Post on 19-Jun-2015
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
M a t r i k sM E N U
Pengertian Matriks
Notasi Dan Ordo Matriks
Macam Macam Matriks
Transpos Matriks
Kesamaan Dua Matriks
Penjumlahan Matriks
Pengurangan Matriks
Perkalian skalar Matriks
Perkalian Matriks
Pemangkatan Matriks
Soal dan solusi
Determinan Matriks Ordo 2
Detrminan Maatriks Ordo 3
Invers Matriks
Persamaan Matriks
Penerapan Matriks
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
Matriks
A. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks1. Pengertian Matriks Matriks adalah Susunan bilangan berbentuk persegipanjang
yang diatur pada baris dan kolom dan ditulis di dalam tanda kurung baik kurung biasa ( ) maupun kurung siku [ ].
Contoh Matriks :
10498
0165
3095
6642
atau
10498
0165
3095
6642
next
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
• Setiap bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks disebut elemen atau unsur matriks, dan setiap elemen matriks mempunyai tempat kedudukan masing-masing yang ditentukan oleh baris dan kolom.
Baris ke-1
Baris ke-2
Baris ke-3
Baris ke-3
Kolom ke-1
Kolom ke-2
Kolom ke-4
Kolom ke-3
4 adalah elemen pada baris ke-1 kolom ke-2 0 adalah elemen pada baris ke-2 kolom ke-3 8 adalah elemen pada baris ke-1 kolom ke-4 elemen pada baris ke-i kolom ke-j ditulis eij
10498
0165
3095
6642
Perhatikanlah contoh pada matriks berikut :
next
next
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
2. Notasi dan Ordo Matriks
Sebuah matriks diberi nama menggunakan huruf besar dan elemennya dinyatakan dengan huruf kecil. Jika A adalah sebuah matriks maka elemennya dinyatakan dengan aij yang artinya elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan i = 1, 2, 3,..., m dan j = 1, 2, 3, ..., n. Matriks A dapat dinotasikan dengan A = ( aij ).
jika sebuah matriks A terdiri dari m baris dan n kolom maka m x n menyatakan ukuran atau ordo dari matriks A dan dinyatakan dengan A m x n. Bentuk umum matriks A berordo m x n dapat dinyatakan sebagai berikut :
mnmm
n
n
ij
aaa
aaa
aaa
aAA
...
............
...
...
21
22221
11211Baris ke-1
Baris ke-2
Baris ke-m
Kolom ke-1
Kolom ke-2
Kolom ke-n
next
next
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
Contoh :
Matriks A terdiri dari 4 baris dan 4 kolom, maka ordo matriks A adalah 4 x 4 ditulis A4x4.
Elemen pada baris ke-3 kolom ke-2 = a32 = 6.
Elemen pada baris ke-2 kolom ke-4 = a24 = 3
Elemen pada baris ke-1 kolom ke-3 = a13 = 6
Elemen pada baris ke-4 kolom ke-1 = a41 = 3
Catatan : a13 dibaca “ a satu-tiga” bukan dibaca “ a tiga belas “
1243
0165
3095
6642
44xA
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
893
712
054
C
Diagonal utama
Diagonal samping
3. Macam-macam matriks
4532 A
0
3
2
B
Jenis Matriks Berdasarkan Banyak Baris dan Banyak Kolom1) Matriks Baris adalah matriks yang hanya memiliki 1 buah baris tapi banyak kolom.
Contoh :
2) Matriks Kolom adalah matriks yang memiliki banyak baris tetapi hanya memiliki 1 kolom.
3) Matriks Persegi adalah matriks yang memiliki banyak baris sama dengan banyak kolom. Matriks persegi berordo n x n disebut matriks persegi berordo n
Contoh :
Contoh : Matriks C adalah matriks persegi berordo 3
elemen pada diagonal utama adalah 4, 1, 8elemen peda diagonal samping adalah 3, 1, 0
next
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
b. Macam Macam Matriks Berdasarkan pada Pola Elemen
1. Matriks Nol (O) adalah matriks yang semua elemennya Nol (0).
contoh :
2. Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya Nol, kecuali elemen pada diagonal utama.
contoh :
3. Matriks Identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai 1.
contoh :
000
000
000
O
Elemen pada diagonal utama tidak nol
Semua elemennya bernilai 0
Semua elemen pada diagonal utama 1
500
020
003
D
100
010
001
I
next
next
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
4) Matriks Segetiga Atas (U) adalah matriks persegi yang semua elemen dibawah diagonal utamanya adalah 0 (nol).
