Post on 04-Jan-2016
description
MATRIKSMATRIKS
DEFINISI MATRIKSMATRIKS
Bentuk umumA=(aij) ,i= 1,2,...m J=1,2,...m a11 a12……a1n baris 1 a21 a22…..a2n baris 2 Am1 am2…amn baris m
Kolom n Kolom 2 Kolom 1
Matriks di atas mempunyai m buah baris dan n buah kolom maka dikatakan ukuran matriks tersebut adalah (mxn).
Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom)
Kesamaan dua matriksDua buah matriks A=(aij) dan B=(bij) dikatakan sama A=B, jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku aij=bij.
1 2 4
2 1 3A =
1 2 4
2 1 3B =
1 2 2
2 1 3C =
2 1 2
2 1 3D =
1 2 4
2 2 2E =
x 2 4
2 2 2F =
2 2 2
4 5 6
9 0 7
G = H =
? ? ?
? ? ?
? ? ?
A = B
C ≠ D
E = F jika x = 1
G = H2 2 2
4 5 6
9 0 7
Contoh penjumlahan matriks:
Operasi pada Matriks
1. Penjumlahan / Pengurangan Syarat = kedua matriks tersebut berukuran sama
A + B 1 2
6 3
2 4
6 3 A = B =
+ = 3 6
+ = 6 12
PENGURANGAN MATRIKS
A - B 1 2
6 3
2 4
6 3 A = B =
- = -1 -2
- = 00
2. Perkalian scalar terhadap matriks Jika λ suatu scalar dari A=(aij) maka λ A diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan λ
Contoh:
1/2-03/2
7/22/32A
2
1
3-09
219123A maka
1-03
734A
3. Perkalian MatriksDua buah matriks A&B dapat dikalikan jika:Jumlah kolom matriks pertama (A) sama dengan jumlah baris matriks kedua (B).Misal. A(mxn) dan B(nxp), C=AxB maka C(mxp).
CBApxmpxnnxm
A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n
B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,p
C=(cik) dengan i=1,2,3,…,m dan k=1,2,3,…,p
Maka :A x B = (aij) x (bjk)=(cik)
Contoh:
1 3
5 0
0
1 2 A
B
2
4
1
2 1 0
= =
A x B =
-4
4
x + x + x = 9
1 3
5 0
2
4
1 3
5 0
2
4
0
1 2
1
2 1 0
-4
4
x + x + x = 16
x + x + x = 3
1 2 3
0 4 5
x x x
x x x
x x x
+
+
++
+
+ =
=
=
13
8
14
1
4
0
-4
2
1
1 2 3
0 4 5
0
1
2
0
1
2
Transpose
Definisi:Transpose mariks A adalah matriks AT dimana kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A.
4 2 6 7
5 3 -9 7
A = AT = A’ =
4 5
2 3
6 -9
7 7
Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT
berukuran ……
[AT]ij = [A]ji n x m
Sifat-sifat transpose matriks
A AT (AT)T
(AT )T = A
1.Transpose dari A transpose adalah A:
4 2 6 7
5 3 -9 7
4 5
2 3
6 -9
7 7
4 5
2 3
6 -9
7 7
= A
Contoh:
Sifat-sifat transpose matriks2. (A+B)T = AT + BT
A+B
(A+B)T
T
BT
B
T
A
T
AT
=
=
+
+
Sifat-sifat transpose matriks3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k
kA
(kA)T = k(A)T
A
T T
k
Sifat-sifat transpose matriks4. (AB)T = BT AT
(AB)T
AB
T T
AB
T
=
AB = BTAT
Jenis Matriks Khusus1. Matriks bujur sangkar
Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom
Contoh
elemen diagonal utama3x3 2x2
012
1-31
210
, 21
02
2. Matriks NolAdalah matriks yang semua elemennya nol
2x2 3x3
3. Matriks DiagonalAdalah matriks yang semua elemen diluar diagonal utama adalah nolContoh:
400
020
001
000
000
00
00
4. Matriks IdentitasAdalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya semua=1Contoh:
5. Matriks SkalarAdalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama=KContoh:
6. Matriks Segitiga BawahAdalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diatas diagonal utama=0Contoh:
3I
100
010
001
200
020
002
311
022
001
7. Matriks Segitiga AtasAdalah matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah diagonal utama=0Contoh:
8. Matriks SimetrisAdalah matriks yang transfosenya sama dengan dirinya sendiri.(A=AT).Contoh:
340
412
021
A
340
412
021
A T
9. Matriks Anti SimetrisAdalah matriks yang transfosenya adalah negatifnya.Contoh:
10. Matriks Hermitian Adalah matriks yang transfose hermitiannya sama dengan dirinya sendiri
Contoh:
0142
1031-
43-01
211-0
A ,
0142
103-1
4-301-
2-1-10
A T
42
23A ,
42
23A T
i
i
i
i
11. Matriks Invers Misal A(nxn), B(nxn) dan berlaku AB=BA=I maka dikatakan B
invers dari A→B=A-1 atau A invers dari B→A=B-1
Contoh:
12. Matriks Komutatif Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku AB=BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain.
