POLINOMIAL TAK TEREDUKSI

Kelompok 8 :Esterlina Yessyindah

Jufridho AkhyarPenny Charity LRVeemona Esther

Definisi 1

Andaikan adalah suatu daerah integral. Misalkan dengan atau bukan satuan di . Polinomial dikatakan tak tereduksi atas jika bilamana dinyatakan sebagai hasil kali dengan , , maka atau adalah satuan di yang tidak tak tereduksi atas dikatakan tereduksi atas

Lanjutan

perhatikan bahwa kasus adalah suatu lapangan, maka unsur satuan di adalah unsur-unsur tak nol yang berada di . Sehingga suatu polinomial tak konstan dengan adalah suatu lapangan dikatakan tak tereduksi atas jika dan hanya jika tidak dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua polinomial di dengan derajat yang lebih rendah. Kedua, perhatikan bahwa definisi di atas menyatakan konsep tak tereduksi atas suatu darah integral atau atas suatu lapangan . Sehingga suatu polinomial mungkin saja tak tereduksi atas satu daerah integral tertentu, tetapi tereduksi atas suatu daerah integral yang lain,

Contoh 1

Polinomial adalah tak tereduksi atas lapangan bilangan rasional , tetapi tereduksi atas daerah . Perhatikan bahwa jika dituliskan dalam bentuk , maka salah satu atau merupakan unsur satuan di , yang berarti tak tereduksi atas . Sebaliknya pada gelanggang polinomial . Karena , maka tereduksi di .

Contoh 2Polinomial tak tereduksi atas lapangan tetapi tereduksi atas lapangan . Dalam gelanggang polinomial , maka tidak dapat dinyatakan dalam bentuk dengan dan berderajat rendah dari . Sehingga tak tereduksi atas . Tetapi dalam gelanggang polinomial , polinomial dapat dinyatakan sebagai dengan dan bukan unsur satuan di . Sehingga tereduksi atas .

Teorema 1Andaikan adalah suatu lapangan dan misalkan adalah suatu polinomial berderajat 2 atau 3. tereduksi atas jika dan hanya jika mempunyai akar di .Bukti :Andaikan adalah suatu polinomial tereduksi berderajat 2 atau 3. Bila dinyatakan sebagai, maka salah satu dari polinomial atau mestilah berderajat 1. Tanpa kehilangan keumuman, pembuktian misalkan adalah polinomial berderajat 1. Maka adalah akar dari .

Lanjutan

Akibatnya, . Yakni mempunyai akar di .Andaikan sebaliknya mempunyai akar di . Misalkan adalah akar dari , maka menurut Akibat yaitu Andaikan adalah suatu lapangan, dan misalkan dan . Unsur a adalah pembuat nol dari jika dan hanya jika adalah factor dari . dapat dinyatakan sebagai . Jadi adalah polinomial tereduksi atas .

Contoh 3Perhatikan polinomial . Maka

Sehingga tidak mempunyai akar di . Menurut Teorema 5.3.4 tak tereduksi atas . Sebaliknya polinomial adalah tereduksi atas , karena . Sehingga dapat dinyatakan sebagai . Dengan menggunakan pembagian panjang diperoleh .Berikut ini kita akan mendiskusikan kriteria-kriteria polinomial tereduksi atas gelanggang bilangan bulat .

Defenisi 2Andaikan adalah suatu polinomial di .Isi dari didefenisikan sebagai pembagi persekutuan terbesar dari Suatu polinomial dikatakan primitip jika isi dari adalah 1.

Contoh 4Isi dari polinomial adalah 2, karena pembagi persekutuan terbesar dari 6,4,10,18 adalah 2. Sementara isi dari polinomial adalah 1. Sehingga adalah primitip.

Lemma 1

Bila adalah polinomial primitip, maka adalah primitip.

BuktiKita akan membuktikan lemma ini dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan dan adalah polinomial primitip dan misalkan adalah bukan primitip. Misalkan adalah suatu prima yang membagi isi . Misalkan dan masing-masing adalah polinomial yang diperoleh dari dan dengan koefisien merupakan sisa hasil bagi koefisien, dan dengan . Jadi, dan . Selanjutnya perhatikan bahwa . karena membagi isi dari , maka semua koefisien adalah kelipatan dari . Hal ini berakibat bahwa yang mengakibatkan atau . Hal ini berarti bahwa isi dari atau isi dari adalah primitip. Jadi, adalah primitip.

