HASIL KALI TRANSFORMASI

Definisi: Andaikan F dan G dua transformasi, dengan

Maka produk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G o F didefinisikan sebagai

(G o F)(P) = G [F(P)], ∀ P∈V .

Teorema 5.1: Jika F : V→V dan G : V→V masing-masing suatu transformasi,

maka hasilkali H= G o F : V→V adalah juga suatu transformasi.

Bukti :

i. Harus dibuktikan bahwa H= G o F : V→V ada.

1) Jelas adalah seluruh bidang V

2) Jelas adalah seluruh bidang V

Jadi ada sehingga H = G o F : V→V ada.

ii. Harus dibuktikan dua hal yaitu: 1) H surjektif, 2) H injektif.

1) Misal H(y) = (G o F)(y) = x

Akan dibuktikan H(y) = x surjektif.

Ambil sebarang x V.

Karena G suatu transformasi maka G surjektif artinya

x V z V G(z) = x.

Karena F suatu transformasi maka F surjektif artinya

pada z V y V z = F(y).

Jadi ada y V (G o F)(y) = H(y) = x.

Jadi H surjektif.

2) Ambil x, y dengan x y H(x) H(y)

Andaikan H(x) = H(y) maka (G o F)(x) = (G o F)(y)

Karena G injektif maka F(x) = F(y).

F :V →VG :V →V

Karena F injektif maka x = y.

Ini suatu kontradiksi.

Jadi pengandaian salah, sehingga haruslah x y.

Jadi H injektif.

Berdasarkan i dan ii maka H= G o F : V→V adalah suatu transformasi.

Catatan:

Hasil kali J = F o G : V→V adalah juga suatu transformasi.

Bukti :

i. Harus dibuktikan bahwa J = F o G : V→V ada.

1) Jelas adalah seluruh bidang V

2) Jelas adalah seluruh bidang V

Jadi ada sehingga J = F o G : V→V ada.

ii. Harus dibuktikan dua hal yaitu: 1). J surjektif, 2). J injektif.

1) Misal J(y) = (F o G)(y) = x.

Akan dibuktikan J(y) = x surjektif.

Ambil sebarang x V.

Karena F suatu transformasi maka F surjektif artinya

x V z V F(z) = x.

Karena G suatu transformasi maka G surjektif artinya

pada z V y V z = G(y).

Jadi ada y V (F o G)(y) = J(y) = x.

Jadi J surjektif.

2) Ambil x, y dengan x y J(x) J(y).

Andaikan J(x) = J(y) maka (F o G)(x) = (F o G)(y)

Karena F injektif maka G(x) = G(y).

Karena G injektif maka x = y.

Ini suatu kontradiksi dengan x y.

Jadi pengandaian salah, sehingga haruslah x y.

Jadi J injektif.

g

h

A

CB

A’

C’

C”

A”

B”

g

A = A’

CB

C’B’

Berdasarkan i dan ii maka J = F o G : V→V adalah suatu transformasi.

1). Diketahui : garis-garis g dan h, A∈ g, B∈ h, C ∈ h

Lukislah :

a). Mg[Mh(Δ ABC)]

b). Mh[Mg(Δ ABC)]

c). K sehingga Mg[Mh(K)] = K

d). R sehingga Mh[Mg(R)] = D

Penyelesaian:

a).

Mh(A) = A’

Mh(B) = B (karena B∈h )

Mh(C) = C’

Mg(A’) = A”

Mg(B’) = B”

Mg(C’) = C”

Jadi, Mg[Mh(ABC)] = A”B”C”.

b).

g

h

K

g

h

R

D

Mg(A) = A’ = A (karena A∈g )

Mg(B) = B’

Mg(C) = C’

Mh(A’) = A”

Mh(B’) = B”

Mh(C’) = C”

Jadi, Mh[Mg(ABC)] = A”B”C”.

c). Akan dilukis K sehingga Mg[Mh(K)] = K.

Mg[Mh(K)] = K ⇔ (MgMh)(K) = K.

