SISTEM PERSAMAAN LINEAR

OLEH KELOMPOK 41. Rena Trisea2. Ellin Juniarti3. Yusrina Fitriani4. Ayu Triwahyuni5. Nikmah Nurvicalesti

PEER TEACHING MATA KULIAH PMRIFKIP MATEMATIKA UNSRI

2012

Sebelumnya pada kelas 7, kita pernah mempelajari tentang sistem persamaan linear 1 variabel.

“Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang hanya memiliki satu variabel dengan pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 1.”

Perhatikan contoh di bawah ini!x + 3 = 7m + 8 = 10

Kedua contoh kalimat terbuka di atas dihubungkan oleh tanda "sama dengan =". Kalimat itulah yang dinamakan "persamaan“.Variabel dari kalimat pertama adalah x sedangkan kalimat kedua variabelnya adalah m dimana pangkat tertinggi dari variabel tersebut adalah 1.

Menyelesaikan Persamaan dengan Aturan Kesetaraan

1. Aturan penambahan dan penguranganMenyelesaikan suatu persamaan dapat dilakukan dengan menambah atau mengurangi tiap ruas dengan bilangan yang sama.

Example:Tentukan penyelesaian dari x + 7 = 12

 Solution:x + 7 = 12ruas kiri ruas kananx + 7 – 7 = 12 – 7 (kedua ruas dikurangi 7)x = 5 Jadi, penyelesaian dari x + 7 = 12 adalah 5.  

2. Aturan perkalian dan pembagian Menyelesaikan suatu persamaan juga dapat dilakukan dengan mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.  Example:Tentukan penyelesaian dari 3x = 15  Solution:3x = 153x/3 = 15/3x = 5 Jadi, penyelesaiannya adalah 5.

3. Grafik penyelesaian Sistem persamaan linear satu variabelPenyelesaian suatu persamaan pada grafik dapat dinyatakan dengan noktah. Example:Tentukan penyelesaian dari 2x + 2 = 8Solution:2x + 2 = 82x = 8 – 22x = 6x = 3

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dalam Kehidupan Sehari-hari

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) terdiri dari dua sistem persamaan dua variabel yang memiliki satu penyelesaian. SPLDV sangat erat kaitannya dengan kehidupan sehari-hari. Contoh permasalahan SPLDV dalam kehidupan sehari-hari.

Sebelum berangkat sekolah Ajrina dan Rizki pergi ke toko buku. Ajrina membeli satu buku dan satu pena seharga Rp14.000,00. Sedangkan Rizki membeli satu pena dan tiga buku dengan merk sama seharga Rp17.000,00. Sesampainya mereka di sekolah, mereka lupa berapa harga setiap pena dan buku yang mereka beli, lalu mereka menghitung berapa harga setiap buku dan pena yang mereka beli.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dalam Kehidupan Sehari-hari

Penyelesaian :

Ajrina : = 14.000

Maka :

7000

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dalam Kehidupan Sehari-hari

Rizki : = 17.000

Maka :

= 17.0007000

= 17000 – 7000

= 10000Jadi :

= 5000

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel dalam Kehidupan Sehari-hari

Jika :1) = 7000

2)= 5000

Maka :

= 2000

Jadi, harga satu pena Rp2000,00 dan harga satu buku Rp5000,00.

Lampiran

Sistem Persamaan Dua Variabel (SPLDV)

Dari contoh di atas, menunjukakan keterkaitan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan kehidupan sehari-hari.Pada slide kali ini, kita akan membahas contoh tersebut ke dalam materi mengenai SPLDV. Jika contoh di atas dimasukkan ke dalam persamaan, maka akan menjadi :

2x + 2y = 14.000 x + 3y = 17.000

Bentuk persamaan tersebut merupakan bentuk persamaan linear dua variabel, yaitu persamaan yang memiliki dua variabel yang tidak diketahui nilainya dan varibelnya memiliki pangkat 1.

Variabel sendiri ialah lambang dari sebuah bilangan yang belum diketahui nilainya. Variabel bisa juga disebut peubah. Varibel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil, misal a dan b, p dan q, x dan y, dsb.

Metode penyelesaian SPLDV

Terdapat 3 metode penyelesaian SPLDV untuk mendapatkan Himpunan Penyelesaiannya (HP), yaitu :

1. Substitusi

Metode Penyelesaian SPLDV menggunakan metode substitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel yang lain kemudian nilai variabel tersebut menggantikan variabel yang sama dalam persamaan yang lain

2. Eliminasi

Berbeda dengan metode substitusi yang mengganti variabel, metode eliminasi justru menghilangkan salah satu variabel untuk dapat menentukan nilai variabel yang lain. Dengan demikian, koefisien salah satu variabel yang akan dihilangkan haruslah sama atau dibuat sama.

3. Grafik

Grafik untuk persamaan linear dua variabel berbentuk garis lurus. Bagaimana dengan SPLDV? Ingat, SPLDV terdiri atas dua buah persamaan dua variabel, berarti SPLDV digambarkan berupa dua buah garis lurus.

Namun, dari contoh di atas metode yang digunakan ialah metode gabungan antara substitusi dan eliminasi, sehingga pengerjaanya ialah sebagai berikut :

*metode eliminasi

menghilangkan variabel x untuk mendapatkan nilai y, dengan terlebih dahulu menyamakan koefisien variabel x.