Teorema 2

Andaikan Jika tereduksi atas , maka tereduksi atas .

BuktiAndaikan Misalkan dengan tanpa kehilangan keumuman pembuktian kita dapat mengasumsikan bahwa adalah primitip. Jika tidak primitip, maka kita dapat membagi koefisien dari dan dengan isi dari . Misalkan adalah kelipatan persekutuan terkecil dari semua penyebut koefisien dari dan adalah kelipatan persekutuan terkecil dari semua penyebut koefisien dari Maka . Misalkan dan masing-masing isi dari . Maka dan dengan , dan karena adalah primitip, maka isi dari adalah . Hal ini berakibat bahwa isi dari adalah selanjutnya perhatikan bahwa karena dan masing-masing adalah isi dari dan h(x), maka dan adalah primitip. Lemma 5.3.8 menjamin bahwa dan adalah primitip, dan akibatnya isi dari adalah primitip. Jadi, dan , yakni tereduksi atas .

Teorema 3Andaikan adalah suatu bilangan prima dan misalkan adalah suatu polinomial berderajat paling sedikit . Misalkan adalah polinomial yang diperoleh dari dengan mereduksi koefisien modulo. Jika tak tereduksi atas dan derajat sama dengan derajat maka tak tereduksi atas .

BuktiKita buktikan teorema ini dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan adalah tereduksi atas. Maka menurut teorema 2 juga tereduksi atas . Sehingga dapat dinyatakan sebagai dengan serta derajat lebih kecil dari derajat misalkan masing-masing adalah polinomial yang diperoleh dari dan dengan mereduksi koefisien ke modulo . Hal ini berakibatkan = . Perhatikan bahwa derajat dari lebih kecil atau sama dengan derajat dari , demikian juga halnya hubungan antara derajat dengan . Karena derajat sama dengan derajat , maka derajat lebih kecil dari derajat . Tetapi hal ini berarti adalah tereduksi atas . Jadi tak tereduksi atas .

Contoh 5Perhatikan polinomial

Kita akan memperlihatkan bahwa bahwa tak tereduksi atas . Menurut Teorema 3, kita cukup mencari suatu bilangan prima sehingga tak tereduksi atas . Bila , maka . Tetapi dan , sehingga tereduksi atas . Akibatnya kita tidak dapat menggunakan teorema 3. Sekarang kita tinjau untuk . Maka dan derajat sama dengan derajat . Karena , , dan , tak tereduksi atas . Akibatnya tak tereduksi atas .

Teorema 4

Andaikan dan misalkan adalah suatu bilangan prima. Bila tidak membagi membagi , dan tidak membagi , maka ) adalah tak tereduksi atas .

BuktiMenurut Teorema 2 cukup diperlihatkan bahwa adalah tak tereduksi atas . Andaikan sebaliknya bahwa tereduksi untuk atas , kita berharap akan memperoleh suatu kontradiksi. Misalkan

dengan dan . Karena membagi = dan tidak membagi = , maka membagi salah satu dari atau tetapi tidak membagi keduanya. Tanpa kehilangan keumuman pembuktian misalnya membagi tetapi tidak membagi . Selanjutnya, karena tidak membagi , maka tidak membagi dan juga tidak membagi. Hal ini berakibat terdapat suatu bilangan bulat positif terkecil, sehingga tidak membagi . Sekarang kita perhatikan koefisien dari , dengan

Karena proses pemilihan , maka membagi dan membagi dengan . Hal ini berakibat bahwa tidak membagi dan tidak membagi . Sehingga adalah tak tereduksi atas .

Akibat 5

Bilaadalah suatu bilangan prima, maka polinomial siklotomikΦp (x) = = + + ... + 1Adalah tak tereduksi atas lapangan bilangan rasional

BuktiUntuk memperlihatkan hal di atas, perhatikan polinomial

atau

Untuk bilangan prima p, kriteria Einstein dipenuhi oleh polinomial Sehingga adalah tak tereduksi atas .

Selanjutnya, bila adalah tereduksi atas dan , yakni , maka bertentangan dengan kenyataan bahwa adalah tak tereduksi. Jadi polinomial adalah tak tereduksi atas .