Operasi Aljabar Matriks1

Matriks dan Ruang Vektor

Definisi : Bila A.B = B.A = I, maka A dan B saling inversNotasi invers A adalah A-1

Sifat-sifat Matriks InversJika A dan B non singular, atau invertibel, maka:A.B juga non singular

Matriks Invers

3

( . )AB 1 = B .A-1 -1

A matriks bujur sangkar, maka :

An = A.A.A. .. A n faktor

A 0 = I

A A An n = A = A .. A n faktor-1 -1 -1. .1 1

A 1 1 = A

4

p A A. . 1 1 = p = 1 / p A-1 -1

A An m. = A n + m

An m = A n.m

Contoh : A =1 23 4

A = ?-1

AA. 1 =I

5

Misalkan A

1 = a bc d

1 23 4

a bc d

= 1 00 1

1 00 1

= 4d3b 4c3a

2db 2ca

a+2c = 1 b+2d = 03a+4c= 0 3b+4d= 1a+2c =1 x2 2a+4c =23a+ 4c=0 x1 3a+4c =0 -

-a =2

a = -2

3a + 4c =04c = -3

6

4)2(3

43

ac

211

23c

b+2d =0 x2 2b+4d =03b+4d =1 x1 3b+4d =1 -

-b = -1

b = 1

7

1/2- 1/2 1 1 2-

= d cb a

= 1A

b + 2d = 0.

2d = -b

21

21

2

bd

atau8

A1 = 1/ A /

adj (A)

A

1 4 = 1

-2 - 2

-3 1

- 1

24 - 2-3 1

- 2 1 1 1 / 2 -1 / 2

Di mana |A|= 1x4-2x3 = -2

1. Rumus penyelesaian Matriks Invers

2.

3.

9

A A. 1 = I

-1OBE A / I I / A

A1 = 1/ A /

adj (A).

Matriks Transpose

Matriks transpose diperoleh dengan menukar elemen-elemen baris men-jadi elemen-elemen kolom dan se-baliknya.Contoh :

Transpose dari A adalah :

10

6 5 43 2 1

= A

6 35 24 1

- At

Sifat-sifat matriks transpose1. 2.3.4.

Contoh pembuktian sifat matriks transpose :

11

A = ttA A + B = A Bt t t

(p . A) = p . A t t

A . B = B At t t.

2 41 3

4 13 2

= BdanA

Maka

Pembuktian sifat 1:

Pembuktian sifat 2 :

12

2 14 3

4 31 2

= A t tBdan

At

4 13 2

4 31 2

= A tt

6 45 5

6 54 5

)(,6 54 5

2 41 3

4 13 2

= BAt

tBAmaka

13

6 45 5

2 14 3

4 31 2

= BA tt

Terbukti bahwa ttt BABA )(

Contoh pembuktian sifat 3 :

20 155 10

20 515 10

)5(,20 515 10

4 13 2

5=A 5t

tAmaka

20 155 10

4 31 2

5= A5 t

Terbukti bahwa

Contoh pembuktian sifat 4 :

14tt AA 5)5(

9 198 18

81 16362 126

2 41 3

4 13 2

=B. A

9 819 18

B).(Aaka tm

Terbukti bahwa

Sifat matriks bujur sangkar A

15

9 819 18

81 62163 126

4 31 2

2 14 3

.t tAB

ttt ABBA .).(

A + At adalah symetric A - At adalah skew symetric

3. A dapat ditulis sebagai jumlah dari suatu

matriks symetric B = 1/2 dan suatu

matriks skew symetric C = 1/2

Soal Latihan :

Tentukan Transpose Suatu Matriks dibawah ini !

16

)A + ( tA)A - ( tA

1.

2.

3.

17

.....:,1101 32021

=

tAmakaA

.....:,

01-42103-14-3 01-2-1-10

=

tAmakaA

.....:,1 0 32 1 2

=

tAmakaA

Matriks Eselon dan Matriks Eselon tereduksi

Definisi : disebut matriks tereduksi bila memenuhi :1. Bila ada baris yang tak semua nol, maka

elemen pertama yang 0 harus bilangan 12. Elemen pertama yang 0 pada baris

dibawahnya harus disebelah kanan 13. Baris yang semua nol harus pada bagian

bawah (baris-baris bawah)

18

A = adj m x m

Matriks Eselon (Eliminasi Gauss)

19

0000000000001000002100003210004321005432 1 06543 2 1

Matriks Eselon Tereduksi (Eliminasi Gauss Jordan):

20

0000000000001000000100000010000001000000 1 00000 0 1

Contoh Matriks Eselon

Contoh Matriks Eselon Tereduksi

21

1 2 40 1 70 0 1

1 0 00 1 00 0 1

Operasi Baris Elementer (OBE)

Definisi : bij = menukar baris ke i dengan baris ke jbi(p) = mengalikan baris ke i dengan pbij (p) = bi + p.bj

Ganti baris ke i dengan baris baru yang merupakan baris ke i ditambah dengan baris ke j yang dikalikan dengan p.

