Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi...
Transcript of Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi...
![Page 1: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/1.jpg)
Modul ke:
Fakultas
Program Studi
Logika MatematikaHimpunanModul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasidasar himpunan.
Tedjo Nugroho, ST. MTILMU KOMPUTER
Sistem Informasi
www.mercubuana.ac.id
![Page 2: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/2.jpg)
Outline :
• Definisi himpunan• Notasi Himpunan• Operasi-operasi dasar himpunan• Sumber Pustaka
![Page 3: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/3.jpg)
HimpunanHimpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikansecara jelas dalam sembarang urutan atau keberurutanobjek-objek anggotanya tidak diperhatikan. Objek-objekitu disebut elemen-elemen atau anggota-anggotahimpunan.
Jika himpunan A memiliki x sebagai anggotanya makadapat dituliskan sebagai x Є A, dibaca “x adalahanggota himpunan A” atau “x adalah elemen darihimpunan A”. Jika objek y bukan elemen atau anggotahimpunan A maka dapat ditulis y A.
![Page 4: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/4.jpg)
Notasi Himpunan• Himpunan dinyatakan dengan huruf besar : A, B, C, D,
…. Sedangkan elemen-elemen dalam suatu himpunandinyatakan dengan huruf kecil : a, b, c, d, …
• Contoh:1. Himpunan A terdiri atas bilangan 2, 4, 6, 8 maka
dapat dituliskan sebagai A = {2, 4, 6, 8}; elemen-elemen didaftarkan dengan dipisah tanda koma (‘ , ’) dan dalam tanda kurung kurawal { }.
2. Himpunan B adalah himpunan bilangan genappositif, maka dapat dituliskan B = {x І x genap > 0}
![Page 5: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/5.jpg)
Cara Penulisan HimpunanTerdiri atas 4 cara, yaitu:1. Enumerasi, dengan menyebutkan semua (satu per satu) elemen himpunan.
Contoh : A = {1,2,3,4,5}B = {mangga, pepaya, sirsak,melon}
2. Notasi khusus himpunan atau symbol standar.Contoh : P = Himpunan bilangan integer positif = {1,2,3,…}Q = Himpunan bilangan natural = {0,1,2,…}Z = Himpunan bilangan rasional = {…, -2,-1,0,1,2, …}
![Page 6: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/6.jpg)
Cara Penulisan Himpunan3. Notasi pembentuk himpunan, menyebutkan sifat atau syarat
keanggotaan himpunan.Contoh:B = {x І x ≤ 5, x Є A}
Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan himpunan: - Bagian di kiri tanda ‘І’ melambangkan elemen himpunan- Tanda ‘І’ dibaca sebagai dimana atau sedemikian sehingga. - Bagian di kanan tanda ‘І’ menunjukkan syarat keanggotaan
himpunan.- Setiap tanda ‘ , ’ dibaca sebagai dan
![Page 7: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/7.jpg)
Cara Penulisan Himpunan4. Diagram Venn, dengan menggambarkan keberadaan himpunan terhadap himpunanlain. Himpunan Semesta (S) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkanhimpunan lain digambarkan sebagai lingkaran.
Contoh : S = {1,2,3,…,7,8}A = {1,2,3,5}B = {2,5,6,8}
Atau dengan area himpunan:
S
1 2 6
4 3 5 8 7
S A B
1 2 3
Himpunan Area
A 1,2
B 2,3
A ∩ B 3
A ∪ B 1,2,3
![Page 8: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/8.jpg)
Himpunan Semesta
Himpunan Semesta atau Semesta Pembicaraanbiasanya diberi symbol S atau U mengandungsemua anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan S disebut himpunan semesta darihimpunan A, jika setiap anggota yang ada di A terdapat dalam S.
![Page 9: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/9.jpg)
Himpunan Kosong
• Adalah suatu himpunan yang tidak mempunyaianggota.
• Notasi himpunan kosong adalah { } atau Ø.
• Contoh:E = {x І x2 = 9, x genap}, maka E = Ø; karena
n(E) = 0.
![Page 10: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/10.jpg)
Himpunan Berhingga dan Tak Hingga
• Himpunan berhingga: suatu himpunan yang banyakanggotanya (yang berbeda) berhingga.Contoh: Himpunan nama hari dalam seminggu.Himpunan bilangan asli kurang dari 10.
