Post on 19-Jun-2015
description
By:Siti Khotijah
Pengantar
Dua matriks itu dikatakan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan jika elemen-elemen yang bersesuaian sama.
•aij: elemen matrix A pada baris ke-i dan kolom ke-j.•Untuk sebuah matriks persegi A dengan ordo nn, diagonal utamanya adalah:
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a
A
a
Jadi, A = B if aij = bij.
Penjumlahan
Jadi, jika , maka ij ij ijC A B c a b
Misal A dan B adalah dua matriks yang berukuran
sama.
Hasil penjumlahan dari A + B adalah matriks
yang diperoleh dari penjumlahan elemen-elemen
yang bersesuaian dari A dan B.
Matriks A + B akan menjadi matriks yang
berukuran sama seperti matriks A dan B.
Jika A dan B tidak berukuran sama, mereka tidak
dapat dijumlahkan, dan kita katakan bahwa hasil
penjumlahannya tidak ada.
1 4 7 2 5 6 5 4
0 2 3 3 1,
8 2 7, .
Misalkan dan A B C
Tentukan A + B dan A + C, Jika hasil penjumlahannya ada.
Penyelesaian:
1 2 4 5 7 6
0 3 2 1 3
1 4 7 2 5 6
0 2 3 3 1
8
3 9 1
3 1 1
( )
1
1
.
8 A B
(2) Karena A adalah matriks 2 3 dan C adalah sebuah matriks 2 2, mereka bukan matriks yang berukuran sama, maka A + C tidak ada.
Perkalian Skalar
Jadi, jika , maka ij ijB cA b ca
Misalkan A adalah sebuah matriks dan c adalah
sebuah skalar. Perkalian skalar dari A dengan c,
dinyatakan dengan cA, adalah matriks yang
diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari A
dengan c. Matriks cA akan menjadi berukuran sama
seperti A.Contoh 3
1 2 4
0.
7 3
Misalkan A
3 1 3 ( 2) 3 4
3 7 3 ( 3) 33 .
3 6 1
10
2
2 9 0A
Perhatikan bahwa A dan 3A keduanya merupakan matriks 2 3.
Jika B adalah sebuah matriks, maka –B akan menyatakan hasil
kali (-1)B. Jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama,
maka
A – B = A + (–1)B
Contoh 4
5 0 2 2 8 13 6 5 0 4 6 .
Andaikan dan A
5 2 0 8 2 ( 1) 3 8 1
3 0 6 4.
5 6 3 2 1 1
A B
Perkalian
11 1 2 2
1
2
2 i iij i j i j i in
j
j
n
j
nj
n
a a a
b
c a b a b bb
b
a
Misalkan bilangan yang menyatakan banyaknya kolom sebuah matriks A sama seperti bilangan yang menyatakan banyaknya baris sebuah matriks B. Maka hasil kali AB itu ada.
Jika bilangan yang menyatakan banyaknya kolom A tidak sama dengan banyaknya bilangan yang menyatakan banyaknya baris B, kita katakan bahwa hasil kalinya tidak ada.
Misalkan A: matriks mn, B: matriks nk,Hasil kali matriks C = AB yang elemen-elemennya
C adalah sebuah matriks mk.
6 2 55 0 1
3
1 3
2 0, , .
, ,
2 6
,
Misalkan dan
Tentukan dan jika hasil kalinya ada.
A B C
AB BA AC
51 3
2
0
60
1
3 2AB
(1 5) (3 3) (1 0) (3 ( 2)) (1 1) (3 6)
(2 5) ( 3) (2 0) (0 ( 2)) (2 1) (0 6)
14 6 1
10.
0 2
0
9
1 3 1 3 1 3
2 0 2 0 2
5 0 1
3 2 6
5 0 10
3 2 6
BA dan AC tidak ada.
Penyelesaian:
Catatan: Secara umum, AB BA.