22

Contoh :23

1 44

4

2 34 5 60 5 7

b 5 6

1 2 30 5 7

b 4 5 63 6 90 5 7

b

b b b12 2(3)23

2 2 3

( )

.

4 5 63 26 370 5 7

b2 = 3 6 94b3 = 0 20 28

+3 26 37

Matriks Elementer dan sifat-sifatnya :

Definisi :A nxn disebut matriks elementer, bila dengan sekali melakukan OBE terhadap In di peroleh Anxn

Contoh :

24

I = 1 0 00 1 00 0 1

E = 1 0 00 5 00 0 1

3b2

( )5b

32 I =

1 0 00 1 00 0 1

( / )1 5

25 I = 1 0 00 1 00 0 1

= 0 1 01 0 00 0 1

3b12

E b3

12 I = 1 0 00 1 00 0 1

I = 1 0 00 1 00 0 1

bb b b

E = 1 0 00 1 00 4 1

332

3 3 2

( ).

44

bb b b

I = 1 0 00 1 00 0 1

32

3 3 23

( )( )

44

E = Matriks elementer, maka E.A = matriks baruyang terjadi bila OBE tersebut dilakukan padamatriks A

A OBE = E.A= [I ]AOBE

Contoh :26

2 14 3

4 32 1

-A 12b

I = 1 00 1

E = 0 11 02

b12

2 14 3

= 4 32 1

0 11 0

=E.A

Setiap Matriks Elementer adalah matriks tak singular.Invers matriks elementer juga matriks elementer.I OBE Emaka E-1 juga elementerCara penyelesaian invers matriks dengan OBE.

27

(AI) OBE (I A-1)

Contoh 1:

Solusi :

28

?:,4 32 1

= 1

AmakaA

)21(b(-3)b 2

21 13-2- 0012 1

104 3012 1

21

2111 0

12-0 1

21

2111 0

012 1 (-2)b12

Jadi29

21-

211

1 2- = 1A

Contoh 2 :

Solusi :

30

?,88268 266 2

1

BmakaB

(B I) OBE ( I B-1)

31

1 0 0

0 1 0

0 0 1

)2(b

)2(b)2/1(b

31

211

1 0 0 8 8 20 1 0 6 8 2

0 0 1/2 3 3 1

1 0 0 8 8 20 1 0 6 8 20 0 1 6 6 2

32

)2(b

)3(b)2/1(b

32

122

1 0 1- 2 2 00 1/2 1/2- 0 1 00 0 1/2 3 3 1

1 0 1- 2 2 00 1 1- 0 2 00 0 1/2 3 3 1

)2/1(b

21

3 1 1- 0 2 0 0

0 1/2 1/2- 0 1 00 1- 2 3 0 1

)3(b

21

21

21

21

21

13 - 0 1 0 0

0 - 0 1 00 1- 2 3 0 1

33

10 0 0 2 0 -1 1 0 - 0

0 0 1 0 -

12

12

1212

12

I3 B-1

Jadi

21

21- 0

0 21

21-

211- 0 2

= B 1-

Matriks yang tidak mempunyai inversContoh :

34

3 2 11 1- 22 1 1

B

23

31

21

1 0 1- 1 1 00 1 2- 3- 3- 00 0 1 2 1 1

1 0 0 3 2 1

0 1 0 1 1- 20 0 1 2 1 1

)1(b

)2(bb

35

3 1 5- 0 0 01 0 1- 1 1 01- 0 2 1 0 1

0 1 2- 3- 3- 01 0 1- 1 1 00 0 1 2 1 1

)3(

)1(

32

12

b

b

Sebelah kiri bukan matriks identitas, maka Matriks B tak mempunyai invers.

Soal latihan :1) Cari invers matriks dari

2) Cari invers matriks dari

36

A = 2 1 1-1 2 1 1 -1 2

A = 3 4 -11 0 32 5 - 4