MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN

OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

Pada Operasi Baris Elementer, sistem persamaan linear ditulis menjadi matriks keseluruhan

atau matriks augmentasi : 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1

𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2} ⟹ (

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22| 𝑏1

𝑏2)

𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1

𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦+ 𝑎23𝑧 = 𝑏2

𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦+ 𝑎33𝑧 = 𝑏3

} ⟹ (𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

|

𝑏1

𝑏2

𝑏3

)

Aturan Operasi Baris Elementer

Tiap operasi baris elementer pada matriks keseluruhan berikut menghasilkan suatu matriks

yang menampilkan sistem persamaan linear yang ekuivalen:

1. Menukar letak dua baris;

2. Mengganti suatu baris dengan baris semula dikali dengan bilangan tak nol;

3. Mengganti suatu baris dengan jumlah baris itu dan perkalian terhadap baris lainnya.

Ada dua metode berdasarkan OBE, yaitu metode Gauss dan metode Gauss-Jordan.

Metode Gauss

Pada metode Gauss, dengan menggunakan operasi baris elementer kita akan mengubah matriks

keseluruhan sehingga diagonal utamanya menjadi 1 dan elemen dibawah diagonal utama

menjadi 0.

Contoh

Selesaikan SPL berikut : {−𝑥 + 5𝑦 = −132𝑥 − 3𝑦 = 12

.

Jawab

Matriks keseluruhan : [−1 52 −3

| −1312

]

Elemen baris 1 kolom 1 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan

baris pertama dengan –1.

[−(−1) −(5)

2 −3| −(−13)

12] = [

1 −52 −3

| 1312

]

Elemen-elemen pada kolom pertama selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga

dilakukan OBE yang ketiga pada baris kedua (𝐵2 = 𝐵2 − 2𝐵1).

[1 −5

2 − 2(1) −3 − 2(−5)|

1312 − 2(13)

] = [1 −50 7

| 13−14

]

Elemen baris 2 kolom 2 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan

baris kedua dengan 1/7.

[1 −5

1

7(0)

1

7(7)

| 13

1

7(−14)

] = [1 −50 1

| 13−2

]

Karena semua elemen diagonal utama sudah menjadi 1 dan elemen dibawah diagonal utama

sudah menjadi 0, maka diperoleh SPL :

𝑥 − 5𝑦 = 13 dan 𝑦 = −2

𝑥 − 5(−2) = 13

𝑥 = 3 Jadi, penyelesaiannya adalah 𝑥 = 3 dan 𝑦 = −2.

Contoh

Selesaikan SPL berikut : {

2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2 4𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 152𝑥 + 2𝑦 + 7𝑧 = −1

.

Jawab

Matriks keseluruhan : [2 1 24 6 12 2 7

| 215−1

]

Elemen baris 1 kolom 1 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan

baris pertama dengan 1/2.

[

1

2∙ 2 1

2∙1

1

2∙2

4 6 12 2 7

|

1

2∙ 2

15−1

] = [1 1

21

4 6 12 2 7

| 115−1

]

Elemen-elemen pada kolom pertama selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga

dilakukan OBE yang ketiga pada baris kedua (𝐵2 = 𝐵2 − 4𝐵1) dan ketiga (𝐵3 = 𝐵3 − 2𝐵1).

[

1 1

21

4 − (4 ∙ 1) 6 − (4 ∙1

2) 1 − (4 ∙ 1)

2 − (2 ∙ 1) 2 − (2 ∙1

2) 7 − (2 ∙ 1)

|| 1

15 − (4 ∙ 1)

−1 − (2 ∙ 1)]

= [1 1

21

0 4 −30 1 5

| 111−3

]

Elemen baris 2 kolom 2 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang pertama yaitu menukar

baris kedua dan ketiga.

[1 1

21

0 1 50 4 −3

| 1

−311

]

Elemen-elemen pada kolom kedua yang ada di bawah elemen diagonal utama harus nol,

sehingga dilakukan OBE yang ketiga pada baris ketiga (𝐵3 = 𝐵3 − 4𝐵2).

[

1 1

21

0 1 50 4 − (4 ∙ 1) −3 − (4 ∙ 5)

| 1

−311 − (4 ∙ −3)

] = [1 1

21

0 1 50 0 −23

| 1

−323

]

Elemen baris 3 kolom 3 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan

baris ketiga dengan –1/23.

[

1 1

21

0 1 50 0 −1

23∙(−23)

|

1−3

−1

23∙(23)

] = [1 1

21

0 1 50 0 1

| 1

−3−1

]

Karena semua elemen diagonal utama sudah menjadi 1 dan elemen dibawah diagonal utama

sudah menjadi 0, maka diperoleh SPL :

𝑧 = −1, 𝑦 + 5𝑧 = −3 dan 𝑥 +1

2𝑦 + 𝑧 = 1

𝑦 + 5 ∙ (−1) = −3 𝑥 +1

2∙ 2 + (−1) = 1

𝑦 = 2 𝑥 = 1

Jadi, penyelesaiannya adalah (1, 2,−1).

Metode Gauss-Jordan

Pada metode Gauss-Jordan, dengan menggunakan operasi baris elementer kita akan mengubah

matriks keseluruhan sehingga diagonal utamanya menjadi 1 dan elemen di atas dan di bawah

diagonal utama menjadi 0.

