Inference Rule himpunan logika

download Inference Rule himpunan logika

of 26

description

Inference Rule pada mata kuliah himpunan logika

Transcript of Inference Rule himpunan logika

  • Argumentasi Suatu argumentasi dalam logika proposes adalah suatu barisan pernyataan p1, p2, , pn, yang diakhiri dengan sebuah pernyataan q. Pernyataan-pernyataan p1, p2, , pn disebut premis atau hipotesa dan q disebut konklusi. Suatu argumentasi dikatakan absah (valid) atau berlaku, jika semua hipotesanya (premisnya) p1, p2, , pn bernilai benar mengakibatkan konklusinya q juga bernilai benar. Dengan perkataan lain, suatu argumentasi p1, p2, , pn, q adalah valid apabila

    ( p1 p2 pn) q. adalah sebuah tautology.

    1

  • Berikut ini diberikan sebuah teknik untuk membuktikan bahwa (p1 p2 pi pj1 pj pj+1 pk1 pk pk +1 pn) q adalah sebuah tautology. Tekniknya adalah membuat aturan-aturan yang memungkinkan dari satu premis pi atau dua premis pj dan pk (i, j, k = 1, 2, , n) dapat diperoleh proposisi baru r. Jika r adalah q, maka selesai sudah buktinya. Jika r bukan q, maka dibuktikan bahwa (p1p2 r pj1 pj pj+1 pk1 pk pk+1 pn) q adalah sebuah tautology, atau (p1p2 pi pj1 pj+1 pk1 pk +1 r pn) q adalah sebuah tautology. Aturan-aturan tadi disebut rule of inference. Rule of inference ini diperoleh dari kalimat logika proposisi yang absah (tautologi), yaitu kalimat implikasi yang valid.

    2

  • Contoh: Dari kalimat implikasi ( p ( p q )) q yang merupakan suatu tautologi, dapat dijadikan suatu rule of inference, dan diberi nama modus ponens, ditulis dalam bentuk

    pp q

    q

    Dari kalimat implikasi ( q ( p q )) p yang merupakan suatu tautologi, dapat dijadikan suatu rule of inference, dan diberi nama modus tollens, ditulis dalam bentuk

    qp q

    p

    3

  • Dari dua kalimat implikasi p p dan p p yang masing-masing merupakan tautologi, dapat dijadikan dua rule of inference, masing-masing diberi nama double negation introduction dan double negation elimination, ditulis dalam bentuk

    p

    p dan

    p

    p

    Beberapa rule of inference lainnya beserta kalimat tautologi yang bersangkutan dan namanya dapat dilihat pada Tabel 1.

    4

  • Tabel 1. Rule of Inference Nama Rule of Inference Kalimat Tautologi Bentuk Rule of Inference Addition atau Disjunction introductiom

    p ( p q ) pp q

    Simplification atau Conjunction eliminatiom

    ( p q ) p p qp atau

    p qq

    Conjunction introduction ((p) (q)) (p q) pq

    p q

    Modus ponens (p ( p q )) q

    pp q

    q

    5

  • Tabel 1. Rule of Inference (sambungan) Nama Rule of Inference Kalimat Tautologi Bentuk Rule of Inference

    Modus tollens q (p q)) p q

    p qp

    Hypotheticalsyllogism

    ((pq)(qr))(pr) p qq rp r

    Disjunctivesyllogism

    (( p q ) p ) q p q

    pq

    6

  • Tabel 1. Rule of Inference (sambungan) Nama Rule of Inference Kalimat Tautologi Bentuk Rule of Inference

    Resolution ((p q)(pr))(q r) p qp rq r

    Double negationintroduction

    p p

    pp

    Double negationelimination

    p p p

    p

    7

  • Contoh Aturan Addition atau Disjunction introduction Hari ini hujan. Maka dapat disimpulkan bahwa Hari ini hujan atau kita pergi ke pameran. Contoh Aturan Simplification atau Conjunction elimination (1) Hari ini hujan dan kita pergi ke pameran. Maka dapat disimpulkan bahwa Hari ini hujan. (2) Hari ini hujan dan kita pergi ke pameran. Maka dapat disimpulkan bahwa Kita pergi ke pameran.

    8

  • Contoh Aturan Modus Tollens (1) Jika n habis dibagi oleh 3, maka n2 habis dibagi oleh 9. n2 tidak habis dibagi oleh 9. Maka dapat disimpulkan bahwa n tidak habis dibagi oleh 3. (2) Jika hari hujan maka kita tidak jadi berlayar. Kita jadi berlayar. Maka dapat disimpulkan bahwa Hari tidak hujan. (3) Dari teori bilangan diketahui bahwa kalimat Jika n habis dibagi oleh 3, maka n2 habis dibagi oleh 9

    adalah true. Jadi, jika diketahui bahwa n habis dibagi oleh 3, maka berdasarkan modus ponens dapat disimpulkan bahwa n2 habis dibagi oleh 9.

