Post on 07-Mar-2019
PEMODELAN DAN SIMULASI SISTEM DINAMIKA PROPAGASI POTENSIAL AKSI TERSTIMULASI ARUS EKSTERNAL SERTA SINKRONISASI CHAOTIK JARINGAN SYARAF
MADA SANJAYA WS
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2009
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASINYA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pemodelan dan Simulasi Sistem Dinamika Propagasi Potensial Aksi Terstimulasi Arus Eksternal serta Sinkronisasi Chaotik Jaringan Syaraf adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Januari 2009
Mada Sanjaya WS NIM G751070061
ABSTRACT
MADA SANJAYA WS. Modeling and Simulation Dynamical Systems of Propagating Action Potentials Stimulated by External Current and Chaotic Synchronization in Neuronal Networks. Under direction of AGUS KARTONO and IRZAMAN
System of signals propagation from one neuron to another represent event of very complex electrochemical mechanism. Through model of Hodgkin-Huxley obtained that at membrane there are special channels which can only be entered by certain ion (selective permeable), in experiment which Hodgkin-Huxley proceeded that there are two main channels membrane, potassium channel (K+) and the sodium channel (Na+). That channels were hypotetized had influenced by three variables that is m, h, and n. From analysis of Fitzhugh-Nagumo models, it was obtained a phase space curve which very depend on external current stimulation. When external current was zero, the oscillation was not happened but there will be oscillation after external current was stimulated. But there was limit of maximum current where oscillation of membrane potentials was not happened anymore because the potential have stabilized asymptotically. From approach of dynamics, it also seen bifurcation process when the parameter was changed ,in this case the changes is external current and fulfill theory of Hopf bifurcation with the appearances of critical point that have “stable limit cycle” character. In this paper, it shown that there was qualitative similarity between Hodgkin-Huxley model and Fitzhugh-Nagumo two dimension models. This examination naturally comes to the study of neuron networks. The analysis of these networks uses the synchronization theory via connections between neurons and can give rise to emergent properties and self-organization.
Keywords : Hodgkin-Huxley models, Fitzhugh-Nagumo, action potentials, synchronization, chaos.
RINGKASAN
MADA SANJAYA WS. Pemodelan dan Simulasi Sistem Dinamika Propagasi Potensial Aksi Terstimulasi Arus Eksternal serta Sinkronisasi Chaotik Jaringan Syaraf. Dibimbing oleh AGUS KARTONO dan IRZAMAN
Salah satu bidang yang menjadi awal berkembangnya biofisika adalah studi tentang fisiologi syaraf, yang pada beberapa dekade lalu telah dipahami bahwa terjadi proses dasar sistem komunikasi unik elektrokimia yang berperan penting dalam sistem syaraf kita. Otak kita dan setiap subsistem lain pada sistem syaraf terdiri dari sel yang disebut neuron (sel syaraf).
Penelitian ini bertujuan untuk mengkonstruksi model dan membuat simulasi proses propagasi sinyal potensial aksi dari sel syaraf (neuron) tunggal sampai membentuk jaringan syaraf sederhana (neuronal networks) dengan menggunakan model Hodgkin-Huxley dan model Fitzhugh-Nagumo yang telah dimodifikasi, dalam hal ini modifikasinya berupa arus eksternal yang menjadi stimulus dan membuat modifikasi model untuk beberapa neuron yang terkopel membentuk jaringan syaraf (neuronal networks) melalui teori sinkronisasi chaotik.
Sistem propagasi sinyal dari satu neuron ke neuron lainya merupakan peristiwa elektrokimia yang sangat kompleks. Melalui model Hodgkin-Huxley diperoleh bahwa pada membran terdapat saluran-saluran khusus yang hanya dapat dimasuki oleh ion tertentu, dalam eksperimen yang dilakukannya Hodgkin-Huxley menyatakan bahwa terdapat dua saluran utama membran yaitu saluran potassium (ion K+) dan saluran sodium (ion Na+). Kedua saluran tersebut dihipotesiskan dipengaruhi oleh tiga variabel yaitu m, h dan n. Variabel m merupakan probabilitas aktivasi (terbukanya) saluran sodium sedangkan h adalah probabilitas inaktivasi (tertutupnya) saluran sodium dan variabel n yang merupakan probabilitas aktivasi saluran potassium. Dari grafik hasil simulasi parameter Hodgkin-huxley diketahui bahwa m berubah secara cepat sehingga berpengaruh sebagai penyebab terjadinya depolariazation potensial aksi kemudian diikuti dengan variabel n yang menyebabkan setelah mencapai puncak, potensial aksi akan mengalami hyper-polarization dan h merupakan variabel yang paling lambat berubah memiliki peranan sebagai penyebab potensial aksi turun melebihi batas potensial istirahat. Selain itu dalam penelitian ini juga diperoleh grafik pengaruh suhu terhadap terjadinya potensial aksi, dalam penelitian diperoleh bahwa semakin besar suhu yang diberikan maka terjadinya potensial aksi semakin cepat (Depolarization) karena gerakan ion sodium semakin cepat dengan meningkatnya suhu sesuai dengan teori yang mendasarinya. Dengan memasukan data tentang akson tak bermyelin dengan a = 0.0238 cm,
1).(4.35/1 cm , 2/1 cmFCm diperoleh kecepatan propagasi potensial aksi sebesar 18.80 m/s pada suhu 6.30C ketika tidak ada arus stimulus eksternal. Sedangkan ketika diberikan stimulus arus eksternal maka kecepatan propagasinya akan semakin besar karena frekuensi osilasinya bertambah besar, hasil ini terdapat kesesuaian dengan penelitian sebelumnya.
Melalui analisis Dinamika persamaan Fitzhugh-Nagumo diperoleh grafik ruang fase yang amat bergantung pada besarnya arus eksternal yang diberikan.
Saat arus eksternalnya nol maka tidak terjadi osilasi tetapi setelah pemberian arus eksternal terjadi osilasi pada potensial membran yang memiliki frekuensi bergantung pada arus yang diberikan. Tetapi terdapat batas arus maksimal dimana ketika arus dinaikan tidak lagi terjadi osilasi potensial membran karena potensial sudah stabil asimtotik. Dari pendekatan teori dinamika juga terlihat terjadinya bifurkasi atau perubahan sifat titik kritis ketika parameternya diubah dalam hal ini arus eksternal dan memenuhi teori bifurkasi Hopf dengan kemunculan titik kritis bersifat ”Stable Limit Cycle”. Dalam penelitian inipun dikaji terjadinya gejala chaotik ketika arus stimulus yang diberikan berupa arus stimulus eksternal yang periodik sinusoidal.
Hasil terakhir dalam penelitian ini adalah mempelajari mekanisme komunikasi antara beberapa neuron membentuk jaringan syaraf dengan pendekatan teori sinkronisasi diperoleh bahwa dengan semakin banyaknya neuron yang berinteraksi maka terjadinya ambang sinkronisasi semakin kecil. Dari simulasi yang dibuat terlihat adanya pengaturan diri (self-organization) dari sel neuron yakni ketika jumlah neuron yang berinteraksi semakin banyak maka secara otomatis hanya dibutuhkan konstanta kopling yang kecil untuk menghasilkan sinyal yang sinkron (sesuai antara satu neuron dengan yang lain) meski sinyal dari neuron tunggal berupa potensial aksi yang bersifat chaotik.
Untuk kelanjutan penelitian diperlukan pembuktian secara eksperimen lanjutan mengenai hasil simulasi perhitungan numerik sehingga penelitian teori ini selain menjadi dasar teori juga dapat diaplikasikan secara nyata dalam bidang medis dan neuroscience. Selain itu, metode sistem dinamika dan sinkronisasi chaotik yang terdapat dalam penelitian ini dapat digunakan dalam penelitian bidang lain seperti penelitian karakteristik distribusi potensial pada jantung yang bermanfaat di bidang medis (pemodelan jantung), sistem dinamika penyebaran penyakit (epidemics), sistem dinamika pada ekologi, untuk meningkatkan kekuatan laser, untuk mensinkronisasi output sirkuit elektronik, untuk mengkontrol osilasi pada reaksi kimia, atau untuk mengkode pesan elektronik untuk keamanan komunikasi dan lannya. Sehingga, teori ini dapat dipakai dalam berbagai bidang disiplin ilmu.
Kata kunci : model Hodgkin-Huxley, Fitzhugh-Nagumo, potensial aksi, sinkronisasi, chaos.
(C) Hak Cipta milik IPB, tahun 2009
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutioan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
PEMODELAN DAN SIMULASI SISTEM DINAMIKA PROPAGASI POTENSIAL AKSI TERSTIMULASI ARUS EKSTERNAL SERTA SINKRONISASI CHAOTIK JARINGAN SYARAF
MADA SANJAYA WS
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada Program Studi Biofisika
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2009
Judul Tesis : Pemodelan dan Simulasi Sistem Dinamika Propagasi Potensial Aksi Terstimulasi Arus Eksternal serta Sinkronisasi Chaotik Jaringan Syaraf.
Nama : Mada Sanjaya WS NIM : G751070061
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Agus Kartono
Ketua
Dr. Irzaman
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Biofisika
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Akhiruddin Maddu
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S
Tanggal Ujian :
Tanggal Lulus :
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Akhiruddin Maddu
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan taufik dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis berjudul “Pemodelan dan Simulasi Sistem Dinamika Propagasi Potensial Aksi Terstimulasi Arus Eksternal serta Sinkronisasi Chaotik Jaringan Syaraf “, yang dilakukan dalam rangka tugas akhir untuk menyelesaikan program pendidikan S2 Biofisika pada Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor.
Pada kesempatan ini, penulis mengucapkan banyak terima kasih dan memberikan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada Bapak Dr. Agus Kartono dan Bapak Dr. Irzaman atas segala bimbingan dan motivasinya yang diberikan kepada penulis untuk segera menyelesaikan penelitian ini serta kepada Departemen Pendidikan Nasional melalui Beasiswa Unggulan yang diterima penulis. Kepada orangtua dan seluruh sanak keluarga penulis, juga kepada “Dua Rembulan dalam HatiKu”, seluruh staff dan dosen Fisika khususnya, dan IPB pada umumnya. Serta seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tak mungkin disebutkan satu-persatu, juga kepada semua teman-teman seperjuangan Fisika.
Penulis memahami bahwa tiada gading yang tak retak. Oleh karena itu, segala macam saran dan kritik yang membangun akan penulis terima dengan senang hati. Semoga apa yang disampaikan oleh penulis akan bermanfaat bagi ilmu pengetahuan.
Bogor, Januari 2009
Mada Sanjaya WS
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cirebon, pada tanggal 11 Oktober 1985 sebagai anak kedua dari tiga bersaudara, pasangan Waryano Sunaryo dan Eti. Penulis menyelesaikan studinya di SMU Negeri 1 Lemah Abang,Cirebon pada tahun 2003 dan pada tahun yang sama diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis terdaftar sebagai mahasiswa Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama duduk di bangku kuliah, penulis aktif dalam berbagai kegiatan (kepanitiaan) dan organisasi intra kampus seperti menjadi anggota DKM Masjid Al Hurriyah IPB pada tahun 2003 – 2007 , Departemen Kerohanian Himpunan Mahasiswa Fisika (HiMaFi) IPB pada tahun 2003 – 2004, staff Departemen kerohanian BEM FMIPA pada tahun 2004-2005,staff Departemen Kebijakan Nasional BEM KM IPB pada tahun 2005. Penulis pernah menjadi asisten praktikum mata kuliah Fisika Dasar I dan II 2004-2006, Penulis juga aktif mengajar private di kota Bogor, menjadi staff pengajar A-Project ,Physics Challange dan Best Student Program pada tahun 2004 – 2006. Serta menjadi tutor di Bimbingan Belajar Bintang Pelajar Regional Bogor pada tahun 2006, Bimbingan Belajar Nurul Fikri pada tahun 2007 dan guru fisika SMA Dwi Warna pada tahun 2007. Setelah menyelesaikan pendidikan S1 Fisika, penulis mendapatkan Beasiswa Unggulan Depdiknas pada tahun 2007 untuk melanjutkan kuliah pada program S2 Biofisika Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Sekarang penulis bekerja sebagai peneliti Balai Besar Kulit, Karet dan Plastik Yogyakarta Departemen Perindustrian.
