Modul ke:

Fakultas

Program Studi

Logika MatematikaHimpunanModul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasidasar himpunan.

Tedjo Nugroho, ST. MTILMU KOMPUTER

Sistem Informasi

www.mercubuana.ac.id

Outline :

• Definisi himpunan• Notasi Himpunan• Operasi-operasi dasar himpunan• Sumber Pustaka

HimpunanHimpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikansecara jelas dalam sembarang urutan atau keberurutanobjek-objek anggotanya tidak diperhatikan. Objek-objekitu disebut elemen-elemen atau anggota-anggotahimpunan.

Jika himpunan A memiliki x sebagai anggotanya makadapat dituliskan sebagai x Є A, dibaca “x adalahanggota himpunan A” atau “x adalah elemen darihimpunan A”. Jika objek y bukan elemen atau anggotahimpunan A maka dapat ditulis y A.

Notasi Himpunan• Himpunan dinyatakan dengan huruf besar : A, B, C, D,

…. Sedangkan elemen-elemen dalam suatu himpunandinyatakan dengan huruf kecil : a, b, c, d, …

• Contoh:1. Himpunan A terdiri atas bilangan 2, 4, 6, 8 maka

dapat dituliskan sebagai A = {2, 4, 6, 8}; elemen-elemen didaftarkan dengan dipisah tanda koma (‘ , ’) dan dalam tanda kurung kurawal { }.

2. Himpunan B adalah himpunan bilangan genappositif, maka dapat dituliskan B = {x І x genap > 0}

Cara Penulisan HimpunanTerdiri atas 4 cara, yaitu:1. Enumerasi, dengan menyebutkan semua (satu per satu) elemen himpunan.

Contoh : A = {1,2,3,4,5}B = {mangga, pepaya, sirsak,melon}

2. Notasi khusus himpunan atau symbol standar.Contoh : P = Himpunan bilangan integer positif = {1,2,3,…}Q = Himpunan bilangan natural = {0,1,2,…}Z = Himpunan bilangan rasional = {…, -2,-1,0,1,2, …}

Cara Penulisan Himpunan3. Notasi pembentuk himpunan, menyebutkan sifat atau syarat

keanggotaan himpunan.Contoh:B = {x І x ≤ 5, x Є A}

Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan himpunan: - Bagian di kiri tanda ‘І’ melambangkan elemen himpunan- Tanda ‘І’ dibaca sebagai dimana atau sedemikian sehingga. - Bagian di kanan tanda ‘І’ menunjukkan syarat keanggotaan

himpunan.- Setiap tanda ‘ , ’ dibaca sebagai dan

Cara Penulisan Himpunan4. Diagram Venn, dengan menggambarkan keberadaan himpunan terhadap himpunanlain. Himpunan Semesta (S) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkanhimpunan lain digambarkan sebagai lingkaran.

Contoh : S = {1,2,3,…,7,8}A = {1,2,3,5}B = {2,5,6,8}

Atau dengan area himpunan:

S

1 2 6

4 3 5 8 7

S A B

1 2 3

Himpunan Area

A 1,2

B 2,3

A ∩ B 3

A ∪ B 1,2,3

Himpunan Semesta

Himpunan Semesta atau Semesta Pembicaraanbiasanya diberi symbol S atau U mengandungsemua anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan S disebut himpunan semesta darihimpunan A, jika setiap anggota yang ada di A terdapat dalam S.

Himpunan Kosong

• Adalah suatu himpunan yang tidak mempunyaianggota.

• Notasi himpunan kosong adalah { } atau Ø.

• Contoh:E = {x І x2 = 9, x genap}, maka E = Ø; karena

n(E) = 0.

Himpunan Berhingga dan Tak Hingga

• Himpunan berhingga: suatu himpunan yang banyakanggotanya (yang berbeda) berhingga.Contoh: Himpunan nama hari dalam seminggu.Himpunan bilangan asli kurang dari 10.

• Himpunan tak hingga: suatu himpunan yang banyakanggotanya tak berhingga.Contoh:A = {x І x bilangan asli}A = {x І x bilangan bulat}

Operasi-Operasi Dasar Himpunan• Union (Gabungan)

Union himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua elemenyang termasuk dalam A atau B atau keduanya. Union tersebut dapatdinyatakan sebagai : A ∪ BContoh:A = {a, b, c, d} dan B = {e, f, g}, maka A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g}.Union A dan B dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut:A ∪ B = {x І x Є A atau x Є B}Berlaku hukum : A ∪ B = B ∪ A

Sub Himpunan:A dan B keduanya selalu berupa subhimpunan dari A ∪ B, yaitu :A ⊂ (A ∪ B) dan B ⊂ (A ∪ B)

Operasi-Operasi Dasar Himpunan

• Intersection/Irisan (perpotongan)Irisan himpunan A dengan himpunan B adalah himpunan dari

elemen-elemen yang dimiliki bersama oleh A dan B, yaituelemen-elemen yang termasuk di A dan juga termasuk di B.Irisan dinyatakan dengan : A ∩ B dibaca A irisan B, atau A ∩ B = {x І x Є A dan x Є B}

