PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/8482/1/091414045_Full.pdfA. Latar...

i

APLIKASI MATRIKS PADA PENYELESAIAN

RANGKAIAN LISTRIK

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu SyaratMemperoleh Gelar Sarjana PendidikanProgram Studi Pendidikan Matematika

Oleh:Putriana SetiariniNIM: 091414045

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA2013

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii


iii


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

Kesuksesan tidak datang secara tiba-tiba, kesuksesan adalah buah dari

ketekunan, kerja keras, dan kesabaran disertai dengan doa

Kupersembahkan karya ini untuk:

Ayah dan Ibukutercinta

Adikku tersayang

Seseorang yang selalu mencintaiku

Keluargaku dan orang-orang yang selalu menyayangiku


v


vi

ABSTRAK

Putriana Setiarini. 2013. Aplikasi Matriks Pada Penyelesaian RangkaianListrik. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan PendidikanMatematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan IlmuPendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk menyelesaikan analisis padarangkaian listrik menggunakan matriks.

Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode studi pustaka,sehingga dalam penulisan ini belum ditemukan hal-hal yang baru.

Pada rangkaian seri yang terdiri dari beberapa sumber tegangan dan resistor,namun resistor-resistornya tidak dapat direduksi menggunakan resistor pengganti

digunakan analisis loop. Persamaan untuk arus yang dihasilkan adalah = ∑∑ .

Pada rangkaian listrik yang terdiri dari beberapa loop dan tidak mengandungsumber arus digunakan analisis jaring, dimana rangkaian disusun atas jaring dandisimbolkan dengan , , … , . Pada analisis ini digunakan Hukum TeganganKirchhoff dan akan dihasilkan persamaan RI= Vs, dimana R adalah matrikskoefisien arus, I adalah matriks dari arus, dan Vs adalah matriks sumber tegangan.Untuk rangkaian yang tidak mengandung sumber tegangan digunakan analisissimpul. Simpul-simpul ini disimbolkan dengan , , … , . Pada analisis inidigunakan Hukum Arus Kirchhoff dan akan dihasilkan persamaan GV=Cs,dimana G adalah matriks koefisien tegangan, V adalah matriks dari tegangan, danCs adalah matriks sumber arus. Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan-persamaan tersebut, dapat digunakan beberapa cara, antara lain denganmenggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan atau dengan menggunakan inversmatriks.

Kata kunci: Analisis Loop, Analisis Jaring, Analisis Simpul, Matriks


vii

ABSTRACT

Putriana Setiarini. 2013. Application of Matrix on Completion Of ElectricalCircuits. Research. Mathematics Education Program, Department ofMathematics and Natural Sciences, Faculty of Teaching and Education,Sanata Dharma University, Yogyakarta.

The purpose of this research is to solve the electrical circuits analisys byusing matrix.

The method that used in this research is study literature method, so wehaven’t found new things in this research yet.

In the series electric circuit that consisting of some voltage source andresistors, but the resistors can’tbe reduced using a replacement resistors, we used

loop analysis. The current equation is = ∑∑ .In the electrical circuit which is

composed of several loop and does not contain the current source is used meshanalysis. The circuits is prepared on the smaller loops or mesh and currents issymbolized by the , , … , . Kirchhoff's Voltage Law applied to each mesh andformed current equation RI = Vs, with R is the magnitude of the resistance of theresistor, I is the current flowing in the mesh, and Vs is the voltage source in thecircuit. Nodal analysis is used to find the voltage that flows in the circuit that doesnot contain a voltage source. Voltage at the node symbolized by , , … , ..Apply Kirchhoff's Current Law at node and formed voltage equation GV = Cs,where G is the magnitude of the conductance of the resistor, V is the voltage ofthe node, and Cs is the source of the current flowing in the circuit. In order toobtain completion of such equations, can be used several ways, among others, byusing Gauss-Jordan elimination method or by using the inverse matrix.

Keywords: Loop Analysis, Mesh Analysis, Nodal Analysis, Matrix


viii


ix

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan atas segala kasih dan

karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Aplikasi

Matriks pada Penyelesaian Rangkaian Listrik”.

Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat dalam memperoleh

gelar sarjana di Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas sanata

Dharma. Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menemaniku dan

mendengarkan setiap doaku,

2. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing

skripsi dan dosen pembimbing akademik yang telah memberikan arahan

dalam proses penulisan skripsi ini,

3. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. dan Bapak Drs. A. Sardjana,

M.Pd.selaku dosen penguji yang memberikan kritik dan saran guna

menyempurnakan skripsi ini,

4. Bapak Andi Rudhito, S.Pd., M.Si. selaku kepala Program Studi Pendidikan

Matematika,

5. Segenap dosen Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pengetahuan Universitas Sanata Dharma,

6. Segenap staf administrasi JPMIPA dan staf perpustakaan Universitas Sanata

Dharma yang selalu melayani dengan penuh keramahan,


x

7. Kedua orang tuaku Bapak F.X. Wisnu Broto dan Ibu Veronika Samiasih, juga

adikku Leonardus Prasetyo Andy yang tak henti-hentinya memberikan cinta,

kasih sayang mendukung dan selalu mendoakanku,

8. Mas Denny yang selalu setia dan sabar menemani dan mendukung setiap

langkahku,

9. Dian, Ririn, Merry, Adi, Chintia, dan semua teman-temanku dari Pendidikan

Matematika angkatan 2009. Terimakasih telah berbagi hari yang

menyenangkan dan penuh kenangan selama proses perkuliahan di kampus ini,

10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, terimakasih atas

bantuan dalam penulisan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini masih jauh dari sempurna,

oleh karena itu penulis mengharapkan adanya kritik dan saran yang membangun.

Semoga penulisan skripsi ini dapat bermanfaat bagi segenap pembaca.

Yogyakarta, 31 Juli 2013

Penulis

Putriana Setiarini


xi

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL .................................................................................

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................

HALAMAN PENGESAHAN ...................................................................

HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ....................................................

ABSTRAK .................................................................................................

ABSTRACT ...............................................................................................

LEMBAR PERNYATAAN PERASETUJUAN PUBLIKASI KARYA

ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ………………….......

KATA PENGANTAR ...............................................................................

DAFTAR ISI ..............................................................................................

DAFTAR GAMBAR .................................................................................

DAFTAR NOTASI ....................................................................................

BAB I PENDAHULUAN ..........................................................................

A. Latar Belakang Masalah ................................................................

B. Pembatasan Masalah ......................................................................

C. Rumusan Masalah ..........................................................................

D. Tujuan Penulisan ............................................................................

E. Manfaat Penulisan ..........................................................................

F. Metode Penulisan ...........................................................................

G. Sistematika Penulisan ....................................................................

i

ii

iii

iv

v

vi

vii

viii

ix

xi

xiii

xv

1

1

3

4

4

4

5

5


xii

BAB II KAJIAN PUSTAKA .....................................................................

A. Matriks dan Sistem Persamaan Linear ...........................................

B. Istilah-istilah pada Rangkaian Listrik ............................................

C. Simpul, Lintasan, Loop, Cabang, Jaring, dan Rangkaian Planar....

D. Hukum-hukum pada Rangkaian Listrik .........................................

E. Kerangka Pikir ...............................................................................

BAB III Aplikasi Matriks pada Penyelesaian Rangkaian Listrik ..............

A. Analisis Loop Tunggal pada Rangkaian Seri yang Tidak

Mengandung Sumber Arus ............................................................

B. Analisis Jaring (Mesh Analysis) pada Rangkaian yang Tidak

Mengandung Sumber Arus ............................................................

C. Analisis Simpul (Nodal Analysis) pada Rangkaian yang Tidak

Mengandung Sumber Tegangan ....................................................

BAB IV PENUTUP ...................................................................................

A. Kesimpulan ....................................................................................

B. Saran ..............................................................................................

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................

7

7

34

40

42

46

48

49

54

72

88

88

90

92


xiii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1.1

Gambar 2.1

Gambar 2.2

Gambar 2.3

Gambar 2.4

Gambar 2.5

Gambar 2.6

Gambar 2.7

Gambar 2.8

Gambar 2.9

Gambar 2.10

Gambar 2.11

Gambar 2.12

Gambar 2.13

Gambar 3.1

Gambar 3.2

Gambar 3.3

Gambar 3.4

Rangkaian paralel sederhana .............................................

Salah satu cara mempresentasikan arus ............................

Sumber tegangan ...............................................................

Sumber tegangan bebas dan tak bebas ..............................

Sumber arus bebas dan tak bebas ......................................

Resistor, kapasitor, dan induktor .......................................

Rangkaian seri ...................................................................

Rangkaian paralel ..............................................................

Rangkaian dengan dua sumber tegangan dan tiga resistor

untuk contoh 2.29 ..............................................................

Rangkaian listrik dengan simpul untuk contoh 2.30……..

Rangkaian planar dan non planar ......................................

Penerapan Hukum Arus Kirchhoff pada simpul

sederhana ...........................................................................

Rangkaian tiga sumber tegangan .......................................

Rangkaian dua sumber tegangan dan sebuah resistor .......

Rangkaian seri dengan n elemen .......................................

Rangkaian yang dilengkapi dengan referensi arus dan

tegangan ............................................................................

Sumber tegangan dan arah arusnya ...................................

Loop rangkaian listrik dengan dua sumber tegangan dan

2

35

35

37

37

38

39

39

40

41

41

44

45

45

49

50

52


xiv

Gambar 3.5

Gambar 3.6

Gambar 3.7

Gambar 3.8

Gambar 3.9

Gambar 3.10

resistor ...............................................................................

Rangkaian yang tersusun dari dua sumber tegangan dan

resistor ...............................................................................

Rangkaian dengan dua jaring ............................................

Rangkaian yang tersusun atas dua sumber tegangan dan

sembilan resistor ................................................................

Rangkaian yang dilengkapi dengan arah jaring ................

Rangkaian yang tersusun atas dua sumber arus dan

sembilan resistor ................................................................

Rangkaian beserta tanda simpul dan arusnya ....................

53

55

56

60

60

76

77


xv

DAFTAR NOTASI

Cs sumber arus

G konduktansi resistor

I arus

R resistansi resistor

V tegangan

Vs sumber tegangan

■ akhir definisi


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Salah satu cabang dari ilmu matematika adalah aljabar linear elementer,

yang di dalamnya memuat materi tentang matriks. Matriks merupakan

himpunan bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom.

Banyak persoalan-persoalan yang dapat diselesaikan menggunakan

matriks. Salah satu diantaranya adalah untuk menyelesaikan suatu sistem

persamaan linear. Suatu sistem persamaan linear dapat diselesaikan

menggunakan metode eliminasi, substitusi, maupun campuran keduanya.

Akan tetapi untuk sistem persamaan linear dengan banyak variabel dan

persamaan, metode ini dirasa kurang praktis. Oleh karena itu dibutuhkan alat

bantu yaitu menggunakan matriks. Sistem persamaan linear diubah menjadi

bentuk matriks dan kemudian penyelesaiannya dapat dicari menggunakan

sifat-sifat dari matriks.

Persoalan-persoalan yang dapat diselesaikan menggunakan sistem

persamaan linear dan matriks antara lain adalah permasalahan di bidang

ekonomi, dimana matriks digunakan untuk mencari penyelesaian dari analisis

input-output. Selain itu, dalam bidang fisika matriks dapat digunakan untuk

mencari penyelesaian dari analisis rangkaian listrik.

Permasalahan-permasalahan yang sering muncul dan dihadapi pada

suatu rangkaian listrik adalah menentukan tegangan atau arus yang mengalir

pada tiap-tiap elemen rangkaian. Pada suatu rangkaian listrik, dimana elemen-


2

elemennya terdiri dari sebuah sumber tegangan dan resistor-resistor yang

disusun secara seri atau paralel sederhana, besarnya arus dan tegangan yang

mengalir melalui elemen dapat diketahui. Dengan mengaplikasikan Hukum

Ohm, maka nilai-nilai dari arus dan tegangan pada elemen rangkaian akan

dapat ditentukan. Namun jika rangkaian listrik tidak dirangkai secara seri atau

paralel sederhana, besar arus dan tegangan tidak mudah ditentukan jika hanya

menggunakan Hukum Ohm.

Gambar 1.1. Rangkaian paralel sederhana

Pada gambar 1.1 di atas, besarnya arus yang mengalir dapat ditentukan

menggunakan Hukum Ohm dan mereduksi resistor-resistor tersebut menjadi

sebuah resistor pengganti.