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL iii DAFTAR GAMBAR iv DAFTAR LAMPIRAN vi 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Manfaat Penelitian 4
1.5 Ruang Lingkup Penelitian 4 2 MODEL NEURON HODGKIN-HUXLEY 5
2.1 Potensial Membran 5
2.2 Model Sirkuit Hodgkin-Huxley 7
2.3 Pengaruh Suhu pada Model Hodgkin-Huxley 9
2.4 Propagasi Potensial Aksi 10
2.5 Hipotesis Propagasi Seragam 11 3 ANALISIS DAN SIMULASI MODEL HODGKIN-HUXLEY 14
3.1 Analisis Dinamik Model Hodgkin-Huxley 14
3.1.1 Kuat Arus Stimulus I = 0 14
3.1.2 Kuat Arus Stimulus I > 0 16
3.2 Simulasi Pengaruh Suhu pada Model Hodgkin-Huxley 17
3.3 Metode Numerik Kecepatan Propagasi Potensial Aksi 18 4 MODEL DINAMIK NEURON FITZHUGH-NAGUMO 20
4.1 Model Dinamik Neuron Fitzhugh-Nagumo 20
4.2 Teori Dasar Sistem Dinamik 21
4.2.1 Sistem Dinamik dan Deterministik 21
4.2.2 Persamaan Diferensial Orde Pertama 21
4.2.3 Titik Kritis (Critical Point) 22
i
4.2.4 Konstruksi Matrik Jacobi 22
4.2.5 Vektor Eigen dan Nilai Eigen 22
4.2.6 Orbit Kestabilan 23
4.2.7 Bifurkasi Hopf 24
4.3 Penentuan Titik Kritis Model Fitzhugh-Nagumo 25
4.4 Matrik Jacobian Model Fitzhugh-Nagumo 26
4.5 Nilai Eigen dan Syarat Kestabilan Model Fitzhugh-Nagumo 26
4.6 Analisis Kestabilan Titik Kritis Model Fitzhugh-Nagumo 26
4.6.1 Kasus Arus Stimulus I = 0 27
4.6.2 Kasus Arus Stimulus I = 0.33 28
4.6.3 Kasus Arus Stimulus I = 1.25 29
4.6.4 Kasus Arus Stimulus I = 1.43 30
4.6.5 Kasus Arus Stimulus I = 1.45 31
4.6.6 Kasus Arus Stimulus I = 2 32 5 SINKRONISASI CHAOTIK NEURONAL NETWORK 34
5.1 Gejala Chaos Model Neuron Fitzhugh-Nagumo 34
5.2 Sensitivitas Terhadap Kondisi Awal 36
5.3 Kopling Neuron Model Fitzhugh-Nagumo 38
5.3.1 Model Dua Neuron Terkopel Fitzhugh-Nagumo 39
5.3.2 Model Tiga Neuron Terkopel Fitzhugh-Nagumo 41
5.3.3 Model Empat Neuron Terkopel Fitzhugh-Nagumo 42
SIMPULAN 45 DAFTAR PUSTAKA 47
ii
DAFTAR TABEL
Tabel 1. Analisis numerik kestabilan titik tetap Fitzhugh-Nagumo 27
iii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. Struktur dasar neuron 2
Gambar 2. Model sirkuit membran Hodgkin-Huxley 7
Gambar 3. Sistem dinamika membran model Hodgkin-Huxley saat
I = 0; (a) potensial aksi saat t = 5 ms, (b) dinamika
variabel m, h dan n saat t = 5 ms 14
Gambar 4. Sistem dinamika membran model Hodgkin-Huxley saat
I > 0; (a) potensial aksi (mV) saat t = 100 ms saat diberi
stimulus I = 7 mA, (b) dinamika variabel m, h dan n saat
t = 100 ms, I = 7 mA,(c) potensial aksi (mV) saat t = 100
ms diberi stimulus I = 15 mA, (d) dinamika variabel m, h
dan n saat t = 100 ms diberi stimulus I = 15 mA 16
Gambar 5. Sistem dinamika membran model Hodgkin-Huxley saat
I =15 mA; (a) grafik hubungan antara potensial aksi (mV)
dan variable n, (b) grafik 3D hubungan antara V, n dan t 17
Gambar 6. Sistem dinamika model Hodgkin-Huxley dengan variasi
suhu 6.30C, 18.50C, 250C, dan 320C 18
Gambar 7. Propagasi Potensial aksi pada saat K = 3x 105 19
Gambar 8. Orbit kestabilan disekitar titik kritis; (a) spiral stabil,
(b) spiral tak stabil, (c) titik saddle, (d) center, (e) titik
stabil dan (f) titik tak stabil 24
Gambar 9. Bifurkasi pada persamaan van der Pol ketika parameter divariasikan 25
Gambar 10. Sistem dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat
I = 0; (a) bidang fase antara v dan w bersifat spiral stabil
(b) dinamika v, w terhadap waktu t. 27
Gambar 11. Sistem dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat
I = 0.33; (a) bidang fase antara v dan w bersifat stabil
limit cycle, (b) dinamika v, w terhadap waktu t = 100,
(c) dinamika v, w terhadap waktu t = 100 dan (d) grafik
3D v,w terhadap t 29
iv
Gambar 12. Sistem dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat
I = 1.25; (a) bidang fase antara v dan w bersifat spiral tak
stabil (b) dinamika v, w terhadap waktu t. 30
Gambar 13. Sistem dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat
I = 1.43; (a) bidang fase antara v dan w bersifat spiral
stabil (b) dinamika v, w terhadap waktu t. 31
Gambar 14. Sistem dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat
I = 1.45; (a) bidang fase antara v dan w bersifat spiral
stabil (b) dinamika v, w terhadap waktu t. 31
Gambar 15. Sistem dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat
I = 2; (a) bidang fase antara v dan w bersifat stabil node
(b) dinamika v, w terhadap waktu t. 32
Gambar 16. Model Fitzhugh-Nagumo saat A = 0.7; (a) respon waktu
saat = 0.4 (b) bidang fase saat = 0.4, (c) respon
waktu saat = 0.8145 (d) bidang fase saat = 0.8145,
(e) respon waktu saat = 0.93 dan (f) bidang fase saat
= 0.93 35
Gambar 17. Model Fitzhugh-Nagumo saat A = 0.7 dan = 0.945 serta
memvariasikan kondisi awal potensial aksi V0 36
Gambar 18. Bidang fase antara v1 dan v2 dengan memvariasikan
kekuatan kopling gs saat kondisi awalnya tak sama;
(a) gs = 0.1, (b) gs = 0.125, (c) gs = 0.1255, dan
(d) gs = 0.15 40
Gambar 19. Bidang fase antara v1 dan v2 dengan memvariasikan
kekuatan kopling gs saat kondisi awalnya tak sama;
(a) gs = 0.01,(b) gs = 0.062, (c) gs = 0.064, dan
(d) gs = 0.069. 42
Gambar 20. Bidang fase antara v1 dan v2 dengan memvariasikan
kekuatan kopling gs saat kondisi awalnya tak sama;
(a) gs = 0.015, (b) gs = 0.018, (c) gs = 0.019, dan
(d) gs = 0.0195. 43
v
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Penurunan Persamaan Kabel 49
Lampiran 2. Analisis Titik Kritis Model Dinamika Fitzhugh-Nagumo 54
Lampiran 3. Analisis Nilai Eigen Model Dinamik Fitzhugh-Nagumo 55
Lampiran 4. Sintaks Plot Grafik Dengan Software Matlab 7.01 57
Lampiran 5. Diagram Alir Penelitian 60
vi
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Salah satu bidang yang menjadi awal berkembangnya biofisika adalah
studi tentang fisiologi syaraf, yang pada beberapa dekade lalu telah dipahami
bahwa terjadi proses dasar sistem komunikasi unik elektrokimia yang berperan
penting dalam sistem syaraf kita. Otak kita dan setiap subsistem lain pada sistem
syaraf terdiri dari sel yang disebut neuron (sel syaraf).
Dalam neuron terdapat axon berupa struktur panjang menyerupai tabung
(Edelstein, 1988) dan diketahui bahwa propagasi sinyal syaraf berasal dari listrik
yang timbul secara alami. Setelah menginisiasi bagian yang disebut axon hillock,
propagasi turun melalui axon ke terminal berikutnya dengan konveksi bebas
(synapses) yang dekat dengan neuron. Sinyal propagasi tersebut disebut sebagai
”potensial aksi”. Sebuah neuron memiliki bagian yang disebut dendrit yang
menerima sinyal yang diterimanya dan membawanya menuju soma (badan sel).
Secara detail peristiwa elektrokimia yang terjadi pada neuron sangatlah
kompleks. Diketahui bahwa sinyal neuronal berjalan sepanjang membran sel dari
axon dalam bentuk beda potensial lokal sepanjang membran. Dalam keadaan
istirahat, sitoplasma (cairan sel) dalam axon memiliki komposisi ionik yang
membuat bagian dalam sel berpotensial negatif (beda potensial -70 mV) yang
dipengaruhi oleh bagian luarnya. Perbedaan potensial menyebabkan metabolisme
dalam sel dengan pompa aktif yang terletak pada membrannya. Secara kontinu,
transport ion (Na+) keluar sel dan membawa ion potassium (K+) ke arah
sebaliknya, sehingga gradien konsentrasi dapat dipertahankan. Perbedaan ini dan
konsentrasi lainnya sepanjang membran menghasilkan potensial total yang
dipertahankan sepanjang membran sel hidup (Edelstein KL 1988).
Gambar 1. Struktur dasar neuron
Deskripsi lengkap telah dilakukan pada tahun 1952 oleh Hogkin, Huxley
dan Katz dengan melakukan eksperimen pada sebuah axon berukuran besar dari
squid (gurita). Setelah melakukan eksperimen, mereka membuat sebuah model
membran yang analogi dengan sirkuit listrik yang memiliki kandungan fisis,
seperti konduktivitas ionik yang digambarkan dengan sebuah elemen sirkuit
berupa resistor. Model Hodgkin-Huxley adalah berupa empat persamaan
diferensial nonlinier terkopel dan membuat hipotesis dengan mengusulkan adanya
tiga variabel m, h, dan n yang mempengaruhi koduktivitas ion K+ dan ion Na+ saat
melewati membran. Keempat persamaan ODE (Ordinary Differential equation)
ini sulit untuk dipecahkan secara eksak, karena derajat nonliniernya yang tinggi.
Tetapi dengan memanfaatkan sifat dinamika dari keempat variabel tersebut makna
fisis dari eksperimen Hodgkin-Huxley dapat diteliti. Untuk membuat analisis yang
lebih umum, pada tahun 1961 Fitzhugh dan Nagumo membuat sebuah model
penyederhanaan dari model Hodgkin-Huxley menjadi dua persamaan diferensial
nonlinier terkopel. Model yang diusulkan ini mampu menerangkan proses dasar
eksitasi dan osilasi pada neuron secara kualitatif (Edelstein KL 1988; Medvedev
GS, Kopell N 2001; Georgiev NV 2003).
Analisis propagasi potensial aksi dari model Hodgkin-Huxley
dikembangkan melalui pendekatan teori gelombang berjalan (Rinzel J, Keller JB.
1973; Tonnelier A 2003; Phillipson PE & Schuster P 2004; Muratov CB 2008).
Sedangkan untuk menggambarkan tentang proses propagasi sinyal potensial aksi
dari satu neuron ke neuron lainnya membentuk neuronal network (jaringan
syaraf) dapat dimodelkan dengan teori sinkronisasi chaotik (Catherine DB et al
2001; Yu L et al 2007; Batista CAS et al 2007), Proses sinkronisasi jaringan
2
syaraf dapat dipelajari dengan pendekatan chaos controlling (Mishra D et al
2006) dan sistem terkopel (Medvedev GS, Kopell N 2001; Igor Belykh et al
2008).
Permasalahan menarik dalam penelitian pemodelan neuron adalah adanya
arus eksternal sebagai trigger yang menghasilkan potensial aksi (impuls syaraf)
sebagai informasi dari satu neuron menuju neuron lainnya dalam neuronal
network. Arus eksternal ini dapat berupa arus konstan, arus periodik maupun
berupa medan listrik (Mishra D et al 2006; Sims BA 2008)
1.2 Perumusan Masalah
a. Bagaimanakah membangun persamaan yang dapat menjelaskan fenomena
terjadinya potensial aksi ( impuls syaraf ) dan apakah fenomena tersebut
merupakan sistem yang bersifat deterministik ataukah non-deterministik.
b. Bagaimanakah memodelkan sistem tersebut dan apakah simulasinya
memberikan hasil yang sesuai kenyataan (eksperimen).
c. Bagaimanakah bentuk persamaan yang lebih umum yang dapat menjelaskan
fenomena perambatan potensial aksi yang secara kualitatif terdapat kemiripan
dengan hasil eksperimen.
d. Jika telah dibangun persamaan umum untuk sebuah sel neuron, bagaimanakah
bentuk persamaan yang dapat menjelaskan interaksi antara banyak neuron
membentuk jaringan syaraf.
1.3 Tujuan
a. Mempelajari model Dinamika nonlinier yang berlaku pada sistem perambatan
impuls sel syaraf.
b. Menganalisis kondisi kestabilan dinamika pada model Hodgkin-Huxley.
c. Mempelajari propagasi impuls sel syaraf dari model Hodgkin-Huxley.
d. Menganalisis kondisi kestabilan dinamika pada model Fitzhugh-Nagumo.
e. Mencari parameter kritis terjadinya bifurkasi pada model Fitzhugh-Nagumo
3
f. Membandingkan hasil analisis model Hodgkin-Huxley dengan model
Fitzhugh-Nagumo.
g. Membuat model mekanisme sinkronisasi jaringan syaraf berdasarkan model
Fitzhugh-Nagumo serta Memahami arti fisis dari semua pemodelan impuls
syaraf.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini menjadi dasar acuan teori biofisika tentang mekanisme kerja
sel syaraf yang berawal dari transport membran menjadi sinyal potensial aksi
yang dapat ditransfer dari satu sel ke sel lainnya. Selain itu, mekanisme inipun
memiliki kesamaan dengan sistem sel lainya sehingga dapat digunakan sebagai
dasar mempelajari mekanisme yang terjadi pada berbagai sel makhluk hidup yang
bermanfaaf bagi dunia medis, fisiologi maupun bioteknologi.
Selain terkait bidang neurologi prinsip kerja pemodelan dan simulasi
jaringan syaraf yang berdasar pada teori sistem dinamika, ini dapat diaplikasikan
juga untuk bidang lainnya seperti sinkronisasi sinar laser dibidang sains dan
teknik, propagasi gelombang seismik pada seismologi, pemodelan sistem jaringan
otot jantung dalam bidang medis, dan sinkronisasi pada sirkuit pada bidang
elektronika dan instrumentasi.