Hasil kali persamaan (MgMh)(K) = K hanya akan terjadi pada titik potong antara garis g

dan garis h. Oleh karena itu K adalah titik potong garis g dan garis h.

d). Akan dilukiskan titik R sehingga Mh[Mg(R)] = D.

Karena D∈h maka D’ = Mh(D) = D.

Diperoleh Mg(R) = D.

Jadi, R adalah prapeta D oleh Mg

Teorema 1

Setiap transformasi T memiliki balikan.

Bukti:

Dipunyai T transformasi, akan dibuktikan T memiliki balikan.

Misal balikan dari T adalah L, maka TL=LT =I

Oleh karena T suatu transformasi, maka T surjektif.

Karena surjektif, ∀ x∈V ∃ prapeta A∈V ∋T ( A )=X

Kita tentukan L ( X )=A .

Kita punya T ( A )=X . Karena L ( X )=A , maka T [ L ( X ) ]=X

Jadi L ( X ) adalah prapeta dari X .

Diperoleh T [ L ( X ) ]=X atau (TL ) ( X )=X .

Karena (TL ) ( X )=X maka menurut definisi identitas I ( X )=X

(TL ) ( X )=I ( X )=X

Jadi, TL=I

Selanjutnya ( LT ) ( X )=L [T ( X ) ]

Andaikan T ( X )=B

Karena transformasi maka ∃ x prapeta dari B dengan X=L ( B )

Jadi, karena T ( X )=B , maka L [T ( X )]=L (B )=X .

Jadi ( LT ) ( X )=X=I ( X ) ,∀ X∈V .

Jadi, LT =I . Sehingga TL=LT =I .

Sekarang akan dibuktikan bahwa L adalah suatu transformasi.

Dari definisi L, jelas L suatu padanan yang surjektif.

Selanjutnya akan dibuktikan L injektif.

Andaikan L (X1 )=L (X 2) dan andaikan pula T ( A1 )=X1 ,T ( A2 )=X 2 dengan L (X1 )=A1 dan

L (X2 )=A2

Karena T transformasi, dan jika A1=A2 maka T ( A1 )=T ( A2 ), sehingga kita peroleh

X1=X 2 .

Jadi karena T transformasi dan L( X1 )=L( X2) maka:

T [ L( X1) ]=T [ L( X2 )]⇔T ( A1 )=T ( A2)⇔ X1=X2

Jadi, L injektif. Sehingga L bijektif, maka L suatu transformasi.

Karena TL=LT =I , maka L merupakan balikan dari transformasi T yang dilambangkan

dengan T−1

. Jadi L = T−1

.

Contoh:

Pada suatu sistem sumbu ortogonal XOY didefinisikan transformasi F dan G sebagai berikut:

∀ P (x . y ) , F ( P)=(x+2 ,12

y) dan G( P )=( x−2,2 y )

Sehingga ( FG ) ( P )=F [G( P) ]=F [( x−2,2 y ) ]=( x , y )=P

Dan (GF ) ( P )=G [ F (P )]=G [( x+2 ,

12

y )]=( x , y )=P

Jadi ( FG ) ( P )=(GF )( P)=P=I (P ) ,∀ P

Atau FG=GF=I

Jadi F dan G balikan satu sama lain. Kita tulis G=F−1

Latihan.

1. Jika g sebuah garis dan A sebuah titik, tentukan balikan transformasi–transformasi berikut:

a) W g b) V g c) M g d) U A

g

h

AAAVgA 2)(1

Penyelesaian:

Kasus 1 untuk A g

a) Menurut definisi identitas

Jika A V maka I (A) = A

⇔ I ( A )=A

⇔ [Wg−1Wg ]( A )=A⇔Wg−1 [Wg ( A ) ]=A

Wg−1( A )=A

Jadi, Wg−1( A )=A

Kasus 2 untuk A g

Menurut definisi dari padanan Wg

Apabila A g maka Wg ( A )=A '=1

2h=1

2A

dimana h adalah ruas garis tegak lurus

dengan g dari A.