Contoh :
5) Matriks Segetiga Atas (L) adalah matriks persegi yang semua elemen diatas diagonal utamanya adalah 0 (nol).
Contoh :
4. Transpos Suatu Matriks
Transpos dari matriks A adalah suatu matriks baru yang dinyatakan dengan At atau A/ dan elemen-elemennya adalah elemen matriks A dengan cara menukar elemen-elemen baris pada matriks A menjadi elemen-elemen pada metriks At.
Contoh :
Elemen dibawah diagonal utama adalah nol
Elemen diatas diagonal utama adalah nol
8
4
5
7
3
4
6
2
3
5
1
2
B
8
7
6
5
4
3
2
1
5
4
3
2
tB
200
050
131
U
228
053
006
L
next
next
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
5. Kesamaan dua Matriks
Matriks A = ( aij ) dikatakan sama dengan matriks B = ( bij ) jika dan hanya jika :
a. Matriks A dan matriks B memiliki ordo yang sama; danb. Semua elemen yang seletak sama atau aij = bij untuk semua i dan j
Matriks A sama dengan Matriks B dinotasikan dengan A = B.
Contoh :
Diketahui matriks
Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B dan Semua elemen yang seletak dari matriks A dan B bernilai sama, sehinga A = B.
62523222
121064
xx
xxB dan A
next
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
B. Operasi Hitung Matriks
1. Penjumlahan Matriks
Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan apabila ordo matrkis A sama dengan ordo matriks B.
Hasil penjumlahan matriks A dan matriks B adalah matriks baru yang berordo sama baik dengan matriks A maupun dengan matriks B.
Hasil penjumlahan matriks A dan matriks B diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B.
Dua buah matriks yang ordonya tidak sama tidak dapat dijumlahkan.
Contoh :
Diketahui matriks
103
485
342
A
136
234
343
Bdan matriks
A + B = + =
=
103
485
342
136
234
343
)1(13063
24)3(845
334432
039
6119
085
next
next
next
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
Sifat-sifat Penjumlahan Matriks
Untuk matriks A, B, C, D, dan O yang berordo sama berlaku sifat-sifat :a. Sifat Komutatif : A + B = B + Ab. Sifat Assosiatif : A + ( B + C ) = ( A + B ) + Cc. Terdapat matriks identitas penjumlahan O sehingga A + O = O + A = A d. Untuk setiap matriks A terdapat lawan matriks A yang diberi notasi – A.
Matriks lawan A (– A) adalah matriks yang semua elemennya sama dengan elemen matriks A, tapi berlainan tanda.Matriks – A disebut juga invers aditif atau invers penjumlahan sehingga berlaku A + (– A) = (– A) + A = O.
Jika
103
485
342
A Maka invers aditif dari A adalah
103
485
342
A
Karena berlaku A + (– A) = (– A) + A = O
e. Transpos jumlah dua matriks sama dengan jumlah transpos dua matriks :
( A + B )t = At + Bt
next
next
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
2. Pengurangan Matriks
Dua buah matriks A dan B dapat dikurangkan apabila ordo matrkis A sama dengan ordo matriks B. Hasil pengurangan matriks A dan matriks B adalah matriks baru yang berordo sama baik dengan matriks A maupun dengan matriks B. Hasil pengurangan matriks A dan matriks B diperoleh dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B. Dua buah matriks yang ordonya tidak sama tidak dapat dikurangkan.
Contoh 1 :
Diketahui matriks
103
485
342
A
136
234
343
Bdan matriks
A – B = – =
=
103
485
342
136
234
343
)1(13063
24)3(845
334432
233
251
601
next
next
next
next
next
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
Contoh 2 :
Diketahui matriks
103
485
342
A
136
234
343
Bdan matriks
B – A = – =
=
Dari contoh 1 dan contoh 2 di atas terlihat bahwa A – B ≠ B – A,
Pada pengurangan dua matriks tidak berlaku sifat kumutatif.
