Instruktur : Ferry WahyuWibowo, S.Si., M.Cs.

LIMIT

Limit = Pendekatan

Berarti Limit Fungsi = Pendekatan Nilai Fungsi

Manfaatnya :

Untuk mentukan nilai fungsi yang memiliki nilai tak

Tentu seperti :

x 0 , - , ,

0

0

Dapat diselesaikan dengan :f(x) Limitax

)(Limitx

xf

A. Bentuk

1. Substitusi

2. Pemfaktoran

3. Perkalian sekawan

B. Bentuk Dapat diselesaikan dengan :

1. Pembagian pangkat tertinggi penyebut

2. Perkalian sekawan

)(Limitax

xf

25 E.

24 D.

23 C.

22 B.

21 A.

... )]13)(1[( Limit Hitunglah 2

2x

xx

BENTUK

25

5 x 5

1) - 2.3)(1(2 )]13)(1[(x Limit

)]13)(1[( Limit Hitunglah

22

2x

2

2x

x

xx

E.

2 D.

1 C.

2

1 B.

0 A.

...Limit0x xx

xx

101

01

1

1Limit

)1(

)1(LimitLimit

0x

0x0x

x

x

xx

xx

xx

xx

22 E.

2 D.

22

1 C.

2

1 B.

24

1 A.

.....22

Limit0x

x

xx

22

1

2

1

22

2

0202

2

22

2Limit

)22(

2

)22(

)2()2(Limit

22

2x2 x

22Limit

0x

0

0x

xx

xxx

x

xxx

xx

xx

x

x

xx

x

)(LimitBENTUK x

xf

0 g(x)

f(x)Limit

maka g(x)derajat f(x)derajat Jika 3.

- g(x)

f(x)Limit

maka negatif, bernilai f(x) inggi tert

pangkatkoefisien jika sebaliknya g(x)

f(x) Limit

maka positif, bernilai f(x) inggi tert

pangkatkoefisien dan g(x)derajat f(x)derajat Jika .2

g(x) dari rtinggipangkat tekoefisien

f(x) dari rtinggipangkat tekoefisien

g(x)

f(x) Limit

maka g(x)derajat f(x)derajat Jika 1.

:yaitu cara 3dengan an diselesaikdapat )(

)(Limit

x

x

x

x

x

xg

xf

3 E.

2 D.

1- C.

2- B.

3- A.

...8432

346LimitHitunglah

23

23

x

xxx

xxx

3- 2

6

g(x)

f(x) dari rtinggipangkat teKoefisien

1 E.

2

1 D.

0 C.

B.

- A.

...2

132Limit

2

x

x

xx

2

132Limit

2

x x

xx

Karena Derajat F(x) > derajat G(x) dan Koefisien pangkat

tertinggi F(x) bernilai Positif, maka

1 E.

D.

0 C.

1- B.

- A.

... 24

4234Limit

2

32

x

xx

xxx

-

24

4234Limit

2

32

x xx

xxx

1 E.

0 D.

C.

1- B.

- A.

... 53

143Limit

24

23

x

xxx

xxx

0 53

143Limit

24

23

x

xxx

xxx

Karena derajat f(x) < derajat g(x) maka

}5312{Limit 1.

iniberikut fungsiLimit Hitunglah

x

xx

qpx

qpx

bax

bax xqpx baxLimit jika Jadi

sekawanperkalian dengan dikalikan harusitu Soal

~x

1 E.

0 D.

~ C.

1- B.

~ - A.

}5312{Limit x

xx

~ - 5312

6Limit

5312

)53()12(Limit

5312

5312x x}5312{Limit

~x

~x

~x

xx

x

xx

xx

xx

xxx

})3)(1({Limit .2

}1123{Limit .1

x

22

x

xxx

xxxx

~ - limitnya maka p, a Jika 3.

~ limitnya maka p, a Jika .2

a2

q-b limitnya maka p, a Jika 1.

maka )rqxpxcbxax( Limit 22

x

1 E.

3

1 D.

0 C.

~ B.

~ - A.

}1123{Limit .1 22

x

xxxx

~adalah limitnya maka p, a Karena

2 E.

1 D.

0 C.

2

1 B.

2

1- A.

... })3)(1({Limitx

xxx

2

2

4

12

0 - 4

a2

q-b Limitnya maka p, a Karena

)5434x( Limit Hitunglah 22

xxxx

3 E.

2 D.

1 C.

0 B.

~ A.