1.5 Ruang Lingkup
Ruang lingkup penelitian ini meliputi pengetahuan tentang sel neuron
secara biologi, pemodelan menggunakan system sirkuit seperti pada model
Hodgkin-Huxley, Persamaan Fitzhugh-Nagumo, teori sistem Dinamika yang
meliputi persamaan diferensial orde pertama (ODE), matriks Jacobi, analisis
kestabilan titik kritis, teori bifurkasi serta analisis sinkronisasi chaotik dari
persamaan diferensial terkopel. Pembuatan program dengan bahasa pemrograman
Maple 11 dan Matlab 7.01 diperlukan untuk memudahkan perhitungan secara
numerik maupun eksak juga memudahkan dalam pembuatan grafik solusi
persamaan baik ruang fasenya maupun laju perubahan potensial aksi pada model
neuron yang dibuat (Brette R et al 2007).
4
BAB 2
MODEL NEURON HODGKIN-HUXLEY
2.1 Potensial Membran
Saluran ionik pada membran terlihat sebagai pori makroselular. Saluran
tersebut dapat melewatkan molekul memasuki membran. Terdapat saluran antara
bagian dalam dan luar sel. Terdapat banyak tipe saluran ionik. Sebagai contoh,
kita bisa lihat itu dapat terbuka yang bergantung pada potensial atau menseleksi
molekul yang akan melewatinya. Dua diantaranya bergantung pada potensial yaitu
saluran sodium dan saluran potassium (Jackson MB 2006).
Disebut saluran sodium karena khusus untuk ion sodium. Faktanya,
mereka memiliki kekhususan: mereka bisa dalam keadaan aktif atau tidak aktif.
Saluran potassium terbuka dan tertutup dengan delay. Saluran leak (kebocoran)
selalu terbuka.
Neuron ditutupi sebuah membran yang membatasi bagian dalam sel dari
bagian luar sel. Dalam sel, konsentrasi ion berbeda dari cairan yang
mengelilinginya. Perbedaan konsentrasi menghasilkan potensial listrik yang
berperan penting dalam Dinamika neuronal.
Ketika neuron tidak mengirim sinyal, disebut “keadaan istirahat”. Dalam
kasus ini, bagian dalam neuron negative dibandingkan dengan bagian luarnya.
Saat istirahat, ion potassium (K+) dapat memasuki membran dengan mudah. Juga
saat istirahat, saluran sodium (Na+) mengalami kesulitan saat melewatinya.
Muatan negatif molekul protein di dalam neuron tidak dapat melewati membran.
Ketika beda potensial antara dalam dan luar neuron diukur, kita dapatkan
potensial istirahat. Potensial istirahat membran neuron adalah sekitar -70 mV,
artinya bagian dalam neuron memiliki potensial 70 mV lebih kecil dibandingkan
bagian luarnya. Ketika istirahat, terdapat lebih banyak ion sodium di luar neuron
dan lebih banyak ion potassium di dalam neuron (Corson N et al 2007).
Pada potensial equilibrium aliran ion melewati membran tidak berhenti,
ion selalu bergerak, tetapi yang memiliki nomor ionik sama akan mengalir dalam
arah yang sama. Keadaan equilibrium dapat diprediksi melalui persamaan Nernst,
pada membran sel berbentuk;
inp
outS S
SzFRTv
][][
ln (1)
Potensial istirahat memberikan informasi kepada kita apa yang terjadi
ketika neuron istirahat. Potensial aksi terjadi ketika neuron mengirim informasi
melewati axon menjauhi tubuh sel. Ahli syaraf menggunakan nama lain, seperti
”spike” atau ”impulse” untuk potensial aksi. Potensial aksi adalah sebuah ledakan
dari aktivitas listrik yang terbentuk dengan arus depolarisasi. Artinya, sebuah
stimulus menyebabkan potensial istirahat bergerak ke arah 0 mV. Ketika
polarisasi naik sekitar -55 mV, neuron akan mengalami potensial aksi. Ini yang
disebut batas ambang. Jika neuron tidak melewati batas ambang, tidak terjadi
potensial aksi (Corson N et al 2007).
Potensial aksi disebabkan oleh pertukaran ion melewati membran neuron.
Sebuah stimulus awal menyebabkan saluran sodium terbuka. Karena banyak ion
sodium dibagian luar dan dibagian dalam neuron bernilai negatif dibandingkan
bagian luarnya, menyebabkan ion sodium menekan memasuki neuron. Karena
sodium bermuatan positif, neuron menjadi bermuatan positif dan terjadi
depolarisasi. Mengambil waktu sebelum saluran potassium terbuka. Ketika
keduanya terbuka, potassium menekan keluar sel, mengembalikan keadaan
depolarisasi. Dengan tiba-tiba, saluran sodium mulai menutup. Hal ini
menyebabkan potensial aksi kembali ke keadaan -70 mV (repolarisasi). Potensial
aksi seringkali melewati -70 mv (terjadi hiperpolarisasi) karena saluran potassium
terbuka terlalu lama. Secara bertahap, konsentrasi ionik kembali pada keadaan
istirahat dan potensial sel kembali menjadi -70 mV (Corson N et al 2007).
6
2.2 Model Sirkuit Hodgkin – Huxley
Model ini menggunakan sirkuit listrik yang memiliki kandungan fisis
seperti konduktivitas ionik yang digambarkan dengan sebuah elemen sirkuit
berupa resistor (Hodgkin AL & Huxley AF 1952; Marquie P 2004). Tegangan
melewati membran memiliki analogi tegangan yang melewati resistor. Salah satu
penggambaran pori ionik yang selektif terhadap arus ionik. Akan kembali dibahas
bahwa konduktivitas pori tergantung dari tegangan.
Gambar 2. Model sirkuit membran Hodgkin-Huxley
Dalam sirkuit yang analogi dengan axon, hambatan aliran ionik melewati
membran digambarkan dengan gK, gNa, dan gL. Hambatan dari gerakan ionik di
dalam axon pada suatu arah digambarkan dengan elemen longitudinal dengan
hambatan persatuan panjang, bernilai tetap dan lebih tinggi dari medium
dibandingkan dengan bagian luar membran (axon memiliki jari-jari yang kecil
sehingga hambatannya menjadi besar). Ukuran finite dari membran diasosiasikan
dengan kandungan kapasitansinya yang sebanding dengan muatannya. Kita harus
ingat, bahwa bentuk axon adalah silinder, sehingga perlu adanya modifikasi dalam
menganalogikan.
Terdapat sebuah hubungan
),(2),( txaCvtxq (2)
Sekarang kita asumsikan tegangan jepit digunakan pada axon sehingga
q = q(t), i = i(t), dan v = v(t) kemudian setiap titik dari axon memiliki tegangan
yang sama secara serempak. Berarti muatan tidak akan bergerak longitudinal. Ini
7
hanya dapat berubah dengan arus yang membawa ion melewati membran sel.
Dalam kasus ini, perubahan muatan internal rata-rata dapat ditulis,
iaIdtdq 2 (3)
Arus i dapat diekspresikan menjadi penjumlahan INa, IK,dan IL (sodium,
potassium dan ion lainnya) yang berelasi dengan beda potensial yang
menyebabkannya. Seperti persamaan berikut;
)(2 LKNa IIIadtdq
(4)
)()(
)(
LLL
KKK
NaNaNa
vvgIvvgI
vvgI
(5)
Dimana vNa, vK dan vL menggambarkan potensial membran karena adanya
berkontribusi dari ion Na, K, dan L. Lebih jauh, persamaaan (4) dapat ditulis
kembali sebagai,
eksLLkKNaNa IvvgvvvgvvvgCdt
dv )())(())((1 (6)
Dengan asumsi bahwa gL konstan. Pada titik ini Hodgkin-Huxley dan Katz
menganalisis listrik secara langsung dan menghitung mekanisme yang mungkin
dari konduktivitas ionik yaitu gNa dan gK. Setelah membuat trial and error model,
dengan kerja keras dipecahkan melalui kalkulkator mekanik. Mereka menemukan
bahwa diperlukan tiga buah variabel n, m dan h pada Dinamika ion pori.
Hipotesis ini secara kuantitatif mungkin berkaitan dengan penggambaran
konsentrasi pada protein yang harus diberikan untuk membuka atau menutupnya
sebuah pori. Bagaimanapun, persamaan ini menggunakan data experimen bukan
berasal dari pemahaman dasar dari mekanisme molekular (Jackson MB 2006).
Hodgkin-Huxley mendefinisikan,
8
hmgg NaNa3 (7)
4ngg KK (8)
Dimana g adalah parameter konduktivitas yang konstan. Mereka
mengajukan n, m dan h sensitif terhadap tegangan pada jembatan protein. Mereka
membuat persamaan diferensial yang bergantung tegangan, yang digambarkan,
nvnvdtdn
nn )()1)(( (9a)
mvmvdtdm
mm )()1)(( (9b)
hvhvdtdh
hh )()1)(( (9c)
Dengan beberapa variabel yang diasumsikan,
110/)40( )1)(40(1.0)( v
m evv , 18/)65(4)( vm ev (10a)
20/)65(07.0)( vh ev , 110/)35( )1()( v
h ev (10b)
110/)55( )1)(55(01.0)( vn evv , 80/)65(125.0)( v
n ev (10c)
Nilai konstanta lain yang terdapat pada persamaan yaitu gNa = 120, gK = 36
dan gL = 0.3 mmho cm-2, vNa = 50 mV, vK = -77 mV dan vL = -54.4 mV. Dari
persamaan diatas (6 dan 9) terdapat empat persamaan diferensial biasa yang
terkopel sehingga berdimensi (v, n, m, h) yang merupakan inti persamaan
Hodgkin-Huxley.
Kesuksesan dalam model ini adalah yaitu kemampuannya untuk
memprediksi secara akurat hasil dari banyak pengamatan eksperimen.
2.3 Pengaruh Suhu Pada Model Hodgkin Huxley
Model Hodgkin Huxley original dikembangkan berdasarkan hasil
eksperimen pengukuran pada suhu 6.30C. untuk suhu yang berbeda maka terdapat
9
faktor koreksi terhadap variabel dan , dan sangat efektif untuk banyak
aplikasi (Fitzhugh R 1966; Kuang S 2008).
Faktor koreksi tersebut adalah berupa mengkalikan bagian kanan
persamaan (9) dengan faktor suhu k,
10/)3.6(3 Tk (11)
2.4 Propagasi Potensial Aksi
Untuk propagasi potensial aksi, membrannya tereksitasi di atas ambang.
Di bawah kondisi ini, persamaan sebagai berikut :
tvit
vci mion
mmm ,
(12)
dengan iion adalah arus ionik tiap unit panjang. Melalui substitusi Persamaan (12)
ke Persamaan kabel (lampiran 1) berikut :
mm
ei
ixv
rr
2
21 (13)
Diperoleh persamaaan atas-ambang yang sesuai adalah. :
),(12
2
tvit
vcxv
rr mionm
mm
ei
(14)
Pada kondisi ini, untuk kasus khusus serat lingkar dengan radius a,
parameter rm, cm, dan ri pada Persamaan (14) bisa diekspresikan dalam bentuk Rm,
Cm, dan σi, yaitu secara berurutan, resistansi membran dikali unit luas, kapasitansi
per unit luas, dan konduktivitas intraselular:
rm = a
Rm
2
cm = 2πaCm
ri = ia 2
1
10
Dengan potensial membran lagi-lagi dinyatakan dalam bentuk deviasi dari
nilai potensial diamnya (resting potential), Vr. Jika diasumsikan kabel melingkar
dan re = 0, didapatkan,
),(2 2
2
tvIt
vC
xva
mionm
mmi
(15)
Dengan Iion adalah arus ionik tiap unit luas membran. Dengan mengganti
nilai Iion, didapatkan
)()()(2 2
2
LrmLNarmNaKrmKm
mmi EVgEVgEVg
tC
xa
(16)
Variasi pada konduktansi gK dan gNa diberikan oleh persamaan (7) dan (8)
(Hodgkin AL & Huxley AF 1952; Gulrajani RM 1998; Muratov CB 2008).
2.5 Hipotesis Propagasi “Seragam”
Untuk mencari solusi dari potensial aksi propagasi, bagaimanapun, harus
dipecahkan persamaan differensial parsial (16). Pada tahun 1952, dengan hanya
menggunakan kalkulator mekanik sebagai panduannya, Hodgkin dan Huxley
tidak memecahkan Persamaan (16). Namun, dengan dibantu pengamatan
eksperimennya, mereka mengasumsikan bahwa potensial aksi muncul dengan
kecepatan konstan sepanjang akson, dan, karena sifat regeneratif dari membran,
tanpa adanya penurunan atau distorsi pada bentuk gelombangnya. Propagasi tanpa
penurunan dengan kecepatan konstan ini dinamakan propagasi “seragam” .
Sebagai hasilnya, dapat ditulis
2
2
22
2 1tx
mm
(17)
Persamaan (17) terkenal sebagai “persamaan gelombang”, yang
menunjukkan posisi dari potensial aksi pada dua tempat sepanjang akson pada
11
waktu 0 dan t. Jika dimisalkan saat t = 0, variasi ruang dari potensial aksi
sepanjang akson diberikan oleh ύm(x), di bawah dua asumsi dari Hodgkin dan
Huxley, dapat dengan mudah dilihat bahwa untuk tiap nilai x dan t, harus
diperoleh hubungan
)(),( txtx mm (18)
Akibatnya bisa ditulis turunan berikut:
,'m
m vx
mm v
x"
2
2
(19)
,'mm vt
v
mm v
t"2
2
2
(20)
dengan persamaan awal menyatakan turunan dari ύm terhadap nilai (x – t).