Setiap subhimpunan A dan subhimpunan B mengandung A ∩ Bsebagai subhimpunan, yaitu :(A ∩ B ) ⊂ A dan (A ∩ B ) ⊂ B

Operasi-Operasi Dasar Himpunan

• Relative Complement/SelisihSelisih antara himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya hanya menjadi anggota himpunan A tetapi tidaktermasuk anggota himpunan B.Notasi: A – B

Contoh: A = {SQL server, MySQL, MsAcces}B = {MySQL, MsAcces, Oracle}Maka: A-B = {SQL server}

Operasi-Operasi Dasar Himpunan

• KomplemenKomplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan yanganggotanya bukan anggota A. dengan kata lain komplemen Aadalah himpunan yang anggotanya merupakan hasil dari U – A.• Notasi : Ac , A’Contoh: U = {Win3.1, Win3.11, Win95, Win97, Win98, Win98SE, WinME, Win2000, WinXP}A = {Win3.1, Win3.11, Win95, Win97}B = {Win98, Win98SE, WinME, Win2000, WinXP}Maka,Ac = {Win98, Win98SE, WinME, Win2000, WinXP

Operasi-Operasi Dasar Himpunan

• Beda Setangkup (Symmetric Difference)Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunanyang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak padakeduanya.• Notasi : A ⊕ Β =(A ∪ B) – (A ∩ B )

• Perkalian Kartesian (Cartesian Product)Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan B.Notasi : A x B ={(a,b) І a Є A dan b Є B}.

Contoh soal 1:

Nyatakan himpunan berikut ini denganmenuliskan semua anggotanya denganmenuliskan sifat-sifatnya:• A=Himpunan Bilangan bulat antara 1 dan 5• B=Himpunan yang anggotanya adalah kucing,

meja, buku, air.• C=himpunan bilangan real yang lebih besar

dari 1.

Contoh Soal 1

Jawaban:• Cara menuliskan himpunan dengan kedua cara

adalah sbb:

Dengan Menuliskan anggota-anggotanya Dengan menuliskan sifat-sifatnyaA = {1,2,3,4,5} A={xЄ Bulat І 1 ≤ x ≤ 5}

B = {kucing, meja, buku, air}B tidak bisa dinyatakan dengan cara menuliskan sifat-sifatnya karena tidak ada sifat yang sama diantara anggota-anggotanya.

C tidak bisa dinyata-kan dengan menuliskan anggota-anggotanya karena jumlah anggota C tak berhingga banyak.

C={x Є Riil І x . 1}

Contoh soal 2

Diketahui A={x Є R І -1 < x < 0} dan B={x Є R І 0 <x ≤ 1}.Tentukan himpunan:a. A ∪ Bb. Ac - Bc

Contoh soal 2Jawaban:a. Himpunan A dan B dapat dinyatakan pada gambar dibawah. Maka A ∪ B

= {x Є R І -1 < x ≤ 1 dan x ≠ 0}.

b. Perhatikan gambar dibawah. Ac = {x Є R І x ≤ -1 atau x ≥ 0} dan Bc = {x Є R І x ≤ 0 atau x > 1}. Sehingga: Ac - Bc = {x Є R І 0 < x ≤ 1}

Latihan soal

1. Gambarkan himpunan-himpunan berikut dengan diagram venn:

a. A ∪ (B ∩ Cc )b. (A ∪ B) c ∪ C2. Daerah 1 mengekspresikan himpunan Ac ∩ Bc ∩ Cc . Tentukanhimpunan-himpunan yang mengekspresikan daerah 2 s/d 8.

Latihan Soal3. Diketahui: U = {1,2,3,…,10}.

A = {1,4,7,10}B = {1,2,3,4,5}C = {2,4,6,8}

Tentukan:a. B ∩ Cb. A – Bc. Ac

d. U – Ce. A ∪ Øf. B ∩ Øg. B ∩ Uh. A ∩ (B ∪ C)i. (A ∪ B) – Cj. A ∩ B ∪ C

Sumber Pustaka

1. Afidah Khairunnisa, “Matematika Dasar”, Rajawali Pers, Jakarta, 2015.2. Jong Jek Siang,”Logika Matematika”, ANDI, Yogyakarta, 2014.3. Jong Jek Siang,”Matematika Diskrit & Aplikasinya Pada Ilmu Komputer”, ANDI, Yogyakarta, 2002.4. Rinaldi Munir,”Matematika Diskrit”, Informatika, Bandung, 2005.5. Samuel Wibisono,”Matematika Diskrit”, Graha Ilmu, Yogyakarta, 2008.6. Yusuf Yahya, “Matematika Dasar Perguruan Tinggi”, Ghalia Indonesia, Jakarta, 2013.

Terima KasihTedjo Nugroho, ST. MT