ prapeta A∈V ∋T ( A )=X
Kita tentukan L ( X )=A .
Kita punya T ( A )=X . Karena L ( X )=A , maka T [ L ( X ) ]=X
Jadi L ( X ) adalah prapeta dari X .
Diperoleh T [ L ( X ) ]=X atau (TL ) ( X )=X .
Karena (TL ) ( X )=X maka menurut definisi identitas I ( X )=X
(TL ) ( X )=I ( X )=X
Jadi, TL=I
Selanjutnya ( LT ) ( X )=L [T ( X ) ]
Andaikan T ( X )=B
Karena transformasi maka ∃ x prapeta dari B dengan X=L ( B )
Jadi, karena T ( X )=B , maka L [T ( X )]=L (B )=X .
Jadi ( LT ) ( X )=X=I ( X ) ,∀ X∈V .
Jadi, LT =I . Sehingga TL=LT =I .
Sekarang akan dibuktikan bahwa L adalah suatu transformasi.
Dari definisi L, jelas L suatu padanan yang surjektif.
Selanjutnya akan dibuktikan L injektif.
Andaikan L (X1 )=L (X 2) dan andaikan pula T ( A1 )=X1 ,T ( A2 )=X 2 dengan L (X1 )=A1 dan
L (X2 )=A2
Karena T transformasi, dan jika A1=A2 maka T ( A1 )=T ( A2 ), sehingga kita peroleh
X1=X 2 .
Jadi karena T transformasi dan L( X1 )=L( X2) maka:
T [ L( X1) ]=T [ L( X2 )]⇔T ( A1 )=T ( A2)⇔ X1=X2
Jadi, L injektif. Sehingga L bijektif, maka L suatu transformasi.
Karena TL=LT =I , maka L merupakan balikan dari transformasi T yang dilambangkan
dengan T−1
. Jadi L = T−1
.
Contoh:
Pada suatu sistem sumbu ortogonal XOY didefinisikan transformasi F dan G sebagai berikut:
∀ P (x . y ) , F ( P)=(x+2 ,12
y) dan G( P )=( x−2,2 y )
Sehingga ( FG ) ( P )=F [G( P) ]=F [( x−2,2 y ) ]=( x , y )=P
Dan (GF ) ( P )=G [ F (P )]=G [( x+2 ,
12
y )]=( x , y )=P
Jadi ( FG ) ( P )=(GF )( P)=P=I (P ) ,∀ P
Atau FG=GF=I
Jadi F dan G balikan satu sama lain. Kita tulis G=F−1
Latihan.
1. Jika g sebuah garis dan A sebuah titik, tentukan balikan transformasi–transformasi berikut:
a) W g b) V g c) M g d) U A
g
h
AAAVgA 2)(1
Penyelesaian:
Kasus 1 untuk A g
a) Menurut definisi identitas
Jika A V maka I (A) = A
⇔ I ( A )=A
⇔ [Wg−1Wg ]( A )=A⇔Wg−1 [Wg ( A ) ]=A
Wg−1( A )=A
Jadi, Wg−1( A )=A
Kasus 2 untuk A g
Menurut definisi dari padanan Wg
Apabila A g maka Wg ( A )=A '=1
2h=1
2A
dimana h adalah ruas garis tegak lurus
dengan g dari A.
Diketahui W g ( A )=1
2A
V g( A )=2 A
Karena W g ( A )=1
2A
V g( A )=2 A
Maka W
g−1( A )=V g( A )
b) Kasus 1 untuk A g
Menurut definisi identitas
Jika A V maka I (A) = A
⇔(Vg−1 Vg )( A )=A⇔Vg−1(Vg( A ))=A
Vg−1 ( A )=A
Untuk kasus 2, A g
Menurut definisi identitas
g
h
A
AAVgA 2)(1 Diketahui
W g ( A )=12
A
V g( A )=2 A
Karena W g ( A )=1
2A
V g( A )=2 A
Maka V
g−1 ( A )=W g( A )
c) Kasus 1 untuk A g
Menurut definisi pencerminan
Jika A g, maka Mg(A) = A maka Mg−1( A )=A
Untuk kasus 2, A g
Menurut definisi pencerminan
Jika A g, maka Mg ( A )=A1
Menurut Teorema 6.3
Mg ( A )=A1
⇔ I ( A )=A
⇔ ( MgMg ) ( A )=A⇔Mg ( Mg ( A ))=A
⇔Mg( A1 )=A⇔Mg−1
d) Jika P=A jelas U A (P )=P . Jadi balikan dari U A adalah U A .
Jika P≠A maka U A (P )=P' dimana P
' adalah titik tengah ruas garis PA
Dari hipotesis ”Jika P∉G , V g( P )=P1, sehingga P adalah titik tengah ruas garis tegak
lurus dari A pada g, dan misalkan A∈g , dan merupakan titik potong garis yang tegak
lurus dengan g dan melalui titik P dan P', maka P titik tengah ruas garis P
' A . Jadi V A
balikan dari U A .
2. Sederhanakanlah:
a) ( M g V h )−1
b) (W g V g )−1
c) (W g M s )−1
d) (V g W s)−1
e) ( M g M s )−1
f) (V s W g )−1∘W s
Penyelesaian:
Menurut teorema apabila T dan S transformasi maka (T ∘S )−1=S−1∘T−1 maka:
a)( M g V h )
−1=Vh−1 M
g−1=W h M g
b) ( M g V g )−1=V
g−1 M
g−1=W g V g
c) ( M g M s )−1=M
s−1 M
g−1=M s V g
d) (V g W s)−1=W
s−1 V
g−1=V s W g
e) ( M g M s )−1=M
s−1 M
g−1=M s M g
f) (V s W g )−1∘W s=( M
g−1 V
s−1 )∘W s=( M g W s )∘W s
3. Andaikan g sebuah garis,
a. Apakah W g sebuah isometri?
b. Apakah W g sebuah involusi ?
c. Apabila A, B dan C segaris (kolinear), apakah yang dapat katakana tentang peta-
petanya ?
Penyelesaian:
a) Ambil sebarang tiga titik A , B , dan C dengan A≠B≠C dan A ,B ,C∉ g
Karena A∉g maka W g ( A )=A ' adalah titik tengah garis tegak lurus dari A pada g.
Karena B∉ g maka W g (B )=B' adalah titik tengah garis tegak lurus dari B pada g.
Karena C∉g maka W g (C )=C' adalah titik tengah garis tegak lurus dari C pada g.
b) Ambil sebarang titik A∉g .
Karena A∉g maka W g ( A )=A ' adalh titik tengah ruas garis tegak lurus dari A pada g.
Ini berarti W g ( A ' ) bukan merupakan balikan dari W g ( A )
Jadi W g bukan suatu involusi.
c) Ambil tiga titik A , B , dan C yang segaris.
A∉G , W g( A )=A '∋ AA '⊥g dan AA'=A ' r ,
B∉G ,W g (B )=B'∋B'⊥ g dan BB'=B' r ,
C∉G ,W g (C )=C '∋CC'⊥g dan CC '=C' r ,
AA'⊥ g
BB'⊥g
CC ' ⊥g
Jadi AA' // BB' // CC ' // atau Ap // Bq // Cr .
Sehingga AB=pq ,dan BC=qr . Akibatnya AB=A' B' dan BC=B' C '
.
Dapat disimpulkan jika A ,B , dan C segaris maka W g adalah sebuah isometri.