Jelas, dari Persamaan (19) dan (20), vm memenuhi persamaan gelombang
Persamaan (17). Dengan melakukan substitusi Persamaan (17) ke dalam
Persamaan (16), didapatkan
LrmLNarmNaKrmKm
mmi EVvgEVvgEVvg
dtdvC
dtvda
2
2
22 (21)
Jika Persamaan (16) merupakan persamaan turunan parsial, maka
persamaan (21) adalah persamaan turunan biasa. Hodgkin dan Huxley
memecahkan Persamaan (21) dengan menggunakan prosedur trial-and-error yang
melibatkan penerkaan nilai awal untuk kecepatan , dan menghitung hasil vm(t).
Pemilihan nilai awal yang salah mengakibatkan nilai vm(t) yang mendekati tak-
hingga. Solusi konvergen dari vm(t) hanya dihasilkan untuk nilai yang sesuai
dengan kecepatan propagasi yang diamati pada pengamatan eksperimental pada
bahan akson gurita. Lebih jauh lagi, solusi bentuk gelombang vm(t) dari nilai ini
sangat mirip dengan bentuk gelombang dari potensial aksi eksperimental,
sehingga melengkapi pengabsahan yang indah dari hipotesis propagasi seragam.
(Gulrajani RM 1998; Muratov CB 2008).
12
Dengan mengasumsikan karakteristik membran (Cm, gK, gNa, gL) tetap tak
berubah, setiap solusi dari Persamaan (21) tetap merupakan solusi jika nilai
aσi/2Cm 2 konstan (=1/K). Lalu, kecepatan propagasi yang baru didapatkan
dengan berbagai cara selain yang mempengaruhi membran, misalnya, yang
didapatkan dengan merubah konduktivitas aksoplasmik atau dengan mengubah
diameter akson, yang harus memenuhi hubungan
2/1
2
m
i
CKa
(22)
Hubungan di atas pertama kali didemonstrasikan oleh Hodgkin dan
Huxley (1952), selama akson diasumsikan propagasi seragam. Dapat dilihat
bahwa kecepatan propagasi sebanding dengan akar kuadrat dari radius akson
(Muratov CB 2008).
13
BAB 3
ANALISIS DAN SIMULASI MODEL HODGKIN-HUXLEY
3.1 Analisis Dinamika Model Hodgkin Huxley
Persamaan Hodgkin-Huxley berisi empat persamaan ODE terkopel dengan
derajat nonlinear yang tinggi dan sangat sulit untuk dicari pemecahan secara
matematikanya bahkan dengan menggunakan komputasi sekalipun. Tetapi meski
tidak dapat dicari solusi secara eksaknya, dari persamaan tersebut disertai dengan
parameter hasil eksperimen kita dapat mengambil banyak informasi mengenai
perilaku eksitasi dan osilasi yang terjadi pada membran axon sel syaraf melalui
grafik Dinamika potensial aksi dan variabel m, n, dan h.
3.1.1 Kasus Arus Stimulus I = 0
Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan
memasukan nilai-nilai parameter (10) dapat diperoleh grafik hubungan tiga
variabel m, n dan h serta grafik Dinamika potensial aksi ketika tidak ada
pemberian arus (impuls) eksternal .
(a) (b)
Gambar 3. Sistem Dinamika membran model Hodgkin-Huxley saat I = 0 ; (a) potensial aksi saat t = 5 ms, (b) Dinamika variabel m, h dan n saat t = 5 ms
Gambar 3 (a) menunjukan mekanisme potensial aksi yanng terdiri dari tiga
tahapan, yang terdiri dari tahap pertama fase naik (Depolarization) yaitu
peningkatan potensial yang tajam dan bernilai positif dalam gambar terlihat
potensial maksimum pada 35-38 mV. tahap kedua fase jatuh (hyper-polarization)
yaitu fase mengiringi fase naik yang cepat, terjadi penurunan drastis pada
potensial membran yang akhirnya melampaui potensial istirahat hingga mencapai
75 mV. Fase ketiga adalah fase balik yaitu Potensial membran berangsur-angsur
kembali ke nilai istirahat pada potensial sekitar 65-70 mV. Jika tidak ada arus
eksternal yang mempengaruhi maka potensial membran akan konstan stabil pada
kondisi istirahat yang terlihat dalam gambar 3 (a).
Sedangkan gambar 3 (b) menggambarkan Dinamika antara variabel m, h
dan n. Dari grafik terlihat bahwa variabel m merupakan variabel yang meningkat
dan berubah paling cepat, dimana variabel m memiliki peranan fase pertama dari
potensial aksi yaitu terjadinya depolarisasi, jika m adalah peluang membukanya
tiga subunit saluran ion sodium (Na+) maka meningkatnya m menyebabkan
terbukanya subunit saluran sodium dan membran menjadi berlimpah ion sodium
(Na+) sehingga meningkatkan potensial aksi (Depolarization). Setelah variabel m
meningkat kemudia diikuti dengan meningkatnya variabel n dengan perubahan
yang lebih lambat. Variabel n memiliki peranan pada fase kedua potensial aksi
yakni fase jatuh (hyper-polarization) karena jika variabel n adalah peluang
membukanya empat subunit saluran ion potassium maka dengan meningkatnya
variabel n menyebabkan banyak ion potassium yang keluar dari membran dan
potensial membran menjadi turun sedangkan penurunan variabel n berarti peluang
menutupnya saluran potassium sehingga potensial membran kembali pada fase
istirahat. Sedangkan variabel h merupakan variabel yang paling lambat berubah,
jika variabel h merupakan peluang menutupnya saluran sodium maka dengan
meningkatnya h menyebabkan saluran sodium tertutup dan penurunan tegangan
berlangsung sampai melebihi batas potensial istirahat.
Potensial membran akan tetap stabil asimtotik pada fase istirahat jika tidak
ada arus eksternal yang diberikan seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.
15
3.1.2 Kasus Arus Stimulus I > 0
Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan
memasukan nilai-nilai parameter (10) dapat diperoleh grafik hubungan tiga
variabel m, n dan h serta grafik Dinamika potensial aksi ketika diberi arus
(impuls) eksternal.
Pada kasus arus eksternal diberikan sebesar 7 mA maka potensial aksi
akan mengalami osilasi secara periodik. Begitupun dengan Dinamika variabel m,
h dan n akan berosilasi secara periodik. Jika kita naikan terus arus eksternalnya
maka frekuensi osilasi dari potensial aksi akan semakin besar. Pada gambar 5
dapat dilihat grafik osilasi potensial aksi dan Dinamika variabel m, h dan n pada
kasus arus eksternal yang diberikan sebesar 15 mA.
(a) (b)
(c) (d)
Gambar 4. Sistem Dinamika membran model Hodgkin-Huxley saat I > 0 ; (a) potensial aksi (mV) saat t = 100 ms saat diberi stimulus I = 7 mA, (b) Dinamika variabel m, h dan n saat t = 100 ms I = 7 mA,
(c) potensial aksi (mV) saat t = 100 ms diberi stimulus I = 15 mA, (d) Dinamika variabel m, h dan n saat t = 100 ms diberi stimulus I = 15 mA
16
(a) (b)
Gambar 5. Sistem Dinamika membran model Hodgkin-Huxley saat I =15 mA ; (a) grafik hubungan antara
potensial aksi (mV) dan variable n, (b) grafik 3D hubungan antara V, n dan t
Dari grafik pada gambar 4 (c) terlihat jelas bahwa frekuensi osilasi dari
potensial membran akan semakin bertambah seiring dengan bertambah besarnya
arus eksternal yang diberikan , hal ini dapat terlihat jika kita membandingkan
gambar 4 (a) dengan gambar 4(c). konsekuensi yang sama pun berlaku pada
Dinamika variabel m, h dan n. Dalam gambar 4 (a) dan 4 (c) juga terlihat bahwa
potensial maksimum sekitar 35 mV sedangkan potensial terendah sekitar
– 70 mV.
Gambar 5 (a) dan 5 (b) menggambarkan grafik ruang fase dari potensial
aksi terhadap variabel n. Pada grafik terlihat ruang fase tersebut membentuk
sebuah trayektori “stable limit cycle” disekitar titik yang ditunjukkan tanda panah.
Titik tersebut sebenarnya merupakan titik kritis (steady state) dimana semua
vektor dari kondisi awal akan mengelilinginya dan pada titik tersebut juga
dimungkinkan merupakan titik tejadinya bifurkasi dari satu keadaan ke keadaan
yang lain. Secara lebih lengkap titik kritis tersebut akan dibahas pada model
Fitzhugh-Nagumo.
3.2 Simulasi Pengaruh Suhu pada Potensial Aksi Model Hodgkin-Huxley
Dengan memasukan faktor koreksi suhu pada persamaan Hodgkin-Huxley,
untuk arus stimulasi I = 0 dan mensubstitusikan suhu yang divarisikan diperoleh
grafik pengaruh suhu terhadap potensial aksi sebagai berikut:
17
Gambar 6. Sistem Dinamika model Hodgkin-Huxley dengan
variasi suhu 6.30C, 18.50C, 250C, dan 320C
Dalam gambar 6. memperlihatkan semakin besar suhu yang diberikan
maka terjadinya potensial aksi semakin cepat (Depolarization) karena gerakan ion
sodium semakin cepat dengan meningkatnya suhu sesuai dengan teori yang
mendasarinya (Fitzhugh R 1966; Kuang S 2008).
3.3 Metode Numerik Penentuan Kecepatan Propagasi Potensial Aksi
Dengan sedikit manipulasi matematika persamaan (21) yang merupakan
persamaan diferensial orde dua dapat diubah menjadi persamaan diferensial biasa
berode satu (Scott AC 2002; Muratov CB 2008), melalui pemisalan sebagai
berikut :
wdtdv
(23)
)/))()()(((2 342
mLlNaNaKKmi
CvvgvvhmgvvngwCadt
dw
(24)
nvnvdtdn
nn )()1)(( (9a)
mvmvdtdm
mm )()1)(( (9b)
hvhvdtdh
hh )()1)(( (9c)
18
Sekarang persamaan (21) telah diubah menjadi persamaan diferensial
biasa berode satu yang terkopel sehingga terdapat lima variabel (v, w, n, m, h)
yang merupakan fungsi waktu. Dengan teknik trial and error akan dihitung
besarnya kecepatan propagasi potensial aksi pada axon gurita, sebagai berikut :
Gambar 7. Propagasi Potensial aksi pada saat K = 10470
Dengan memasukan data tentang akson tak bermyelin dengan a = 0.0238
cm, 1).(4.35/1 cm , 2/1 cmFCm diperoleh kecepatan propagasi ( persamaan
22) potensial aksi sebesar 18.80 m/s pada suhu 6.30C ketika tidak ada arus
stimulus eksternal. Sedangkan ketika diberikan stimulus arus eksternal maka
tentunya kecepatan propagasinya akan semakin besar karena frekuensi osilasinya
bertambah besar, hasil ini terdapat kesesuaian dengan penelitian sebelumnya
(Muratov CB 2008).
19
BAB 4
MODEL DINAMIKA NEURON FITZHUGH-NAGUMO
4.1 Model Dinamika Neuron Fitzhugh-Nagumo
Dalam papernya pada tahun 1961, Fitzhugh mengusulkan untuk
menerangkan model Hodgkin-Huxley menjadi lebih umum, yang di dalamnya
terdapat eksitasi dan osilasi. Pendekatan serupapun telah dilakukan secara terpisah
oleh Nagumo (1962), sehingga model itu disebut persamaan Fitzhugh- Nagumo.
Untuk menghindari kesalahan persepsi, maka harus ditegaskan bahwa
tujuan utama model ini tidak untuk menggambarkan kandungan kuantitatif secara
akurat dari impuls axon, variabel dari persamaan tersebut memiliki apa yang
disebut ketidaktelitian dan hubungan relasi tidak berhubungan secara eksak dari
fakta fisiologi atau hanya perkiraan saja. Juga, sistem ini menjadi lebih sederhana.
Dimana, kita bisa menunjukkan interaksi singkat antara variabel yang
menunjukkan sebuah eksitasi dan osilasi (impuls berulang). Persamaan Fitzhugh
(persamaan tak berdimensi),
)(
31 3
bwavdtdw
Iwvvdtdv
(25)
Dimana v menggambarkan rangsangan pada sistem dan diidentifikasi
dengan tegangan (potensial membran pada oxon), w adalah variabel recovery
(kembali ke keadaan awal) yang menggambarkan kombinasi gaya untuk kembali
pada keadaan dimana membran axon istirahat, dan I merupakan arus listrik
sebagai stimulus untuk membuat eksitasi (arus input). dalam fisiologi, impuls
dapat berupa fungsi bertahap atau pulsa periodik (Mishra D et al 2006).
4.2 Teori Dasar Sistem Dinamika
4.2.1 Sistem Dinamika dan Deterministik
Dinamika berhubungan dengan perubahan perilaku sistem terhadap waktu.
