Post on 23-Jan-2018
MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN
OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
Pada Operasi Baris Elementer, sistem persamaan linear ditulis menjadi matriks keseluruhan
atau matriks augmentasi : π11π₯ + π12π¦ = π1
π21π₯ + π22π¦ = π2} βΉ (
π11 π12
π21 π22| π1
π2)
π11π₯ + π12π¦ + π13π§ = π1
π21π₯ + π22π¦+ π23π§ = π2
π31π₯ + π32π¦+ π33π§ = π3
} βΉ (π11 π12 π13
π21 π22 π23
π31 π32 π33
|
π1
π2
π3
)
Aturan Operasi Baris Elementer
Tiap operasi baris elementer pada matriks keseluruhan berikut menghasilkan suatu matriks
yang menampilkan sistem persamaan linear yang ekuivalen:
1. Menukar letak dua baris;
2. Mengganti suatu baris dengan baris semula dikali dengan bilangan tak nol;
3. Mengganti suatu baris dengan jumlah baris itu dan perkalian terhadap baris lainnya.
Ada dua metode berdasarkan OBE, yaitu metode Gauss dan metode Gauss-Jordan.
Metode Gauss
Pada metode Gauss, dengan menggunakan operasi baris elementer kita akan mengubah matriks
keseluruhan sehingga diagonal utamanya menjadi 1 dan elemen dibawah diagonal utama
menjadi 0.
Contoh
Selesaikan SPL berikut : {βπ₯ + 5π¦ = β132π₯ β 3π¦ = 12
.
Jawab
Matriks keseluruhan : [β1 52 β3
| β1312
]
Elemen baris 1 kolom 1 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris pertama dengan β1.
[β(β1) β(5)
2 β3| β(β13)
12] = [
1 β52 β3
| 1312
]
Elemen-elemen pada kolom pertama selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris kedua (π΅2 = π΅2 β 2π΅1).
[1 β5
2 β 2(1) β3 β 2(β5)|
1312 β 2(13)
] = [1 β50 7
| 13β14
]
Elemen baris 2 kolom 2 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris kedua dengan 1/7.
[1 β5
1
7(0)
1
7(7)
| 13
1
7(β14)
] = [1 β50 1
| 13β2
]
Karena semua elemen diagonal utama sudah menjadi 1 dan elemen dibawah diagonal utama
sudah menjadi 0, maka diperoleh SPL :
π₯ β 5π¦ = 13 dan π¦ = β2
π₯ β 5(β2) = 13
π₯ = 3 Jadi, penyelesaiannya adalah π₯ = 3 dan π¦ = β2.
Contoh
Selesaikan SPL berikut : {
2π₯ + π¦ + 2π§ = 2 4π₯ + 6π¦ + π§ = 152π₯ + 2π¦ + 7π§ = β1
.
Jawab
Matriks keseluruhan : [2 1 24 6 12 2 7
| 215β1
]
Elemen baris 1 kolom 1 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris pertama dengan 1/2.
[
1
2β 2 1
2β1
1
2β2
4 6 12 2 7
|
1
2β 2
15β1
] = [1 1
21
4 6 12 2 7
| 115β1
]
Elemen-elemen pada kolom pertama selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris kedua (π΅2 = π΅2 β 4π΅1) dan ketiga (π΅3 = π΅3 β 2π΅1).
[
1 1
21
4 β (4 β 1) 6 β (4 β1
2) 1 β (4 β 1)
2 β (2 β 1) 2 β (2 β1
2) 7 β (2 β 1)
|| 1
15 β (4 β 1)
β1 β (2 β 1)]
= [1 1
21
0 4 β30 1 5
| 111β3
]
Elemen baris 2 kolom 2 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang pertama yaitu menukar
baris kedua dan ketiga.
[1 1
21
0 1 50 4 β3
| 1
β311
]
Elemen-elemen pada kolom kedua yang ada di bawah elemen diagonal utama harus nol,
sehingga dilakukan OBE yang ketiga pada baris ketiga (π΅3 = π΅3 β 4π΅2).
[
1 1
21
0 1 50 4 β (4 β 1) β3 β (4 β 5)
| 1
β311 β (4 β β3)
] = [1 1
21
0 1 50 0 β23
| 1
β323
]
Elemen baris 3 kolom 3 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris ketiga dengan β1/23.
[
1 1
21
0 1 50 0 β1
23β(β23)
|
1β3
β1
23β(23)
] = [1 1
21
0 1 50 0 1
| 1
β3β1
]
Karena semua elemen diagonal utama sudah menjadi 1 dan elemen dibawah diagonal utama
sudah menjadi 0, maka diperoleh SPL :
π§ = β1, π¦ + 5π§ = β3 dan π₯ +1
2π¦ + π§ = 1
π¦ + 5 β (β1) = β3 π₯ +1
2β 2 + (β1) = 1
π¦ = 2 π₯ = 1
Jadi, penyelesaiannya adalah (1, 2,β1).