Untuk menenentukan besarnya tegangan dan arus yang mengalir pada

elemen rangkaian dimana elemen-elemennya tidak disusun secara seri atau

paralel sederhana, diperlukan analisis. Pada rangkaian seri, dimana rangkaian

tersusun atas beberapa sumber tegangan dan resistor, analisis dasar yang

digunakan adalah analisis loop. Sedangkan untuk rangkaian paralel, dimana

resistor yang disusun tidak mudah untuk direduksi menjadi resistor pengganti,

maka dilakukan analisis jaring, dan untuk rangkaian yang tidak mengandung

sumber tegangan digunakan analisis simpul.


3

Aplikasi Hukum Kirchhoff pada analisis rangkaian tersebut nantinya

menghasilkan persamaan-persamaan yang akan membentuk sistem persamaan

linear dalam variabel I maupun V. Dimana I adalah arus dan V adalah

tegangan. Oleh karena itu diperlukan suatu cara untuk menyelesaikan sistem

persamaan linear tersebut. Sistem persamaan linear tersebut diubah menjadi

bentuk matriks. Sehingga untuk penyelesaiannya dapat dicari menggunakan

matriks yang diperbesar kemudian diselesaikan menggunakan operasi baris

elementer dan invers matriks.

Materi tentang matriks pernah dipelajari dalam perkuliahan, namun

hanya sebatas perhitungan-perhitungannya saja. Dari beberapa uraian di atas,

dapat dilihat bahwa aplikasi matriks untuk menyelesaikan permasalahan

dalam bidang lain sangat menarik untuk dipelajari. Oleh karena itu penulis

berminat untuk mengangkat judul “APLIKASI MATRIKS PADA

PENYELESAIAN RANGKAIAN LISTRIK”, hasil penulisan ini diharapkan

dapat menarik minat untuk mempelajari matriks dan aplikasinya dalam ilmu

yang lain.

B. Pembatasan Masalah

Masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini dibatasi pada menentukan

penyelesaian analisis loop tunggal, analisis jaring (mesh analysis) pada

rangkaian yang tidak mengandung sumber arus, dan analisis simpul (nodal

analysis) pada rangkaian yang tidak mengandung sumber tegangan

menggunakan matriks untuk mendapatkan besar tegangan dan arus yang


4

mengalir melalui tiap elemen pada rangkaian listrik. Rangkaian yang

dianalisis pun dibatasi hanya pada rangkaian planar saja.

C. Rumusan Masalah

Masalah yang akan dibahas pada skripsi ini antara lain:

1. Bagaimana mencari besar tegangan dan arus yang mengalir pada tiap-tiap

elemen pada rangkaian listrik menggunakan analisis loop, analisis jaring

(mesh analysis), dan analisis simpul (nodal analysis)?

2. Bagaimana mencari penyelesaian dari suatu analisis rangkaian listrik

menggunakan matriks?

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan skripsi ini antara lain:

1. Untuk menentukan besarnya tegangan dan arus yang mengalir pada tiap-

tiap elemen pada rangkaian listrik menggunakan analisis loop, analisis

jaring (mesh analysis), dan analisis simpul (nodal analysis).

2. Untuk mendapatkan penyelesaian dari suatu analisis menggunakan

matriks, sehingga diperoleh besar tegangan dan arus yang mengalir.

E. Manfaat Penulisan

1. Bagi penulis, penulisan ini bertujuan untuk meningkatkan pemahaman

penulis tentang matriks dan aplikasinya untuk menyelesaikan suatu

permasalahan.


5

2. Bagi pihak lain, hasil penulisan ini diharapkan dapat memperjelas aplikasi

dari matriks dalam mencari penyelesaian khususnya dalam analisis

rangkaian listrik.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode studi

pustaka, yaitu dengan mempelajari dan memahami beberapa bagian dari buku

acuan yang digunakan, sehingga belum ditemukan hal-hal yang baru.

G. Sistematika Penulisan

Skripsi ini terdiri dari empat bab. Bab I membahas tentang pendahuluan

yang berisi latar belakang, pembatasan masalah, perumusan masalah, tujuan

penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan.

Bab II membahas tentang tinjauan pustaka yang digunakan untuk

membahas analisis rangkaian listrik sederhana dan penyelesaiannya

menggunakan matriks. Bab II ini berisi konsep dasar tentang matriks dan

sistem persamaan linear yang meliputi definisi matriks, dua matriks berukuran

sama, matriks persegi, matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, matriks

baris, matriks kolom, definisi matriks nol, definisi matriks diagonal, definisi

matriks identitas, definisi transpose suatu matriks, operasi pada matriks yang

meliputi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Selain itu ada juga operasi

baris elementer, determinan suatu matriks, definisi minor dan kofaktor,

definisi matriks kofaktor, serta beberapa sifat dari determinan matriks dan


6

terakhir definisi invers sebuah matriks dan cara mencarinya menggunakan

determinan dan adjoin, metode operasi baris elementer,dan metodepartisi. Ada

pula definisi sistem persamaan linear dan cara menyelesaikan sistem

persamaan linear menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan dan invers

matriks.

Selain itu terdapat pula istilah-istilah pada rangkaian listrik meliputi

definisi muatan, arus, tegangan, elemen rangkaian, dan rangkaian listrik.

Selain itu terdapat definisi simpul, lintasan, loop, cabang, jaring, dan

rangkaian planar pada rangkaian listrik. Ada pula hukum-hukum pada

rangkaian listrik antara lain Hukum Ohm dan Hukum Kirchhoff. Pada bab ini

juga disampaikan kerangka pikir.

Pada bab III, penulis memaparkan pembahasan rumusan masalah yang

diangkat dalam skripsi ini, yaitu tentang menganalisis rangkaian listrik

menggunakan analisis loop tunggal pada rangkaian listrik, analisis jaring

(mesh analysis) pada rangkaian yang tidak mengandung sumber arus dan

analisis simpul (nodal analysis) pada rangkaian yang tidak mengandung

sumber tegangan dan penggunaan matriks untuk mencari penyelesaian dari

beberapa permasalahan dalam rangkaian listrik beserta contohnya.

Bab IV berisi kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan sebagai

jawaban masalah yang diangkat pada skripsi ini serta disampaikan saran untuk

mengembangkan penelitian selanjutnya.


7

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

A. Matriks dan Sistem Persamaan Linear

Pada pembahasan untuk bab selanjutnya, akan digunakan beberapa teori

tentang matriks. Berikut disajikan beberapa definisi tentang matriks dan

sistem persamaan linear yang dibutuhkan.

1. Matriks

Definisi 2.1. Matriks (Ayres, 1989: 1)

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegipanjang yang diapit

sepasang kurung siku. ■

Bilangan dalam susunan tersebut disebut entri, anggota atau elemen

dari matriks. Suatu matriks biasanya dinyatakan dalam huruf kapital,

seperti matriks A, matriks B, matriks C, dan seterusnya. Bilangan-bilangan

dalam suatu matriks disusun menurut baris dan kolom. Banyaknya baris

dan kolom suatu matriks disebut ukuran matriks. Misalkan, matriks A

memiliki baris sebanyak m dan kolom sebanyak n, maka matriks A

tersebut memiliki ukuran atau ditulis . Sedangkan anggota

pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A dinyatakan sebagai .


8

Bentuk umum suatu matriks A adalah:

[

]

(2.1)

Contoh 2.1

Misalkan terdapat matriks A yang disajikan sebagai berikut:

[

]

Matriks A tersebut memiliki 2 baris dan 3 kolom, maka dapat dikatakan

bahwa matriks A berukuran 2 3, ditulis . Sedangkan anggota pada

matriks A adalah

Dua buah matriks, misalkan matriks A dan B, dikatakan berukuran

sama jika banyaknya baris pada matriks A sama dengan banyaknya baris

pada matriks B dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan

banyaknya kolom pada matriks B, sehingga jika matriks A berukuran

maka matriks B juga berukuran , atau jika dinotasikan:

dan .

Contoh 2.2

Misalkan terdapat matriks A, B, dan C yang disajikan sebagai berikut:

[

] [

] [

]

Matriks A berukuran , matriks B berukuran , dan matriks C

berukuran . Matriks A dan B mempunyai ukuran yang sama yaitu

, maka matriks A dan B dikatakan berukuran sama. Sedangkan


9

matriks A dan C ukurannya tidak sama, maka matriks A dan matriks C

bukan matriks yang berukuran sama, begitu pula dengan matriks B dan C.

Matriks yang mempunyai ukuran atau disebut matriks

persegi. Berikut bentuk umum matriks persegi:

[

]

(2.2)

Entri-entri disebut entri-entri diagonal utama. Matriks

persegi dengan ukuran disebut matriks berordo n. Contoh matriks

persegi ditunjukkan pada contoh 2.3 berikut:

Contoh 2.3. Misalkan terdapat matriks A dan B sebagai berikut:

[

] dan [

]

Matriks A adalah matriks persegi berordo 2 dengan entri-entri pada

diagonal utamanya adalah 2 dan 6. Matriks B adalah matriks persegi

berordo 3 dengan entri-entri pada diagonal utamanya 4, 3, dan 3.

Matriks persegi yang entri-entri di bawah diagonal utama adalah nol

disebut matriks segitiga atas. Sedangkan matriks persegi yang entri-entri di

atas diagonal utama adalah nol disebut matriks segitiga bawah.

Berikut disajikan contoh dari matriks segitiga atas dan matriks

segitiga bawah:

Contoh 2.4


10

Misalkan terdapat dua buah matriks, yaitu matriks [

] dan

[

]. Matriks A merupakan matriks segitiga atas dan matriks B

merupakan matriks segitiga bawah.

Matriks yang hanya terdiri dari satu baris saja disebut matriks baris.

Sedangkan matriks yang hanya terdiri dari satu kolom saja disebut matriks

kolom.

Untuk memperjelas pengertian matriks baris dan matriks kolom,

berikut disajikan contoh dari matriks baris dan matriks kolom:

Contoh 2.5

Misalkan diketahui matriks [ ] dan [ ].

A adalah matriks baris berukuran dan B adalah matriks kolom

berukuran .

Matriks yang semua entrinya nol disebut matriks nol. Berikut

diberikan definisi matriks nol:

Definisi 2.2. Matriks Nol (Howard Anton, 2000: 62)

Matriks nol adalah matriks berukuran yang semua entrinya adalah

nol dan dinotasikan dengan atau 0. ■

Contoh 2.6


11

Berikut disajikan contoh dari matriks nol:

[ ] [

] [ ]

Selain matriks nol, ada pula matriks diagonal. Definisi matriks

diagonal adalah sebagai berikut:

Definisi 2.3. Matriks Diagonal (Jain & Gunawardena, 2004: 42)

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang setiap entri, kecuali pada

diagonal utamanya adalah nol. ■

Matriks diagonal dinotasikan sebagai berikut:

[

] (2.3)

Contoh 2.7

Berikut adalah contoh matriks diagonal:

[

] [

]

Matriks diagonal yang setiap entri pada diagonalnya adalah 1 disebut

matriks identitas. Berikut definisi dari matriks identitas:

Definisi 2.4. Matriks Identitas (Howard Anton, 2000: 63)

Matriks identitas adalah matriks persegi dengan entri 1 pada diagonal

utama dan 0 (nol) untuk anggota selain diagonal utamanya. ■

Matriks identitas dinyatakan dengan I.


12

Contoh 2.8. Berikut adalah contoh matriks identitas:

[

] [

]

Pada sebarang matriks A dapat dilakukan operasi transposisi, yaitu

dengan menukarkan baris dengan kolomnya sehingga diperoleh matriks

baru. Matriks baru sebagai hasil transposisi ini dinamakan transpose dari A

dan dinyatakan dengan

Definisi 2.5. Transpose suatu Matriks (Jain & Gunawardena, 2004: 49)

Misalkan terdapat matriks yang berukuran . Transpose

dari matriks A ditulis adalah matriks berukuran dimana entri

adalah untuk semua i, j. ■

Dengan kata lain, jika A adalah sebarang matriks berukuran ,

maka adalah matriks berukuran yang didapatkan dengan

mempertukarkan baris dan kolom dari A. Kolom pertama matriks

adalah baris pertama matriks A, kolom kedua matriks adalah baris

kedua matriks A, dan seterusnya. Untuk lebih jelasnya, disajikan contoh

berikut:

Contoh 2.9

Misalkan terdapat matriks [ ] dan [

].