2 4

8

42

)5(3

a2

q-badalah limitnya maka p a Karena

0 E.

2

1 D.

4

5 C.

5

4 B.

~ A.

... }345)x(4x{ Limit 2

x

x

4

5

42

05

a2

q-badalah limitnya maka p, a Karena

2 E.

1 D.

2

1 C.

0 B.

~ A.

... )2x -(x Limit 2

x

x

1 2

2

12

20

a2

q-badalah limitnya maka p, a Karena

0 g(x) Limit ; g(x) Limit

f(x)Limit

g(x)

f(x)Limit 6.

f(x) Limitk k(f(x)) Limit 5.

g(x) Limit f(x). Limit f(x).g(x) Limit 4.

g(x) Limitf(x)Limit g(x)} {f(x) Limit 3.

a f(x)Limit maka x, f(x) Jika 2.

c f(x)Limit maka c, f(x) Jika 1.

ax

ax

ax

axax

axaxax

axaxax

ax

ax

ax

...7

Limit c.

...)5(4x Limit b.

...3Limit a.

Hitunglah

23x

2

4

2

8x

x

x

x

x

x

PENERAPAN TEOREMA LIMIT UTAMA

192

(64) 3

(8) 3

(x) Limit3

xLimit 3 3x Limit a.

2

2

8

2

8x

2

8x

x

84

20 64

4 5 4 4

xLimit 5 Limit 4

xLimit 5 xLimit 4

5x Limit 4x Limit

)5(4x Limit b.

2

4x

2

4x

4x

2

4x

4x

2

4x

2

4

x

xx

3

7Limit c.

23x

x

x

7 Limit x Limit3x

2

3x

4

3

73

3

2

f(x).g(x) Limit n

dengan e f(x)1 Limit 2.

g(x) . f(x) Limit m

dengan e f(x)1Limit .1

0x

ng(x)

0x

x

mg(x)

x

e 1Limit .3

e1

1limit .2

e1

1Limit 1.

1

0x

x

x

xx

x

x

x

x

e E

e D.

e C.

0 B.

e

1 A.

....2

11Limit

2

~n

312

nn

n

n

2

~n

2

2

2

~n

~n

~

m

~n

e 2

11Limit Jadi

2 m nilai diperoleh

n dibagipenyebut dan Pembilang 6

32Limit m

3n

12n.

2-n

1n Limit m

3n

12n g(x) ;

2-n

1n f(x)

f(x).g(x) Limitm anadim,2e 2n

1n1Limit

312

n

n

nn

nn

nn

nn

2

4

2~x

e E.

e D.

e

1 C.

1 B.

0 A.

....1

1Limit

2

xx

x

e 1

1Limit Jadi

1 m

didapatdengan x dibagipenyebut dan Pembilang

4x Limit 4x

x

1 Limit m

: Jadi 4 x g(x)dan x

1f(x)

f(x).g(x) Limit m dimana e 1

1Limit

4

2~x

2

2

2

~x

2

2~x

2

2

~x

m

4

2~x

2

2

xx

xx

x

x

x

x

1 E.

2

1 D.

0 C.

~ B.

~- A.

.....2xSin

Sin xLimit

0x

2

1

2.1

1

x2Cos

1Limit

xCos2Sin x

Sin xLimit

2xSin

Sin xLimit

0x

0x0x

1 E.

2

1 D.

0 C.

~ B.

~ - A.

...Sin x

2x Cos1Limit

0x

0

0Sin 2

Sin x 2 Limit

Sin x

xSin 2 Limit

Sin x

2x Cos1Limit

0x

2

0x0x

1 E.

0 D.

1- C.

~ B.

~ - A.

...

)3

(xTan

)3

π(x

Limit3

x

1

)3

(xTan

)3

π(x

Limit Jadi

1uTan

ulimit

)3

(xTan

)3

π(x

Limit sehingga

0, u maka,3

- xJika 3

xu Misalkan

)3

(xTan

)3

π(x

Limit

3

3

3

-x

0u-x

x

g(x)dan f(x) fungsin turuna

adalah (x)' gdan (x)' f(x)' g

(x)' fLimit

g(x)

f(x)Limit

: Sbb HOSPITALL' Dalil

nmenggunakadengan an diselesaikdapat ebut Limit ters

maka,0

0an menghasilk f(x) pada x nilaikan substitusi kita jika

riTrigonomet fungsiLimit maupun Aljabar, fungsiLimit Apabila

axax

Terima Kasih