    9

  • (4) Misalkan implikasi berikut adalah benar Jika hari hujan maka kita tidak jadi berlayar dan kebetulan hari hujan, maka berdasarkan modus ponens dapat disimpulkan bahwa kita tidak jadi berlayar.

    Contoh Aturan Hypothetical Syllogism Jika si A adalah mahasiswa UI angkatan 2007, maka si A mengikuti SPMB 2007. Jika si A mengikuti SPMB 2007, maka si A bisa berbahasa Inggris. Maka dapat disimpulkan bahwa Jika si A adalah mahasiswa UI angkatan 2007, maka si A bisa berbahasa Inggris.

    10

  • Contoh Aturan Disjunctive Syllogism (1) Hari ini hujan atau hari ini lalu lintas macet. Hari ini tidak hujan. Maka dapat disimpulkan bahwa Hari ini lalu lintas macet. (2) Hari ini hujan atau lalu lintas macet. Hari ini lalu lintas tidak macet. Maka dapat disimpulkan bahwa Hari ini hujan. Catatan: Meskipun ( p1 p2 pn) q valid, tidak selalu q bernilai true (kenapa?).

    11

  • Contoh: Tunjukkan bahwa argumentasi berikut adalah absah: Hipotesa: (i) It is not sunny this afternoon and it is colder than yesterday. (ii) We will go swimming only if it is sunny. (iii) If we do not go swimming, then we will take a canoe trip. (iv) If we take a canoe trip, then we will be home by sunset. Konklusi: We will be home by sunset.

    12

  • Solusi: Tuliskan argumentasi tersebut dalam logika proposisi. Misalkan p := It is not sunny this afternoon q := It is colder than yesterday r := We will go swimming s := We will take a canoe trip t := We will be home by sunset Maka hipotesa (i) menjadi p q, hipotesa (ii) menjadi r p, hipotesa (iii) menjadi r s, hipotesa (iv) menjadi s t. Jadi harus ditunjukkan bahwa apabila p q, r p, r s, dan s t bernilai benar maka konklusi t juga benar. Hal ini ditunjukkan sebagai berikut: 13

  • 1. p q hipotesa (i) 2. r p hipotesa (ii) 3. r s hipotesa (iii) 4. s t hipotesa (iv) 5. p simplification rule diterapkan pada step 1 6. (p) double negation introduction diterapkan pada step 5 7. r modus tollens diterapkan pada step 2 dan step 6 8. s modus ponens diterapkan pada step 3 dan step 7 9. t modus ponens diterapkan pada step 4 dan step 8. Jadi konklusinya, yaitu t, adalah benar. Catatan: Bandingkan terhadap bukti dengan tabel kebenaran.

    14

  • Contoh: Tunjukkan bahwa argumentasi berikut adalah absah: Hipotesa: (i) If you send me an email message, then I will finish writing the

    program. (ii) If you do not send me an email message, then I will go to sleep

    early. (iii) If I go to sleep early, then I will wake up feeling refreshed. Konklusi: If I do not finish writing the program, then I will wake up feeling refreshed.

    15

  • Solusi: Tuliskan argumentasi tersebut dalam logika proposisi. Misalkan p := you send me an email message q := I will finish writing the program r := I will go to sleep early s := I will wake up feeling refreshed Maka hipotesa (i) menjadi p q, hipotesa (ii) menjadi p r, hipotesa (iii) menjadi r s, konklusi q s. Jadi harus ditunjukkan bahwa apabila p q, p r, dan r s bernilai benar maka konklusi q s juga benar. Hal ini ditunjukkan sebagai berikut: 16

  • 1. p q hipotesa (i) 2. p r hipotesa (ii) 3. r s hipotesa (iii) 4. q p contrapositive dari step 1 5. q r hypothetical syllogism diterapkan pada step 4 dan step 2 6. q s hypothetical syllogism diterapkan pada step 5 dan step 3 Jadi konklusinya, yaitu q s, adalah benar.

    17

  • Contoh: Tunjukkan bahwa argumentasi berikut adalah absah: Hipotesa (i) (p q) r,

    (ii) r s, Konklusi p s. Solusi: 1. (p q) r hipotesa (i) 2. r s hipotesa (ii) 3. (p r) (q r) sifat distributif diterapkan pada step 1 4. r s sifat implikasi diterapkan pada step 2 5. p r simplification rule diterapkan pada step 3 6. r p sifat komutatif diterapkan pada step 5 7. p s resolution rule diterapkan pada step 6 dan step 4 Jadi konklusinya, yaitu p s, adalah benar.

    18

  • Contoh: Tunjukkan bahwa argumentasi berikut adalah absah: Hipotesa: (i) Jasmine is skiing or it is not snowing.