13

Maka [ ] dan [

] [

].

Jika matriks persegi A=AT maka matriks A merupakan matriks

simetris.

Matriks merupakan susunan bilangan yang berbentuk

persegipanjang. Oleh karena itu, seperti halnya bilangan, matriks juga

dapat dioperasikan. Operasi pada matriks meliputi penjumlahan,

pengurangan, dan perkalian. Berikut disajikan definisi penjumlahan pada

matriks.

Definisi 2.6. Penjumlahan pada Matriks (Jain & Gunawardena, 2004: 34)

Jika dan , A dan B matriks berukuran sama,

maka adalah suatu matriks dimana

untuk setiap i dan j. ■

Untuk lebih jelasnya, disajikan contoh berikut:

Contoh 2.10

Misalkan terdapat matriks [

] dan [

] maka

[

] [

] [

] [

]

Untuk pengurangan dua buah matriks disajikan definisi berikut:


14

Definisi 2.7. Pengurangan pada Matriks (Jain & Gunawardena, 2004: 35)

Jika dan , A dan B matriks berukuran sama,

maka adalah suatu matriks dimana

untuk setiap i dan j. ■

Contoh 2.11. Pengurangan dua buah matriks:


] dan [

] maka

[

] [

] [

] [

]

Matriks dapat dikalikan, baik dengan skalar maupun dengan matriks

lain. Berikut disajikan definisi perkalian matriks dengan skalar:

Definisi 2.8. Perkalian Matriks dengan Skalar (Howard Anton, 2000: 48)

Jika adalah sebarang matriks dan c adalah sebarang skalar,

maka ■

Contoh 2.12. Berikut contoh perkalian suatu matriks dengan skalar:


]. Jika matriks A dikalikan

dengan 2, maka akan diperoleh [

] dan jika matriks A

dikalikan dengan

akan diperoleh

[

].

Selain dengan skalar, matriks juga dapat dikalikan dengan matriks.

perkalian dua matriks diberikan sebagai berikut:


15

Definisi 2.9. Perkalian Matriks dengan Matriks (Howard Anton, 2000: 49)

Jika A adalah sebuah matriks berukuran dan B adalah matriks

berukuan , maka hasil kali AB adalah matriks berukuran yang

anggota-anggotanya disefinisikan sebagai berikut:

Untuk mencari entri-entri dalam baris i dan kolom j pada matriks AB, pilih

baris i pada matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan entri-entri yang

berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian

jumlahkan hasil kalinya. ■

Contoh 2.13. Perkalian dua buah matriks


] dan matriks [

].

Jika matriks A dikalikan dengan matriks B, maka:

[

] [

]

[

]

[

]

Selain penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, terdapat pula

operasi baris elementer. Menurut Ayres (1989: 39) operasi baris elementer

merupakan operasi pada sebuah matriks yang dilakukan dengan cara:

a. mempertukarkan baris ke-i dan baris ke-j dan dinyatakan dengan ,

b. mengalikan baris ke-i dengan konstanta yang dinyatakan dengan

,


16

c. menjumlahkan entri-entri baris ke-i dengan k kali entri-entri

padanannya dari baris ke-j, dimana k suatu skalar dan dinyatakan

dengan .

Untuk lebih jelasnya, disajikan contoh dari operasi baris elementer,

sebagai berikut:

Contoh 2.14


].

Operasi baris elementer yang dilakukan terhadap matriks A tersebut antara

lain [

], [

] dan

[

].

Operasi baris elementer akan menghasilkan matriks baru yang

disebut dengan matriks ekuivalen dan disimbolkan dengan “~”.

Contoh 2.15


].

Matriks ekuivalen yang dapat dibentuk dari matriks A adalah

[

]

[

] .

Sehingga dapat dituliskan .


17

Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang

disebut determinan. Berikut disajikan definisi dari determinan:

Definisi 2.10. Determinan suatu Matriks (Howard Anton, 2000: 114)

Misalkan A adalah matriks persegi. Fungsi determinan dinyatakan dengan

det, dan mendefinisikan det (A) sebagai jumlah semua hasil kali bertanda

dari A. Angka det (A) disebut determinan A. ■

Determinan suatu matriks A dilambangkan dengan | | atau .

Secara umum, determinan matriks A dengan ordo n dapat dituliskan

sebagai berikut:

| | ∑

∑

dimana:

|A| adalah determinan matriks A,

adalah elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks dari determinan

matriks A,

adalah minor dari unsur yang diperoleh dengan menghilangkan

baris ke-i dan kolom ke-j dari determinan matriks A, dan

kofaktor dari unsur .

Determinan untuk matriks berukuran misal, [

],

ditentukan dengan cara |

| .


18

Untuk matriks berukuran , misalkan [

],

determinannya ditentukan oleh

|

|

Untuk lebih jelasnya disajikan contoh berikut:

Contoh 2.16. Determinan dari matriks berukuran dan


] dan [

] maka

|

|

dan |

|

Berikut disajikan definisi dari minor dan kofaktor dari suatu matriks

dalam definisi 2.11 dan definisi 2.12:

Definisi 2.11. Minor (Howard Anton, 2000: 135)

Misakan A adalah matriks persegi. Minor anggota dinyatakan dengan

dan didefinisikan sebagai determinan sub matriks yang masih tersisa

setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A. ■


19

Berikut disajikan contoh mengenai minor dari suatu matriks:

Contoh 2.17

Misalkan terdapat matriks A sebagai berikut:

[

]. Tentukan minor anggota dan !

Minor anggota dan adalah |

| dan |

|.

Definisi 2.12. Kofaktor (Howard Anton, 2000: 135)

Jika minor dari dikalikan dengan hasilnya dinamakan kofaktor

dari dan dinyatakan dengan . ■

Contoh 2.18


]. Tentukan kofaktor anggota

dan !

Minor anggota adalah |

|, sehingga kofaktornya adalah

|

|

Minor anggota adalah |

| sehingga kofaktornya adalah

|

|

Kofaktor-kofaktor anggota dari matriks A jika disusun menjadi

sebuah matriks maka akan menghasilkan matriks kofaktor. Berikut definisi

matriks kofaktor:


20

Definisi 2.13. Matriks Kofaktor (Howard Anton, 2000: 140)

Jika A adalah sebarang matriks persegi berukuran maka adalah

kofaktor dari , maka matriks

[

]

disebut

matriks kofaktor dari A. ■

Transpose dari matriks ini disebut adjoin A dan dinyatakan oleh adj (A).

Contoh 2.19


]. Tentukan matriks kofaktor

dari A dan adj (A)!

Kofaktor dari matriks A adalah:

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|


21

|

|

Matriks kofaktornya adalah [

] dan

[

].

Jika suatu matriks mempunyai determinan nol maka disebut matriks

singular. Sebaliknya, jika determinan matriks tidak nol maka disebut

matriks taksingular.

Determinan untuk matriks diagonal A atau diperoleh dari

perkalian entri pada diagonal utama. Demikian pula jika A adalah matriks

segitiga, diperoleh dengan mengalikan entri-entri pada diagonal

utamanya. Untuk memperjelas, disajikan contoh berikut:

Contoh 2.20


] dan [

].

dan .

Ada sifat determinan yang terkait dengan operasi baris elementer.

Misalkan terdapat matriks A, jika A’ diperoleh dari A dengan cara

mengalikan satu baris dari A dengan konstanta , maka

. Sifat yang lain adalah jika A’ diperoleh dari A dengan menukar

dua baris, maka dan jika A’ diperoleh dari A dengan


22

cara menjumlahkan satu baris dengan kelipatan baris yang lain, maka

Perhitungan determinan dapat dipermudah menggunakan sifat-sifat

tersebut. Metode ini disebut metode reduksi baris. Untuk lebih jelasnya,

berikut disajikan contohnya:

Contoh 2.21


]. Carilah det(A)

menggunakan metode reduksi baris!

Determinan dari matriks A lebih mudah dicari jika matriks tersebut

diubah menjadi matriks segitiga. Sehingga nantinya merupakan

perkalian dari entri-entri pada diagonal utamanya saja. Oleh karena itu

untuk mengubah matriks A menjadi matriks segitiga digunakan bantuan

operasi baris elementer.

Langkah pertama yang dilakukan adalah dengan mengubah salah

satu entri pada kolom pertama menjadi bernilai 1. Perlakuan ini tidak

mengubah tanda maupun nilai dari determinan.

|

|

diperoleh |

| .

Setelah itu pertukarkan baris pertama dan ketiga sehingga determinan

menjadi negatif,


23

|

|

maka diperoleh |

| .

Selanjutnya, untuk mengubah matriks tersebut menjadi matriks segitiga

dilakukan operasi baris elementer untuk membuat entri-entri pada

menjadi nol.

|

|

maka |

| .

|

|

maka |

| .

Jadi,

Suatu matriks persegi akan mempunyai invers jika determinan

matriks tersebut tidak sama dengan nol. Berikut disajikan definisi invers

dari sebuah matriks:

Definisi 2.14. Invers sebuah Matriks (Howard Anton, 2000: 65)

Jika A dan B adalah matriks persegi berukuran sama dan bisa didapatkan

sedemikian sehingga maka matriks A disebut bisa dibalik

dan matriks B disebut invers dari matriks A. ■

Untuk selanjutnya, invers dari suatu matriks A dinyatakan dengan

simbol A-1

. Sehingga dan .


24

Untuk matriks persegi berukuran inversnya dapat ditentukan

dengan menggunakan determinan dan adjoin. Misalkan untuk sebarang

matriks A maka

. Dengan syarat .

Invers dari matriks berukuran misalkan [

],

dapat langsung dicari dengan aturan sebagai berikut:

[

].

Contoh 2.22


] dan [

].

Invers dari matriks A dapat diperoleh dengan

[

]

[

] [

].

Invers dari matriks B dicari dengan menggunakan

.

Kofaktor dari matriks B adalah:

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|


25

|

|

|

|

|

|

|

|

| | .

[

].

[

]

[

]

.

Invers matriks juga dapat dicari dengan bantuan matriks identitas I.

Langkah yang perlu ditempuh adalah membuat matriks gabungan [ | ]

kemudian mereduksi matriks A pada ruas kiri menjadi matriks I dengan

menggunakan operasi baris elementer. Operasi baris elementer yang sama

juga dilakukan pada matriks identitas, sehingga matriks I pada ruas kanan

akan tereduksi menjadi matriks B. Karena maka matriks B ini

adalah matriks . Untuk lebih jelasnya disajikan contoh sebagai berikut:

Contoh 2.23


].

Invers dari matriks tersebut, diperoleh dengan bantuan matriks identitas I.


26

Sehingga diperlukan matriks gabungan [ | ], sedemikian sehingga

[ | ] [

|

], untuk mendapatkan matriks A

direduksi menggunakan operasi baris elementer, sedemikian sehingga

menghasilkan matriks identitas.

Langkah yang perlu ditempuh adalah membuat elemen selain diagonal

utama menjadi nol.

[

|

]

[

|

]

[

|

]

[

|

]

[

|

]

[

|

]

[

|

]

Sehingga

[

]

.


27

Invers matriks juga dapat dicari dengan menggunakan partisi. Misalkan

terdapat matriks A berukuran , dengan dan inversnya yaitu

matriks , yang dipartisi menjadi matriks berordo sebagai berikut:

[

]

dan

[

]

.

Karena maka diperoleh persamaan berikut:

[

] [

] [

]

Sehingga,

Misalkan , maka

(

) (

)

( )

( )

dengan syarat det dan ( ) .

Contoh 2.24:

Tentukan invers dari [

] menggunakan partisi.


28

Partisi matriks [

]. [

] [

]

[ ] [ ].

[

] [

],

[

] [

] [

],

[ ] [

] [ ],

( ) [ ] [ ] [

] [ ] [ ] [ ],

[

],

(

) (

)

[

] [

] [

][ ] [

],

( )

[

] [

] [

],

( ) [

][ ] [

],

Maka [

] [

].

2. Sistem Persamaan Linear

Suatu persamaan linear dengan n variabel adalah persamaan dengan

bentuk:

(2.4)


29

dimana dan b adalah bilangan real, adalah

variabel.

Dengan demikian, suatu sistem persamaan linear dari n persamaan dalam n

variabel adalah

(2.5)

dengan dan adalah bilangan real.