Sistem dinamika dapat bersifat konservatif atau disipatif. Sistem yang konservatif
memiliki energi yang konstan terhadap waktu, sedangkan sistem yang disipatif
kehilangan energi terhadap waktu. Salah satu sistem yang konservatif adalah
bandul sederhana. Pada bandul sederhana gesekan udara diabaikan sehingga
energi potensial dan kinetik sistem konstan untuk setiap waktu. Sebaliknya jika
gesekan udara diperhitungkan, ada energi dalam sistem yang terus menerus
berkurang terhadap waktu dalam bentuk energi panas atau gesekan maka sistem
ini bersifat disipatif (Guckenheimer J& Holmes P 1983).
Sebuah sistem yang perilakunya dimasa depan ( atau dimasa lalu ) dapat
diperkirakan bila kondisi awalnya diketahui adalah sistem yang deterministik.
Setiap sistem mekanik klasik adalah deterministik. Contohnya pada hukum gerak
Newton, jika posisi dan momentum pada suatu waktu dapat ditentukan maka
perilaku sistem dapat ditentukan untuk waktu-waktu lainnya. Sedangkan sistem
non-deterministik menggunakan konsep probabilitas untuk menggambarkan
perilakunya terhadap waktu. Molekul gas dalam termoDinamika, teori kinetik
gas, gerak brown, dan kuantum merupakan contoh sistem probabilistik
(Guckenheimer J & Holmes P 1983).
4.2.2 Persamaan Differensial Orde Pertama
Sistem persamaan differensial orde pertama interaksi dua persamaan
differensial terkopel (Hirsch MW et al 2004) dapat dinyatakan sebagai:
1
2
( , )
( , )
dx f x ydtdy f x ydt
(26)
21
f1 dan ,f2 adalah fungsi kontinu bernilai real dari x dan y, dengan laju
perubahan x dan y sendiri dan tidak mengandung t di dalamnya. Sistem persamaan
differensial disebut sebagai sistem persamaan differensial mandiri (Autonomous).
4.2.3 Titik Kritis (critical point)
Analisis sistem persamaan differensial sistem dua persmaan terkopel
sering digunakan untuk menentukan solusi yang tidak berubah terhadap waktu
(Hirsch MW et al 2004), yaitu untuk tiap 0/,0/ dtdydtdx . Titik kritis ( ** , yx )
dari sistem dapat diperoleh dengan menentukan
0/,0/ dtdydtdx (27)
4.2.4 Konstruksi Matrik Jacobi
Dengan melakukan pelinieran pada persamaan interaksi dua persamaan
terkopel maka diperoleh matriks Jacobi (Hirsch MW et al 2004) berikut :
2
2
1
2
2
1
1
1
xf
xf
xf
xf
J i (28)
4.2.5 Vektor Eigen dan Nilai Eigen
Diberikan matrik dengan koefisien konstan J berukuran nn dan SPD
homogen berikut:
Jxx , 0)0( xx (29)
Suatu vektor tak nol x dalam ruang n disebut vektor eigen dari J jika
untuk suatu skalar berlaku:
xJx (30)
Nilai skalar dinamakan nilai eigen dari J.
22
Untuk mencari nilai eigen dari matrik J maka persamaan (30) dapat
ditulis kembali sebagai:
0)( xIJ (31)
Dengan I matrik diagonal satuan. Persamaan (31) mempunyai solusi tak
nol jika dan hanya jika
0)det()( IJIJp (32)
Persamaan (32) disebut persamaan karakteristik dari matrik Jacobi (Hirsch
MW et al 2004).
4.2.6 Orbit Kestabilan
Berdasarkan uraian di atas maka kestabilan titik kritis memiliki tiga
kondisi (Hirsch MW et al 2004), yaitu
Stabil, jika :
a. tiap nilai eigen real adalah negatif ( 0i untuk semua i )
b. tiap komponen nilai eigen kompleks adalah lebih kecil atau sama dengan
nol, Re 0)( i untuk setiap i.
Tak Stabil, jika :
a. tiap nilai eigen real adalah positif ( 0i untuk semua i )
b. tiap komponen nilai eigen kompleks adalah lebih besar dari nol,
Re( 0) i untuk semua i.
Saddle, jika :
Perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif 0)( ji untuk
sembarang i dan j. Titik saddle ini bersifat tak stabil.
23
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Gambar 8. Orbit kestabilan disekitar titik kritis; (a) spiral stabil, (b) spiral tak stabil, (c) titik saddle, (d) center, (e) titik stabil dan (f) titik tak stabil (Hirsch MW et al 2004)
4.2.7 Bifurkasi Hopf
Bifurkasi secara sederhana dapat diartikan sebagai suatu perubahan
karakteristik orbit kestabilan disuatu titik kritis yang biasanya ditandai dengan
kehadiran suatu limit cycle. Sebagai contoh sederhana terjadinya bifurkasi pada
persamaan van der Pol berupa persamaan diferensial pada R2 (Hirsch MW et al
2004).
xdtdx
xxydtdx
3
(33)
Dengan parameter berada pada interval [-1, 1]. Dengan menggunakan
Linierisasi diperoleh nilai eigen berikut :
421 2 (34)
Kemudian dari nilai eigen tersebut dapat diamati sebuah bifurkasi pada
titik kritisnya ketika parameter divariasikan sebagai berikut :
24
Gambar 9. Bifurkasi pada persamaan van der Pol ketika parameter divariasikan
(Hirsch MW et al 2004)
4.3 Penentuan Titik Kritis Model Fitzhugh-Nagumo
Untuk memperoleh letak titik kritis dapat ditentukan melalui analisis
nullcline dari tiap persamaan Fitzhugh-Nagumo ,yaitu sebagai berikut,
v nullcline terjadi pada saat 0w , sehingga diperoleh;
Ivvw 3
31 (35)
w nullclline terjadi pada saat 0v , sehingga diperoleh;
bavw
(36)
Dari persamaan (35) dan (36) di peroleh persamaan kubik sebagai berikut,
0131 3
I
bavv (37)
Dari persamaan (37) dapat diperoleh tiap titik kritis untuk setiap arus
eksternal yang diberikan (Izhikevich EM 2007).
25
4.4 Matrik Jacobian Model Fitzhugh-Nagumo
Dengan mensubstitusikan persamaan (25) kedalam persamaan Jacobi (28)
diperoleh matriks Jacobi untuk model Fitzhugh-Nagumo sebagai,
b
vJ 11 2
(38)
4.5 Nilai Eigen dan Syarat Kestabilan Model Fitzhugh-Nagumo
Dari persamaan (32) diperoleh persamaan karakteristik untuk persamaan
Fitzhugh-Nagumo :
0)ˆ()ˆ1( 222 vbbbv (39)
Sehingga nilai eigen dari persamaan karakteristik tersebut dapat ditulis
sebagai
2)ˆ(4)ˆ1()ˆ1( 2222
2,1
vbbbvbv (40)
Maka kondisi stabil dari ruang fase akan diperoleh jika memenuhi
ketentuan,
0ˆ0ˆ1
2
2
vbbbv (41)
4.6 Analisis Kestabilan Titik Kritis Model Fitzhugh-Nagumo
Melalui perhitungan numerik menggunakan software Maple 11, dengan
mensubstitusikan parameter ke dalam persamaan (25) dapat diperoleh nilai eigen
dari tiap parameter yang divariasikan dan melalui simulasi Matlab 7.01 diperoleh
grafik ruang fase dan Dinamika dari tiap parameter yang digunakan pada
persamaan Fitzhugh – Nagumo. Melalui analisis kestabilan dari nilai eigennya
kita dapat menentukan jenis kestabilan yang terjadi di sekitar titik kritisnya dan
parameter kritis terjadinya bifurkasi pada titik kritisnya (Hirsch MW et al 2004;
Izhikevich EM 2007). Dalam penelitian ini yang akan divariasikan adalah
26
besarnya arus eksternal yang diberikan I dan parameter tetap yaitu a = 0.7,
b = 0.8, = 0.08. Dengan menggunakan software maple 11 diperoleh hasil
numerik sebagai berikut :
Tabel 1. Analisis numerik kestabilan titik kritis model Fitzhugh-Nagumo
No Variasi Ieks Titik kritis Nilai eigen kestabilan 1 0.00 -1.1994,-0.6243 -0.2513 0.211900 i Spiral stabil
2 0.32 -0.9769,-0.3461 -0.009176 0.2774 i Spiral stabil
3 0.33 -0.9685,-0.3357 -0.001045 0.2757 i Limit cycle
4 0.50 -0.1311,-0.8048 +0.1441 0.191500 i Spiral tak stabil
5 1.25 1.8810, 0.8048 +0.1441 0.191500 i Spiral tak stabil
6 1.42 2.0857, 0.9685 -0.001045 0.2757 i Spiral stabil
7 1.43 0.9769, 2.0961 -0.009176 0.2774 i Spiral stabil
8 1.45 0.9933, 2.1166 -0.02532 0.28020 i Spiral stabil
9 1.50 2.1656, 1.0325 -0.06501 0.282800i Spiral stabil
10 2.00 1.3341, 2.5426 -0.6412, -0.2026 Stabil node
4.6.1 Kasus Arus Stimulus I = 0
Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan
mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (25) dapat diperoleh grafik
hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t.
(a) (b) Gambar 10. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 0 ; (a) bidang fase antara v dan w
bersifat spiral stabil (b) Dinamika v, w terhadap waktu t.
27
Dari perhitungan numerik pada tabel 1 diketahui bahwa ketika arus yang
eksternal yang diberikan I = 0 maka menghasilkan nilai eigen berupa nilai
kompleks dengan bagian real bernilai negatif menunjukkan bahwa titik kritis
tersebut bersifat spiral stabil artinya berapapun kondisi awal yang diberikan maka
trayektorinya akan menuju titik kritis tersebut membentuk spiral. Namun, jika
dilihat pada grafik Dinamikanya terhadap waktu maka pada saat I = 0 tidak tejadi
osilasi karena potensial aksi dan potensial recovery langsung menuju kestabilan
yaitu pada saat neuron berada pada fase istirahat. Gambar 10 model Fitzhugh-
Nagumo menunjukkan suatu kemiripan secara kualitatif dengan gambar 3 pada
model Hodgkin-Huxley.
4.6.2 Kasus Arus Stimulus I = 0.33
Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan
mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (25) dapat diperoleh grafik
hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t.
Gambar 11 memperlihatkan suatu kodisi bidang fase bersifat “stable limit
cycle.“ Jika dilihat dari nilai eigennya dari tabel 1. menunjukkan ketika arus
eksternal yang diberikan I = 0.33 maka akan menghasilkan titik kritis yang
memiliki nilai eigen kompleks dengan bagian real mendekati nol sehingga
terbentuk trayektori yang bergerak mengelilingi titik kritisnya dengan lintasan
tertutup. Pada gambar 11(b) dan 11(c) terlihat terjadinya osilasi potensial aksi v
dan potensial recovery w menuju kestabilan. Gambar 11 dari model Fitzhugh-
Nagumo memiliki kesamaan secara kulitatif dengan gambar 5 dari model
Hodgkin-Huxley. Dari gambar terlihat potensial aksi berbeda fase dengan
potensial recovery secara periodik.
28
(a) (b)
(c) (d) Gambar 11. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 0.33 ; (a) bidang fase antara v dan
w bersifat stabil limit cycle , (b) Dinamika v, w terhadap waktu t = 100 (c) Dinamika v, w terhadap waktu t = 100 dan (d) grafik 3D v,w terhadap t
Melalui analisis bifurkasi Hopf (Hirsch MW et al 2004; Medvedev GS,
Yoo Y 2007), pada parameter I = 0.33 merupakan parameter kritis terjadinya
transisi dari orbit spiral stabil menjadi orbit trayektori“limit cycle“ dan ketika
parameter I dinaikan menjadi I = 0.5 mulai terjadi transisi dari stabil“limit cycle“
menjadi spiral tak stabil sebagaimana terlihat dalam tabel 1.
4.6.3 Kasus Arus Stimulus I = 1.25
Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan
mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (25) dapat diperoleh grafik
hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t.
Gambar 12 memperlihatkan suatu kodisi bidang fase bersifat spiral tak
stabil. Jika dilihat dari nilai eigennya dari tabel 1. menunjukkan ketika arus
eksternal yang diberikan I = 1.25 maka akan menghasilkan titik kritis yang
memiliki nilai eigen kompleks dengan bagian real bernilai positif sehingga
29
terbentuk trayektori yang bergerak menjauhi titik kritisnya dengan lintasan
tertutup sehingga sifat titik kritisnya merupakan spiral tidak stabil.
(a) (b) Gambar 12. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 1.25 ; (a) bidang fase antara v dan
w bersifat spiral tak stabil (b) Dinamika v, w terhadap waktu t.
Dari gambar 11 (c) dan 12 (b) memperlihatkan fenomena osilasi pada
potensial aksi yang frekuensinya bertambah besar seiring dengan bertambah
besarnya arus eksternal yang melewati membran, hal ini sejalan dengan hasil yang
didapat pada model Hodgkin-Huxley. Melalui analisis bifurkasi Hopf (Hirsch
MW et al 2004; Medvedev GS, Yoo Y 2007), pada parameter I = 0.25
merupakan parameter kritis terjadinya transisi dari orbit spiral tak stabil menjadi
orbit trayektori spiral stabil menuju keadaan istirahat.
4.6.4 Kasus Arus Stimulus I = 1.43
Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan
mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (25) dapat diperoleh grafik
hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t.