Metode Gauss-Jordan
Pada metode Gauss-Jordan, dengan menggunakan operasi baris elementer kita akan mengubah
matriks keseluruhan sehingga diagonal utamanya menjadi 1 dan elemen di atas dan di bawah
diagonal utama menjadi 0.
Contoh
Selesaikan SPL berikut : {βπ₯ + 5π¦ = β132π₯ β 3π¦ = 12
.
Jawab
Matriks keseluruhan : [β1 52 β3
| β1312
]
Elemen baris 1 kolom 1 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris pertama dengan β1.
[β(β1) β(5)
2 β3| β(β13)
12] = [
1 β52 β3
| 1312
]
Elemen-elemen pada kolom pertama selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris kedua (π΅2 = π΅2 β 2π΅1).
[1 β5
2 β 2(1) β3 β 2(β5)|
1312 β 2(13)
] = [1 β50 7
| 13β14
]
Elemen baris 2 kolom 2 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris kedua dengan 1/7.
[1 β5
1
7(0)
1
7(7)
| 13
1
7(β14)
] = [1 β50 1
| 13β2
]
Elemen-elemen pada kolom kedua selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris pertama (π΅1 = π΅1 + 5π΅2).
[1 β5 + (5 β 1)0 1
| 13 + (5 β β2)β2
] = [1 00 1
| 3β2
]
Karena semua elemen diagonal utama sudah menjadi 1 serta elemen di atas dan di bawah diagonal utama sudah menjadi 0, maka diperoleh penyelesaiannya adalah π₯ = 3 dan π¦ = β2.
Contoh
Selesaikan SPL berikut : {
2π₯ + π¦ + 2π§ = 2 4π₯ + 6π¦ + π§ = 152π₯ + 2π¦ + 7π§ = β1
.
Jawab
Matriks keseluruhan : [2 1 24 6 12 2 7
| 215β1
]
Elemen baris 1 kolom 1 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris pertama dengan 1/2.
[
1
2β 2 1
2β1
1
2β2
4 6 12 2 7
|
1
2β 2
15β1
] = [1 1
21
4 6 12 2 7
| 115β1
]
Elemen-elemen pada kolom pertama selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris kedua (π΅2 = π΅2 β 4π΅1) dan ketiga (π΅3 = π΅3 β 2π΅1).
[
1 1
21
4 β (4 β 1) 6 β (4 β1
2) 1 β (4 β 1)
2 β (2 β 1) 2 β (2 β1
2) 7 β (2 β 1)
|| 1
15 β (4 β 1)
β1 β (2 β 1)]
= [1 1
21
0 4 β30 1 5
| 111β3
]
Elemen baris 2 kolom 2 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang pertama yaitu menukar
baris kedua dan ketiga.
[1 1
21
0 1 50 4 β3
| 1
β311
]
Elemen-elemen pada kolom kedua kecuali elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris pertama (π΅1 = π΅1 β1
2π΅2) dan baris ketiga
(π΅3 = π΅3 β 4π΅2).
[1 1
2β(
1
2β1) 1 β (
1
2β 5)
0 1 50 4 β (4 β 1) β3 β (4 β 5)
| 1 β (
1
2β β3)
β311 β (4 β β3)
] = [1 0 β
3
2
0 1 50 0 β23
|
5
2
β323
]
Elemen baris 3 kolom 3 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris ketiga dengan β1/23.
[1 0 β
3
2
0 1 50 0 β1
23β(β23)
|
5
2
β3β1
23β(23)
] = [1 0 β
3
2
0 1 50 0 1
|
5
2
β3β1
]
Elemen-elemen pada kolom ketiga kecuali elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris pertama (π΅1 = π΅1 +3
2π΅3) dan baris kedua
(π΅2 = π΅2 β 5π΅3).
[1 + (
3
2β 0) 0 + (
3
2β 0) β
3
2+ (
3
2β 1)
0 β (5 β 0) 1 β (5 β 0) 5 β (5 β 1)0 0 1
|
5
2+ (
3
2β β1)
β3 β (5 β β1)β1
] = [1 0 00 1 00 0 1
| 12β1
]
Karena semua elemen diagonal utama sudah menjadi 1 serta elemen di atas dan di bawah diagonal utama sudah menjadi 0, maka diperoleh penyelesaiannya adalah π₯ = 1, π¦ = 2 dan
π§ = β1.
Catatan penulis :
- Penyelesaian diatas bukanlah penyelesaian baku dalam menggunakan Metode Gauss dan Gauss -Jordan,
kalian bisa menggunakan aturan OBE manapun yang penting tujuan akhirnya membuat semua elemen
diagonal utama menjadi 1 dan elemen lainnya 0.
- Penulis lebih senang menyelesaikan per kolom, dimana tiap kolomnya selalu dimulai dengan mengubah
elemen diagonal utama menjadi 1 baru elemen lainnya menjadi 0.
- Setiap elemen diagonal utama yang sudah menjadi 1 tidak boleh ditukarkan dengan baris lainnya untuk
langkah berikutnya.