Berikut disajikan contoh dari sistem persamaan linear dalam variabel

:

Contoh 2.25

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, ada beberapa cara

yang bisa dipilih, misalnya dengan metode substitusi, eliminasi, dan

campuran keduanya. Namun, untuk sistem persamaan linear dengan

banyak variabel, cara tersebut dirasa tidak mudah dan cukup menyita

banyak waktu. Oleh karena itu diperlukan cara lain untuk

menyelesaikannya, yaitu dengan mengubah sistem persamaan tersebut

menjadi bentuk matriks, yaitu:


30

[

]

[

]

(2.6)

atau jika diubah menjadi bentuk perkalian matriks

[

]

[

]

[

]

(2.7)

Misalkan

[

]

adalah matriks

koefisien, [

] adalah matriks untuk variabel, dan

[

]

adalah

matriks untuk konstanta, matriks-matriks tersebut dapat dinyatakan

sebagai

(2.8)

Untuk mendapatkan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut,

dapat digunakan beberapa cara, antara lain:

a. Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan

Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear

menggunakan metode ini, persamaan linear terlebih dahulu diubah

menjadi bentuk matriks yang diperbesar yaitu


31

[ | ]

[

||

]

(2.9)

Kemudian dilakukan operasi baris elementer pada matriks

tersebut untuk mendapatkan matriks identitas pada matriks sebelah kiri

dan penyelesaian pada matriks sebelah kanan.

Contoh 2.26

Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear:

Sitem persamaan tersebut jika dituliskan dalam bentuk matriks yang

diperbesar menjadi: [

|

]. Kemudian dilakukan operasi

baris elementer sebagai berikut:

[

|

]

[

|

]

[

|

]

[

|

]

[

|

]

[

|

]

[

|

]

[

|

]


32

[

|

]

[

|

]

[

|

]

[

| ]

Maka nilai dari masing-masing variabel adalah

.

b. Dengan menggunakan invers matriks

Suatu sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk

(2.10)

Untuk mencari penyelesaiannya, dapat digunakan bantuan invers

matriks, yaitu

(2.11)

Invers dari matriks A diperoleh dengan menggunakan metode

partisi. Untuk lebih jelasnya berikut disajikan contoh.

Contoh 2.27

Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut:


33

Bentuk perkalian matriks untuk sistem persamaan linear tersebut

adalah [

] [

] [

]. Dengan [

],

[

], dan [

].

maka

dicari dengan menggunakan metode partisi.

Partisi matriks [

]. [

] [

]

[ ] [ ].

[

] [

],

[

] [

] [

],

[ ] [

] [ ],

( ) [ ] [ ] [

] [ ] [ ]

[ ],

[

],

(

) (

) [

]

[

] [

][ ] [

],

( )

[

] [

] [

],

( ) [

][ ] [

]


34

Maka [

] [

].

[

]

[

] [

]

B. Istilah-istilah pada Rangkaian Listrik

Salah satu konsep dasar dalam analisis rangkaian listrik adalah konsep

muatan. Dalam ilmu fisika, muatan terdiri dari dua macam, yaitu muatan

positif (proton) dan muatan negatif (elektron). Muatan yang tidak berubah

terhadap waktu dipresentasikan oleh Q, sedangkan muatan yang berubah

terhadap waktu dipresentasikan dengan q. Namun arus sendiri didefinisikan

sebagai berikut:

Definisi 2.15. Arus (Sears & Zemansky, 1963: 502)

Arus (dinotasikan dengan I) adalah jumlah pemindahan rata-rata dari muatan

positif yang melewati suatu penampang penghantar atau dapat dikatakan

bahwa arus adalah jumlah muatan positif yang melewati penghantar per satuan

waktu. ■

Secara matematis arus dirumuskan dengan:

(2.9)

Dimana dq adalah muatan listrik yang bergerak dalam satuan Couloumb dan

dt adalah waktu yang dibutuhkan muatan tersebut untuk bergerak dalam

satuan detik. Satuan dari arus adalah Ampere (A).


35

(a) (b)

Gambar 2.1. Salah satu cara mempresentasikan arus

Gambar 2.1 menunjukkan dua buah arus yang besarnya sama yaitu 2 A,

namun arahnya berlawanan, sehingga tandanya pun berlawanan.

Arus listrik mengalir pada rangkaian tertutup. Adanya arus listrik yang

mengalir pada suatu rangkaian listrik disebabkan oleh adanya perbedaan

potensial di antara dua buah titik dalam rangkaian tersebut. Arah aliran berasal

dari titik yang mempunyai beda potensial tinggi ke beda potensial rendah.

Beda potensial juga disebut dengan tegangan. Definisi beda potensial atau

tegangan disajikan sebagai berikut:

Definisi 2.16. Tegangan (Hayt & Kemmerly, 1990: 12)

Tegangan yang melewati suatu elemen listrik didefinisikan sebagai kerja yang

diperlukan untuk menggerakkan muatan positif sebesar 1 Couloumb dari satu

titik ujung ke titik ujung yang lain dari elemen tersebut. ■

Satuan dari tegangan adalah Volt (V).

Misakan terdapat suatu sumber tegangan yang digambarkan sebagai

berikut:

Gambar 2.2. Sumber tegangan


36

Misalkan diketahui besarnya tegangan pada gambar tersebut adalah 5

Volt. Sehingga dapat dinyatakan bahwa tegangan atau beda potensial antara

titik A dengan titik B sebesar 5V. Dapat juga dikatakan titik A mempunyai

tegangan 5 V lebih tinggi daripada titik B. Dengan demikian

atau dapat juga dinyatakan

Seperti yang sudah disebutkan, arus listrik dapat mengalir pada

rangkaian tertutup. Rangkaian tertutup merupakan rangkaian listrik yang tidak

mempunyai ujung dan pangkal. Rangkaian listrik disusun oleh beberapa alat

listrik. Dalam pembahasan ini digunakan istilah elemen rangkaian pada alat

listrik. Berikut definisi dari elemen rangkaian listrik:

Definisi 2.17. Elemen Rangkaian (Hayt dkk, 2005:17)

Sebuah elemen rangkaian adalah model matematika dari sebuah alat listrik

yang mempunyai dua terminal (titik ujung), yang dapat dinyatakan oleh

hubungan antara tegangan dan arusnya seta tidak dapat dibagi lagi menjadi

alat lain yang mempunyai dua titik ujung. ■

Dengan kata lain, sebuah elemen rangkaian hanya mewakili satu alat

listrik. Elemen listrik terbagi atas elemen aktif dan elemen pasif. Elemen aktif

adalah elemen yang mampu menghasilkan energi dan menyalurkannya ke

jaringan. Menurut Chi Kong Tse (2002: 4), elemen aktif dibagi menjadi dua

yaitu sumber tegangan dan sumber arus.


37

1. Sumber Tegangan

Sumber tegangan dibagi menjadi dua, yaitu sumber tegangan bebas

dan sumber tegangan tak bebas. Sumber tegangan bebas merupakan

sumber tegangan yang menghasilkan tegangan secara konstan, tidak

dipengaruhi kuat arus yang dihasilkan. Sedangkan sumber tegangan tak

bebas menghasilkan tegangan yang dipengaruhi oleh kuat arus yang

dihasilkan. Berikut adalah simbol tegangan bebas dan tak bebas:

(a) (b)

Gambar 2.3 Sumber tegangan bebas (a) dan sumber tegangan tak bebas (b)

2. Sumber Arus

Sumber arus juga dibagi menjadi dua, yaitu sumber arus bebas dan

sumber arus tak bebas. Pada sumber arus bebas, arus yang dihasilkan tidak

tergantung pada tegangan. Sedangkan pada sumber arus tak bebas, arus

yang dihasilkan dipengaruhi oleh tegangan pada komponen lain. Berikut

adalah simbol arus bebas dan sumber arus tak bebas:

(a) (b)

Gambar 2.4. Sumber arus bebas (a) dan sumber arus tak bebas (b)


38

Elemen pasif merupakan elemen-elemen yang menyerap atau

menyimpan energi dari sumber. Contoh dari elemen pasif adalah resistor,

kapasitor, dan induktor. Berikut ini adalah simbol dari resistor, kapasitor, dan

induktor tersebut:

(a) (b) (c)

Gambar 2.5. Resistor (a), kapasitor (b), dan induktor (c)

Susunan dari elemen-elemen rangkaian menghasilkan jaringan maupun

rangkaian. Jaringan dan rangkaian didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.18. Jaringan dan Rangkaian Listrik (Hayt dkk, 2005: 20)

Jaringan adalah sambungan antara dua atau lebih elemen rangkaian.

Sedangkan rangkaian listrik adalah jaringan mengandung sedikitnya satu buah

lintasan tertutup. ■

Elemen rangkaian dapat disusun menjadi rangkaian seri, paralel, dan

campuran seri paralel. Jika elemen listrik disusun menjadi suatu rangkaian

listrik yang hanya memiliki satu jalan bagi arus maka rangkaian yang

dihasilkan adalah rangkaian seri. Sedangkan jika terdapat beberapa jalan bagi

arus, maka rangkaian yang terbentuk adalah rangkaian paralel.

Contoh rangkaian seri dan paralel dari sumber tegangan dan resistor

disajikan pada contoh 2.28 berikut:


39

Contoh 2.28

Gambar 2.6. Rangkaian seri

Pada gambar 2.6 disajikan sebuah rangkaian seri dengan tiga buah

resistor R1, R2, dan R3 disusun secara berdampingan. Arus yang mengalir dari

sumber tegangan hanya memiliki satu jalur dan besarnya arus yang melalui

masing-masing resistor sama.

Contoh rangkaian paralel ditujukkan pada gambar berikut:

Gambar 2.7. Rangkaian paralel

Pada gambar 2.7 terdapat rangkaian yang terdiri dari sebuah sumber

tegangan dan tiga buah resistor. Rangkaian ini memungkinkan adanya tiga

buah jalan arus, yakni jalan arus yang melalui R1, R2, dan R3. Dengan

demikian, arus yang mengalir dari sumber tegangan tersebut terbagi menjadi

tiga.


40

C. Simpul, Lintasan, Loop, Cabang, Jaring, dan Rangkaian Planar pada

Rangkaian Listrik

Elemen-elemen pada rangkaian listrik membentuk suatu hubungan.

Selanjutnya akan dibahas beberapa istilah mengenai hubungan antar elemen

rangkaian di dalam jaringan sederhana yang terdiri dari dari dua atau lebih

elemen rangkaian. Antara lain node, lintasan, loop, cabang, jaring dan

rangkaian planar. Berikut disajikan definisi dari istilah-istilah tersebut menurut

Hayt dkk (2005).

Jika terdapat dua atau lebih elemen rangkaian yang terhubung, maka

titik tempat terhubungnya elemen-elemen rangkaian tersebut dinamakan

simpul atau node. Berikut contoh simpul dalam suatu rangkaian:

Contoh 2.29

Gambar 2.8. Rangkaian listrik dengan dua sumber tegangan dan tiga resistor

Pada rangkaian tersebut, banyaknya simpul adalah 4 yaitu a, b, c, dan d.

Dalam hal ini simpul d=e=f, karena merupakan titik pertemuan dari

.

Jika dimulai pergerakan dari sebuah simpul melalui sebuah elemen

menuju pada simpul ujung yang lain kemudian melewati elemen rangkaian

yang lain menuju simpul berikutnya, dan seterusnya serta tidak ada simpul


41

yang dilewati lebih dari datu kali maka kumpulan simpul dan elemen yang

dilalui didefinisikan sebagai lintasan. Sebagai contoh, pada gambar 2.8, jika

bergerak dari simpul a menuju simpul c, maka akan terbentuk sebuah lintasan

yaitu .

Lintasan tunggal di dalam sebuah jaringan yang terbentuk dari sebuah

elemen sederhana dan simpul pada masing-masing ujung elemen tersebut

disebut cabang. Sedangkan loop didefinisikan sebagai suatu lintasan tertutup

dimana simpul awal pergerakan sama dengan simpul akhir pergerakan.

Sebuah loop yang tidak mengandung loop lain di dalamya disebut sebagai

jaring.

Contoh 2.30. Lintasan, loop dan jaring:

Misal terdapat rangkaian listrik sederhana yang digambarkan sebagai berikut:

Gambar 2.9. Rangkaian listrik dengan simpul

Jika terdapat pergerakan yang dimulai dari simpul a menuju simpul c,

maka akan terbentuk sebuah lintasan yaitu . Rangkaian listrik

tersebut mempunyai 5 cabang, yaitu

. Loop yang terbentuk pada rangkaian listrik tersebut

antara lain dan

. Sedangkan jaring yang terbenrtuk dari


42

rangkaian listrik tersebut adalah dan

.