    (ii) It is snowing or Bart is playing hockey. Konklusi: Jasmine is skiing or Bart is playing hockey. Solusi: Tuliskan argumentasi tersebut dalam logika proposisi. Misalkan p := Jasmine is skiing q := it is snowing r := Bart is playing hockey Maka hipotesa (i) menjadi p q, hipotesa (ii) menjadi q r, konklusi p r, Jadi harus ditunjukkan bahwa apabila p q dan q r bernilai benar maka konklusi p r juga benar. Hal ini ditunjukkan sebagai berikut: 19

  • 1. p q hipotesa (i) 2. q r hipotesa (ii) 3. q p sifat komutatif diterapkan pada step 1 4. p r resolution diterapkan pada step 2 dan step 3 Rules of Inference untuk Kalimat Berkuantifikasi Selainnya Rule of Inference untuk kalimat-kalimat logika proposisi, terdapat pula Rule of Inference untuk kalimat-kalimat yang berkuantifikasi. Aturan-aturan tersebut dapat dilihat pada Tabel 2.

    20

  • Tabel 2. Rule of Inference untuk Kalimat Berkuantifikasi Nama Rule of Inference Universal instantiation ( )

    ( ) untuk sembarang elemen x P x

    P c c

    Universal generalization ( ) untuk sembarang elemen ( )

    P c cx P x

    Existential instantiation ( ) ( ) untuk suatu elemen x P x

    P c c

    Existential generalization ( ) untuk suatu elemen ( )

    P c cx P x

    21

  • Contoh. Tunjukkan bahwa argumentasi berikut adalah absah: Hipotesa: (i) Everyone in this class has taken a course in Mathematics. (ii) Marla is a student in this class. Konklusi: Marla has taken a course in Mathematics. Solusi: Tuliskan argumentasi tersebut dalam logika predikat. Misalkan K(x) := x is in this class M(x) := x has taken a course in Mathematics dengan domain untuk x adalah himpunan semua orang. Maka hipotesa (i) menjadi x (K(x) M(x)), hipotesa (ii) menjadi K(Marla), konklusi M(Marla).

    22

  • Jadi harus ditunjukkan bahwa apabila x (K(x) M(x)) dan K(Marla) bernilai benar maka konklusi M(Marla) juga benar. Hal ini ditunjukkan sebagai berikut: 1. x (K(x) M(x)) hipotesa (i) 2. K(Marla) hipotesa (ii) 3. K(Marla) M(Marla) universal instantiation diterapkan pada step 1 4. M(Marla) modus ponen diterapkan pada step 2 dan step 3 Jadi konklusinya, yaitu M(Marla), adalah benar.

    23

  • Contoh. Tunjukkan bahwa argumentasi berikut adalah absah: Hipotesa: (i) A student in this class has not read the book. (ii) Everyone in this class passed the first exam. Konklusi: Someone who passed the first exam has not read the book. Solusi: Tuliskan argumentasi tersebut dalam logika predikat. Misalkan K(x) := x is in this class R(x) := x has read the book P(x) := x passed the first exam dengan domain untuk x adalah himpunan semua orang.

    24

  • Maka hipotesa (i) menjadi x (K(x) R(x)), hipotesa (ii) menjadi x (K(x) P(x)),

    konklusi x (P(x) R(x)). Jadi harus ditunjukkan bahwa apabila x (K(x) R(x)) dan x (K(x) P(x)) bernilai benar maka konklusi x (P(x) R(x)) juga benar. Hal ini ditunjukkan sebagai berikut:

    25

  • 1. x (K(x) R(x)) hipotesa (i) 2. x (K(x) P(x)) hipotesa (ii) 3. K(a) R(a) existential instantiation diterapkan pada step 1 4. K(a) P(a) universal instantiation diterapkan pada step 2 5. K(a) simplification diterapkan pada step 3 6. R(a) simplification diterapkan pada step 3 7. P(a) modus ponen diterapkan pada step 4

    dan step 5 8. P(a) R(a) conjunction diterapkan pada step 7 dan step 6 9. x (P(x) R(x)) existential generalization diterapkan pada step 8 Jadi konklusinya, yaitu x (P(x) R(x)), adalah benar. 26

    Tabel 1. Rule of InferenceTabel 1. Rule of Inference (sambungan)Tabel 1. Rule of Inference (sambungan)Maka dapat disimpulkan bahwa n tidak habis dibagi oleh 3.Jika hari hujan maka kita tidak jadi berlayarContoh Aturan Disjunctive SyllogismHipotesa:It is not sunny this afternoon and it is colder than yesterdq :( It is colder than yesterdayr :( We will go swimmings :( We will take a canoe tript :( We will be home by sunsetHipotesa:If you send me an email message, then I will finish writing q :( I will finish writing the programr :( I will go to sleep earlys :( I will wake up feeling refreshedHipotesa: (i) Jasmine is skiing or it is not snowing.q :( it is snowingr :( Bart is playing hockey

    Tabel 2. Rule of Inference untuk Kalimat BerkuantifikasiHipotesa:Everyone in this class has taken a course in Mathematics.M(x) :( x has taken a course in MathematicsHipotesa:A student in this class has not read the book.R(x) :( x has read the book

    P(x) :( x passed the first exam