136
234
343
103
485
342
110336
42)8(354
334423
233
251
601
next
next
next
next
next
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
3. Perkalian Skalar Matriks
Jika B sebuah matriks dan k adalah bilangan real maka perkalian skalar matriks (kB) adalah matriks baru yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks B dengan bilangan real k.
Contoh :
Jika :
103
485
342
B
103485342
3
Dan k = 3
=
130333
43)8(353
)3(34323
xxx
xxx
xxx
=
309
122415
9126
Maka kB =
Sifat-sifat Perkalian Skalar Matriks : Untuk matriks A dan B berordo sama, dan k, l є bilangan real, berlaku : a. ( k + l ) A = kA + lA b. k( A + B ) = kA + kB c. k(l B ) = klB
next
next
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
5. Perkalian MatriksPerhatikan illustrasi berikut :
A m x n B n x r = C m x r
Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan dalam bentuk AB apabila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B yaitu n. Andaikan hasil kali AB adalah C maka ordo C adalah m x r.
Untuk menentukan elemen matriks C yaitu cij perhatikan illustrasi berikut :
Jika diketahui matriks A 3x3 dan matriks B 3x3 maka :
AB =
=
C =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
333323321331323322321231313321321131
332323221321322322221221312321221121
331323121311321322121211311321121111
bababababababababa
bababababababababa
bababababababababa
next
next
next
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
Teknik Mengalikan Dua Buah Matriks
a be f
g h
a.e + b.g a.f + b.h
1. Perkalian matriks ordo 1 x 2 dan matriks ordo 2 x 2
Perhatikanlah tayangan berikut !
Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri !
2 3
4 5
6 7
2.4 + 3.6 2.5 + 3.7
Contoh :
=
= 8+ 18 10+ 21
= 26 31
=
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
Teknik Mengalikan Dua Buah Matriks
a b
c d
e f
g h
a.e + b.g a.f + b.h
c.e + d.g c.f + d.h
2. Perkalian matriks ordo 2 x 2 dan matriks ordo 2 x 2
Perhatikanlah tayangan berikut !
Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri !
=
Contoh
-1.3 + 2.2 -1.-3 + 2.-4
-2.3 + 3.2 -2.-3 + 3.-4=
-1 2
-2 3
3 -3
2 -4
1 -5
0 -6=
next
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
3. Perkalian matriks ordo 3 x 2 dan matriks ordo 2 x 3
Perhatikanlah tayangan berikut !
a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23
a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22 a31b13 + a32b23
Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri !
a11 a12
a21 a22
a31 a32
b11 b12 b13
b21 b22 b23
Teknik Mengalikan Dua Buah Matriksnext
next
next
next
next
next
next
next
next
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
4. Perkalian matriks ordo 3 x 3 dan matriks ordo 3 x 3
Perhatikanlah tayangan berikut !
a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22+ a13b32a11b13 + a12b23 + a13b33
a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22+ a23b32a21b13 + a22b23 + a23b33
a31b11 + a32b21 + a33b31 a31b12 + a32b22+ a33b32a31b13 + a32b23 + a33b33
Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri !
Teknik Mengalikan Dua Buah Matriksnext
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
30238
463714
24197
62451826
30162512104
121210943
Contoh 1 :
Diketahui matriks
CD =
=
1
5
2
6
4
3
C dan matriks Maka :
= =
6
4
5
3
2
1D
6
4
5
3
2
1
1
5
2
6
4
3
)6)(1()4)(6()5)(1()3)(6()2)(1()1)(6(
)6)(5()4)(4()5)(5()3)(4()2)(5()1)(4(
)6)(2()4)(3()5)(2()3)(3()2)(2()1)(3(
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
81515
5567
17134
)1(093012609
)4()16(1512242024)32(15
386)9()12(8)18(166
Contoh 2 :
Diketahui matriks
AB =
=
103
485
342
A
136
234
343
dan matriks Maka :
103
485
342
)1)(1()2)(0()3)(3()3)(1()3)(0()4)(3()6)(1()4)(0()3)(3(
)1)(4()2)(8()3)(5()3)(4()3)(8()4)(5()6)(4()4)(8()3)(5(
)1)(3()2)(4()3)(2()3)(3()3)(4()4)(2()6)(3()4)(4()3)(2(
= =
136
234
343
B
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
Diketahui matriks
54
32C dan matriks
Tentukanlan hasil perkalian CD dan DC !