Selain itu, terdapat pula istilah rangkaian planar. Berikut disajikan

definisi dari rangkaian planar beserta contohnya:

Definisi 2.19. Rangkaian Planar (Chi Kong Tse, 2002: 39)

Rangkaian planar adalah rangkaian yang tidak mengandung cabang yang

melewati sebelah atas atau bawah cabang-cabang lain manapun. ■

Dengan kata lain, tidak ada elemen rangkaian yang saling tumpang tindih.

Berikut disajikan contoh dari rangkaian planar dan non planar:

Contoh 2.31

(a) (b)

Gambar 2.10. Rangkaian planar (a) dan rangkaian non planar (b)

D. Hukum-hukum pada Rangkaian Listrik

1. Hukum Ohm

Hukum Ohm dikemukakan oleh fisikawan Jerman bernama George Simon

Ohm. Hukum Ohm merupakan suatu gagasan mengenai usaha untuk


43

mengukur arus dan tegangan serta menerangkan dan menghubungkannya

secara matematis. Berikut bunyi Hukum Ohm:

Definisi 2.20. Hukum Ohm (Hayt & Kemmerly, 1990: 21)

Hukum Ohm mengatakan bahwa tegangan yang melintasi berbagai jenis

bahan pengantar adalah berbanding lurus kepada arus yang mengalir

melalui bahan tersebut. ■

Atau secara matematis, Hukum Ohm dinyatakan sebagai berikut:

(2.10)

Dimana adalah tegangan, adalah resistansi atau hambatan yang

terdapat pada penghantar, dan adalah arus yang mengalir melalui

penghantar tersebut. Karena maka

, dalam hal ini

dilambangkan dengan . G merupakan konduktansi atau kebalikan dari R.

2. Hukum Kirchhoff

Dalam suatu rangkaian listrik, tegangan dan arus yang mengalir dapat

dihitung dengan hukum Kirchhoff. Berikut isi dari hukum tersebut:

Definisi 2.21. Hukum Arus Kirchhoff (Hayt & Kemmerly, 1990: 23)

Hukum pertama Kirchhoff disebut Hukum Arus Kirchhoff (Kirchhoff’s

Current Law atau disingkat KCL) yang mengatakan bahwa jumlah aljabar

semua arus yang memasuki simpul atau titik cabang pada suatu rangkaian

listrik adalah nol. ■

Secara matematis, Hukum Arus Kirchhoff ditulis:


44

∑

∑ ∑

Arus yang menuju simpul dinyatakan positif dan arus yang meninggalkan

simpul dinyatakan negatif (Zukhri, 2007:8).

Gambar 2.11. Penerapan Hukum Arus Kirchhoff pada simpul sederhana

Berdasarkan Hukum Arus Kirchhoff rangkaian pada gambar 2.11

dinyatakan sebagai:

atau (2.12)

Definisi 2.22. Hukum Tegangan Kirchhoff (Hayt & Kemmerly, 1990: 24)

Hukum kedua Kirchhoff disebut Hukum Tegangan Kirchhoff (Kirchhoff’s

Voltage Law atau disingkat KVL) yang mengatakan bahwa jumlah aljabar

seluruh tegangan mengelilingi sebuah jalan tertutup dalam sebuah

rangkaian adalah nol. ■

Secara matematis, Hukum Tegangan Kirchhoff ditulis:

∑

Untuk memperjelas Hukum Tegangan Kirchhoff, disajikan gambar

sebagai berikut:


45

Gambar 2.12. Rangkaian tiga sumber tegangan

Misalkan pergerakan tegangan dimulai dari titik a menuju titik b,

lalu dari b ke c dan kembali menuju titik a atau searah perputaran jarum

jam. Tegangan pada bertanda positif (+), tegangan pada bertanda

negatif (-) dan tegangan pada juga negatif (-). Sehingga diperoleh

persamaan:

(2.14)

Untuk memperjelas pernyataan di atas, disajikan contoh dari Hukum

Tegangan Kirchhoff pada suatu rangkaian sederhana.

Contoh 2.31

Misalkan terdapat rangkaian sederhana seperti pada gambar 2.13:

Gambar 2.13. Rangkaian dua sumber tegangan dan sebuah resistor

Jika diketahui besarnya , maka

tegangan yang mengalir melalui R dapat diketahui menggunakan Hukum

Tegangan Kirchhoff. Diperoleh persamaan:


46

, dengan mensubstitusi nilai dari masing-masing

sumber tegangan didapat . Sehingga nilai dari

diketahui, yaitu 12V.

E. Kerangka Pikir

Pada suatu rangkaian listrik, yang terdiri dari sebuah sumber tegangan

dan resistor yang disusun secara seri atau paralel sederhana, arus dan

tegangan yang melewati masing-masing elemen dapat dicari menggunakan

Hukum Ohm dan menggunakan resistor-resistor pengganti. Sedangkan untuk

rangkaian yang tersusun dari beberapa sumber tegangan dan resistor yang

disusun secara seri, namun resistor-resistornya tidak dapat direduksi

menggunakan resistor pengganti digunakan analisis loop.

Untuk rangkaian listrik yang tidak mengandung sumber arus digunakan

analisis jaring (mesh analysis), rangkaian disusun atas loop-loop yang paling

kecil atau jaring. Kemudian arus-arus ini disimbolkan dengan dan

diasumsikan arus yang mengalir pada masing-masing jaring saling

independen. Pada masing-masing jaring diaplikasikan Hukum Tegangan

Kirchhoff sehingga diperoleh persamaan-persamaan tegangan dalam V. Untuk

mencari arus yang mengalir, digunakan Hukum Ohm untuk tegangan-

tegangan pada resistor, sehingga nantinya akan didapat persamaan-persamaan

dalam I. Jika dalam rangkaian terdapat n buah jaring, maka akan diperoleh n

buah persamaan juga.


47

Analisis simpul (nodal analysis) digunakan untuk mencari tegangan

yang mengalir pada elemen rangkaian untuk rangkaian yang tidak

mengandung sumber tegangan. Rangkaian disederhanakan sehingga tampak

simpul-simpul yang menghubungkan elemen rangkaian. Kemudian salah satu

simpul dipilih sebagai simpul referensi. Pada simpul-simpul yang lain,

tegangan simpul yang relatif terhadap simpul referensi dilambangkan dengan

. Setelah itu, aplikasikan Hukum Arus Kirchhoff pada masing-

masing simpul sehingga diperoleh persamaan-persamaan dalam I. Setelah itu,

aplikasikan Hukum Ohm pada arus-arus resistor sehingga akan terbentuk

persamaan-persamaan dalam V pada masing-masing simpul. Jika dalam

rangkaian terdapat n buah simpul, setelah dipilih satu simpul referensi, akan

tersisa (n-1) simpul, yang nantinya akan menghasilkan (n-1) persamaan pula.

Persamaan-persamaan tersebut kemudian dinyatakan dalam bentuk

matriks. Lalu dicari penyelesaiannya menggunakan metode eliminasi Gauss-

Jordan dan invers matriks.


48

BAB III

Aplikasi Matriks pada Penyelesaian Rangkaian Listrik

Permasalahan yang sering dihadapi pada suatu rangkaian listrik adalah

bagaimana menentukan tegangan atau arus yang mengalir pada tiap-tiap elemen

rangkaian dengan nilai dari sumber-sumbernya diketahui. Rangkaian listrik, yang

terdiri dari satu sumber tegangan dan beberapa resistor, yang disusun secara seri

atau paralel sederhana besarnya arus dan tegangan yang melewati masing-masing

elemen dapat dicari menggunakan Hukum Ohm dan dengan menggunakan

resistor-resistor pengganti.

Untuk rangkaian yang tersusun dari beberapa sumber tegangan dan resistor

yang disusun secara seri, namun resistor-resistornya tidak dapat direduksi

menggunakan resistor pengganti digunakan analisis loop. Aplikasi Hukum

Tegangan Kirchhoff pada loop akan menghasilkan persamaan tegangan dalam V.

Untuk memperoleh arus yang mengalir pada resistor, digunakan Hukum Ohm

yaitu . Sehingga nantinya akan didapat persamaan dalam I.

Pada rangkaian yang terdiri dari dua atau lebih loop besarnya arus atau

tegangan dicari menggunakan bantuan Hukum Kirchhoff. Untuk rangkaian yang

tidak mengandung sumber arus digunakan analisis jaring, sedangkan untuk

rangkaian yang tidak mengandung sumber tegangan digunakan analisis simpul.

Berikut akan dibahas beberapa langkah dalam menganalisis suatu rangkaian

listrik:


49

A. Analisis Loop Tunggal pada Rangkaian Seri yang Tidak Mengandung

Sumber Arus

Misalkan terdapat n buah sumber tegangan dan n buah resistor yang

dirangkai dalam sebuah rangkaian seri sebagai berikut:

Gambar 3.1. Rangkaian seri dengan n elemen

Pada rangkaian tersebut resistor tidak dapat direduksi langsung menjadi

sebuah resistor pengganti, sehingga arus dan tegangan yang mengalir tidak

dapat langsung dicari menggunakan Hukum Ohm saja.

Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mencari besarnya arus dan

tegangan yang mengalir adalah menggunakan analisis loop. Rangkaian

tersebut hanya memiliki satu buah jalan arus. Hal ini berarti rangkaian tersebut

hanya terdiri dari satu buah loop saja. Arah loop ini diasumsikan searah

dengan perputaran jarum jam. Sedangkan arah arus sendiri diasumsikan sama

dangan arah loop.

Misalkan dimulai suatu pergerakan dari suatu simpul menuju simpul

yang lain. Jika dalam pergerakan loop menemui terminal negatif dari suatu

sumber tegangan ( ) maka sumber tegangan tersebut bertanda negatif ( )

sedangkan jika bertemu dengan terminal positif dari sumber tegangan, maka


50

sumber tegangan tersebut bertanda positif pula ( ). Loop yang bertemu

dengan resistor, selalu diasumsikan bertemu dengan terminal positif dari

resistor tersebut, sehingga tegangan dari resistor ( ) akan selalu bernilai

positif.

Aplikasikan Hukum Arus Kirchhoff pada loop tersebut, maka akan

didapat persamaan-persamaan dalam V. Setelah itu, Hukum Ohm digunakan

pada elemen-elemen resistif sehingga akan didapatkan persamaan-persamaan

dalam I.

Perhatikan gambar berikut:

Gambar 3.2. Rangkaian yang dilengkapi dengan referensi arus dan tegangan

Misalkan, pergerakan loop dimulai dari simpul 1, loop bergerak

menemui elemen negatif dari , sehingga tegangan pada bertanda

negatif ( ). Kemudian loop menuju elemen positif pada , sehingga

tegangan pada bertanda positif ( ). Loop menuju elemen positif dari

, maka tegangan pada bernilai positif. Loop menuju elemen positif

, sehingga tegangan pada bernilai positif juga ( ). Begitu seterusnya

sampai elemen ke-n. Misalkan pada elemen ke-n loop bertemu dengan

terminal positif dari sumber tegangan. Kemudian loop bergerak kembali


51

menuju simpul a, sehingga akan diperoleh sebuah persamaan tegangan sebagai

berikut:

(3.1)

Untuk mencari besarnya arus yang mengalir digunakan Hukum Ohm

untuk resistor, dimana Sehingga

persamaan (3.1) akan menjadi:

(3.2)

Adanya Hukum Arus Kirchhoff menjamin bahwa arus yang mengalir

besarnya sama, karena arus masuk melalui satu simpul dan keluar melalui satu

simpul juga. Oleh karena besarnya arus yang mengalir pada masing-masing

elemen sama, maka maka persamaan tersebut dapat

disederhanakan menjadi:

( ) ( ) ( ) (3.3)

Atau

( ) ( )

( )

Secara umum, persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai:

∑

∑

( )

Dimana I adalah arus yang mengalir pada rangkaian, ∑ adalah

jumlah seluruh sumber tegangan dengan memperhatikan tanda referensi, jika

loop bertemu dengan teminal negatif sumber tegangan, maka untuk persamaan


52

ini sumber tegangan tersebut diberi tanda positif, begitu juga sebaliknya, dan

∑ adalah jumlah seluruh resistansi resistor yang terdapat pada rangkaian.

