KS091206KS091206KS091206KS091206

KALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEARLINEARLINEARLINEARKALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEARLINEARLINEARLINEAR

Vektor di Ruang ‘N’Vektor di Ruang ‘N’Vektor di Ruang ‘N’Vektor di Ruang ‘N’

TIM KALIN

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah menyelesaikan pertemuan ini

mahasiswa diharapkan :

– Dapat mengetahui definisi dan dapat

menghitung perkalian vektor di ruang n-

Page 2Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

RUANG N EUCLEDIAN 2

menghitung perkalian vektor di ruang n-

eucledian

Ruang-n Euclidean

RUANG N EUCLEDIAN 3

(Euclidean n-space)

Review: Bab 3 membahas Ruang-2 dan Ruang-3

Ruang-n : himpunan yang beranggotakan vektor-vektor dengan n komponen

{ … , v = (v1, v2, v3, v4, …, vn), ….. }

RUANG N EUCLEDIAN 4

• Atribut: arah dan “panjang” / norma ||v||

• Aritmatikavektor-vektor di Ruang-n:

1. Penambahan vektor

2. Perkalian vektor dengan skalar

3. Perkalian vektor dengan vektor

Norma sebuah vektor:Norma Euclidean (Euclidean norm) di Ruang-n :

u = (u1, u2, u3, … , un)

RUANG N EUCLEDIAN 5

||u|| = √√√√ u12 + u2

2 + u32 + … + un

2

d(u,v) = ||u-v| |= √√√√ (u1-v1)2 + (u2-v2)2 + (u3-v3)2 + … + (un-vn)2

Example:

If u = (1, 3, -2, 7) and v = (0, 7, 2, 2) then in the Euclidean space R4.

||u|| = = =

2222 )7()2()3()1( +−++ 63 73

RUANG N EUCLEDIAN 6

And

d(u,v) = = 2222 )27()22()73()01( −+−−+−+− 58

Penambahan vektor: di Ruang-n

u = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn)

w = (w1, w2 , w3, …, wn) = u + v

w = (u1, u2 , u3, …, un) + (v1, v2 , v3, …, vn)

RUANG N EUCLEDIAN 7

w = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, …, un + vn)

w1 = u1 + v1

w2 = u2 + v2

………..

w2 = un + vn

Negasi suatu vektor:

u = (u1, u2 , u3, …, un)

– u = (– u1, – u2 , – u3, …, – un)

Selisih dua vektor:

RUANG N EUCLEDIAN 8

w = u – v = u + (– v)

= (u1 – v1, u2 – v2, u3 – v3, …, un – vn)

Vektor nol: 0 = (01, 02 , 03, …, 0n)

Perkalian skalar dengan vektor:

w = kv = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn)

(w1, w2 , w3,…, wn) = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn)

RUANG N EUCLEDIAN 9

(w1, w2 , w3,…, wn) = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn)

w1= kv1

w2 = kv2

…..…

wn = kvn

Perkalian titik: (perkalian Euclidean)

u . v = skalar

u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn

RUANG N EUCLEDIAN 10

u . v = 0 jika u dan v ortogonal

Catatan:perkalian silang hanya di Ruang-3

Example:

The Euclidean inner product of the vectors

u = (-1, 3, 5, 7) and v = (5, -4, 7, 0) in R4 is

RUANG N EUCLEDIAN 11

u.v = (-1)(5)+(3)(-4)+(5)(7)+(7)(0) = 18

Aritmatika vektor di Ruang-n:

Teorema 4.1.1.:u, v, w vektor-vektor di Ruang-n

k, l adalah skalar (bilangan real)

• u + v = v + u

• (u + v) + w = u + (v + w)

• u + 0 = 0 + u = u

RUANG N EUCLEDIAN 12

• u + 0 = 0 + u = u

• u + (-u) = (-u) + u = 0

• k(lu) = (kl)u

• k(u + v) = ku + kv

• (k + l) u = ku + lu

• 1u = u

Teorema 4.1.2:

Vektor-vektor u, v, w di Ruang-n; k adalah skalar

• u . v = v . u

• u . (v + w) = u .v + u .w

• k(u . v) = (ku) . v = u . (kv)

RUANG N EUCLEDIAN 13

• v .v > 0 jika v ≠ 0

v . v = 0 jika dan hanya jikav = 0

Example 2 Theorem 4.1.2 allows us to perform computation

with Euclidean inner products in much the same way that we

perform them with ordinary arithmetic products. For Exmple,

(3u + 2v).(4u + v) = (3u).(4u + v) + (2v).(4u + v)

= (3u).(4u) + (3u).v + (2v).(4u) + (2v).(v)

= 12(u.u) + 3(u.v) + 8(v.u) + 2(v.v)

RUANG N EUCLEDIAN 14

= 12(u.u) + 3(u.v) + 8(v.u) + 2(v.v)

