PEMBAHASAN SOAL SNMPTN TAHUN 2012 KODE 633 BIDANG STUDI IPA, BIDANG ILMU MATEMATIKA

1. Soal: Di dalam kotak terdapat 2 bola biru, 6 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil 8 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil tiga kali banyak bola putih yang terambil adalah …

Terdapat beberapa kemungkinan dengan syarat banyak bola merah tiga kali banyak bola putih, yaitu

Kemungkinan pertama, bola yang terambil 3 bola merah, 1 bola putih, dan 4 bola biru. Tidak mungkin.

Kemungkinan kedua, bola yang terambil 6 bola merah dan 2 bola putih. Sehingga peluangnya,

P ( A ) ¿C66 ∙C2

2

C810

¿ 1∙110 !

(10−8 ) !8 !

¿ 145

Jawaban (C)

2. Soal: Grafik fungsi

f ( x )=a x3+b x2+cx+25 naik jika …

Suatu grafik fungsi akan naik apabila turunan pertamanya positif.

f ' ( x ) ¿0

⟺ 3a x2+2bx+c ¿0

Agar fungsi kuadrat

h ( x )=3a x2+2bx+c bernilai positif, maka

D ¿0

⟺ (2b )2−4 ∙3a ∙ c ¿0

⟺ 4 b2−12ac ¿0

⟺ b2−3ac ¿0

Dan,

3a ¿0

⟺ a ¿0

Jawaban (D)

3. Soal: Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2, y=1, dan x=2 adalah …

Untuk mengerjakan soal ini, perhatikan grafik berikut.

Tentukan dulu batas luas daerahnya.

Batas kiri, perpotongan grafik

y=x2 dan y=1, yaitu di x=1

Batas kanan, x=2. Sehingga luasnya adalah

L=∫1

2

x2−1dx

Jawaban (C)

4. Soal:

(cos x+sin x )2

(cos x−sin x )2=…

(cos x+sin x )2

(cos x−sin x )2

¿ cos2 x+2cos x sin x+sin2 x

cos2 x−2cos x sin x+sin2 x

¿(cos2 x+sin2 x )+2cos x sin x

(cos2 x+sin2 x )−2cos x sin x

¿ 1+sin 2x1−sin 2 x

Jawaban (E)

5. Soal: Lingkaran

( x−3 )2+( y−4 )2=25 memotong sumbu-x di titik A dan B. Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka cos∠ APB=…

Lingkaran ( x−3 )2+( y−4 )2=25 berpusat di titik P (3,4 ). Sedangkan titik potongnya terhadap sumbu-x dapat dicari dengan mensubstitusikan y=0 ke persamaan lingkaran tersebut.

( x−3 )2+(0−4 )2 ¿25

⟺ ( x−3 )2+16 ¿25

⟺ ( x−3 )2 ¿9

Sehingga, x=6 atau x=0. Diperoleh, titik potong terhadap sumbu-x adalah (6,0 ) dan (0,0 )

AB=√ (6−0 )2+(0−0 )2=6

AP=√ (3−0 )2+ (4−0 )2=5

AP=BP=5

Dengan menggunakan aturan cosinus,

62=52+52−2 ∙5 ∙5∙cos∠ APB

Sehingga,

cos∠ APB=1450

= 725

Jawaban (A)

6. Soal: Himpunan A memenuhi hubungan {1 ,7 }⊂ A⊂ {1 ,2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 }. Jika 2 adalah anggota A, maka banyak himpunan A yang mungkin adalah …

Karena {1 ,7 }⊂ A dan 2 adalah anggota A, maka {1 ,2,7 }⊂ A. Sehingga, banyaknya anggota A yang mungkin adalah sebagai berikut:

Tiga anggota, satu kemungkinan yaitu {1 ,2,7 }.

Empat anggota, banyaknya

kemungkinannya C14=4.

Lima anggota, banyaknya

kemungkinannya C24=6.

Enam anggota, banyaknya

kemungkinannya C34=4.

Tujuh anggota, satu kemungkinan yaitu {1 ,2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 }.

Sehingga banyak semua kemungkinannya adalah 16 kemungkinan.

Jawaban (C)

7. Soal: Lingkaran ( x+6 )2+( y+1 )2=4 menyinggung garis x=−4 di titik …

Untuk mencari titik singgung garis x=−4 terhadap lingkaran

( x+6 )2+( y+1 )2=4 kita cukup mensubstitusikan x=−4 ke persamaan tersebut.

(−4+6 )2+ ( y+1 )2=4

Diperoleh, y=−1. Jadi, titik singgungnya adalah (−4 ,−1 ).

Jawaban (E)

8. Soal: Jika sukubanyak

5 x3+21x2+9 x−2 dibagi 5 x+1, maka sisanya adalah …

Pembaginya adalah 5(x+ 15 )

Dengan cara Horner:

−15

5 21 9 −2

−1 −4 −1

5 20 5 −3

Jadi, sisanya adalah −3.

Jawaban (A)

9. Soal:

limx→0

1−cos22x

x2 tan(x+ π4 )

=…

limx→0

1−cos22x

x2 tan(x+ π4 )

¿ limx→0

sin22 x+cos22x−cos22x

x2 tan(x+ π4 )

¿ limx→0

sin22x

x2 tan(x+ π4 )

¿ limx→0

4 ∙sin2 x2 x

∙sin 2 x2x

∙1

tan(x+ π4 )

¿4 ∙1

tan (0+ π4 )

=4 ∙ 11=4

Jawaban (E)

10. Soal: Nilai √3cos x−sin x<0, jika …

Tentukan pembuat nol terlebih dulu.