Arus inilah yang mengalir pada masing-masing resistor. Jika arus yang

dihasilkan bernilai positif, maka arah arus yang sebenarnya searah dengan

arah loop, sebaliknya jika arus yang dihasilkan bernilai negatif, maka arah

arus yang sebenarnya berlawanan dengan arah loop. Arus negatif akan

mengakibatkan tegangan pada resistor bernilai negatif juga. Jika tegangan

pada resistor benilai negatif, maka hal ini berarti arah tegangan yang

sebenarnya berlawanan dengan arah loop. Untuk lebih jelasnya disajikan

gambar berikut:

Gambar 3.3. Sebuah sumber tegangan dan arah arusnya

Pada gambar tersebut tegangan pada simpul a lebih tinggi dari tegangan

pada simpul b, maka besarnya tegangan dari simpul a ke simpul b bernilai

positif. Hal ini mengakibatkan arus yang mengalir dari simpul a ke b bernilai

positif juga. Sebaliknya tegangan dari simpul b ke simpul a akan bernilai

negatif karena tegangan pada simpul b lebih rendah daripada simpul a yang

mengakibatkan arah arus berlawanan dengan arah arus yang sebenarnya,

sehingga arus akan bernilai negatif.


53

Untuk lebih jelasnya, berikut disajikan contoh yang berkaitan dengan

analisis loop:

Contoh 3.1

Misalkan terdapat rangkaian dua sumber tegangan dan

serta dua resistor dan seperti gambar 3.3 berikut:

Gambar 3.4. Loop rangkaian listrik dengan dua sumber tegangan dan resistor

Besarnya arus yang mengalir pada rangkaian dan tegangan pada resistor

dapat dicari menggunakan analisis loop. Misalkan loop bergerak dari titik a,

loop akan bertemu dengan terminal negatif dari , sehingga tegangan pada

bertanda negatif ( ). Loop menuju terminal positif pada ,

sehingga tegangan pada bertanda positif ( ). Kemudian loop menuju

terminal positif dari , maka tegangan pada bertanda positif ( ).

Terakhir, loop menuju terminal positif , sehingga tegangan pada

bertanda positif ( ). Sehingga Hukum Tegangan Kirchhoff yang terdapat

pada rangkaian tersebut adalah: . Aplikasikan

Hukum Ohm untuk tegangan elemen resistif, diperoleh:

, karena dalam rangkaian seri besarnya arus yang mengalir pada

rangkaian tertutup adalah sama, maka .


54

atau .

Jika digunakan rumus ∑

∑

, maka

.

Arus tersebut bertanda negatif, artinya arah arus yang sebenarnya berlawanan

dengan arah loop.

Besarnya arus sudah diketahui, maka tegangan pada resistor dapat diketahui,

yaitu tegangan pada atau dan pada resistor atau .

Ini berarti tegangan yang mengalir pada resistor berlawanan arah dengan arah

loop.

B. Analisis Jaring (Mesh Analysis) pada Rangkaian yang Tidak

Mengandung Sumber Arus

Analisis jaring merupakan perluasan dari analisis loop, dimana

rangkaian yang dianalisis terdiri lebih dari satu loop. Analisis jaring ini

berlaku pada rangkaian listrik yang tidak mengandung sumber arus atau dalam

hal ini rangkaian yang tersusun atas sumber tegangan dan resistor saja.

Rangkaian yang dianalisis biasanya merupakan rangkaian paralel dengan lebih

dari satu sumber tegangan dan resistor, dimana resistor-resistor ini sulit

direduksi menggunakan resistor pengganti.

Contoh rangkaian yang dianalisis menggunakan metode analisis jaring

disajikan sebagai berikut:


55

Gambar 3.5. Rangkaian yang terdiri dari 2 sumber tegangan dan resistor

Untuk menganalisis rangkaian menggunakan analisis jaring, rangkaian

disusun atas jaring atau loop-loop paling sederhana (dimana loop tidak

mengandung loop lain di dalamnya). Arus-arus pada rangkaian diasumsikan

mengalir mengelilingi jaring (searah dengan jaring yang sudah ditentukan).

Jaring-jaring yang terbentuk ini disimbolkan dengan Arus-arus

yang mengalir mengelilingi jaring diasumsikan saling independen. Independen

di sini maksudnya arus pertama tidak mempengaruhi arus kedua, arus kedua

tidak mempengaruhi arus pertama dan ketiga, dan seterusnya.

Setelah itu, aplikasikan Hukum Tegangan Kirchhoff pada masing-

masing jaring. Dengan pengaplikasian Hukum Tegangan Kirchhoff akan

diperoleh persamaan-persamaan tegangan dalam V. Untuk mencari besarnya

arus yang mengalir pada jaring, digunakan Hukum Ohm untuk tegangan-

tegangan pada resistor, sehingga akan didapatkan persamaan-persamaan linear

dalam I.

Jika terdapat elemen rangkaian yang dilalui oleh dua jaring, misalkan

, maka arus yang mengalir melalui elemen tersebut adalah sama

dengan jumlah arus-arus yang melaluinya. Namun perlu diperhatikan pula


56

arah jaring yang melalui elemen rangkaian tersebut. Misalkan resistor R dilalui

oleh dua buah jaring yang berlawanan arah, maka arus yang melalui

resistor tersebut adalah atau tergantung dari jaring yang sedang

ditinjau. Sebagai contohnya disajikan gambar berikut:

Gambar 3.6. Rangkaian dengan dua jaring

Pada rangkaian tersebut dilalui oleh dua buah jaring yang

saling berlawanan arah. Jika ditinjau dari maka arus yang mengalir melalui

resistor tersebut adalah , sedangkan jika ditinjau dari arus yang

mengalir melalui resistor tersebut adalah

Jika terdapat n buah jaring pada rangkaian, maka akan diperoleh n buah

persamaan linear pula dalam n variabel.

Persamaan linear untuk jaring pertama:

(3.6)

Jaring kedua:

(3.7)

Dan seterusnya, hingga didapat persamaan untuk jaring ke-n:

(3.8)

Jika persamaan-persamaan jaring tersebut dinyatakan dalam bentuk matriks,

maka akan terlihat bentuk seperti berikut:


57

[

] [

] (3.9)

Atau jika dibentuk perkalian dua buah matriks adalah sebagai berikut:

[

] [

] [

] (3.10)

adalah koefisien dari arus dan dinyatakan dengan matriks R.

Koefisien ini merupakan besarnya resistansi dari resistor-resistor pada

rangkaian. Sedangkan adalah arus yang mengalir pada jaring,

dinyatakan dengan matriks kolom I, dan , adalah sumber-

sumber tegangan yang mengalir pada rangkaian, dinyatakan dengan matriks

kolom Vs.

Matriks resistansi R merupakan matriks simetris yang tersusun atas

resistansi-resistansi dari resistor. Secara langsung, matriks R dapat disusun

sebagai berikut:

Jaring 1 Jaring 2 Jaring ke-n

Jaring 1 Jaring 2

Jaring ke-n

Entri-entri pada diagonal utama matriks ini merupakan jumlahan dari

resistansi-resistansi resistor yang mengelilingi jaring. Misalkan, untuk

merupakan jumlahan dari nilai resistansi yang mengelilingi jaring 1,

merupakan jumlahan dari nilai resistansi yang mengelilingi jaring 2, dan

seterusnya sampai jaring ke-n.


58

Entri-entri selain diagonal utama atau merupakan nilai-nilai negatif

dari resistansi yang terletak pada jaring ke-i dan ke-j. Misalkan, untuk

merupakan nilai negatif dari resistansi yang dilalui oleh jaring 1 dan jaring 2.

merupakan nilai negatif dari resistansi yang dilalui oleh jaring 1 dan jaring

3, dan seterusnya.

Untuk entri pada matriks sumber Vs dikonstruksikan sedemikian

sehingga untuk entri ke-j adalah jumlah sumber tegangan yang mengelilingi

jaring ke-j. Tegangan diberi tanda positif jika arah jaring menuju terminal

negatif sumber tegangan, begitu pula sebaliknya.

Jika koefisien dari arus dinyatakan dengan matriks R, variabel tegangan

dinyatakan dengan matriks kolom I, dan sumber-sumber arus dengan matriks

kolom Vs, maka bentuk perkalian matriks tersebut dapat dinyatakan dengan:

RI= Vs (3.11)

Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan tersebut, yaitu nilai-

nilai dari I dapat digunakan beberapa cara, antara lain dengan menggunakan

invers matriks R. Karena R merupakan suatu matriks, maka nilai-nilai dari I

dapat diketahui dengan

I=R-1

Vs (3.12)

Nilai dari R-1

dapat dicari dengan menggunakan partisi matriks.

Selain itu, karena RI= Vs merupakan suatu sistem n persamaan linear

dengan n variabel, maka nilai I dapat ditentukan dengan menggunakan

matriks-matriks yang diperbesar.


59

Jika arus yang dihasilkan positif, maka arah arus sama dengan arah

jaring. Begitu sebaliknya, jika arus yang dihasilkan negatif maka arah arus

yang sebenarnya berlawanan dengan arah jaring.

Setelah arus-arus pada jaring diketahui, maka arus yang mengalir

melalui masing-masing resistor dapat diketahui. Misalkan pada suatu resistor

dikelilingi dua arus jaring, maka arus yang mengalir pada resistor tersebut

merupakan jumlah dari dua arus jaring tersebut dengan memperhatikan arah

jaring yang melaluinya. Misalkan resistor R dilalui dua buah arus jaring

yang aranya berlawanan, maka arus pada resistor tersebut adalah

(3.13)

Jika arus pada masing-masing resistor diketahui, maka besarnya

tegangan pada resistor tersebut dapat diketahui menggunakan Hukum Ohm,

sehingga tegangan pada resistor yang dilalui oleh dua jaring i dan j adalah

( ) (3.14)

Untuk lebih jelasnya, disajikan contoh 3.2 berikut:

Contoh 3.2

Misalkan terdapat rangkaian listrik seperti ditunjukkan pada gambar 3.7

berikut. Tentukan arus dan tegangan yang mengalir pada masing-masing

resistor, jika diketahui

.


60

Gambar 3.7. Rangkaian yang tersusun atas 2 sumber tegangan dan 9 resistor

Arus dan tegangan yang mengalir dalam rangkaian dapat dicari dengan

menggunakan analisis jaring.

Pada rangkaian tersebut terdapat 5 buah jaring. Jika diperjelas, rangkaian

tersebut akan tampak seperti pada gambar 3.8 berikut:

Gambar 3.8. Rangkaian yang sudah dilengkapi dengan arah jaring

Andaikan arah arus sama dengan arah jaring, beri simbol

pada masing-masing jaring.

Secara langsung, entri-entri pada matriks resistansi dapat ditentukan sebagai

berikut:

,

,

,

,


61

,

(resistor yang dilalui jaring 1 dan 2 yaitu ),

(tidak ada resistor yang dilalui jaring 1 dan 3),

(resistor yang dilalui jaring 1dan 4 yaitu ),

(tidak ada resistor yang dilalui oleh jaring 1dan 5),

(resistor yang dilalui oleh jaring 2 dan 3, yaitu ),


(tidak ada resistor yang dilalui oleh jaring 2 dan 5),

(tidak ada resistor yang dilalui oleh jaring 3 dan 4),



Sehingga, matriks resistansi, matriks arus jaring, dan matriks sumber

tegangan dapat dinyatakan dengan:

5 -2 0 -1 0 143 -2 4 -1 -1 0 0 0 -1 6 0 -3 = 0 -1 -1 0 3 -1 -43 0 0 -3 -1 5 0

Atau jika dilakukan langkah-langkah melalui Hukum Kirchhoff adalah

sebagai berikut:

Misalkan arah arus sama dengan arah jaring, maka beri simbol

pada masing-masing jaring.