Contoh

Selesaikan SPL berikut : {−𝑥 + 5𝑦 = −132𝑥 − 3𝑦 = 12

.

Jawab

Matriks keseluruhan : [−1 52 −3

| −1312

]

Elemen baris 1 kolom 1 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan

baris pertama dengan –1.

[−(−1) −(5)

2 −3| −(−13)

12] = [

1 −52 −3

| 1312

]

Elemen-elemen pada kolom pertama selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga

dilakukan OBE yang ketiga pada baris kedua (𝐵2 = 𝐵2 − 2𝐵1).

[1 −5

2 − 2(1) −3 − 2(−5)|

1312 − 2(13)

] = [1 −50 7

| 13−14

]

Elemen baris 2 kolom 2 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan

baris kedua dengan 1/7.

[1 −5

1

7(0)

1

7(7)

| 13

1

7(−14)

] = [1 −50 1

| 13−2

]

Elemen-elemen pada kolom kedua selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga

dilakukan OBE yang ketiga pada baris pertama (𝐵1 = 𝐵1 + 5𝐵2).

[1 −5 + (5 ∙ 1)0 1

| 13 + (5 ∙ −2)−2

] = [1 00 1

| 3−2

]

Karena semua elemen diagonal utama sudah menjadi 1 serta elemen di atas dan di bawah diagonal utama sudah menjadi 0, maka diperoleh penyelesaiannya adalah 𝑥 = 3 dan 𝑦 = −2.

Contoh

Selesaikan SPL berikut : {

2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2 4𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 152𝑥 + 2𝑦 + 7𝑧 = −1

.

Jawab

Matriks keseluruhan : [2 1 24 6 12 2 7

| 215−1

]

Elemen baris 1 kolom 1 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan

baris pertama dengan 1/2.

[

1

2∙ 2 1

2∙1

1

2∙2

4 6 12 2 7

|

1

2∙ 2

15−1

] = [1 1

21

4 6 12 2 7

| 115−1

]

Elemen-elemen pada kolom pertama selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga

dilakukan OBE yang ketiga pada baris kedua (𝐵2 = 𝐵2 − 4𝐵1) dan ketiga (𝐵3 = 𝐵3 − 2𝐵1).

[

1 1

21

4 − (4 ∙ 1) 6 − (4 ∙1

2) 1 − (4 ∙ 1)

2 − (2 ∙ 1) 2 − (2 ∙1

2) 7 − (2 ∙ 1)

|| 1

15 − (4 ∙ 1)

−1 − (2 ∙ 1)]

= [1 1

21

0 4 −30 1 5

| 111−3

]

Elemen baris 2 kolom 2 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang pertama yaitu menukar

baris kedua dan ketiga.

[1 1

21

0 1 50 4 −3

| 1

−311

]

Elemen-elemen pada kolom kedua kecuali elemen diagonal utama harus nol, sehingga

dilakukan OBE yang ketiga pada baris pertama (𝐵1 = 𝐵1 −1

2𝐵2) dan baris ketiga

(𝐵3 = 𝐵3 − 4𝐵2).

[1 1

2−(

1

2∙1) 1 − (

1

2∙ 5)

0 1 50 4 − (4 ∙ 1) −3 − (4 ∙ 5)

| 1 − (

1

2∙ −3)

−311 − (4 ∙ −3)

] = [1 0 −

3

2

0 1 50 0 −23

|

5

2

−323

]

Elemen baris 3 kolom 3 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan

baris ketiga dengan –1/23.

[1 0 −

3

2

0 1 50 0 −1

23∙(−23)

|

5

2

−3−1

23∙(23)

] = [1 0 −

3

2

0 1 50 0 1

|

5

2

−3−1

]

Elemen-elemen pada kolom ketiga kecuali elemen diagonal utama harus nol, sehingga

dilakukan OBE yang ketiga pada baris pertama (𝐵1 = 𝐵1 +3

2𝐵3) dan baris kedua

(𝐵2 = 𝐵2 − 5𝐵3).

[1 + (

3

2∙ 0) 0 + (

3

2∙ 0) −

3

2+ (

3

2∙ 1)

0 − (5 ∙ 0) 1 − (5 ∙ 0) 5 − (5 ∙ 1)0 0 1

|

5

2+ (

3

2∙ −1)

−3 − (5 ∙ −1)−1

] = [1 0 00 1 00 0 1

| 12−1

]

Karena semua elemen diagonal utama sudah menjadi 1 serta elemen di atas dan di bawah diagonal utama sudah menjadi 0, maka diperoleh penyelesaiannya adalah 𝑥 = 1, 𝑦 = 2 dan

𝑧 = −1.

Catatan penulis :

- Penyelesaian diatas bukanlah penyelesaian baku dalam menggunakan Metode Gauss dan Gauss -Jordan,

kalian bisa menggunakan aturan OBE manapun yang penting tujuan akhirnya membuat semua elemen

diagonal utama menjadi 1 dan elemen lainnya 0.

- Penulis lebih senang menyelesaikan per kolom, dimana tiap kolomnya selalu dimulai dengan mengubah

elemen diagonal utama menjadi 1 baru elemen lainnya menjadi 0.

- Setiap elemen diagonal utama yang sudah menjadi 1 tidak boleh ditukarkan dengan baris lainnya untuk

langkah berikutnya.