√3cos x−sin x ¿0

⟺ √3cos x ¿ sin x

⟺sin xcos x ¿√3

⟺ tan x ¿√3

Sehingga, x=π3

atau x=4 π3

Lakukan uji tanda:

x=π4

⟹√3cos x−sin x>0

(Tidak memenuhi)

x=π2

⟹√3cos x−sin x<0

(Memenuhi)

x=3π2

⟹√3cos x−sin x>0

(Tidak memenuhi)

Jadi, √3cos x−sin x<0 apabila

π3

<x< 4 π3

Tidak ada jawaban.

11. Soal: Vektor x⃗ diputar terhadap titik asal O sebesar θ>0 searah jarum jam. Kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis y=0, menghasilkan vektor y⃗. Jika y⃗=A x⃗, maka matriks A adalah …

Matriks putaran sebesar θ>0 searah jarum jam adalah

T 1=[cosθ −sin θsin θ cosθ ]

Matriks pencerminan terhadap garis y=0 atau sumbu-x adalah

T 2=[1 00 −1]

Sehingga,

A=[1 00 −1][cosθ −sin θ

sin θ cosθ ]Tidak ada jawaban (Keterangan, pada pilihan ganda, pilihan (D) dan (E) sama, jadi ada kemungkinan ada kesalahan dalam membuat pilihan ganda)

12. Soal: Diketahui segitiga dengan titik sudut (−6,0 ), (6,0 ), dan (6cosθ ,6sin θ ) untuk 0<θ<2π. Banyak nilai θ yang mungkin agar luas segitiga tersebut 12 adalah …

Misalkan ruas garis yang menghubungkan titik (−6,0 ) dan titik (6,0 ) adalah sisi alas, maka a=12. Sisi alas tersebut berada di sumbu-x atau y=0. Sehingga tinggi dari segitiga tersebut adalah

L ¿ 12at

⟺ 12 ¿ 12∙12 ∙ t

⟺ t ¿2

Padahal t adalah jarak titik (6cosθ ,6sin θ ) terhadap sumbu-x. Sehingga,

t ¿6sinθ

⟺ 2 ¿6sin θ

⟺ sin θ ¿ 13

Nilai θ, dengan 0<θ<2π , yang

memiliki nilai 13 tentunya ada

2, yaitu 0<θ< π2

dan π2<θ<π ,

karena nilai sinus adalah tunggal.

Jawaban (D)

13. Soal: Diberikan kubus ABCD .EFGH . Jika α adalah sudut antara bidang ACF dan alas ABCD, maka sinα−cos α=…

Perhatikan kubus ABCD .EFGH berikut.

Sudut antara bidang ACF dan alas ABCD sama dengan sudut yang dibentuk oleh ruas garis OF dan OB. Misalkan panjang

rusuk dari kubus tersebut adalah s, maka

OB=12√s2+s2= s

2√2

Dan,

OF=√( s2 √2)2

+s2=s√ 32= s2

√6

Sehingga,

sinα−cos α ¿s

s2

√6−

s2√2

s2√6

¿1−12√2

12√6

¿ 2−√2√6

¿ 2√6−2√36

¿ √6−√33

¿ √3 (√2−1 )3

¿ √2−1√3

Jawaban (C)

14. Soal: Jika u⃗ dan v⃗ adalah vektor satuan yang membentuk sudut 45 °, maka ( u⃗+ v⃗ )∘ v⃗=…

Perhatikan bahwa,

|u⃗+ v⃗|

¿√12+12+2 ∙1∙1∙cos 45 °¿√2+√2

Karena |u⃗|=|v⃗|=1, maka sudut yang dibentuk oleh vektor-vektor u⃗+ v⃗ dan v⃗ adalah setengah dari 45 °, yaitu 22,5 °. Sehingga,

( u⃗+ v⃗ )∘ v⃗=|⃗u+ v⃗|∙|v⃗|cos22,5 °

Perhatikan bahwa,

cos22,5° ¿cos ( 452 )°¿√ cos 45+12

¿√ 12 √2+1

2

¿√ √2+24

¿ 12√√2+2

Oleh karena itu,

( u⃗+ v⃗ )∘ v⃗ ¿ 12

(√√2+2 )2

¿ 12

(√2+2 )

¿ √22

+1

Jawaban (A)

15. Diberikan suku banyak

p ( x )=x2+bx+c. Jika b dan c dipilih secara acak dari selang [0,3 ], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah …

Suku banyak p ( x )=x2+bx+c tidak memiliki akar apabila,

b2−4 c ¿0

Tentukan pembuat nolnya

b2−4 c ¿0

⟺ (b+2√c ) (b−2√c ) ¿0

Sehingga pembuat nolnya adalah b=−2√c atau b=2√c

Diperoleh,

−2√c≤b<2√c

Karena 0≤b≤3 dan −2√c≤0, maka

0≤b<2√c

0≤b2<√c …(1)

Karena 0≤b≤3 maka 0≤b2≤32,

sehingga persamaan (1) menjadi

32<√c

94<c (karena c non-negatif)

Karena 0≤c≤3 dan 94<c, maka

94<c≤3

Sehingga peluangnya dapat dicari dengan membagi panjang selang bersyarat oleh panjang selang tidak bersyarat (semestanya).

Selang bersyaratnya adalah 94<c≤3 atau ¿. Sehingga

panjang selangnya adalah

3−94=34

.

Semestanya adalah 0≤c≤3 atau [0 ,3 ]. Sehingga panjang selang ini adalah 3−0=3.

Sehingga,

P ( A )=

343

=14

Jawaban (D)

>>> Semoga bermanfaat, yos3prens <<<