62

Kemudian aplikasikan Hukum Tegangan Kirchhoff pada masing-masing

jaring, maka didapat:

Pada jaring ke-1:

Pada jaring ke-2:

Pada jaring ke-3:

Pada jaring ke-4:

Pada jaring ke-5:

Kemudian aplikasikan Hukum Ohm, dimana , pada arus yang

melewati resistor, akan diperoleh persamaan tiap simpul sebagai berikut:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Masukkan nilai-nilai dari sumber tegangan dan resistor pada masing-masing

jaring, maka akan diperoleh persamaan-persamaan linear sebagai berikut:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Sederhanakan persamaan-persamaan di atas, menjadi:


63

Jika persamaan-persamaan tersebut dinyatakan dalam bentuk matriks, maka

diperoleh bentuk sebagai berikut:

5 -2 0 -1 0 143 -2 4 -1 -1 0 0 0 -1 6 0 -3 = 0 -1 -1 0 3 -1 -43 0 0 -3 -1 5 0

Bentuk tersebut dapat disimbolkan dengan RI=Vs

Untuk mencari nilai-nilai dari I digunakan cara sebagai berikut:

1. Dengan menggunakan matriks yang diperbesar

5 -2 0 -1 0 143 H1(1/5) -2 4 -1 -1 0 0

0 -1 6 0 -3 0 ~ -1 -1 0 3 -1 -43

0 0 -3 -1 5 0

1 -2/5 0 -1/5 0 143/5

-2 4 -1 -1 0 0 H21(2) 0 -1 6 0 -3 0 ~ -1 -1 0 3 -1 -43 H41(1) 0 0 -3 -1 5 0

1 -2/5 0 -1/5 0 143/5

0 16/5 -1 -7/5 0 286/5 H2(5/16) 0 -1 6 0 -3 0 ~ 0 -7/5 0 14/5 -1 -43/5

0 0 -3 -1 5 0


64

1 -2/5 0 -1/5 0 143/5 H12(2/5) 0 1 -5/16 -7/16 0 143/8 ~ 0 -1 6 0 -3 0 H32(1) 0 -7/5 0 14/5 -1 -72/5 H42(7/5) 0 0 -3 -1 5 0

1 0 -1/8 -3/8 0 143/4

0 1 -5/16 -7/16 0 136/8

0 0 91/16 -7/16 -3 143/8 H3(16/91) 0 0 -7/16 35/16 -1 85/8 ~ 0 0 -3 -1 5 0

1 0 -1/8 -3/8 0 143/4 H13(1/8) 0 1 -5/16 -7/16 0 136/8 H23(5/16) 0 0 1 -1/13 -48/91 22/7 ~ 0 0 -7/16 35/16 -1 85/8 H43(7/16) 0 0 -3 -1 5 0 H53(3)

1 0 0 -5/13 -6/91 252/7

0 1 0 -6/13 -15/91 132/7

0 0 1 -1/13 -48/91 22/7 ~ 0 0 0 28/13 -16/13 12 H4(38/12) 0 0 0 -16/13 311/91 66/7

1 0 0 -5/13 -6/91 253/7 H14(5/13) 0 1 0 -6/13 -15/91 132/7 H24(6/13) 0 0 1 -1/13 -48/91 22/7 H34(1/13) 0 0 0 1 -4/7 39/7

0 0 0 -16/13 311/91 66/7 H54(16/13)

1 0 0 0 -2/7 268/7 0 1 0 0 -3/7 150/7 0 0 1 0 -4/7 25/7 ~

0 0 0 1 -4/7 39/7 0 0 0 0 19/7 114/7 H5(7/19)


65

1 0 0 0 -2/7 268/7 H15(2/7) 0 1 0 0 -3/7 150/7 H25(3/7) 0 0 1 0 -4/7 25/7 H35(4/7) 0 0 0 1 -4/7 39/7 H45(4/7) 0 0 0 0 1 6

1 0 0 0 0 40 0 1 0 0 0 24 0 0 1 0 0 7 0 0 0 1 0 9 0 0 0 0 1 6

2. Dengan menggunakan invers dari matriks R

R-1

diperoleh dengan menggunakan partisi matriks R, sebagai berikut:

R=

5 -2 0 -1 0 -2 4 -1 -1 0 0 -1 6 0 -3 -1 -1 0 3 -1 0 0 -3 -1 5

[

( )

( )

( )

( )]

dan

[

( )

( )

( )

( )]

.

[

], [

], [ ], [ ]

( ) ( )

Kofaktor dari matriks adalah:

( ) |

| ( )


66

( ) |

| ( )

( ) |

| ( )

( ) |

| ( )

( ) |

| ( )

( ) |

| ( )

( ) |

| ( )

( ) |

| ( )

( ) |

| ( )

( ) |

| ( )

( ) |

| ( )

( ) |

| ( )

( ) |

| ( )


67

( ) |

| ( )

( ) |

| ( )

( ) |

| ( )

( ) | | ( ) ( )( ) ( )( )

( ) [

].

[

]

[

]

(( ))

[ ] [ ](

[

]

[

])


68

[ ] [ ]

[

]

[ ] [

] [

]

[

]

(

) (

)

[

]

(

(

[

]

[

]

)

[

]

([ ] [

]))

[

]

[

]

[

] [

]


69

[

]

[

]

[

]

( )

(

[

]

[

] [

]

)

[

]

[

]

[

]

(

)

[

] [ ] [

]

[

] [

] [

]


70

187/532 69/266 51/532 127/532 2/19 69/266 66/133 43/266 81/266 3/19 51/532 43/266 159/532 83/532 4/19 127/532 81/266 83/532 311/532 4/19 2/19 3/19 4/19 4/19 7/19

I=R-1

VS, maka

[

]

[ ]

[ ]

[

]

[ ]

Jadi besarnya

Besarnya arus yang mengalir melalui masing-masing resistor adalah

.


71

.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa arus yang mengalir melalui sebesar 16 A

searah dengan jaring pertama, arus yang mengalir melalui sebesar 15 A

dan arus yang mengalir melalui sebesar 17 A searah dengan jaring kedua,

arus yang mengalir melalui sebesar 1 A dan yang melalui sebesar 7 A

searah dengan jaring ketiga. Arus yang mengalir melalui sebesar 31 A

searah dengan jaring pertama, arus yang mengalir melalui sebesar 3 A

searah dengan jaring keempat, arus yang mengalir melalui sebesar 40 A

searah dengan jaring pertama dan terakhir arus yang mengalir melalui

sebesar 6 A searah dengan jaring kelima.

Tegangan yang mengalir pada masing-masing resistor dapat dicari, yaitu:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )


72

C. Analisis Simpul (Nodal Analysis) pada Rangkaian yang Tidak

Mengandung Sumber Tegangan

Cara lain untuk menganalisis rangkaian listrik adalah dengan

menggunakan metode analisis simpul. Analisis simpul digunakan pada

rangkaian yang tidak mengandung sumber tegangan.

Untuk menganalisis rangkaian mengunakan metode simpul, rangkaian

perlu disederhanakan sehingga tampak simpul-simpul yang menghubungkan

masing-masing elemen rangkaian. Setelah itu, dipilih salah satu simpul

sebagai simpul referensi. Tegangan pada simpul referensi ini diasumsikan

sebesar nol. Simpul referensi ini dipilih berdasarkan simpul yang terhubung

pada elemen rangkaian yang paling banyak. Hal ini dilakukan untuk

menyederhanakan proses pengerjaan. Misalkan, jika pada suatu rangkaian

terdapat n buah simpul maka setelah dipilih satu simpul referesi masih akan

tersisa ( ) buah simpul lain yang akan dianalisis.

Jika simpul referensi sudah ditentukan, maka selanjutnya definisikan

tegangan relatif diantara setiap simpul dan simpul referensi. Tegangan pada

simpul 1 yang relatif terhadap simpul referensi disimbolkan dengan ,

tegangan pada simpul 2 yang relatif terhadap simpul referensi disimbolkan

dengan , dan seterusnya sampai tegangan pada simpul ke-( ) yang

relatif terahadap simpul referensi disimbolkan dengan .

Pada masing-masing simpul, selain simpul referensi, diaplikasikan

Hukum Arus Kirchhoff. Hukum ini mengatakan bahwa jumlah aljabar semua

arus yang memasuki simpul pada suatu rangkaian listrik adalah nol. Arus yang


73

masuk ke simpul dinyatakan positif dan arus yang keluar dari simpul

dinyatakan negatif. Akibat dari pengaplikasian Hukum Arus Kirchhoff adalah

terbentuk persamaan-persamaan dalam I pada masing-masing simpul. Dengan

demikian untuk n buah simpul akan terbentuk (n-1) buah persamaan dalam

variabel I. Kemudian aplikasikan Hukum Ohm untuk arus-arus yang melewati

resistor. Sehingga akan didapat (n-1) buah persamaan-persamaan linear dalam

(n-1) variabel V.

Persamaan-persamaan linear tersebut disajikan sebagai berikut:

Persamaan untuk simpul pertama:

(3.15)

Persamaan untuk simpul kedua:

(3.16)

Dan seterusnya, hingga didapat persamaan untuk simpul ke-( ):

( ) ( ) ( )( ) (3.17)


akan terlihat bentuk seperti berikut:

[

( )

( )

( )( )

] [

] (3.18)

Atau jika dibentuk perkalian matriks menjadi:

[

( )

( )

( )( )

] [

] [

] (3.19)


74

dengan ( )( ) adalah koefisien dari tiap tegangan. Koefisien

ini merupakan besarnya konduktansi dari resistor rangkaian, dimana

,

sehingga G disebut sebagai matriks konduktansi. Untuk adalah

besarnya tegangan dari masing-masing simpul yang belum diketahui.

Sedangkan adalah besarnya sumber-sumber arus yang

mengalir menuju simpul.

Matriks konduktansi G merupakan matriks simetris yang tersusun atas

konduktansi-konduktansi dari resistor. Secara langsung, matriks G dapat

disusun sebagai berikut:

Simpul 1 Simpul 2 Simpul ke-(n-1)

Simpul 1 ( )

Simpul 2 ( )

Simpul ke-

(n-1) ( ) ( ) ( )( )

Entri pada diagonal utama matriks ini merupakan jumlahan dari

konduktansi-konduktansi resistor yang mengelilingi simpul. Misalkan, untuk

merupakan jumlahan dari nilai konduktansi yang mengelilingi simpul 1,

merupakan jumlahan dari nilai konduktansi yang mengelilingi simpul 2,

dan seterusnya sampai simpul ke-(n-1).

Entri selain diagonal utama merupakan nilai-nilai negatif dari

konduktansi yang terkait. Misalkan, untuk merupakan nilai negatif dari

konduktansi yang terletak di antara simpul 1 dan simpul 2. merupakan

nilai negatif dari konduktansi yang terletak di antara simpul 1 dan simpul 3,

dan seterusnya.


75

Untuk entri pada matriks sumber Cs dikonstruksikan sedemikian

sehingga untuk entri ke-j adalah jumlah arus-arus yang memasuki atau

meninggalkan simpul ke-j.

Jika matriks koefisien tegangan dinyatakan dengan matriks G, matriks

variabel tegangan dinyatakan dengan matriks V, dan sumber-sumber arus

dengan matriks Cs, maka perkalian matriks tersebut dapat dinyatakan dengan:

GV=Cs (3.20)

Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan tersebut, dapat

digunakan beberapa cara. Cara pertama yang dapat dilakukan adalah

menggunakan invers dari matriks G. Nilai-nilai dari V dapat diketahui dengan

V=G-1

Cs (3.21)

Nilai dari G-1

sendiri dapat dicari dengan menggunakan metode reduksi

baris.

Setelah nilai dari masing-masing tegangan simpul diketahui, tegangan

pada masing-masing resistor yang terletak di antara dua simpul

dapat diketahui dengan

(3.22)

Setelah tegangan pada masing-masing resistor diketahui, maka besarnya

arus yang mengalir pada resistor, atau disebut arus cabang dapat diketahui.

Jika terdapat sebuah resistor dengan resistansi R berada di antara simpul i dan

j, maka arus cabang di tempat resistor tersebut ditentukan dengan

( ) ( )


76

Untuk lebih jelasnya, disajikan contoh 3.3 berikut:

Contoh 3.3

Misalkan terdapat suatu rangkaian listrik seperti pada gambar 3.9.

Gambar 3.9. Rangkaian dengan dua sumber arus dan sembilan resistor

Dari gambar tersebut, diketahui bahwa terdapat dua sumber arus yaitu

selain itu rangkaian tersebut terdiri dari 5 buah

resistor yang masing-masing mempunyai resistansi sebesar:

.

Tentukan tegangan pada masing-masing simpul dan arus yang mengalir pada

resistor!

Tegangan yang terdapat pada masing-masing simpul dapat dicari dengan

menggunakan analisis simpul.