= 12(u.u) + 11(u.v) + 2(v.v)

The reader should determine which parts of Theorm 4.1.2 were

used in each step

Teorema 4.1.3 - 4.1.5:

| u . v | ≤ || u || || v ||

|| u || ≥ 0

|| u || = 0 jika dan hanya jikau = 0

|| ku || = | k | || u ||

|| u + v || ≤ || u || + || v ||

RUANG N EUCLEDIAN 15

|| u + v || ≤ || u || + || v ||

d(u, v) ≥ 0

d(u, v) = 0 jika dan hanya jikau = v

d(u, v) = d(v, u)

d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v)

kv

v u + v v

Pembuktian Bahwa ||u + v || ≤ || u || || v ||

RUANG N EUCLEDIAN 16

(a)

||kv|| = ||k||||v||

u

(b)

||u+v|| ||u|| + ||v||

≤

Teorema 4.1.6 – 4.1.7:

u . v = ¼ || u + v || 2 – ¼ || u – v || 2

RUANG N EUCLEDIAN 17

Teorema Pythagoras

|| u + v || 2 = || u || 2 + || v || 2

u

v u + v

Example : In the Euclidean space R4 the vectors

u = (-2, 3, 1, 4) and v = (1, 2, 0, -1)

are orthogonal, since

RUANG N EUCLEDIAN 18

are orthogonal, since

u.v = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(-1) = 0

Perkalian Titik (dot product) dikerjakan dengan

perkalian matriksu = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn)

u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn

Kalau vektor u dan vektor v masing-masing ditulis dalam notasi matriks baris, maka

RUANG N EUCLEDIAN 19

baris, maka

u . v = (u1 u2 u3 … un) v1

v2

v3 u . v = (u) (v)T

vn

RUANG N EUCLEDIAN 20

u = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn)

u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn

Kalau vektor u dan vektor v masing-masing ditulis dalam notasi matriks kolom, maka

u . v = (u1 u2 u3 … un) v1 = v . u

v2

RUANG N EUCLEDIAN 21

v3 u . v = (u)T (v)

v . u = (v)T (u)

vn u . v = (v)T (u)

Matriks A (n x n), u dan v masing-masing vektor kolom

Au . v = u . (ATv) ?

(Au) . v = v . (Au) perkalian titik bersifat komutatif (T.4.1.2)

= vT(Au) v vektor kolom

= (vTA)u perkalian matriks asosiatif (T.1.4.1)

= (ATv)T u (MN)T = NTMT & (MT)T = M (T.1.4.9)

RUANG N EUCLEDIAN 22

= (ATv)T u (MN)T = NTMT & (MT)T = M (T.1.4.9)

ATv merupakan vektor kolom; maka (ATv)T vektor baris

= u . (ATv) persamaan (7)

Jadi Au . v = u . (ATv) terbukti

Diketahui matriks A (n x n), u dan v masing-masing vektor kolom

u . Av = ATu . v ?

u . (Av) = (Av) . u perkalian titik bersifat komutatif

= v . (ATu) baru dibuktikan

di slide sebelum ini: Au . v = u . (ATv)

= (A u) . v perkalian titik komutatif

RUANG N EUCLEDIAN 23

= (ATu) . v perkalian titik komutatif

Jadi: u . Av = ATu . v terbukti

RUANG N EUCLEDIAN 24

RUANG N EUCLEDIAN 25

RUANG N EUCLEDIAN 26

Contoh:

• Hitunglah eucledian norm dari vektor berikut :

– (-2,5)

– (1,-2,2)

– (3,4,0,-12)

– (-2,1,1,-3,4)

Page 27Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

RUANG N EUCLEDIAN 27

• Hitunglah eucledian inner product u.v

– u = (1,-2) , v = (2,1)

– u = (0,-2,1,1), v = (-3,2,4,4)

– u = (2,-2,2), v = (0,4,-2)

Let’s Try !

1. Carilah semua skalar k sehingga ||kv||=3, di mana v = (-1, 2, 0, 3).

2. Carilah jarak euclidis di antara u dan v bila u=(6,0,1,3,0) dan

v=(-1,4,2,8,3)

3. u=(3,0,1,2), v=(-1,2,7,-3), dan w=(2,0,1,1). Carilah:

a. ||-2u|| + 2||u|| b. c.

Page 28Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

4. u1=(-1,3,2,0), u2=(2,0,4,-1), u3=(7,1,1,4), dan u4=(6,3,1,2). Carilah skalar

c1,c2,c3, dan c4 sehingga c1u1+c2u2+c3u3+c4u4=(0,5,6,-3)

5. Buktikanlah identitas berikut:

||u+v||2 + ||u-v||2 = 2||u||2 + 2||v||2.

Tafsirkanlah hasil ini secara geometris pada R2.

6. Buktikanlah identitas berikut:

u.v = ¼||u+v||2 - ¼||u-v||2

RUANG N EUCLEDIAN 28