Diketahui W g ( A )=1

2A

V g( A )=2 A

Karena W g ( A )=1

2A

V g( A )=2 A

Maka W

g−1( A )=V g( A )

b) Kasus 1 untuk A g

Menurut definisi identitas

Jika A V maka I (A) = A

⇔(Vg−1 Vg )( A )=A⇔Vg−1(Vg( A ))=A

Vg−1 ( A )=A

Untuk kasus 2, A g

Menurut definisi identitas

g

h

A

AAVgA 2)(1 Diketahui

W g ( A )=12

A

V g( A )=2 A

Karena W g ( A )=1

2A

V g( A )=2 A

Maka V

g−1 ( A )=W g( A )

c) Kasus 1 untuk A g

Menurut definisi pencerminan

Jika A g, maka Mg(A) = A maka Mg−1( A )=A

Untuk kasus 2, A g

Menurut definisi pencerminan

Jika A g, maka Mg ( A )=A1

Menurut Teorema 6.3

Mg ( A )=A1

⇔ I ( A )=A

⇔ ( MgMg ) ( A )=A⇔Mg ( Mg ( A ))=A

⇔Mg( A1 )=A⇔Mg−1

d) Jika P=A jelas U A (P )=P . Jadi balikan dari U A adalah U A .

Jika P≠A maka U A (P )=P' dimana P

' adalah titik tengah ruas garis PA

Dari hipotesis ”Jika P∉G , V g( P )=P1, sehingga P adalah titik tengah ruas garis tegak

lurus dari A pada g, dan misalkan A∈g , dan merupakan titik potong garis yang tegak

lurus dengan g dan melalui titik P dan P', maka P titik tengah ruas garis P

' A . Jadi V A

balikan dari U A .

2. Sederhanakanlah:

a) ( M g V h )−1

b) (W g V g )−1

c) (W g M s )−1

d) (V g W s)−1

e) ( M g M s )−1

f) (V s W g )−1∘W s

Penyelesaian:

Menurut teorema apabila T dan S transformasi maka (T ∘S )−1=S−1∘T−1 maka:

a)( M g V h )

−1=Vh−1 M

g−1=W h M g

b) ( M g V g )−1=V

g−1 M

g−1=W g V g

c) ( M g M s )−1=M

s−1 M

g−1=M s V g

d) (V g W s)−1=W

s−1 V

g−1=V s W g

e) ( M g M s )−1=M

s−1 M

g−1=M s M g

f) (V s W g )−1∘W s=( M

g−1 V

s−1 )∘W s=( M g W s )∘W s

3. Andaikan g sebuah garis,

a. Apakah W g sebuah isometri?

b. Apakah W g sebuah involusi ?

c. Apabila A, B dan C segaris (kolinear), apakah yang dapat katakana tentang peta-

petanya ?

Penyelesaian:

a) Ambil sebarang tiga titik A , B , dan C dengan A≠B≠C dan A ,B ,C∉ g

Karena A∉g maka W g ( A )=A ' adalah titik tengah garis tegak lurus dari A pada g.

Karena B∉ g maka W g (B )=B' adalah titik tengah garis tegak lurus dari B pada g.

Karena C∉g maka W g (C )=C' adalah titik tengah garis tegak lurus dari C pada g.

b) Ambil sebarang titik A∉g .

Karena A∉g maka W g ( A )=A ' adalh titik tengah ruas garis tegak lurus dari A pada g.

Ini berarti W g ( A ' ) bukan merupakan balikan dari W g ( A )

Jadi W g bukan suatu involusi.

c) Ambil tiga titik A , B , dan C yang segaris.

A∉G , W g( A )=A '∋ AA '⊥g dan AA'=A ' r ,

B∉G ,W g (B )=B'∋B'⊥ g dan BB'=B' r ,

C∉G ,W g (C )=C '∋CC'⊥g dan CC '=C' r ,

AA'⊥ g

BB'⊥g

CC ' ⊥g

Jadi AA' // BB' // CC ' // atau Ap // Bq // Cr .

Sehingga AB=pq ,dan BC=qr . Akibatnya AB=A' B' dan BC=B' C '

.

Dapat disimpulkan jika A ,B , dan C segaris maka W g adalah sebuah isometri.