2)14()23(1243
2 11 0
Misalkan 7 0 dan .3 5
3 2
A B
50233
123
50073
107
50123
112
5301
230712
AB
103
0751
1006300075032
23c
Tentukan AB.
105
237 and 4312 BA
Contoh 7
Misal C = AB, Tentukan c23.
Jika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah sebuah matriks r n, maka AB akan menjadi sebuah matriks m n.
A
m r
B
r n
= AB
m n
Contoh 8
Jika A adalah sebuah matriks 5 6 dan B adalah matriks 6 7. Karena A mempunyai 6 kolom dan B mempunyai 6 baris. Jadi, AB itu ada. Dan AB akan menjadi matriks 5 7.
Sebuah matriks nol adalah sebuah matriks yang semua elemen-elemennya nol. Matriks diagonal adalah sebuah matriks yang semua elemen yang bukan pada diagonal utama adalah nol. Matriks identitas adalah sebuah matriks diagonalyang semua elemen pada diagonal utama adalah 1.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
matriks nol
mn0
11
22
0 0
0 0
0 0
matriks diagonal Ann
A
a
a
a
1 0 0
0 1 0
0 0 1
matriks identitas
nI
Matriks Khusus
Beberapa Sifat MatriksMisalkan A adalah matriks m n dan 0mn adalah matriks nol m n. Misalkan B adalah sebuah matriks persegi n n. 0n dan In adalah matriks nol dan matriks identitas matriks n n. Maka
A + 0mn = 0mn + A = AB0n = 0nB = 0n
BIn = InB = BContoh 9 2 1 3 2 1
Misalkan dan .4 5 8 3 4
A B
23
2 1 3 0 0 0 2 1 3
4 5 8 0 0 0 4 5 8A A
0
2 2
2 1 0 0 0 0
3 3 0 0 0 0B
0 0
2
2 1 1 0 2 1
3 4 0 1 3 4BI B
Misalkan A, B, dan C adalah matriks dan a, b, and c adalah skalar. Asumsikan bahwa ukurannya adalah sama seperti operasi yang dapat dibentuk.Sifat penjumlahan matriks dan perkalian skalar1. A + B = B + A Sifat komutatif pada penjumlahan2. A + (B + C) = (A + B) + C Sifat asosiatif pada penjumlahan3. A + 0 = 0 + A = A (Dimana 0 adalah matriks nol)4. c(A + B) = cA + cB Sifat distributif pada penjumlahan5. (a + b)C = aC + bC Sifat distributif pada penjumlahan6. (ab)C = a(bC)
Misalkan A, B, dan C adalah matriks dan a, b, dan c adalah skalar. Asumsikan bahwa ukurannya adalah sama seperti operasi yang dapat dibentuk.Sifat-sifat Perkalian Matrix Multiplication1. A(BC) = (AB)C Sifat asosiatif pada perkalian2. A(B + C) = AB + AC Sifat distributif pada perkalian3. (A + B)C = AC + BC Sifat distributif pada perkalian4. AIn = InA = A (Dimana In adalah matriks identitas)5. c(AB) = (cA)B = A(cB)Catatan: bentuk umum AB BA. Perkalian pada matriks tidak berlaku sifat komutatif.
Sifat-sifat Secara Aljabar
15
201873
5431
.5964
115584273031
CBA
1 3 3 7 0 2Misalkan , , dan .
4 5 8 1 5 1A B C
Contoh 10
A+B=B+A
.)()( ijijijijijij ABabbaBA Berdasarkan pada elemen ke-(i,j) matriks A+B dan B+A:
A+B=B+A
Bukti
.1131112
201310
1321
AB
.19
014
1131112)(
CAB
41 2 0 1 3
Misalkan , , dan 1 .3 1 1 0 2
0
A B C
Hitung ABC.
Penyelesaian(1) (AB)C
(2) A(BC)
4
1
014
201310BC
.19
41
1321)(
BCA
Facebook : Citzy Fujiezchy Twitter: @citzyfujiezchy
Skype : Citzy.fujiezchy Instagram : citzyfujiezchy