Gambar 13 berikut memperlihatkan suatu kodisi bidang fase bersifat
spiral stabil. Jika dilihat dari nilai eigennya dari tabel 1. menunjukkan ketika arus
eksternal yang diberikan I = 1.43 maka akan menghasilkan titik kritis yang
memiliki nilai eigen kompleks dengan bagian real bernilai negatif sehingga
terbentuk trayektori yang bergerak mendekati titik kritisnya dengan lintasan
tertutup sehingga sifat titik kritisnya merupakan spiral stabil. Pada gambar 13(b)
mulai memperlihatkan fenomena berkurangnya osilasi akibat adanya ateunasi
30
dimana berapapun arus diperbesar tidak akan mempengaruhi potensial aksi yang
bergerak menuju kestabilan pada keadaan istirahat.
(a) (b) Gambar 13. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 1.43 ; (a) bidang fase antara v dan
w bersifat spiral stabil (b) Dinamika v, w terhadap waktu t.
4.6.5 Kasus Arus Stimulus I = 1.45
Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan
mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (25) dapat diperoleh grafik
hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t.
(a) (b) Gambar 14. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 1.45 (a) bidang fase antara v dan
w bersifat spiral stabil (b) Dinamika v, w terhadap waktu t.
Gambar 14 memperlihatkan suatu kodisi bidang fase bersifat spiral stabil.
Jika dilihat dari nilai eigennya dari tabel 1. menunjukkan ketika arus eksternal
yang diberikan I = 1.45 maka akan menghasilkan titik kritis yang memiliki nilai
eigen kompleks dengan bagian real bernilai negatif sehingga terbentuk trayektori
31
yang bergerak mendekati titik kritisnya dengan lintasan tertutup sehingga sifat
titik kritisnya merupakan spiral stabil. Pada gambar 14 (b) mulai memperlihatkan
fenomena berkurangnya osilasi akibat adanya ateunasi dimana berapapun arus
diperbesar tidak akan mempengaruhi potensial aksi yang bergerak menuju
kestabilan pada keadaan istirahat. Pada konsisi ini penambahan arus eksternal
hanya akan menambah kecepatan potensial membran menuju stabil pada keadaan
istirahat.
4.6.6 Kasus Arus Stimulus I = 2
Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan
mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (25) dapat diperoleh grafik
hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t.
(a) (b) Gambar 15. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 2 ; (a) bidang fase antara v dan w
bersifat stabil node (b) Dinamika v, w terhadap waktu t.
Gambar 15 memperlihatkan suatu kodisi bidang fase bersifat stabil
asimtotik. Jika dilihat dari nilai eigennya dari tabel 1. menunjukkan ketika arus
eksternal yang diberikan I = 2 maka akan menghasilkan titik kritis yang memiliki
nilai eigen real bernilai negatif sehingga terbentuk trayektori yang bergerak
mendekati titik kritisnya tanpa osilasi. Keadaan ini memperlihatkan bahwa
potensial membran sudah stabil sehingga arus yang diperbesar tidak lagi
berpengaruh.
Melalui analisis bifurkasi Hopf (Hirsch MW et al 2004; Medvedev GS,
Yoo Y 2007), pada parameter I = 2.0 merupakan parameter kritis terjadinya
32
transisi dari orbit spiral stabil menjadi orbit trayektori stabil node menuju keadaan
istirahat yang sudah tidak dipengaruhi lagi oleh perubahan oleh arus eksternal.
33
BAB 5
SINKRONISASI CHAOTIK NEURONAL NETWORK
5.1 Gejala Chaos Model Neuron Fitzhugh Nagumo
Jika pada pembahasan sebelumnya, yang menjadi parameter adalah arus
stimulasi eksternal kontinu dapat menghasilkan bidang fase yang bersifat
periodik, maka jika arus stimulasi eksternal berupa arus periodik sinusoidal yang
merupakan fungsi waktu akan diperoleh grafik bidang fase yang merupakan gejala
chaos, dengan ciri utama memiliki sensitifitas yang yang tinggi terhadap
perubahan kondisi awal meski tetap bersifat deterministik, dan munculnya
attractor asing (Guckenheimer J & Holmes P 1983).
Persamaan Dinamika model Fitzhugh-Nagumo untuk neuron tunggal tak
terkopel disajikan dalam persamaan (25). Parameter yang digunakan dalam
simulasi model tersebut antara lain a = 0.7, b = 0.8 dan = 0.08. serta dengan
memvariasikan arus stimulan yang diberikan. Telah diperoleh dari tabel 1 titik
equilibrium pada saat I = 0 berada pada (v*, w*) = ( -1.1994, -0.6243 ) dengan
nilai eigen pada titik ini sebesar (-0.2513 0.211900 i ). Jadi dengan
memvariasikan arus stimulan akan diperoleh kestabilan asimtotik di sekitar titik
equilibrium pada I = 0, dan dengan memvariasikan arus stimulan yang diberikan
maka akan menghasilkan beberapa sifat bifurkasi seperti pada tabel 1.
Dalam pembahasan ini, arus stimulan eksternal yang diberikan berupa arus
periodik sinusoidal dengan fungsi berikut (Mishra D et al 2006),
)cos()/()( tAtI (42)
Dimana A merupakan magnitudo arus stimulasi dan merupakan
frekuensi arus stimulasi yang diberikan. Dalam penelitian ini magitudo dibuat
konstan A = 0.71 sedangan yang frekuensi arus stimulan divariasikan. Hasil
simulasi menggunakan software Matlab 7.01 diperoleh seperti pada gambar
berikut :
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
Gambar 16. Model Fitzhugh-Nagumo saat A = 0.7 ; (a) respon waktu saat = 0.4 (b) bidang fase saat = 0.4 , (c) respon waktu saat = 0.8145 (d) bidang fase saat = 0.8145 , (e) respon waktu saat
= 0.93, (f) bidang fase saat = 0.93
Dalam gambar diatas terlihat begitu besar pengaruh dari variasi frekuensi
arus stimulasi eksternal yang mempengaruhi dapat menyebabkan perubahan
35
perilaku dinamikanya dari sifat periodik pada gambar 16.a dan 16.b sampai pada
perilaku dinamika yang bersifat chaotik seperti terlihat pada gambar 16 e dan 16 f.
5.2 Sensitivitas Terhadap Kondisi Awal
Telah terlihat pada gambar 16 terjadinya bifurkasi pada bidang fase dari
kondisi periodik seperti gambar 16.a menjadi kondisi chaotik seperti terlihat pada
gambar 16.e. Pada kondisi chaotik ini memiliki sifat yang khas yaitu amat sensitif
terhadap perubahan kondisi awal. Pada gambar berikut diperlihatkan adanya
gejala sensitivitas terhadap perubahan kondisi awal dari potensial aksi yang
merupakan ciri gejala chaotik (Guckenheimer J & Holmes P 1983).
Gambar 17. Model Fitzhugh-Nagumo saat A = 0.7 dan = 0.945 serta memvariasikan
kondisi awal potensial aksi V0
Dalam gambar 17. memperlihatkan adanya perubahan Dinamika potensial
aksi ketika kondisi awal potensial aksinya sedikit diubah yaitu V0 = 2.0000,
V0 = 2.0001 dan V0 = 2.0002.
Sistem jaringan syaraf terdiri dari banyak sel syaraf (neuron) yang bekerja
sama menerima, meneruskan dan mengolah atau menyimpan sinyal eksternal
yang diterima oleh tubuh. Dalam otak kita terdapat sekitar 1011 buah neuron yang
menjadi penyusunnya. Oleh karena itu penting untuk diketahui bagaimana
mekanisme kerjasama antar neuron membentuk suatu jaringan (network
neuronal). Dalam penelitian ini akan dilakukan pemodelan dan simulasi sistem
36
jaringan syaraf berdasarkan teori sinkronisasi yang terjadi antar neuron (Aziz-
Alaoui MA 2006).
Sinkronisasi secara umum merupakan karakteristik banyak proses dalam
sistem alam dan sains nonlinier serta meruapakan salah satu dasar fenomena
nonlinier yang dipelajari dalam matematika, fisika, teknik dan ilmu biologi.
Sinkronisasi berasal dari bahasa Yunani dari kata syn = umum dan
chronos = waktu, sehingga dapat diartikan berbagi waktu secara umum atau
terjadi pada waktu yang sama, yang merupakan korelasi atau kesesuaian waktu
dari proses yang berbeda (Aziz-Alaoui MA 2006).
Kemudian sinkronisasi dua sistem Dinamika secara umum diartikan suatu
sistem dengan cara tertentu terkait dengan gerakan (Dinamika) sistem yang lain.
Osilator Chaotik ditemukan dalam banyak sistem Dinamika. Perilaku
sistem dikarakterisasi dengan ketidakstabilan, dan sebagai hasilnya tidak dapat
diprediksi (terbatas pada rentang waktu kecil). Secara kasar sistem dikatakan
chaotik jika tetap deterministik (tidak acak), jika memiliki karakter takperiodik
dalam rentang waktu yang besar, dan jika memiliki sensitifitas yang tinggi
terhadap perubahan kondisi awal yang diberikan.
Konsekuensinya, untuk sebuah sistem chaotik, lintasan awal berubah-ubah
mendekati satu sama lain berbeda eksponensial terhadap waktu, dan dengan cepat
menjadi tak terkait. Hal ini menyebabkan dua sistem chaotik yang identik tak
dapat disinkronisasi. Hal ini berarti bahwa mereka tak dapat memproduksi sinyal
chaotik identik, terkecuali jika kondisi awal secara eksak dibuat sama, yang secara
umum menurut fisika tidaklah mungkin. Sehingga keadaan chaos dipercaya
takbisa terkontrol dan kemudian takbisa digunakan (Aziz-Alaoui MA 2006).
Meskipun demikian, dalam beberapa dekade, penelitian sinkronisasi telah
bergeser kepada sistem chaotik. Banyak peneliti yang tertarik dan sebagai
hasilnya, menunjukkan bahwa dua sistem chaotik dapat disinkronisasi dengan
mengkopling sistem tersebut. Sinkronisasi chaos kemudian terkenal dan sistem
chaos banyak dikembangkan. Sejak itu banyak peneliti yang mendiskusikan teori,
desain atau aplikasi gerak sinkronisasi pada sistem chaotik terkopel. Maka
berkembanglah banyak aplikasi, seperti untuk meningkatkan kekuatan laser, untuk
mensinkronisasi output sirkuit elektronik, untuk mengkontrol osilasi pada reaksi
37
kimia, atau untuk mengkode pesan elektronik untuk keamanan komunikasi (Aziz-
Alaoui MA 2006).
5.3 Kopling Neuron Model Fitzhugh-Nagumo
Mari kita perhatikan sebuah jaringan dari n buah neuron Fitzhugh-
Nagumo. Neuron ini terkopel oleh variabel v. Jaringan ini dapat dimodelkan
sebagai sistem :
)(
),(31 3
iii
jiiiii
bwavdt
dw
vvhIwvvdtdv
(43)
Dimana , ji , ,,...,1 ni nj ,...,1 dan arus stimulus ( I ) yang
diberikan berupa fungsi sinusoidal bergantung waktu.
Fungsi kopling h diberikan sebagai :
n
jjijssiji vcgVvvvh
1)()(),( (44)
Dimana kopling sinaptik dimodelkan sebagai fungsi sigmoid (Lange E
et al 2005; Belykh I & Shilnikov A 2008) dengan batas :
))(exp(11)(
sjj v
v
(45)
s adalah ambang yang dicapai oleh setiap potensial aksi dari sebuah
neuron. Neuron-neuron tersebut dibuat identik dan sinapsis terjadi sangat cepat
dan saat itu juga. Parameter gs berkaitan dengan kekuatan kopling sinaptik.
Sinapsis tereksitasi, karena itu kenapa potensial pembalik Vs harus lebih besar dari
vi (t) untuk semua i dan semua t (Lange E et al 2005; Belykh I & Shilnikov A
2008).
38
)( ijn cC adalah matrik koneksi nn :
1ijc jika i dan j terkoneksi, i = 1,...,n, j = 1,...,n
0ijc jika i dan j tidak terkoneksi
Matrik C ini dapat simetri ataupun tidak, sehingga kopling satu arah atau
dua arah dimungkinkan.
Solusi sinkronisasi ada jika dan hanya jika setiap neuron memiliki input
yang sama dari neuron yang lain (Lange E et al 2005; Belykh I & Shilnikov A
2008).
5.3.1 Model Dua Neuron Terkopel Fitzhugh-Nagumo
Langkah awal dalam hal ini adalah mengadaptasi metode sebelumnya
untuk dua neuron Fitzhugh-Nagumo. Dalam kasus ini, kita gunakan dua arah
koneksi karena jumlah input harus sama untuk semua neuron agar memiliki solusi
sinkronisasi (Corson N & Aziz-Alaoui MA 2007).
v1 v2
0110
2C
Sinkronisasi dua arah untuk dua neuron dan matrik koneksivitas C2.
Sistem dua neuron terkopel model Fitzhugh-Nagumo berdasarkan
persamaan (43) dan (44) dapat ditulis sebagai,
)(
))(exp(11)(
31
)(
))(exp(11)(
31
222
122
322
2
111
211
311
1
bwavdt
dwv
gVvIwvvdt
dv
bwavdt
dwv
gVvIwvvdtdv
sss
sss
(46)
39
Dengan parameter tetap yaitu : a = 0.7, b = 0.8, = 0.08, Vs = 1,
s = -0.25, =1 sedangkan I merupakan arus stimulus eksternal yang merupakan
fungsi waktu sinusoidal )cos()/()( tAtI , dengan A = 0.71 dan = 0.95.
