Metode simplek

3. Menggunakan Aljabar Matriks

• Initial Matrik

Selesaikan x dan y dalam z dari sistem:x + z = 1y – 2z = 3

selesaian

X = 1 – z y = 3 + 2z

Matrik selesaiannya adalah z

x 1 - 1y 3 2

Secara umum jika x = a11 + a12 z

Y = a21 + a22 z

Maka initial matriknya adalah z

x a11 a12

y a21 a22

Langkah-langkah untuk memperoleh matriks kedua:1.Mengganti elemen yg tidak berada pada

baris/kolom pivot dgn cross productnya. “Cross product suatu elemen adalah perkalian elemen tersebut dengan elemen pivot dikurangi produk dari diagonal lawannya.

2.Ubah semua tanda elemen pada baris pivot, kecuali elemen pivot.

3. Ganti elemen pada posisi pivot dgn 1.4.Kalikan matriks hasilnya (1,2,3) dgn invers

perkalian dari elemen pivot, yaitu 1 el.pivot

(membagi hasil dgn elemen pivot)

Ilustrasi : mis. dipunyai initial matriks dgn el.pivot sbb: zy 3 2x 1 -1*

Jawab:→Langkah 1 :CP 3 = 3.(-1) – (2).(1) = (-3) – 2 = -5

matrik hasilnya : -5 2 1 -1

→Langkah 2 :matriks hasilnya: -5 2

-1 -1

→Langkah 3 :matriks hasilnya : -5 2

-1 1

→Langkah 4 : xmatriks hasilnya : y 5 -2

z 1 -1

Variabel Slack

Kebanyakan PL memuat ketaksamaan-ketaksamaan. Bagaimana mengubah ketaksamaan menjadi persamaan ? Caranya dgn menambahkan variabel imbuhan, yg disebut variabel slack.

Sebagai tambahan awal, jawablah pertanyaan berikut!Kenapa 5 < 7 (5 kurang dari 7) ?Jawabnya : karena ada 2 sdm shg 5 + 2 = 7

Contoh :Cari X1 dan X2

srs Z = X1+2X2 maksdk X1+3X2 ≤ 8

X1+X2 ≤ 4dan X1≥0, X2≥0

Penyelesaian:X1+3X2 ≤8, dgn menambah var. slack r≥0 pada kendala I ini diperoleh : X1+3X2+r=8

Untuk kendala II dilakukan hal yang sama, yaitu :X1+X2≤4 berarti X1+X2+s=4, s≥0

PL baru sekarang :Cari X1 dan X2

srs Z = X1+2X2 maksdk X1+3X2+r = 8

X1+X2+s = 4dan X1≥0, X2≥0, r≥0, s≥0

Selesaikan var. slack r&s dalam X1 dan X2

diperoleh :r = 8-X1-3X2

s = 4-X1-X2

Untuk memaks. z dicari matriks kedua, ketiga dst. Sdm.shg. elemen pada baris z semuanya negatif atau 0, kecuali kolom konstan.

Untuk mencari matriks kedua dicari :→ Langkah 1 :

CP 0 = 0.(-3) – 2.(8) = -16 CP 1 = 1.(-3) – 2.(-1) = -1 CP 4 = 4.(-3) – (-1).(8) = -4 CP -1 = (-1).(-3) – (-1).(-1) = 2

Matrik hasilnya : -16 -1 2 8 -1 -3 -4 2 -1

→ Langkah 2 :Matrik hasilnya : -16 -1 2

-8 1 -3 -4 2 -1

→ Langkah 3 :Matrik hasilnya : -16 -1 2

-8 1 1 -4 2 -1

→ Langkah 4 :Matriks hasilnya : -16. _ 1 -1. _ 1 2. _ 1

3 3 3

-8. _ 1 1. _ 1 1. _ 1 3 3 3

-4. _ 1 2. _ 1 -1. _ 1 3 3 3

Jadi,Matriks hasilnya : X1 r z 16 1 _ 2

3 3 3 X2 8 _ 1 _ 1

3 3 3

s 4 _ 2 1 3 3 3

Jadi, matriks kedua ini belum optimal, dan karenanya harus dicari matriks ketiga dgn cara mencari matriks kedua.

Z = 16 + 1 X1 _ 2 r 3 3 3

X2 = 8 _ 1 X1 _ 1 r 3 3 3

s = 4 _ 2 X1 + 1 r 3 3 3

• Untuk memaksimumkan z, dipilih melalui var. X1 shg :

Z = 16 + 1 X1 3 3

X2 = 8 _ 1 X1

3 3 dgn memilih X2 = s = 0, maka :

s = 4 _ 2 X1 0 = 8 _ 1 X1

3 3 3 3 0 = 4 _ 2 X1

3 3

0 = 8 _ 1 X1

3 3 _ 1 X1 = _ 8 3 3

X1 = _ 83

_ 1 3

= _ 8 . _ 3 3 1= 24 3= 8

0 = 4 _ 2 X1

3 3 _ 2 X1 = _ 4 3 3

X1 = _ 43

_ 2 3

= _ 4 . _ 3 3 2= 12 6= 2

0 = 8 _ 1 X1 berarti X1 = 8 3 3

0 = 4 _ 2 X1 berarti X1 = 2 3 3

2 < 8, maka dipilih X1 = 2 dan ini diperoleh dari baris s.

Jadi, matriks kedua dgn elemen pivot, adalah : X1 r

z 16 1 _ 2 3 3 3

X2 8 _ 1 _ 1 3 3 3

s 4 _ 2 * 1 3 3 3

→ Langkah 1 :CP 16 = 16 _ 2 _ 1 4

3 3 3 3 3 = _ 32 _ 4

9 9 = _ 36

9 = - 4

CP _ 2 = _ 2 _ 2 _ 1 1 3 3 3 3 3

= 4 _ 1 9 9 = 3 9

→ Langkah 1 :CP 8 = 8 _ 2 _ _ 1 4

3 3 3 3 3 = _ 16 + 4

9 9 = _ 12

9

CP _ 1 = _ 1 _ 2 _ 1 _ 1 3 3 3 3 3

= 2 + 1 9 9 = 3 9

Jadi, matriks hasilnya adalah :

- 4 1 3 3 9

_ 12 _ 1 3 9 3 9

4 _ 2 1 3 3 3

→ Langkah 2 :Matriks hasilnya : - 4 1 3

3 9

_ 12 _ 1 3 9 3 9

_ 4 _ 2 _ 1 3 3 3

→ Langkah 3 :Matriks hasilnya : - 4 1 3

3 9

_ 12 _ 1 3 9 3 9

_ 4 1 _ 1 3 3

→ Langkah 4 :Matriks hasilnya : - 4. _ 3 1. _ 3 3 . _ 3

2 3 2 9 2

_ 12. _ 3 _ 1 . _ 3 3 . _ 3 9 2 3 2 9 2

_ 4. _ 3 1. _ 3 _ 1 . _ 3 3 2 2 3 2

Jadi, matriks hasilnya adalah : s r

z 6 _ 1 _ 1 2 2

X2 2 1 _ 1 2 2

X1 2 _ 3 1 2 2

Jadi matrik ketiga adalah optimal dengan z = 6 untuk X1 = 2 dan X2 = 2