• Himpunan tak hingga: suatu himpunan yang banyakanggotanya tak berhingga.Contoh:A = {x І x bilangan asli}A = {x І x bilangan bulat}
![Page 11: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/11.jpg)
Operasi-Operasi Dasar Himpunan• Union (Gabungan)
Union himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua elemenyang termasuk dalam A atau B atau keduanya. Union tersebut dapatdinyatakan sebagai : A ∪ BContoh:A = {a, b, c, d} dan B = {e, f, g}, maka A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g}.Union A dan B dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut:A ∪ B = {x І x Є A atau x Є B}Berlaku hukum : A ∪ B = B ∪ A
Sub Himpunan:A dan B keduanya selalu berupa subhimpunan dari A ∪ B, yaitu :A ⊂ (A ∪ B) dan B ⊂ (A ∪ B)
![Page 12: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/12.jpg)
Operasi-Operasi Dasar Himpunan
• Intersection/Irisan (perpotongan)Irisan himpunan A dengan himpunan B adalah himpunan dari
elemen-elemen yang dimiliki bersama oleh A dan B, yaituelemen-elemen yang termasuk di A dan juga termasuk di B.Irisan dinyatakan dengan : A ∩ B dibaca A irisan B, atau A ∩ B = {x І x Є A dan x Є B}
Setiap subhimpunan A dan subhimpunan B mengandung A ∩ Bsebagai subhimpunan, yaitu :(A ∩ B ) ⊂ A dan (A ∩ B ) ⊂ B
![Page 13: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/13.jpg)
Operasi-Operasi Dasar Himpunan
• Relative Complement/SelisihSelisih antara himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya hanya menjadi anggota himpunan A tetapi tidaktermasuk anggota himpunan B.Notasi: A – B
Contoh: A = {SQL server, MySQL, MsAcces}B = {MySQL, MsAcces, Oracle}Maka: A-B = {SQL server}
![Page 14: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/14.jpg)
Operasi-Operasi Dasar Himpunan
• KomplemenKomplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan yanganggotanya bukan anggota A. dengan kata lain komplemen Aadalah himpunan yang anggotanya merupakan hasil dari U – A.• Notasi : Ac , A’Contoh: U = {Win3.1, Win3.11, Win95, Win97, Win98, Win98SE, WinME, Win2000, WinXP}A = {Win3.1, Win3.11, Win95, Win97}B = {Win98, Win98SE, WinME, Win2000, WinXP}Maka,Ac = {Win98, Win98SE, WinME, Win2000, WinXP
![Page 15: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/15.jpg)
Operasi-Operasi Dasar Himpunan
• Beda Setangkup (Symmetric Difference)Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunanyang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak padakeduanya.• Notasi : A ⊕ Β =(A ∪ B) – (A ∩ B )
• Perkalian Kartesian (Cartesian Product)Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan B.Notasi : A x B ={(a,b) І a Є A dan b Є B}.
![Page 16: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/16.jpg)
Contoh soal 1:
Nyatakan himpunan berikut ini denganmenuliskan semua anggotanya denganmenuliskan sifat-sifatnya:• A=Himpunan Bilangan bulat antara 1 dan 5• B=Himpunan yang anggotanya adalah kucing,
meja, buku, air.• C=himpunan bilangan real yang lebih besar
dari 1.
![Page 17: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/17.jpg)
Contoh Soal 1
Jawaban:• Cara menuliskan himpunan dengan kedua cara
adalah sbb:
Dengan Menuliskan anggota-anggotanya Dengan menuliskan sifat-sifatnyaA = {1,2,3,4,5} A={xЄ Bulat І 1 ≤ x ≤ 5}
B = {kucing, meja, buku, air}B tidak bisa dinyatakan dengan cara menuliskan sifat-sifatnya karena tidak ada sifat yang sama diantara anggota-anggotanya.
C tidak bisa dinyata-kan dengan menuliskan anggota-anggotanya karena jumlah anggota C tak berhingga banyak.
C={x Є Riil І x . 1}
![Page 18: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh soal 2
Diketahui A={x Є R І -1 < x < 0} dan B={x Є R І 0 <x ≤ 1}.Tentukan himpunan:a. A ∪ Bb. Ac - Bc
![Page 19: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh soal 2Jawaban:a. Himpunan A dan B dapat dinyatakan pada gambar dibawah. Maka A ∪ B
= {x Є R І -1 < x ≤ 1 dan x ≠ 0}.
b. Perhatikan gambar dibawah. Ac = {x Є R І x ≤ -1 atau x ≥ 0} dan Bc = {x Є R І x ≤ 0 atau x > 1}. Sehingga: Ac - Bc = {x Є R І 0 < x ≤ 1}
![Page 20: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/20.jpg)
Latihan soal
1. Gambarkan himpunan-himpunan berikut dengan diagram venn:
a. A ∪ (B ∩ Cc )b. (A ∪ B) c ∪ C2. Daerah 1 mengekspresikan himpunan Ac ∩ Bc ∩ Cc . Tentukanhimpunan-himpunan yang mengekspresikan daerah 2 s/d 8.
![Page 21: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/21.jpg)
Latihan Soal3. Diketahui: U = {1,2,3,…,10}.
A = {1,4,7,10}B = {1,2,3,4,5}C = {2,4,6,8}
Tentukan:a. B ∩ Cb. A – Bc. Ac
d. U – Ce. A ∪ Øf. B ∩ Øg. B ∩ Uh. A ∩ (B ∪ C)i. (A ∪ B) – Cj. A ∩ B ∪ C
![Page 22: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/22.jpg)
Sumber Pustaka
1. Afidah Khairunnisa, “Matematika Dasar”, Rajawali Pers, Jakarta, 2015.2. Jong Jek Siang,”Logika Matematika”, ANDI, Yogyakarta, 2014.3. Jong Jek Siang,”Matematika Diskrit & Aplikasinya Pada Ilmu Komputer”, ANDI, Yogyakarta, 2002.4. Rinaldi Munir,”Matematika Diskrit”, Informatika, Bandung, 2005.5. Samuel Wibisono,”Matematika Diskrit”, Graha Ilmu, Yogyakarta, 2008.6. Yusuf Yahya, “Matematika Dasar Perguruan Tinggi”, Ghalia Indonesia, Jakarta, 2013.
![Page 23: Logika Matematika Himpunan - modul.mercubuana.ac.idNugroho+... · Modul ke: Fakultas Program Studi Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi](https://reader038.fdokumen.com/reader038/viewer/2022102514/5aca46f97f8b9aa1298d9880/html5/thumbnails/23.jpg)
Terima KasihTedjo Nugroho, ST. MT