(a) (b)
(c) (d)
Gambar 18. Bidang fase antara v1 dan v2 dengan memvariasikan kekuatan kopling gs saat kondisi awalnya tak sama ; (a) gs = 0.1, (b) gs = 0.125, (c) gs = 0.1255 , dan (d) gs = 0.15
Dalam penelitian ini diperoleh sinkronisasi dengan pendekatan numerik
terjadi pada kekuatan kopling 15.0sg . Fenomena ini juga dapat diamati untuk
variabel recovery w untuk parameter numerik yang sama.
40
5.3.2 Model Tiga Neuron Terkopel Fitzhugh-Nagumo
Pada kasus tiga neuron inipun, kita menggunakan dua arah koneksi karena
jumlah input (dua) harus sama untuk semua neuron agar memiliki solusi
sinkronisasi (Corson N & Aziz-Alaoui MA 2007).
100010001
3C
Sinkronisasi dua arah untuk tiga neuron dan matrik koneksivitas C3.
Sistem tiga neuron terkopel model Fitzhugh-Nagumo dapat ditulis sebagai,
)(
)))(exp(1
1))(exp(1
1()(31
)(
)))(exp(1
1))(exp(1
1()(31
)(
)))(exp(1
1))(exp(1
1()(31
333
2133
333
3
222
3122
322
2
111
3211
311
1
bwavdt
dwvv
gVvIwvvdt
dv
bwavdt
dwvv
gVvIwvvdt
dv
bwavdt
dwvv
gVvIwvvdtdv
ssss
ssss
ssss
(47)
41
(a) (b)
(c) (d)
Gambar 19. Bidang fase antara v1 dan v2 dengan memvariasikan kekuatan kopling gs saat kondisi awalnya tak sama ; (a) gs = 0.01, (b) gs = 0.062, (c) gs = 0.064 , dan (d) gs = 0.069.
Nilai kekuatan kopling minimum unrtuk dapat menghasilkan sinkronisasi
adalah sekitar 069.0sg . Fenomena ini juga dapat diamati untuk variabel
recovery w untuk parameter numerik yang sama.
5.3.3 Model Empat Neuron Terkopel Fitzhugh-Nagumo
Pada kasus empat neuron, kita menggunakan dua arah koneksi karena
jumlah input (dua) harus sama untuk semua neuron agar memiliki solusi
sinkronisasi (Corson N & Aziz-Alaoui MA 2007).
42
Sinkronisasi dua arah untuk model empat neuron
Dengan menggunakan persamaan (36) dan (37) dapat disusun persamaan
diferensial terkopel yang menggambarkan model empat neuron. Melalui metode
komputasi diperoleh grafik berikut:
(a) (b)
(c) (d)
Gambar 20. Bidang fase antara v1 dan v2 dengan memvariasikan kekuatan kopling gs saat kondisi awalnya tak sama ; (a) gs = 0.015, (b) gs = 0.018, (c) gs = 0.019 , dan (d) gs = 0.0195.
43
Nilai kekuatan kopling minimum unrtuk dapat menghasilkan sinkronisasi
adalah sekitar 0195.0sg .
Dari beberapa model kopling neuron diatas terlihat jika jumlah neuron n
semakin banyak maka ambang sinkronisasi gs akan semakin kecil.
44
BAB 6
SIMPULAN DAN SARAN
Sistem propagasi sinyal dari satu neuron ke neuron lainya merupakan
peristiwa elektrokimia yang sangat kompleks. Melalui model Hodgkin-Huxley
diperoleh bahwa pada membran terdapat saluran-saluran khusus yang hanya dapat
dimasuki oleh ion tertentu, dalam eksperimen yang dilakukannya Hodgkin-
Huxley menyatakan bahwa terdapat dua saluran utama membran yaitu saluran
potassium (ion K+) dan saluran sodium (ion Na+). Kedua saluran tersebut
dihipotesiskan dipengaruhi oleh tiga variabel yaitu m, h dan n. Variabel m
merupakan probabilitas aktivasi (terbukanya) saluran sodium sedangkan h adalah
probabilitas inaktivasi (tertutupnya) saluran sodium dan variabel n yang
merupakan probabilitas aktivasi saluran potassium. Dari grafik hasil simulasi
parameter Hodgkin-huxley diketahui bahwa m berubah secara cepat sehingga
berpengaruh sebagai penyebab terjadinya depolariazation potensial aksi
kemudian diikuti dengan variabel n yang menyebabkan setelah mencapai puncak,
potensial aksi akan mengalami hyper-polarization dan h merupakan variabel yang
paling lambat berubah memiliki peranan sebagai penyebab potensial aksi turun
melebihi batas potensial istirahat. Selain itu dalam penelitian ini juga diperoleh
grafik pengaruh suhu terhadap terjadinya potensial aksi, dalam penelitian
diperoleh bahwa semakin besar suhu yang diberikan maka terjadinya potensial
aksi semakin cepat (Depolarization) karena gerakan ion sodium semakin cepat
dengan meningkatnya suhu sesuai dengan teori yang mendasarinya. Dengan
memasukan data tentang akson tak bermyelin dengan a = 0.0238 cm, 1).(4.35/1 cm , 2/1 cmFCm diperoleh kecepatan propagasi potensial aksi
sebesar 18.80 m/s pada suhu 6.30C ketika tidak ada arus stimulus eksternal.
Sedangkan ketika diberikan stimulus arus eksternal maka kecepatan propagasinya
akan semakin besar karena frekuensi osilasinya bertambah besar, hasil ini terdapat
kesesuaian dengan penelitian sebelumnya.
Dari analisis Dinamika persamaan Fitzhugh-Nagumo diperoleh grafik
ruang fase yang amat bergantung pada besarnya arus eksternal yang diberikan.
Saat arus eksternalnya nol maka tidak terjadi osilasi tetapi setelah pemberian arus
eksternal terjadi osilasi pada potensial membran yang memiliki frekuensi
bergantung pada arus yang diberikan. Tetapi terdapat batas arus maksimal dimana
ketika arus dinaikan tidak lagi terjadi osilasi potensial membran karena potensial
sudah stabil asimtotik. Dari pendekatan teori dinamika juga terlihat terjadinya
bifurkasi atau perubahan sifat titik kritis ketika parameternya diubah dalam hal ini
arus eksternal dan memenuhi teori bifurkasi Hopf dengan kemunculan titik kritis
bersifat ”Stable Limit Cycle”. Dalam penelitian inipun dikaji terjadinya gejala
chaotik ketika arus stimulus yang diberikan berupa arus stimulus eksternal yang
periodik sinusoidal.
Pembahasan terakhir dalam penelitian ini adalah mekanisme komunikasi
antara beberapa neuron membentuk jaringan syaraf dengan pendekatan teori
sinkronisasi diperoleh bahwa dengan semakin banyaknya neuron yang
berinteraksi maka terjadinya ambang sinkronisasi semakin kecil. Dari simulasi
yang dibuat terlihat adanya pengaturan diri (self-organization) dari sel neuron
yakni ketika jumlah neuron yang berinteraksi semakin banyak maka secara
otomatis hanya dibutuhkan konstanta kopling yang kecil untuk menghasilkan
sinyal yang sinkron (sesuai antara satu neuron dengan yang lain) meski sinyal dari
neuron tunggal berupa potensial aksi yang bersifat chaotik.
Saran dari penulis terkait penelitian ini adalah perlu adanya pembuktian
secara eksperimen lanjutan mengenai hasil simulasi perhitungan numerik
sehingga penelitian teori ini selain menjadi dasar teori juga dapat diaplikasikan
secara nyata dalam bidang medis dan neuroscience. Selain itu, metode sistem
dinamika dan sinkronisasi chaotik yang terdapat dalam penelitian ini sangat baik
digunakan dalam penelitian bidang lain seperti penelitian karakteristik distribusi
potensial pada jantung yang bermanfaat di bidang medis (pemodelan jantung),
sistem dinamika penyebaran penyakit (epidemics), sistem dinamika pada ekologi,
untuk meningkatkan kekuatan laser, untuk mensinkronisasi output sirkuit
elektronik, untuk mengkontrol osilasi pada reaksi kimia, atau untuk mengkode
pesan elektronik untuk keamanan komunikasi dan lannya. Sehingga, teori ini
dapat dipakai dalam berbagai bidang disiplin ilmu.
46
DAFTAR PUSTAKA
Aziz-Alaoui MA. 2006. Complex emergent properties and chaos (De)
synchronization, Emergent Properties in Natural and Artificial Dynamical
Systems. Heidelberg : Springer p129-147.
Batista CAS, Batista AM, de Pontes JAC, Viana RL, Lopes SR. 2007. Chaotic
phase synchronization in scale-free networks of bursting neurons. PHYSICAL
REVIEW E 76, 016218.
Belykh I, Shilnikov A. 2008. When Weak Inhibition Synchronizes Strongly
Desynchronizing Networks of Bursting Neurons. PRL 101, 078102.
Brette R et al. 2007. Simulation of networks of spiking neurons: A review of tools
and strategies. J Comput Neurosci . volume 23:349–398.
Catherine DB, Francoise JP, Piquet C. 2001. Bursting Oscillations in Two
Coupled FitzHugh-Nagumo Systems. ComPlexUs Volume 2:101–111.
Corson N, Aziz-Alaoui MA. 2007. Dynamics and complexity of Hindmarsh-Rose
neuronal systems. Didalam : EPNACS'2007 -Emergent Properties in Natural
and Artificial Complex Systems; Dresden, 4-5 Oktober 2007. Germany : A
Satellite Conference within the 4th European Conference on Complex
Systems (ECCS'07).
Edelstein KL. 1988. Mathematical Models in Biology. New York :Random House
Lange E, Belykh I, Hasler M. 2005. Synchronization of Bursting Neurons: What
matters in the Network Topology. PRL 94, 188101.
Fitzhugh R. 1961. Impulses and Physiological state in theoretical models of nerve
membrane. Biophysics Journal., I, 445-466.
Fitzhugh R. 1966. Theoretical Effect of Temperature on Threshold in the
Hodgkin-Huxley Nerve Model. The Journal Of General Physiology. volume
49.
Georgiev NV. 2003. Identifying generalized Fitzhugh-Nagumo equation from a
numerical solution of Hodgkin-Huxley model. Journal of Applied
Mathematics. Volume 8 :397–407.
Guckenheimer J, Holmes P. 1983. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems
and Bifurcation of vector Fields. Applied Mathematical Sciences, vol. 42.
New York: Springer-Verlag.
Gulrajani RM. 1998. Bioelectricity and Biomagnetism. J. wiley, pp.53-88.
Hirsch MW, Smale S, Devaney RL. 2004. Differential Equations, Dynamical
Systems and An Introduction to Chaos. USA : Elsevier Academic Press.
Hodgkin AL, Huxley AF. 1952. A quantitative description of membrane current
and its application to conduction and excitation in nerve. J. Physiol.,117.500-
544.
Izhikevich EM. 2007. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of
Excitability and Bursting. USA: MIT Press.
Kuang S, Wang J, Zeng T, Cao A. 2008. Thermal impact on spiking properties in
Hodgkin-Huxley neuron with synaptic stimulus. PRAMANA journal of
physics. Vol. 70, No. 1pp. 183-190.
Jackson MB. 2006. Molecular and Cellular Biophysics. UK: Cambridge
University Press.
Marquie P, Comte JC, Morfu S. 2004. Analog simulation of neural information
propagation using an electrical FitzHugh–Nagumo lattice. Chaos, Solitons and
Fractals. Volume 19: 27–30.
Medvedev GS, Kopell N. 2001. Synchronization and transient Dynamics in the
chains of electrically coupled Fitzhugh-Nagumo oscillators. SIAM J. APPL.
MATH. Vol. 61, No. 5, pp. 1762–1801.
Medvedev GS, Yoo Y. 2007. Multimodal oscillations in systems with strong
contraction. Physica D. Volume 228 : 87–106.
Mishra D, Yadav A, Ray S, Kalra PK. 2006. Controlling Synchronization of
Modified FitzHugh-Nagumo Neurons Under External Electrical Stimulation.
NeuroQuantology |Issue 1|Page 50-67.
Muratov CB. 2008. A quantitative approximation scheme for the traveling wave
solutions in the Hodgkin-Huxley model. http://arXiv.org/abs/nlin/0209053v1
Phillipson PE, Schuster P. 2004. An analytic picture of neuron oscillations,
Internat. I. Bifur. Chaos, Appl. Sci. Engrg bf 14 , pp.1539-1548.
48
Rinzel J, Keller JB. 1973. Traveling wave solutions of a nerve conduction
equation.Biphysc J. Volume 13: 1313-1337.
Scott AC. 2002. Neuroscience : A Mathematical Primer. New York: Springer-
Verlag Inc.
Sims BA. 2008. Magnetic Field Profiles Generated by a Solitary Propagating
Action Potential via Hodgkin-Huxley Type Membrane Dynamics. Journal of
Mathematical Sciences & Mathematics Education. Vol. 3 No. 2.
Tonnelier A. 2003. McKean caricature of the FitzHugh-Nagumo model:
Traveling pulses in a discrete diffusive medium. PHYSICAL REVIEW E 67,
036105.
Yu L, Chen Y, Zhang P. 2007. Frequency and phase synchronization of two
coupled neurons with channel noise. Eur. Phys. J. B 59, 249.
49
Lampiran 1. Penurunan Persamaan Kabel
Pembahasan berhubungan dengan persamaan “kabel” mengkarakterisasi
propagasi potensial aksi satu-dimensional, misalnya propagasi pada serat syaraf,
otot, atau akson yang berbentuk silindris dan panjang, dan memiliki penampang
yang seragam (uniform cross section). Diasumsikan pada serat dengan panjang
tak-hingga sehingga refleksi pada ujung serat bisa diabaikan.