Contoh:
IBxAAxB
101
011
32-6
B ,
421
331
321
A
75
57
31
13
21
12AxB
75
57
21
12
31
13BxA
31
13B ,
21
12A
Transformasi Elementer
Yang di maksud Transformasi Elementer pada matriks adalah operasi sbb:
1. Bij : Pergantian baris ke i dengan baris ke j
2. Kij : Pergantian kolom ke i dengan kolom ke j
3. Bi(λ) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing dikalikan dengan skalar λ≠04. Ki(λ) : Elemen-elemen kolom ke j masing-masing dikalikan dengan skalar λ≠05. Bij(λ) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing ditambah dengan λ kali baris ke j6. Kij(λ) : Elemen-elemen kolom ke i masing-masing ditambah dengan λ kali kolom ke j
Contoh:
Di ketahui matriks , maka:
103
112
413
B
Matriks Ekivalen
Dua matriks A dan B dikatakan ekivalen(A ~B) jika matriks yang satu dapat di peroleh dari matriks yang lain dengan transformasi baris dan atau kolom.
Contoh:
B1203
1315B
1315
1203
K2303
1215K
2314
1203A
~12
~
)1(42
~
)1(12
1203
1315Bdan
2314
1203A
Adalah ekivalen karena:
Matriks Eselon
Setiap matriks yang bukan matriks nol dapat dirubahmenjadi matriks eselon dengan menggunakan “Transformasi Elementer”.
Matriks yang memenuhi bahwa elemen-elemen yang sekolom dengan setiap elemen tidak nol terkiri semuanya nol (kecuali elemen 1 terkirinya) disebut“ Matriks Eselon “.
Kondisi-kondisi matriks bentuk eselon baris dan eselon baris tereduksi:
1. Elemen pertama yang tidak nol adalah 1 (satu utama)
2. Satu utama baris berikutnya berada lebih kanan dari baris sebelumnya
3. Baris nol berada di paling bawah
4. Elemen di atas satu utama nol semua
1 0 2 4 0 1 3 6 0 0 1 0
1 0 2 40 0 1 60 1 0 0
1 0 2 4 0 1 3 6 0 0 1 0
0 1 6 0 0 10 0 0 1 0 60 0 0 0 1 50 0 0 0 0 0
1 0 2 40 0 0 00 1 6 0
1 0 2 40 1 6 00 0 0 0
1 0 2 4 0 3 1 6 0 0 1 0
1 0 2 40 0 1 60 0 0 1
Ya Tidak
Matriks dalam bentuk eselon baris (eb) dan eselon baris tereduksi (ebt)
Matriks yang memenuhi kondisi 1, 2, 3 disebut matriks berbentuk eselon baris.
Jika matriks memenuhi kondisi 1, 2, 3, 4, maka matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi.
**
* **
**
1 utamaSembarang nilai
Nol
**
* **
*
eselon baris. eselon baris tereduksi
Rank MatriksSetiap matriks dapat dijadikan matriks eselon atau eselon tereduksi dengan menggunakan transformasi elementer.
Jumlah elemen satu terkiri pada matriks eselon atau jumlah baris yang tidak sama dengan nol (tidak dapat di nolkan) pada matriks eselon disebut Rank Matriks.
462
231
321~
)1(21H
~
)2(31H
220
110
321~
)2(32H
000
110
321
Contoh :Tentukan rank matriks di bawah ini :
Jawab : 2
matrik eselonJadi rank matriks diatas adalah 2
462
231
321