Pada rangkaian tersebut terdapat 6 buah simpul. Jika diperjelas, rangkaian

tersebut akan tampak seperti pada gambar 3.10 berikut:


77

Gambar 3.10. Rangkaian beserta tanda simpul dan arusnya

Simpul referensi dipilih berdasarkan cabang yang paling banyak yaitu simpul

keenam dan disimbolkan dengan . Setelah itu, beri simbol

pada simpul yang lain.

Secara langsung, entri-entri pada matriks resistansi dapat ditentukan sebagai

berikut:

.

,

,

,

,

(resistor di antara simpul 1 dan 2 yaitu ),

(resistor di antara simpul 1 dan 3, yaitu ),

(tidak ada resistor di antara simpul 1 dan 4),


78

(tidak ada resistor di antara 1dan 5),







Sehingga, matriks konduktansi, matriks tegangan simpul, dan matriks sumber

arus dapat dinyatakan dengan:

[

]

[ ]

[ ]

Atau jika dilakukan langkah-langkah melalui Hukum Kirchhoff adalah

sebagai berikut:

Aplikasikan Hukum Arus Kirchhoff pada masing-masing simpul, maka

didapat:

Pada simpul ke-1:

Pada simpul ke-2:


79

Pada simpul ke-3:

Pada simpul ke-4:

Pada simpul ke-5:

Kemudian aplikasikan Hukum Ohm, dimana

, pada arus yang melewati

resistor, akan diperoleh persamaan tiap simpul sebagai berikut:

Masukkan nilai-nilai dari sumber arus dan resistor pada masing-masing

simpul:

Sederhanakan persamaan-persamaan di atas, menjadi:


80


diperoleh bentuk:

[

]

[ ]

[ ]

Jika disimbolkan dengan matriks menjadi GV=Cs

Untuk mencari nilai-nilai dari V digunakan beberapa cara, antara lain:

1. Dengan menggunakan matriks yang diperbesar

[

|

|

|

]

Lakukan operasi baris elementer untuk mendapatkan penyelesaian dari V.


81

2 -1 -1 0 0 3

H1(1/2)

-1 3/2 -1/2 0 0 0

-1 -1/2 3 -1/2 -1/2 0

~

0 0 -1/2 4/3 -1/3 0

0 0 -1/2 -1/3 5/6 4

1 -1/2 -1/2 0 0 3/2

-1 3/2 -1/2 0 0 0 H21(1)

-1 -1/2 3 -1/2 -1/2 0 H31(1)

0 0 -1/2 4/3 -1/3 0 ~

0 0 -1/2 -1/3 5/6 4

1 -1/2 -1/2 0 0 3/2 H12(1/2) 0 1 -1 0 0 3/2 ~ 0 -1 5/2 -1/2 -1/2 3/2 H32(1) 0 0 -1/2 4/3 -1/3 0 0 0 -1/2 -1/3 5/6 4

1 0 -1 0 0 9/4

0 1 -1 0 0 3/2

0 0 3/2 -1/2 -1/2 3 H3(2/3) 0 0 -1/2 4/3 -1/3 0 ~ 0 0 -1/2 -1/3 5/6 4

1 0 -1 0 0 9/4 H13(1) 0 1 -1 0 0 3/2 H23(1) 0 0 1 -1/3 -1/3 2 ~ 0 0 -1/2 4/3 -1/3 0 H43(1/2) 0 0 -1/2 -1/3 5/6 4 H53(1/2)

1 0 0 -1/3 -1/3 17/4

0 1 0 -1/3 -1/3 7/2

0 0 1 -1/3 -1/3 2 ~ 0 0 0 7/6 -1/2 1 H4(6/7) 0 0 0 -1/2 2/3 5


82

1 0 0 -1/3 -1/3 17/4 H14(1/3) 0 1 0 -1/3 -1/3 7/2 H24(1/3) 0 0 1 -1/3 -1/3 2 H34(1/3) 0 0 0 1 -3/7 6/7 ~ 0 0 0 -1/2 2/3 5 H54(1/2)

1 0 0 0 -10/21 127/28

0 1 0 0 -10/21 53/14

0 0 1 0 -10/21 16/7 ~ 0 0 0 1 -3/7 6/7

0 0 0 0 19/42 38/7 H5(42/19)

1 0 0 0 - 10/21 127/28 H15(10/21) 0 1 0 0 - 10/21 53/14 H25(10/21) 0 0 1 0 - 10/21 16/7 H35(10/21) 0 0 0 1 - 3/7 6/7 H45(7/3) 0 0 0 0 1 12 ~

1 0 0 0 0 41/4

0 1 0 0 0 19/2

0 0 1 0 0 8

0 0 0 1 0 6

0 0 0 0 1 12

2. Dengan mengunakan invers matriks G.

G-1

diperoleh dengan menggunakan partisi matriks G, sebagai berikut:

[

]

[

( )

( )

( )

( )]

dan

[

( )

( )

( )

( )]

.


83

[

], [

], [

], [

]

[

]

(( ))

[

] [

] (

[

]

[

])

[

] [

]

[

]

[

] [

]

[

]

[

]

[

] [

]

(

) (

)

[

]

(

(

[

]

[

]

)

[

]


84

(

[

]

[

]

)

)

[

]

[

]

[

] [

]

[

]

[

]

[

]

( )

(

[

]

[

]

)

[

]

[

]

[

]

[

]

(

)

[

] ([

]

[

]

)


85

[

] [

] [

]

153/76 67/38 24/19 14/19 20/19

67/38 43/19 24/19 14/19 20/19

24/19 24/19 24/19 14/19 20/19

14/19 14/19 14/19 24/19 18/19

24/19 20/19 20/19 18/19 42/19

V=G-1

Cs, maka

[

]

[ ]

[ ]

[

]

[

]

Jadi besarnya

Maka

arus yang mengalir pada resistor dapat dicari, yaitu:


86

Nilai dari ( ) adalah positif, hal ini berarti tegangan pada simpul 1 lebih

besar daripada tegangan pada simpul 2, sehingga arus mengalir dari simpul 1

ke simpul 2.



ke simpul 3.

Nilai dari adalah positif, hal ini berarti tegangan pada simpul 2 lebih besar

daripada tegangan pada simpul referensi, sehingga arus mengalir dari simpul 2

ke simpul referensi.



ke simpul 3.





87

Nilai dari ( ) adalah negatif, hal ini berarti tegangan pada simpul 4

lebih besar daripada tegangan pada simpul 3, sehingga arus yang sebenarnya

mengalir dari simpul 4 ke simpul 3.






ke simpul 4.



ke simpul 3.


88

BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

Pada bab III telah dibahas mengenai cara mencari penyelesaian suatu

analisis rangkaian listrik menggunakan matriks. Dari pembahasan tersebut

diperoleh kesimpulan, antara lain:

1. Pada rangkaian seri yang tersusun atas n buah sumber sumber tegangan dan

n buah resistor, arus dicari menggunakan analisis loop. Persamaan untuk

arus yang mengalir pada rangkaian yaitu:

∑

∑

(4.1)

Dimana I adalah arus yang mengalir pada rangkaian, ∑ adalah

jumlah seluruh sumber tegangan dengan memperhatikan tanda referensi

dan ∑ adalah jumlah seluruh resistansi resistor yang terdapat pada

rangkaian. Jika arus yang dihasilkan bernilai positif, maka arah arus yang

sebenarnya searah dengan arah loop, demikian pula sebaliknya.

Analisis jaring digunakan pada rangkaian yang tidak mengandung sumber

arus. Persamaan yang terbentuk adalah

RI= Vs (4.2)

dengan

[

] [

] [

] (4.3)


89

Matriks resistansi R merupakan matriks simetris yang tersusun atas

resistansi-resistansi dari resistor. Entri-entri pada diagonal utama matriks

ini merupakan jumlahan dari resistansi-resistansi resistor yang

mengelilingi jaring. Entri-entri selain diagonal utama atau merupakan

nilai-nilai negatif dari resistansi yang terletak pada jaring ke-i dan ke-j.

Untuk entri pada matriks sumber Vs dikonstruksikan sedemikian sehingga

untuk entri ke-j adalah jumlah sumber tegangan yang mengelilingi jaring

ke-j. Misalkan resistor R dilalui dua buah arus jaring yang aranya

berlawanan, maka arus pada resistor tersebut adalah

(4.4)

Jika arus pada masing-masing resistor diketahui, maka besarnya tegangan

pada resistor tersebut dapat diketahui menggunakan Hukum Ohm,

sehingga tegangan pada resistor yang dilalui oleh dua jaring i dan j adalah

( ) (4.5)

Analisis simpul digunakan pada rangkaian yang tidak mengandung sumber

tegangan. Persamaan yang terbentuk adalah

GV=C s (4.6)

Dengan

[

] [

] [

] (4.7)


90

Matriks konduktansi G merupakan matriks simetris yang tersusun atas

konduktansi-konduktansi dari resistor. Entri pada diagonal utama matriks

ini merupakan jumlahan dari konduktansi-konduktansi resistor yang

mengelilingi simpul. Entri selain diagonal utama merupakan nilai-nilai

negatif dari konduktansi yang terkait. Untuk entri pada matriks sumber Cs

dikonstruksikan sedemikian sehingga untuk entri ke-j adalah jumlah arus-

arus yang memasuki atau meninggalkan simpul ke-j. Setelah nilai dari

masing-masing tegangan simpul diketahui, tegangan pada masing-masing

resistor yang terletak di antara dua simpul dapat diketahui

dengan

(4.8)

Setelah tegangan pada masing-masing resistor diketahui, maka besarnya

arus yang mengalir pada resistor, atau disebut arus cabang dapat diketahui.

Jika terdapat sebuah resistor dengan resistansi R berada di antara simpul i

dan j, maka arus cabang di tempat resistor tersebut ditentukan dengan

( )

2. Untuk mendapatkan nilai-nilai I dari persamaan RI=Vs dan nilai V dari

persamaan GV=Cs digunakan invers matriks dan dengan metode Gauss-

Jordan.

B. Saran

Pembahasan aplikasi matriks dalam mencari penyelesaian pada analisis

rangkaian listrik sederhana ini masih sangat dangkal. Skripsi ini hanya


91

membahas tentang analisis rangkaian planar dengan menggunakan analisis

loop, analisis jaring untuk rangkaian yang tidak mengandung sumber arus, dan

analisis simpul untuk rangkaian yang tidak mengandung sumber tegangan.

Penulis berharap ada pembahasan lebih lanjut mengenai aplikasi matriks

dalam mencari penyelesaian rangkaian pada listrik pada rangkaian yang lebih

kompleks. Misalnya untuk rangkaian yang mengandung sumber tegangan dan

sumber arus secara bersama-sama, rangkaian non planar, maupun rangkaian

yang tersusun atas elemen pasif yang lain (kapasitor dan induktor).

Penulis juga berharap ada pembahasan tetang aplikasi matriks pada ilmu

yang lain untuk memperkaya pengetahuan.


92

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear. Jakarta: Erlangga.

Ayres, Frank. 1989. Teori dan Soal-soal Matriks (Versi S1/Metrix). Jakarta:

Erlangga.

Bruardi, Richard A. & Cvetcovic, Dragos. 2009. A Combinatorial Approach to

Matrix Theory and It’s Applications. Taylor & Francis Group, LLC.

Hayt, William H., Jr. & Jack E. Kemmerly. 1990. Rangkaian Listrik. Jakarta:

Penerbit Erlangga.

Hayt, William H., Jr., Jack E. Kemmerly, & Steven M. Durbin. 2005. Rangkaian

Listrik. Jakarta: Erlangga.

Imrona, Mahmud. 2009. Aljabar Linear dasar. Jakarta: Erlangga.

Jain, S. K. & A. D. Gunawardena. 2004. Linear Algebra An Interactive Approach.

USA: Brooks/ Cole Thomson Learning.

Leon, Steven J. 1999. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Jakarta: Erlangga.

Pipes, L. A and Harvill, L. R. (3rd

edition) Applied Mathematics for Enginers and

Physicsts. Tokyo: Mc Graw Hill.

Sears, F. W. & M. W. Zemansky. 1963. Fisika untuk Universitas II. Bandung:

Penerbit Dhiwantara.

Zukhri, Zainudin. 2007. Analisis Rangkaian Edisi 2. Yogyakarta: Graha Ilmu.


PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/8482/1/091414045_Full.pdfA. Latar...

Documents

Transcript of PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIrepository.usd.ac.id/8482/1/091414045_Full.pdfA. Latar...