Gambar 1 (a) Serat satu-dimensional, diasumsikan memiliki panjang tak-hingga,
menggambarkan arus intraselular (ii), ekstraselular (ie), dan membran (im). (b)
sirkuit listrik ekivalen untuk serat.
Serat satu-dimensional (Gambar 1a) bisa direpresentasikan oleh sirkuit
ekivalen seperti ditunjukkan pada Gambar 1b. Medium intraselular
direpresentasikan oleh sebuah hambatan ri dan medium ekstraselular
direpresentasikan oleh sebuah hambatan re, keduanya dinyatakan dalam satuan
ohm per unit panjang. Secara implisit, karakterisaisi dari ruang intraselular dan
ekstraselular oleh hambatan ri dan re memberikan asumsi bahwa aliran arus
intraselular maupun ekstraselular hanya berada pada arah longitudinal. Dengan
kata lain, tidak ada arus radial, dan konsekuensinya, tidak ada variasi potensial
sepanjang penampang lintang kabel. Potensial intraselular dan ekstraselular,
secara berurutan Фi dan Фe, hanya bergantung kepada koordinat longitudinal z
50
sepanjang aksis serat. Sehingga potensial transmembran, Vm, sama dengan Фi –
Фe. Perlu dicatat bahwa serat tidak harus memiliki penampang melingkar
(circular cross section), tetapi penampangnya harus seragam (uniform) secara
keseluruhan. Untuk sementara, representasi “kotak hitam” digunakan untuk
membran (Gambar 1). Asal dari model “kawat penghantar (core-conductor)”
untuk serat akson ini bisa dilacak kembali berasal dari Hermann (1879a, 1879b).
Dengan menggunakan hukum Ohm, kita dapat menentukan tegangan jatuh
intraselular dan ekstraselular (secara berurutan, ∂Фi dan ∂Фe) sepanjang
perubahan kecil panjang serat, ∂x sebagai:
ΔФi = – ( ri Δx)ii (1a)
ΔФe = – ( re Δx)ie (1b)
dengan ii dan ie, secara berurutan adalah arus intraselular dan ekstraselular
longitudinal. Dalam limit ∂z mendekati nol, Persamaan (1a) dan (1b) diturunkan
menjadi:
x
i
= – ri ii (2a)
x
e
= – re ie (2b)
Turunan parsial digunakan di atas karena ∂Фi dan ∂Фe juga bisa bergantung
terhadap variabel waktu t. Arus intraselular dan ekstraselular, ii dan ie, juga
merupakan fungsi t dan x. Dengan menyertakan potensial transmembran,
Persamaan (2a) dan (2b) bisa digabung sehingga menghasilkan:
x
Vm
=
xxei
= – ri ii + re ie (3)
Sekarang, jika im menyatakan arus membran tiap unit panjang, dan ia sebagai arus
stimulus terapan tiap unit panjang yang diinjeksikan ke dalam ruang intraselular
melalui proses injeksi mikroelektroda, maka akan didapatkan persamaan:
51
Δii = – im Δx + ia Δx (4a)
dan
Δie = im Δx (4b)
Dengan kata lain, perubahan ∂ii pada ii sepanjang panjang serat ∂x adalah
penjumlahan aljabar dari arus membran yang meninggalkan ruang intraselular
melalui lubang membran, dan setiap arus stimulus yang diterapkan. Arus
transmembran im∂x tentu saja memberikan kontribusi terhadap peningkatan arus
ekstraselular. Tidak ada asumsi tentang adanya arus stimulus ekstraselular, namun
jika ada, bisa ditambahkan ke dalam Persamaan (4b), tepat seperti yang telah
dilakukan pada Persamaan (4a). Dengan mengambil nilai limit ∂x mendekati nol,
didapatkan:
xii
= – im + ia (5a)
dan
xie
= im (5b)
Dari Persamaan (3), dapat pula dituliskan:
x
Vm
= – (ri + re) ii + re I = (ri + re) ie – ri I (6)
dengan I = ii + ie. Dari Persamaan (5a) dan (5b), didapatkan ∂I / ∂x = ia, yang
menandakan bahwa, kecuali terdapat arus stimulus terapan, I harus sama dengan
nol, karena pada kondisi ini, konservasi arus mengharuskan ie = – ii. Jadi, tanpa
adanya stimulasi, pasti didapatkan ie = – ii.
Dengan menggunakan Persamaan (6) dan melakukan substitusi nilai arus
pada Persamaan (2a) dan (2b), bisa didapatkan, secara berurutan:
52
Irr
rrx
Vmrr
rx ei
ei
ei
ii
(7a)
Irr
rx
Vrr
rx ei
em
ei
ee
(7b)
Dari Persamaan (7) tersebut bisa diturunkan nilai фi, фe dan vm yaitu deviasi dari
potensial intraselular, ekstraselular dan transmembran, dari nilai-nilai diamnya.
Nilai-nilai diam ini bisa diasumsikan seragam di seluruh panjang kawat. Dengan
mengintegrasikan Persamaan (7a) dan (7b) terhadap x dari x sampai ∞ didapatkan
secara berturut-turut :
фi(∞,t) - фi(x,t) =ei
i
rrr
[ vm(∞,t) - vm(x,t) ] – dxxIrr
rr
xei
ei
)( (8a)
фe(∞,t) – фe(x,t) = – ei
e
rrr
[ vm(∞,t) - vm(x,t) ] – ei
ei
rrrr
dxxIx
)( (8b)
Saat x = ∞, kabel diasumsikan selalu pada kondisi diam (at rest), sehingga nilai
vm(∞,t) = 0. Jika lebih lanjut diasumsikan bahwa pada x = ∞ deviasi dari potensial
ekstraselular, фe(∞,t), juga selalu bernilai nol maka begitu pula nilai deviasi dari
potensial intraselular фi(∞,t). Oleh karena itu, Persamaan (8a) dan (8b) secara
berturut-turut bisa direduksi menjadi:
фi(x,t) =ei
i
rrr
vm(x,t) + ei
ei
rrrr
dxxIx
)( (9a)
фe(x,t) = – ei
e
rrr
vm(x,t) + ei
ei
rrrr
dxxIx
)( (9b)
Jika sekarang bisa diasumsikan bahwa I(x) = 0, maka faktor integral akan hilang.
Asumsi I(x) = 0 berimplikasi adanya stimulus, baik yang muncul sebelum t = 0
53
maupun yang diterapkan pada daerah kabel tanpa melihat pertimbangan tersebut.
Sebagai contoh, stimulus yang diterapkan untuk x < 0 dengan integrasi hanya di
atas x > 0. Sebagai hasil dari stimulus semacam ini, timbul gerakan perturbasi,
dan deviasi di dalam potensial intraselular dan ekstraselular yang mencirikan
perturbasi ini secara berturut-turut diberikan oleh
фi(x,t) =ei
i
rrr
vm(x,t) (10a)
фe(x,t) = –ei
e
rrr
vm(x,t) (10b)
Persamaan di atas adalah tipe persamaan “pembagi-tegangan” yang sangat
sederhana antara amplitudo dari perturbasi potensial intraselular,ekstraselular dan
transmembran. Persamaan tersebut adalah dasar dari teknik eksperimental yang
sering digunakan untuk menentukan rasio ri/re dengan cara mengukur rasio nilai
amplitudo dari potensial aksi intraselular dan ekstraselular.
Secara berkesinambungan, untuk menyederhanakan perlakuan
diasumsikan bahwa setiap arus stimulus intraselular selalu diinjeksikan pada
posisi awal, x = 0. Alih-alih memasukkan arus ini ke dalam Persamaan (5a), lebih
mudah untuk menetapkan ia = 0 dalam persamaan ini, dan kemudian
menempatkan arus stimulus sebagai kondisi batas. Dengan mendiferensiasikan
Persamaan (6) terhadap x (perlu diingat bahwa ∂I/∂x sekarang bernilai nol), dan
mensubstitusikan ∂ie / ∂x dari Persamaan (15b)(atau ∂ii / ∂x dari persamaan (5a)
dengan nilai ia = 0) menghasilkan:
mm
ei
ixV
rr
2
21 (11)
Persamaan (11) menghubungkan antara arus transmembran per unit panjang
dengan turunan spasial kedua dari potensial transmembran, dan merupakan
persamaan fundamental yang dihasilkan dari asumsi-asumsi pada teori kabel satu-
dimensional. Perlu dicatat bahwa persamaan ini tetap valid jika Vm diganti oleh vm
(Gulrajani,R.M ,1998).
54
Lampiran 2. Analisis Titik Kritis Model Dinamika Fitzhugh-Nagumo
Analisis sistem persamaan differensial sering digunakan untuk menentukan
solusi yang tidak berubah terhadap waktu, yaitu untuk tiap .0/,0/ dtdwdtdv
Titik kritis ( ** , wv ) dari sistem persamaan dapat diperoleh dengan menentukan
.0/,0/ dtdwdtdv
Analisis Titik Kritis Model Dinamika Fitzhugh-Nagumo
Dalam penelitian ini variabel yang divariasikan adalah arus eksternal yang
menjadi stimulusnya. Dengan menggunakan software maple 11 diperoleh titik
kritis sebagai berikut :
Untuk arus eksternal i = 0, diperoleh :
> per1:=v-1/3*v^3-w+i;
> per2:=phi*(v+a-b*w);
> a:=0.7; b:=0.8; phi:=0.08; i:=0;
> solve({per1=0,per2=0},{v,w});
Demikian juga untuk nilai arus eksternal yang lainya, titik kritis (equilibrium)
dapat dianalisis melalui cara yang sama.
55
Lampiran 3. Analisis Nilai Eigen Model Dinamik Fitzhugh-Nagumo
Dengan melakukan pelinearan pada persamaan maka diperoleh matriks komunitas
),(),(
),(),(
****
****
wvwv
wvwv
wG
vG
wF
vF
J
Kondisi kestabilan dari tiap titik kritis dapat diperoleh dengan mengetahui terlebih
dahulu nilai eigen. Nilai eigen tersebut dapat diperoleh melalui persamaan
karakteristiknya, sebagai berikut:
0)det()( IJIJp
Dengan Menggunakan software Maple 11 dapat diperoleh nilai eigen dari tiap
titik kritis dari model dinamik Fitzhugh-Nagumo sebagai berikut:
Dengan melakukan pelinearan pada persamaan maka diperoleh matriks komunitas
b
vJ 11 2
Nilai Eigen Secara Numeric Dengan Maple 11
Solusi ini di peroleh dengan memvariasikan parameter arus stimulasi eksternal
Misalkan arus stimulus eksternal i = 0
> restart;
> with(linalg):
> J:=matrix(2,2,[1-v^2,-1, phi, -b*phi]);
56
> a:=0.7;b:=0.8;phi:=0.08;i:=0;
> v := -1.199408035; w := -.6242600440;
> nilai_e1:=eigenvals(J);
Selanjutnya untuk varisi nilai arus eksternal yang lain dapat dianalisis nilai
eigennya melalui cara yang sama , seperti yang tertera dalam table 1.
57
Lampiran 4. Sintaks Plot Grafik Dengan Software Matlab 7.01
Dengan persamaan Hodgkin-Huxley berikut akan dibuat solusi grafik
menggunakan software maple 7.01
eksLLkKNaNa IvvgvvvngvvvhmgCdt
dv )())(())((1 43
nvnvdtdn
nn )()1)(( (12a)
mvmvdtdm
mm )()1)(( (12b)
hvhvdtdh
hh )()1)(( (12c)
Dengan konstanta variabel tersaji pada persamaan (10).
% GRAFIK RUANG FASA MODEL HODGKIN-HUXLEY
% MADA SANJAYA WS
% Departemen Fisika IPB 2008
% Orbit dan Kestabilan Sistem Dinamika Neuron Model
Hodgkin-huxley
function dy = tesisHH7(t,y)
dy = zeros(4,1); % a column vector
dy(1) = (120*y(2)^3*y(3)*(50-y(1))+36*y(4)^4*(-77-
y(1))+0.3*(-54.4-y(1))+7)/1;
dy(2) =((0.1*y(1)+4)/(1-exp(-(y(1)+40)/10)))*(1-y(2))-
(4*exp(-(y(1)+65)/18))*y(2);
dy(3) = 0.07*exp(-(y(1)+65)/20)*(1-y(3))-(1/(1+exp(-
(y(1)+35)/10)))*y(3);
dy(4) = ((0.01*y(1)+0.55)/(1-exp(-(y(1)+55)/10)))*(1-
y(4))-(0.125*exp(-(y(1)+65)/80)*y(4));
58
% A. Plot Grafik Ruang phasa Sistem Dinamika Model
Hodgkin-huxley
tspan=[0 100];
y0=[0.5 0.5 0.4 0.4];
[t,y]=ode23('tesisHH7',tspan,y0);
plot(y(:,1),y(:,4))
title('Dynamical system Hodgkin-Huxley models');
xlabel('Potensial aksi V(mV)');
ylabel('variable n');
% B. Plot Grafik Perubahan Potensial Aksi Sistem
Dinamika Model Hodgkin-huxley
tspan=[0 100];
y0=[0.5 0.5 0.4 0.4];
[t,y]=ode23('tesisHH7',tspan,y0);
plot(t,y(:,1))
title('Dynamical system Hodgkin-Huxley models');
xlabel('Time t(ms)');
ylabel('Potensial aksi V(mV)');
59
Grafik yang di hasilkan :
60
Lampiran 5. Diagram Alir Penelitian
61