2x +2y = 14.000 (x 1) 2x +2y = 14.000 … ( 1)

x+ 3y = 17.000 (x2) 2x + 6y= 34.000 … (2) –

-4y=-20.000

-4y/-4=-20.000/-4

y= 5.000

*metode substitusi Setelah mendapatkan nilai y, lalu nilai y tersebut disubstitusikan ke variabel y di salah satu persamaan yang telah ada, yaitu :

2x + 2y = 14.000 … (1)2x + 2*5.000 = 14.0002x + 10.000 = 14.ooo2x +10.ooo-10.000=14.000-10.000

2x= 4.000 2x/2= 4.000/2

x= 2000

Jadi, dari dua metode gabungan yang telah digunakan tadi, maka kita telah mendapakan nilai x dan y atau himpunan penyelesaiannya, yaitu :Hp : (2000,5000)

Lampiran

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

SPLTV merupakan perluasan dari SPLDV.

Pada materi SPLTV setidaknya kita harus mempunyai persamaan minimal 3 persamaan dengan 3 variabel . misalnya: 2x + 3y + 4z = 30,

Hal inilah yang membedakan dengan SPLDV, kalau SPLDV minimal 2 persamaan, karena di SPLDV hanya terdapat 2 variabel. 

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Pada SPLDV, persoalan dapat diselesaikan dengan grafik, yang intinya SPLDV sama dengan membuat grafik dua dimensi, tapi dalam SPLTV kita tidak bisa menyelesaikan dengan cara grafik, karena tidak memungkinkan untuk membuat grafik tiga dimensi.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)Bentuk Umum : 

a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3,

d3 ϵ R

a1x + b1y + c1z = d1 

a2x + b2y + c2z = d2 

a3x + b3y + c3z = d3

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Jika x=x0 , y=y0 , dan z=z0 ,

maka, a1x0 + b1y0 + c1z0 = d1

a2x0 + b2y0 + c2z0 = d2 

a3x0 + b3y0 + c3z0 = d3

Penyelesaian SPLTV tersebut merupakan pasangan bilangan (x0 , y0 , z0 ) yang memenuhi ketiga persamaan di atas.

Metode Penyelesaian SPLTV

Untuk menyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, kita bisa menggunakan metode berikut ini:

1. Metode Eliminasi Metode ini bekerja dengan cara mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal.

2. Metode Substitusi dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lain.

3. Metode Campurandengan cara menggabungkan metode eliminasi untuk mendapatkan variabel pertama dan substitusi untuk mendapatkan variabel kedua.

4. Metode Determinan Matriks

Lampiran

Contoh Soal Sistem Persamaan Tiga Variabel

Pada saat menyelesaikan contoh soal persamaan tiga variabel , kita akan menggunakan metode campuran , yaitu metode substitusi dan metode eliminasi . misalnya saja pada soal berikut :

Irma, Nurwasilah, dan Lidia pergi ke warung snack . Irma membeli 1 popcorn, 3 snack dan 2 coklat seharga Rp3300. Nur membeli 2 popcorn m 1 snack dan 1 coklat seharga 2350. dan Nurwasilah membeli 1popcorn, 2 snack dan 3 coklat seharga Rp3650 .

Pada saat mengerjakan soal bersama sama, kami meminta siswa untuk mengubah soal tersebut kedalam sistem persamaan linear tiga variabel , yaitu didapatlah sebagai berikut :

Popcorn : x Snack : yCoklat : z

x + 3y + 2z = 3300 …. (pers. 1 )2x + y + z = 2350 …. (pers. 2

) x + 2y + 3z = 3650 …. (pers. 3

)

Setelah mendapatkan ketiga persamaannya, selanjutnya kita akan mengeliminasi variabel x pada persamaan 1 dan 2 :

x +3y+2z= 3300 |x 2|2x + 6y + 4z = 6600

2x+ y +z = 2350 |x 1| 2x + y + z = 2350 -

5y +3z = 4250

Dari proses tadi, didapatkan persamaan keempat yaitu 5y + 4z = 4250 .

Selanjutnya, kita akan mengeliminasi variabel x pada persamaan 1 dan persamaan 3 :

x + 3y + 2z = 3300 x + 2y + 3z = 3650- y – z = -350

y = -350 + z … (pers. 5 )

Setelah mendapatkan nilai y, kita akan mensubstitusikan nilai tersebut ke persamaan 4 :

5y + 3z = 42505 (z – 350 ) + 3z = 42505z – 1750 + 3z = 4250

8z = 4250 + 1750 z = 6000/8 z = 750

Jadi, telah kita ketahui bahwa z = 750 atau harga coklat adalah Rp750 .

Selanjutnya kita akan mensubstitusikan nilai z yang didapat tadi ke persamaan 5 :

y = z – 350y = 750 – 350y = 400

Setelah mendapatkan nilai y dan z, kita akan mensubstitusikan nilainya ke persamaan 1 untuk mengetahui nilai x :

y = 400 ; z =750x + 3y + 2z = 3300x + 3(400) + 2 ( 750) = 3300x + 1200 + 1500 = 3300 x = 3300 – 1700

x = 600

Jadi, dapat kita simpulkan bahwa harga :

Popcorn : Rp600Snack : Rp400Coklat : Rp750

Lampiran

Kesimpulan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah persamaan yang hanya memiliki dua variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian SPLDV yaitu Metode Grafik, Metode Substitusi, Metode Eliminasi.Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) terdiri dari tiga persamaan yang memiliki tiga variabel. SPLTV dapat diselesaikan dengan dengan beberapa metode yaitu Metode Campuran (subtitusi dan eliminasi), dan Metode Determinan Matriks.