98
76D
Contoh 3 :
Penyelesaian :
CD =
54
32
98
76=
45284024
27142412=
7364
4136
DC =
98
76
54
32=
45243616
35182812=
6952
5340
Dari contoh di atas ternyata CD ≠ DC. Berarti perkalian dua matriks tidak bersifat komutatif.
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
Sifat-sifat Operasi Matriks
Untuk setiap matriks A, B, dan C serta k ϵ R, dimana semua hasil kali
dan jumlah terdefinisi. Maka berlaku sifat-sifat operasi matriks berikut :
a. Antikomutatif : AB ≠ BA
b. Assosiatif : A(BC) = (AB)C
c. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC
A(B – C) = AB – AC
d. Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA
(B – C)A = BA – CA
e. Assosiatif : k(AB) = (kA)B = A(Kb)
f. Terdapat matriks Identitas I, sehingga IA = AI = A
g. Jika AB = O belum tentu A = O atau B = O
h. Jika AB = AC belum tentu B = C
i. Jika At adalah transpos dari A dan Bt adalah transpos dari B, maka
berlaku (AB)t = BtAt
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
5. Pemangkatan matriks
Perhatikan bentuk berikut :A2 = A AA3 = A A A = A A2
A4 = A A A A = A A3
Dengan demikian pemangkatan matriks harus memenuhi syarat perkalian matriks, oleh karena itu pemangkatan matriks hanya berlaku pada matriks persegi.
Contoh :
.54
32
ADiketahui matriks Tentukanlah A2 dan A3 !
Penyelesaian :
A2 = A A =
54
32
54
32 =
2512208
156124 =
3728
2116
A3 = A A2 =
54
32
3728
2116 =
1858414064
111428432 =
269204
153116
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
Soal – soal dan pembahasan
1. Nilai a + b + c yang memenuhi persamaan matriks
32
21
ac
ac
23=
cb
a
916
48
cb
a
52
6– Adalah....
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 (UN 2009/2010)
Penyelesaian :
32
21
ac
ac
23=
cb
a
916
48
cb
a
52
6–
=
5a = 10 → a = 2
7c = 7a → c = a = 2
14b = 7c → 2b = c → 2b = 2 → b = 1
Jadi nilai a + b + c = 2 + 1 + 2 = 5 ( d )
cb
a
414
107
ac
ac
47
57
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
Contoh soal penjumlahan dan pengurangan matriks:
1. Diketahui matriks ,15
3
y
A ,63
5
x
B dan .9
13
yC
Jika A + B – C = ,4
58
x
xNilai x + 2xy + y adalah ....
a. 8 b. 12 c. 18 d. 20 e. 22 ( UN 2008/2009)
Penyelesaian :
A + B – C = ,4
58
x
x↔
15
3 y+
63
5x–
9
13
y= ,
4
58
x
x
↔
42
46
y
yx= ,
4
58
x
x
6 + x = 8 → x = 2
y + 6 = 5x → y + 6 = 5(2) → y = 10 – 6 = 4 atau y didapat dari
2 – y = - x → 2 – y = - 2 → 2 – y = - 2 → - y = - 4 → y = 4
Jadi nilai x + 2xy + y = 2 + 2.2. 4 + 4 = 22 (e)
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
Contoh soal :
1. Diketahui matriks dan .
Jika A = B maka a + b + c = ....
a.-7 b.-5 c.-1 d.5 e.7 ( Ujian Nasional 2009/2010)
Penyelesaian :
935
316
484
c
b
a
A
95
316
4812
b
aB
3a = - 3b ............................................ (2)
Dari (1) didapat : 4a = 12 a = 3
Substitusi a = 3 ke (2) : 3(3) = - 3b 9 = - 3b b = - 3 Substitusi b = - 3 ke (3) : 3c = - 3 c = - 1 Jadi nilai a + b + c = 3 +(- 3) +(- 1)
= - 1 ( C )
A = B
Dari kesamaan matriks diatas diperoleh :4a = 12 ........................................... (1)
3c = b ...............................................(3)
935
316
484
c
b
a
95
316
4812
b
a
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
Contoh soal perkalian skalar matriks:
1. Diketahui matriks ,32
42
cbA dan ,
7
1232
ba
abcB
Jika Bt adalah tranpos dari B maka nilai c yang memenuhi A = 2Bt adalah....
a.2 b. 3 c. 5 d. 8 e. 10 (UM-UI 2009)
Penyelesaian
,32
42
cbA ,
7
1232
ba
abcB ,
712
32
ba
abcB t
A = 2Bt ↔
cb 32
42= ,
712
322
ba
abc
↔ =
2a = 4 → a = 2
2b = 4a + 2 → 2b = 4.2 + 2 → 2b = 10 → b = 5
3c = 2b + 14 → 3c = 2.5 + 14 → 3c = 24 → c = 8 (d)
cb 32
42,
14224
264
ba
abc
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
dc
ba
C. Determinan dan Invers Matriks
1. Determinan MatriksSebuah matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilagan yang disebut determinan matriks. Determinan matriks A dinotasikan dengan det. (A) atau IAI. a. Determinan Matriks Berordo 2 x 2
jika ,
dc
baA Maka determinan matriks A adalah
Det. (A) = IAI = = a.d – b.c
contoh :
1) jika ,74
32
A maka det.(A) = IAI
=74
32= 2.7 – 3.4 = 2
2) jika ,22
13
B maka det.(B) = IBI
= 22
13 = 6 + 2 = 8
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
b. Determinan Matriks Ordo 3 X 3
jika
ihg
fed
cba
A maka determinan matriks A dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut :
Det. (A) = IAI =
a b c a b
d e f d e
g h i g h
=
+
a.e.i
+
+
b.f.g
+
+c.d.h
+
–
–c.e.g
–
–
–
b.d.i
–a.f.h
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
contoh :
1. Jika
935
316
484
A
maka tentukanlah nilai dari det. (A) dan det. (B) !
Penyelesaian :
Det. (A) =
= 4.(- 1).9 + 8.(- 3).5 + 4.6.3 - 4.(- 1).5 - 4.(- 3).3 - 8.6.9
= - 36 - 120 + 72 + 20 + 36 - 432= - 450
dan
230
312
201
B
Det. (B) =
35
16
84
= 2 + 0 – 12 – 0 + 9 – 0 = – 1
935
316
484
230
312
201
30
12
01
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
c. Jenis – jenis Matriks Menurut Nilai Determinannya
Berdasarkan pada nilai determinan, matriks persegi A ada 2 jenis yaitu :1. Matriks Non singular, yaitu matriks yang nilai determinannya tidak
sama dengan nol (det.A ≠ 0)
2. Matriks Singular, yaitu matriks yang nilai determinannya sama dengan nol (det.A = 0)
d. Sifat- sifat Determinan Matriks
Jika A dan B adalah matriks persegi, maka berlaku sifat- sifat berikut :
1. Det. (A) = det. (At)
2. Det.(kA) = k2 det. (A)
3. Det.(AB) = det.(A) .det.(B)
4. Det.(An) = (det.(A))n
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
Contoh soal dan pembahasan sifat-sifat determinan matriks
1. Diketahui matriks ,21
13
A tentukanlah :
a. Det (A2)
b. (Det.A)2
c. Apakah Det (A2) = (det.A)2
penyelesaian :
a. Det (A2) = 8.3 – ( - 5 ).5 = 24 + 25 = 49
A2 = A A =
21
13
21
13=
4123
2319=
35
58
,21
13
A Maka det.A = 3.2 – (- 1 ).1 = 6 + 1 = 7
b. (Det (A))2 = 72 = 49
c. (Det (A))2 = Det (A2) = 49
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
2. Invers Matriks
a. Pengertian Invers Matriks
Misalkan matriks A dan matriks B adalah matriks persegi dengan ordo sama, serta memenuhi hubungan AB = BA = I maka dikatakan A dan B adalah dua matriks yang saling invers atau saling berkekebalikan. Matriks B disebut invers perkalian dari matriks A dan diberi lambang A–1. Matriks A disebut invers perkalian dari matriks B dan diberi lambang B–1.Contoh :
Jika dan,31
52
A maka
,
21
53
B
IAB
10
01
21
53
31
52IBA
10
01
31
52
21
53dan
Invers dari matriks A adalah A–1 =
21
53B
Dan Invers dari matriks B adalah B–1 =
31
52A
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
b. Rumus Invers Matriks
dc
baAJika maka invers matriks A adalah
1. Rumus Invers Matriks Ordo 2
a. Jika det. (A) = 1 maka
ac
bdA 1
b. Jika det. (A) = – 1 maka
ac
bdA 1
c. Jika det. (A) = 0 maka A tidak memiliki invers.
,).(det
11
ac
bd
AA
dengan det.(A) = ad – bc , dan secara khusus :
Contoh 1 :
Jika
75
43A Maka det.(A) = 3.7 – 4.5 = 1
Sehingga
35
471A
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
Contoh 2 :
Jika
58
23B maka det.(B) = 3.5 – 2.8 = –1, sehingga
38
251B
84
63C
Contoh 3 :
Jika maka det.(C) = 3.8 – 4.6 = 0, sehingga 1C tidak ada
Contoh 4 :
Jika
62
83D maka det.(D) = 3.(–6) – (–8).2 = –18 + 16 = –2 ,
sehingga
ac
bd
DD
).(det
11
32
86
2
11D
231
43
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
2. Rumus Invers Matriks Ordo 3 ( pengayaan )
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
c. Sifat-sifat Invers Matriks
Jika A dan B adalah matriks persegi non singular yang berordo sama,
maka berlaku sifat-sifat berikut :
1) AA–1 = A–1A = I
2) (AB)–1 = B–1A–1
3) (A–1)–1 = A
4) (An)–1 = (A–1)n dengan n = 0, 1, 2, 3, ...
5) (kA)–1 =
6) (At)–1 = (A–1)t
7) ( kA–1)n = kn(A–1)n
11 Ak
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
d. Soal dan Pembahasan
Jika diketahui matriks
31
52A dan
52
21B
Tentukanlah :
1. A–1 2. B–1 3.(AB)–1 4. B–1A–1 5. (kA)–1 6. 7.(At)–1 8. (A–1)t
serta k = 2
11 Ak
Penyelesaian :
1.
31
52A det. (A) = 6 – 5 = 1, sehingga
21
531A
2.
52
21B det. (B) = – 5 + 4 = –1 , sehingga
12
251B
3.
1772912
5221
3152
AB det.(AB) = –204 + 203 = –1,
127
29171ABsehingga
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
1272917
2153
122511 AB4.
Dari no 3 dan 4, ternyata ( AB )–1 = 11 AB
5.
62104
3152
2 kA det.(kA) = 24 – 20 = 4, sehingga
21
53
2
1
42
106
4
1)( 1kA
6.
21
53
2
111 Ak
Dari no 5 dan 6, ternyata ( kA )–1 =11 Ak
7.
31
52A →
35
12tA det.(At) = 6 – 5 = 1→
25
131tA
21
531A8. →
25
131 tA
Dari no. 7 dan 8, ternyata ( At )–1 = (A–1)t
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
3. Persamaan Matriks
Perhatikan bentuk persamaan matriks berikut :
1. AX = B, dan
2. XA = B
Jika A adalah matriks persegi yang mempunyai invers yaitu A–1 maka
berlaku hubungan sebagai berikut :
1. AX = B
A–1 AX = A–1B
IX = A–1B
X = A–1B
2. XA = B
XA A–1 = BA–1
XI = BA–1
X = BA–1
RUMUS
RUMUS
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
Contoh 1 :
Diketahui matriks
35
12A dan
65
52B Tentukanlah :
a. Matriks X jika AX = Bb. Matriks X jika XA = B
Penyelesaian :
a. AX = B → X = A–1B
35
12A → det. (A) = 6 – 5 = 1 →
25
131A
X = A–1B =
25
13
65
52
130
91
b. XA = B → X = BA–1
X = BA–1 =
25
13
65
52
1315
819
next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012
D. Penggunaan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear
1. Sistem Persamaan linear dengan Dua Variabel Perhatikan sistem persamaan linear dengan dua variabel berikut ini :
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Dapat diubah menjadi persamaan matriks sebagai berikut :
a1x + b1y
a2x + b2y
x
y=
c1
c2
↔a1 b1
a2 b2
=c1
c2
A X B
A X = B ↔ X = A–1 B
next